GRUNDBEGREBER VEDRØRENDE TOPOLOGI, KONVERGENS OG KONTINUITET I EUKLIDISKE RUM. Gert Kjærgård Pedersen November 2002

GRUNDBEGREBER 1 GRUNDBEGREBER VEDRØRENDE TOPOLOGI, KONVERGENS OG KONTINUITET I EUKLIDISKE RUM Gert Kjærgård Pedersen November 2002 Emnerne i disse noter behandles forskellige steder i Sydsæters bøger, [SsI] og [SsII]; se for eksempel under Afstand: I.11.4, p 384 Ekstremværdisætningen: I.9.4, p 300; I.13.4, p 389; II.2.7, p 67 Funktionsbegrebet: I.4.9, p 150; II.2.7, p 62 Grænseværdi: I.5.5, p 166; I.6.2, p 210; I.6.9, p 232; II.2.6, p 59 Kontinuitet: I.6.1, p 205; II.2.5, p 55; II.2.7, p 65 Middelværdisætningen: I.9.5, p 310; II.2.1, p 38 Topologi: I.13.4, p 489; II.2.5, p 53 For at hjælpe læseren gives her en sammenhængende fremstilling som uddyber og supplerer Sydsæters værk. 1. Topologi i Euklidiske Rum 1.1. Norm og Afstand. I det euklidiske rum R n bestående af n dimensionale vektorer x = (x 1,..., x n ) defineres en norm ved x = (x 2 1 + + x2 n )1/2 = (x x) 1/2. Man efterviser at denne norm tilfredsstiller betingelserne (1) x + y x + y x, y R n, (2) λx = λ x λ R, x R n, (3) x = 0 x = 0, hvor vi bemærker at (1) som er den eneste ikke-trivielle betingelse følger af Cauchy-Schwarz s ulighed : (x y) 2 (x x)(y y) eller (x y) x y. Ud fra denne norm fastlægger vi et afstandsbegreb i R n, idet vi definerer afstanden (distancen) mellem to punkter som ( n ) 1/2 dist(x, y) = x y = (x k y k ) 2. k=1

2 GERT KJÆRGÅRD PEDERSEN 1.2. Konvergens. Ved hjælp af afstandsbegrebet kan vi nu definere konvergens af en følge i R n. Hvis (x k ) er givet, siger vi at den konvergerer mod et punkt x, hvis afstanden fra x k til x bliver vilkårligt lille for alle store k. Helt præcist forlanger vi at: ε > 0 N : k N = x x k < ε. Udtrykt i kampsprog: Ligemeget hvor lille et ε fjenden kræver, kan vi finde et nummer N således at hele restfølgen {x n k N} ligger indenfor en kugle i R d med centrum x og radius ε. Vi udtrykker konvergens formelt ved at skrive x = lim x k, eller i mere grafisk notation x k x. Det er oplagt ud fra afstandsformlen, at hvis x k x så vil de enkelte koordinater i følgens elementer også konvergere mod grænsepunktets tilsvarende koordinat. Dette udtrykkes mest elegant ved hjælp af skalarproduktet med standardbasisvektorerne e i, 1 i n i R n, idet den i te koordinat for en vektor x netop er x e i. Omvendt kan man let vise at hvis en vektorfølge (x k ) har den egenskab at x k e i x i for 1 i n, så vil vektoren x = (x 1,..., x n ) være grænseværdi for (x k ). Konvergens i R n er således totalt bestemt ved konvergenser af almindelige talfølger i R. Vi udtrykker dette grafisk ved udsagnet x k x i : x k e i x e i. 1.3. Regning med Grænseværdier. Hvis (x n ) og (y n ) er konvergente talfølger med grænseværdier henholdsvis x og y, gælder for ethvert reelt tal c at også talfølgerne (cx n ), (x n + y n ), (x n y n ) og (x n /y n ) er konvergente med grænseværdier henholdsvis cx, x + y, xy og x/y. [I det sidste tilfælde må vi naturligvis antage at y 0, hvoraf det følger at y n 0 fra et vist trin.] Beviserne for disse påstande er simple, men giver god træning i definitionen af følgers konvergens. Hvis (x n ) og (y n ) er konvergente følger i R n med grænsevektorer henholdvis x og y, gælder tilsvarende for ethvert reelt tal c at (1) cx n cx, (2) x n + y n x + y. Dette følger direkte of ovenstående ved at se på koordinatfølgerne. 1.4. Cauchy-Følger. Det er ofte ønskeligt at vide om en følge er konvergent uden på forhånd at kende grænseværdien. Vi siger at en følge (x k ) i R n er en Cauchyfølge hvis alle dens elementer fra et vist trin ligger vilkårligt tæt ved hinanden. Helt præcist forlanger vi at : ε > 0 N : k, j N = x k x j < ε. Ligesom ved konvergens gælder det at en vektorfølge (x k ) er en Cauchy-følge hvis og kun hvis enhver af koordinatfølgerne (x k e i ) er en Cauchy-følge i R. Det er en dyb egenskab ved de reelle tal, men også dybt tilfredsstillende, at enhver Cauchy-følge er konvergent. Dette omtales som de reelle tals fuldstændighed, og giver mere generelt de euklidiske rums fuldstændighed.

GRUNDBEGREBER 3 1.5. Sætning. Enhver Cauchy-følge i det euklidiske rum R n er konvergent med netop én grænseværdi i R n. Beviset for denne påstand falder udenfor rammerne af disse noter, men kan eventuelt tages som et aksiom. For et bevis henvises til [Noter] Analyse og Optimering, Sætning 4.10, p 37. Påstanden er ganske ækvivalent med en anden egenskab som ofte tages som en definition af de reelle tals magiske egenart: Enhver voksende talfølge i R som er opad begrænset er også konvergent. 1.6. Topologi. En delmængde G af R n kaldes åben hvis enhver af dens punkter indeholder en (lille) omegn der er helt indeholdt i G. Helt præcist : x G ε > 0 : y x < ε = y G. Ved hjælp af trekantsuligheden (betingelse (1) i 1.1) ser man at enhver åben kugle med centrum x og radius r > 0, altså K(x, r) = {y R n x y < r}, udgør en åben delmængde af R n. Thi hvis y K(x, r) kan vi finde ε > 0 således at x y + ε < r. Men det betyder netop at K(y, ε) K(x, r), som ønsket. Omvendt ser vi af definitionen af begrebet, at enhver åben mængde kan skrives som en (formentlig uendelig) foreningsmængde af åbne kugler (med varierende små radier). En delmængde F af R n kaldes lukket hvis man ikke kan konvergere sig ud af den. Helt præcist : (x k ) F : x k x = x F. 1.7. Sætning. En mængde G i R n er åben hvis og kun hvis dens komplementærmængde F = R n \ G er lukket. Bevis. Antag at G er åben og lad (x k ) være en følge i F = R n \ G som konvergerer mod et punkt x. Hvis x G vil der findes et ε > 0 således at K(x, ε) G. Men da x k x findes et N således at x k K(x, ε) for alle k > N. Dermed ligger x k både i F og i G, hvilket er nonsens. Altså må vi have x / G, dvs. x F, som ønsket. Antag nu omvendt at F = R n \ G er lukket og betragt et vilkårligt punkt x i G. Hvis vi ikke kan finde nogen (nok så lille) kugleomegn om x helt indeholdt i G må der åbenbart gælde at K(x, 1/k) F for ethvert k. Vi kan derfor vælge x k i F med x x k < 1/k, og får herved en følge (x k ) i F som oplagt konvergerer mod x. Men så må x F, i modstrid med at x G. Altså må der findes et ε > 0 så K(x, ε) G, som ønsket. 1.8. Topologisk Struktur. Systemet G af åbne delmængder af R n opfylder følgende strukturelle egenskaber (1) G, R n G, (2) G 1, G 2 G = G 1 G 2 G, (3) {G k } G = k=1 G k G.

4 GERT KJÆRGÅRD PEDERSEN Egenskaberne i (1) er en definitionssag, medens (2) og (3) kræver lidt overvejelse. Hvis x G 1 G 2, og både G 1 og G 2 er åbne mængder, så må K(x, ε 1 ) G 1 for et ε 1 > 0, idet x G 1. Men også K(x, ε 2 ) G 2 for et ε 2 > 0, idet x G 2. Sættes ε = min(ε 1, ε 2 ) vil derfor K(x, ε) G 1 G 2, som ønsket. Beviset for (3) er helt elementært: Hvis x k=1 G k så må x G j for (mindst) et index j, og da G j er åben findes altså et ε > 0 så K(x, ε) G j. Men så vil også K(x, ε) k=1 G k, som altså er åben. Et system G af delmængder af en grundmængde X som opfylder de tre betingelser i 1.8 kaldes en topologi på X. Det viser sig nemlig at man alene ud fra mængderne i G kan definere konvergens på X og kontinuitet af funktioner på X. Vi får dog ikke brug for denne hyperabstrakte tilgang til fænomenerne. Ved at udnytte Sætning 1.7 ser man umiddelbart fra 1.8 at systemet F af lukkede delmængder af R n har følgende strukturelle egenskaber: (1) F, R n F, (2) F 1, F 2 F = F 1 F 2 F, (3) {F k } F = k=1 F k F. 1.9. Aflukning og Rand. En mængde X i R n behøver naturligvis hverken at være åben eller lukket. Dog ser vi ved brug af 1.8 (3) at X indeholder en størst mulig åben delmængde nemlig foreningsmængden af alle åbne mængder i R n som er indeholdt i X. Denne mængde kaldes det indre af X og betegnes X. Helt tilsvarende er X indeholdt i en mindst mulig lukket mængde nemlig fællesmængden af alle lukkede mængder i R n som indeholder X. Denne mængde kaldes aflukningen af X og betegnes med X. Det følger af Sætning 1.7 at der altid gælder R n \ X = (R n \ X) og R n \ X = (R n \ X). Af den sidste formel ser vi om et punkt at x / X netop hvis der findes en kugleomegn K(x, ε) helt indeholdt i R n \ X. Ved negation af dette udsagn fås at x X hvis og kun hvis der findes en følge (x n ) i X således at x n x. Det følger af definitionerne at en mængde X er åben hvis og kun hvis X = X, og at X er lukket hvis og kun hvis X = X. Hvis X = siger vi at X er tynd i R n, og hvis X = R n siger vi at X er tæt. Det sidste begreb er mest relevant og bruges ofte relativt til en anden (som regel større) mængde Y. Vi siger således at X er tæt i Y hvis Y X. Dette betyder åbenbart at ethvert y i Y kan fås som grænsepunkt for en følge (x n ) fra X, altså at ethvert y kan tilnærmes med x er. For eksempel gælder der at mængden Q af rationale tal er tæt i R. Som delmængde af R er Q imidlertid en tynd mængde. Mængden X = X \ X kaldes randen af X og dens elementer er randpunkterne for X. Vi ser at X er en lukket mænde (som gennemsnit af de lukkede mængder X og R n \ X ). En lukket mængde indeholder alle sine randpunkter, medens en åben mængde ikke indeholder nogen af sine randpunkter. Man ser generelt at en mængde X og dens komplementærmængde R n \ X har samme rand. Faktisk gælder at x X hvis og kun hvis ε > 0 : K(x, ε) X K(x, ε) (R n \ X).

GRUNDBEGREBER 5 1.10. Begrænsede Mængder. En delmængde X af R n kaldes begrænset hvis der findes en n kasse af formen I = [a 1, b 1 ] [a 2, b 2 ] [a n, b n ] således at X I. Det betyder at enhver af koordinaterne til samtlige punkter i X er numerisk mindre end en vis konstant. Den følgende sætning angiver en fundamental egenskab ved begrænsede delmængder af R n. Men ser let at den faktisk endda karakteriserer begrænsede mængder, med det er mindre vigtigt. 1.11. Sætning. Hvis X er en begrænset delmængde af R n så vil enhver følge i X have en konvergent delfølge. Bevis. Vi antager først at n = 1 og at X = [0, 1]. Hvis nu (x n ) er en talfølge i X deler vi intervallet i de to lige store dele X 1 = [0, 1/2] og X 1 = [1/2, 1]. Da følgen er uendelig må (mindst) et af delintervallerne indeholde uendelig mange elementer fra følgen. Kald dette for X 1. [Hvis begge intervaller kan bruges vælges fx det længst til højre.] I intervallet X 1 vælges nu x n1 som det første element i følgen (x n ) der ligger i X 1. Herefter deles X 1 i to lige store intervaller X 2 og X 2, og man indser som før at (mindst) et af dem indeholder uendelig mange elementer fra følgen {x n n > n 1 }. Vælg et af dem og kald det X 2, og vælg x n2 som det første element med index større end n 1 som ligger i X 2. Fortsættes denne proces får man en følge af intervaller (X k ), hvor hvert er indeholdt i alle forrige og har længde 2 n, og en delfølge (x nk ) af (x n ) således at x nk X k for alle k. Derfor vil x nk x nj 2 k for alle j > k, og det er således oplagt at (x nk ) udgør en Cauchy-følge. Delfølgen er derfor konvergent i følge Sætning 1.4. Det er klart at dette argument vil kunne bruges på et vilkårligt interval [a, b] i R og derfor på en vilkårlig begrænset delmængde af R. I det flerdimensionale tilfælde kan man relativt simpelt variere metoden til også at give et bevis. Hvis fx X er en begrænset delmængde af R 2 og (x n ) er en følge i X kan vi først erstatte X med en større mængde X 0 = [a 1, b 1 ] [a 2, b 2 ]. For nu at udtage en delfølge deler vi X 0 i fire lige store kvadranter X 1, X 1, X 1 og X 1 og vælger et af dem, kaldet X 1, som indeholder uendelig mange elementer fra (x n ). Heri vælges x n1 som det første element. Nu deles X 1 i fire lige store kvadranter osv. Man får en følge af rektangler (X k ), hvor hvert er indeholdt i alle forrige og hvor diameteren er det halve af forgængerens. Samtidig får man en delfølge (x nk ) så x nk X k for alle k; og dette er igen en Cauchy-følge, og dermed konvergent. 1.12. Kompakthed. Selv om en delfølge i en begrænset X har en konvergent delfølge er det natuligvis ikke givet at grænseværdien også tilhører X. Men hvis X yderligere er lukket må ethvert konvergenspunkt tilhøre X per definition. Dette medfører at det er særligt bekvemt at betragte mængder i R n som både er lukkede og begrænsede. Sådanne mængder kaldes kompakte, og vi skal møde dem igen i funktionsteorien. De blev karakteriseret af Henri Borel ved hjælp af den såkaldte overdækningsegenskab: Hvis en kompakt delmængde X af R n er indeholdt i en uendelig foreningsmængde k=1 G k af åbne delmængder, så vil allerede endelig mange af G k erne overdække X. Bruger man den komplementære beskrivelse af lukkede mængder fra Sætning 1.7 får man følgende alternative version af Borels sætning: Hvis (F k ) er en følge af lukkede delmængder af en kompakt mængde X, således

6 GERT KJÆRGÅRD PEDERSEN at det for ethvert endeligt antal F k1, F k2,..., F kj gælder at j i=1 F k i, da vil k=1 F k. Hvis således F 1 F 2 F 3..., og alle er ikke-tomme, så vil deres fællesmængde altså heller ikke være tom. 2. Kontinuerte Funktioner 2.1. Funktioner. Som bekendt taler man om en funktion f mellem to mængder X og Y hvis der til ethvert x i X er knyttet netop et element i Y, kaldet funktionsværdien og betegnet med f(x). Denne dynamiske opfattelse af en funktion som en lille sort kasse der spytter et y ud hvergang man putter et x i den er grundlæggende sund og giver fornuftige associationer; men i meget teoretiske overvejelser foretrækker matematikerne at bruge en mere statisk definition som udelukkende afhænger af mængdeteoretiske begreber. Ifølge denne er en funktion en delmængde G(f) af produktmængden X Y med den egenskab at gennemsnitsmængden G(f) ({x} Y ) for ethvert x i X netop består af ét punkt (x, y) i X Y. Anden-koordinaten y i dette punktpar kaldes så f(x), og vi ser at grafen G(f) for f netop beskrives ved punkterne G(f) = {(x, f(x)) X Y ) x X}. Efter på denne måde at have forklaret hvordan funktionskassen virker kan man roligt gå videre med den dynamiske definition. 2.2. Vektorfunktioner. Hvis X R n og Y = R m kalder vi en funktion f: X R m for en vektorfunktion, mere præcist en m dimensional vektorfunktion af n variable. Hvis m = 1 taler vi om en (reel) funktion af n variable. Ved at bruge standardbasisvektorerne e i, 1 i m, i R m ser vi at en vektorfunktion f: X R m giver anledning til m reelle koordinat-funktioner f 1,..., f m defineret ved f i (x) = f(x) e i. Omvendt er det klart at hvis man har et vist antal lad os sige m reelle funktioner af n variable, alle med samme definitionsområde X i R n, så definerer dette en vektorfunktion f(x) = (f 1 (x),..., f m (x)). Denne lette passage mellem vektorfunktioner og deres koordinatfunktioner gør at man ofte kan nøjes med at betragte koordinatfunktionerne, altsa reelle (en-dimensionale) funktioner. Den eneste undtagelse fremkommer når vi har behov for at sammensætte funktioner. Hvis X R n og Y R m, og hvis f: X R m og g: Y R k er vektorfunktioner således at f(x) Y, så kan vi definere funktionen g f: X R k ved g f(x) = g(f(x)). Denne funktions egenskaber kan ikke umiddelbart aflæses af koordinatfunktionernes egenskaber. I hvert fald bliver man nødt til at behandle f som en vektorfunktion.

GRUNDBEGREBER 7 2.3. Kontinuitet. En vektorfunktion f: X R m, hvor X R n, er kontinuert i et punkt x i X hvis ethvert nærtliggende punkt ikke afbildes ret langt fra f(x). Udtrykt i det matematikerne kalder Weierstrass ε δ sprog betyder dette, hvis y X, at: ε > 0 δ > 0 : y x < δ = f(y) f(x) < ε. Hvis f er kontinuert i ethvert punkt i X siger vi blot at f er kontinuert på X. Denne definition er temmelig statisk, men kan gøres endnu mere mængdeteoretisk. Hvis G er en delmængde af R m definerer vi originalmængden eller urbilledet af G underf som mængden f 1 (G) = {x X f(x) G}. Nu kommer så overraskelsen: f er kontinuert på X hvis og kun hvis det for enhver åben delmængde G af R m gælder at f 1 (G) er en åben delmængde af X. [Hvis X ikke selv er åben i R n siger vi at f 1 (G) er åben i X såfremt den har formen G 1 X for en passende åben delmængde G 1 af R n.] Nok så anvendelig er følgende dynamiske omfortolkning af kontinuitetsbegrebet: f er kontinuert på X hvis det om enhver konvergent følge (x k ) i X med en grænseværdi x i X gælder at følgen (f(x k )) konvergerer mod f(x). Grafisk udtrykt: x k x = f(x k ) f(x). Beviserne for ovenstående påstande kræver intet udover lidt mængdegymnastik og brug af definitionerne vedrørende konvergente følger. Man får således ikke brug for Cauchy-følger her. Det er bemærkelsesværdigt at urbilledbegrebet, som altså ud fra en funktion f: X Y giver os en en mængdefunktion som går i den modsatte retning (fra delmængder af Y til delmængder af X, idet G f 1 (G)), har ganske skikkelige egenskaber. Man ser således at f 1 (G 1 \ G 2 ) = f 1 (G 1 ) \ f 1 (G 2 ), samt at det for et vilkårligt antal delmængder {G k k K} af Y gælder at f 1 ( G k ) = f 1 (G k ) og f 1 ( G k ) = f 1 (G k ). k K k K 2.4. Regning med Kontinuerte Funktioner. Det følger umiddelbart af definitionen i 2.3, samt resultaterne i 1.3, at hvis f og g er kontinuerte vektorfunktioner på samme mængde X i R n så vil for ethvert reelt c funktionerne cf og f + g [definerede ved at (cf)(x) = cf(x) og (f + g)(x) = f(x) + g(x)] også være kontinuerte. Hvis f og g endda er reelle funktioner vil også fuktionerne fg og f/g [definerede ved (f g)(x) = f(x)g(x) og (f/g)(x) = f(x)/g(x)] være kontinuerte. Det sidste naturligvis under forudsætning af at g(x) 0 for alle x i X. Ud fra disse regneregler er det let at opbygge et arsenal af kontinuerte funktioner ved blot at starte med helt simple og oplagt kontinuerte funktioner som fx konstantfunktionerne c: x c og den identiske funktion id: x x, og så sammensætte dem som ovenfor angivet. Vi ser også at hvis f: X R m og g: Y R k er kontinuerte, hvor X R n og Y R m, og hvor f(x) Y, så vil den sammensatte funktion g f: X R k være kontinuert. Bemærk blot at hvis x n x i X så vil f(x n ) f(x) i Y, og derfor vil g(f(x n )) g(f(x)) i R k, som krævet. k K k K

8 GERT KJÆRGÅRD PEDERSEN 2.5. Ekstremværdisætningen. Husk at vi i afsnit 1.12 definerede en mængde i R n til at være kompakt hvis den både var lukket og begrænset. Følgende udsagn om kontinuerte funktioners opførsel på kompakte mængder er helt fundamentalt i funktionsteorien. Og da mange anvendelser af matematik indenfor økonomi drejer sig om at maximere eller minimere en funktion er sætningen også af vital betydning indenfor matematisk økonomi. 2.6. Sætning. En kontinuert funktion på en kompakt delmængde af R n er nødvendigvis begrænset og har derfor et maximum og et minimum. Endvidere findes der punkter i X hvor maximum og minimum antages. Bevis. Lad f: X R være en kontinuert funktion på den kompakte delmængde X af R n. Hvis f er ubegrænset opadtil kan vi finde en følge (x k ) i X således at f(x k ) > k for ethvert k. Ved brug af Sætning 1.11 udtager vi nu en delfølge (x kj ) som er konvergent mod et punkt x, og da X er lukket vil x tilhøre X. Da f er kontinuert vil f(x kj ) konvergere mod f(x), men dette er umuligt idet f(x kj ) > k j. Altså må f være opadtil begrænset og derfor have et maximum. Tilsvarende indses at f har en (endeligt) minimum. Definitionen af maximum er at det er det mindste reelle tal c således at f(x) c for alle x i X. Altså må der findes x er i X således at funktionsværdien f(x) kommer vilkårligt tæt på c. Vi kan derfor udtage en følge (x k ) i X således at c f(x k ) < 1/k for alle k. Som før lader vi (x kj ) være en delfølge af (x k ) som konvergerer mod et punkt x i X. Så vil f(x kj ) konvergere mod f(x), dvs at vi for ethvert ε > 0 kan finde et N således at f(x) f(x kj ) < ε når blot k j > N. Vi får så ulighederne c f(x) > f(x kj ) ε > c 1/k j ε, som er opfyldte for alle k j > N. Heraf sluttes at c f(x) c ε, og da ε er vilkårligt fås f(x) = c, som ønsket. Tilsvarende vises at minimum antages. 2.7. Middelværdisætningen. Lad f: [a, b] R være en kontinuert funktion på et (begrænset og lukket) interval [a, b], og antag at f er differentiabel i ethvert indre punkt. Det betyder at hvis x ]a, b[ så vil der eksistere et tal f (x), således at det for enhver følge (x n ) i intervallet der konvergerer mod x gælder at (f(x n ) f(x)) (x n x) 1 f (x). 2.8. Sætning. Giver f som ovenfor findes et punkt x i ]a, b[ således at f(b) f(a) = f (x)(b a). Bevis. Antag først at f(b) = f(a). Vi skal da vise at f har vandret tangent i et indre punkt. Da f er kontinuert findes ifølge Sætning 2.6 punkter x og y i [a, b], således at f(x) = sup f og f(y) = inf f. Hvis f(x) = f(a) og f(y) = f(a) er f konstant og f (z) = 0 for alle z i ]a, b[, så sætningen er trivielt sand. Vi kan derfor gerne

GRUNDBEGREBER 9 antage at f(x) f(a), hvormed specielt x a og x b, så x ]a, b[. Da x er et maksimumspunkt vil for ethvert ε > 0 (f(x + ε) f(x)) /ε 0 og (f(x ε) f(x)) /( ε) 0. Vi ser i grænsen ε 0 at f (x) 0 og f (x) 0, hvormed f (x) = 0, som ønsket. I det generelle tilfælde defineres hjælpefunktionen g(x) = f(x) (f(b) f(a))(b a) 1 (x a). Da er g kontinuert på [a, b] og differentabel i ]a, b[. Endvidere er g(a) = f(a) = g(b). Af første del af beviset følger at der findes et x i ]a, b[ så g (x) = 0. Udregning viser det ønskede, nemlig at 0 = g (x) = f (x) (f(b) f(a))(b a) 1. 2.9. Retningsafledet og Gradient. Som bekendt definerer man de partielle afledede af en funktion f af n variable som grænseværdierne (som antages at eksistere): f j(x) = lim ε 0 (f(x + εe j ) f(x)) ε 1, 1 j n. Ud fra disse danner vi gradienten af f som vektorfunktionen f(x) = (f 1(x),..., f n(x)). Hvis alle de partielle afledede eksisterer som kontinuerte funktioner på X siger vi at f tilhører klassen C 1 (X). Tilsvarende definerer man klasserne C p (X), bestående af funktioner hvor alle partielle afledede af p te orden eksisterer og er kontinuerte funtioner på X. [Klassen C o (X) bestående af kontinuerte funktioner på X betegnes dog som regel blot som X(X).] Bemærk at f C 1 (X) netop hvis vektorfunktionen f: X R n er kontinuert. For en vilkårlig vektor h i R n således at x + h X definerer vi nu den afledede i retningen h som differentialkvotienten i 0 af den reelle funktion t f(x + th). For denne retningsafledede har vi følgende udtryk: 2.10. Sætning. Hvis f: X R har kontinuerte partielle afledede overalt i X, altså hvis f C 1 (X), vil lim t 0 (f(x + th) f(x)) t 1 = f 1(x)h 1 + + f n(x)h n = f(x) h. Bevis. For at lette notationen gennemfører vi kun beviset for n = 2, således at x = (x, y) og h = (h, k). Vi omformer først funktionstilvæksten f =f(x + th, y + tk) f(x, y) = (f(x + th, y + tk) f(x, y + tk)) + (f(x, y + tk) f(x, y)),

10 GERT KJÆRGÅRD PEDERSEN og bruger derefter middelværdisætningen 2.8 på hver af differenserne. Dette giver f = f 1 (x + h 1, y + tk)th + f 2 (x, y + k 1)tk, hvor 0 < h 1 < th og 0 < k 1 < tk. Derfor må h 1 0 og k 1 0 når t 0, og da de partielle afledede er kontinuerte ser vi at lim f/t = f 1(x, y)h + f 2(x, y)k, t 0 som ønsket. 2.11. Middelværdisætningen Udvidet. Hvis f: X R er en kontinuert funktion defineret på en konveks delmængde X af R n, og hvis de partielle afledede f k for 1 k n eksisterer og er kontinuerte i ethvert punkt af X, kan vi vise en smuk generalisering af middelværdisætningen. Vi erindrer om at X er konveks netop hvis det om to vilkårlige punkter x og y i X gælder at hele intervallet [x, y] = {z R n z = λy + (1 λ)x, 0 λ 1} er indeholdt i X. Dette betyder specielt at hvis x, y X kan vi danne den retningsafledede for f i x i retningen h = y x. 2.12. Sætning. Givet et konvekst område X i R n og en funktion f i C 1 (X) findes for ethvert par af punkter x, y i X et punkt z = λy + (1 λ)x, hvor 0 < λ < 1, således at f(y) f(x) = f(z) (y x). Bevis. Definér den reelle funktion ϕ(λ) = f(λy + (1 λ)x) = f(x + λ(y x)) for 0 λ 1. Da er ϕ kontinuert på [0, 1], og vi hævder at den også er differentiabel. Thi hvis z = λy + (1 λ)x fås (ϕ(λ + ε) ϕ(λ)) /ε = (f(z + ε(y x)) f(z)) /ε, og vi ser af Sætning 2.10 at grænseværdien eksisterer når ε 0 med ϕ (λ) = f(z) (y x). Af middelværdisætningen 2.8 følger at der findes et indre punkt λ i [0, 1] således at ϕ(1) ϕ(0) = ϕ (λ). Sættes z = λy + (1 λ)x fås det ønskede resultat f(y) f(x) = ϕ(1) ϕ(0) = ϕ (λ) = f(z) (y x).

GRUNDBEGREBER 11 2.13. Bemærkning. Når man skal bruge den udvidede middelværdisætning på en (lille) tilvækst x + h behøver man ikke at antage at hele definitionsmængden X er konveks, men blot at X indeholder intervallet [x, x + h]. Vi får så udsagnet hvor 0 < λ < 1. f(x + h) = f(x) + f(x + λh) h, 2.14. Kædereglen. Middelværdisætningen kan bruges til at finde differentialkvotienten af en sammensat funktion af formen f g, hvor g: [a, b] R n er en C 1 vektorfunktion g(t) = (g 1 (t),..., g n (t)) og f er en reel C 1 funktion af n variable på en mængde X således at g([a, b]) X. Til formuleringen får vi foruden gradienten af f brug for differentialkvotientvektoren g (t) = (g 1 (t),..., g n (t)). Resultatet kaldes kædereglen for vektorfunktioner og generaliserer den sædvanlige kæderegel for funktioner f og g af en variabel, hvor man som bekendt finder at (f g) (x) = f (g(x))g (x). 2.15. Sætning. Hvis ϕ(t) = f(g(t)) som ovenfor vil ϕ være differentiabel med ϕ (t) = f 1(g(t))g 1(t) + + f n(g(t))g n(t) = f(g(t)) g (t). Bevis. Ved at bruge den sædvanlige middelværdisætning på hver af koordinatfunktionerne fås g j (t + ε) = g j (t) + g j (t + ε j)ε, hvor 0 < ε j < ε for 1 j n. Definerer vi nu vektoren v = (g 1 (t + ε 1),..., g n(t + ε n )) fås ϕ(t + ε) = f(g(t + ε)) = f(g(t) + εv). Den udvidede middelværdisætning giver så ϕ(t + ε) ϕ(t) = f(g(t) + εv) f(g(t)) = f(g(t) + λεv) εv, hvor 0 < λ < 1. Da alle afledede er kontinuerte fås at v g (t) når ε 0. Efter division med ε får vi derfor den ønskede grænseværdi ϕ (t) = f(g(t)) g (t). 2.16. Bemærkning. Hvis vi skriver z = f(x) og underforstår funktionen g ved blot at skrive x j = x j (t) for 1 j n får resultatet ovenover en form der harmonerer smukt med navnet kæderegel : dz dt = z x 1 dx 1 dt + z x 2 dx 2 dt + + z x n dx n dt. Resultatet generaliserer umiddelbart til situationen hvor z er en vektorfunktion z = (z 1, z 2,..., z m ) af n variable x = (x 1, x 2,..., x n ), og hver af disse er er en funktion af de l variable t = (t 1, t 2,..., t l ), således at vi kan opfatte z som sammensat af vektorfunktionerne x og t. Man finder at z i t j = z i x 1 x 1 t j + z i x 2 x 2 t j + + z i x n x n t j.

12 GERT KJÆRGÅRD PEDERSEN 2.17. Youngs Sætning. Middelværdisætningen kan endelig bruges til at vise at rækkefølgen i hvilken man tager højere partielle afledede er ligegyldig, når blot funktionen er tilstrækkelig glat. 2.18. Sætning. Hvis f er en C 2 funktion af n variable så gælder for 1 i, j n at f ij (x) = f ji (x) for ethvert x i X. Bevis. Dan de differentiable hjælpefunktioner g(s) = f(x + se i + te j ) f(x + se i ) og h(t) = f(x + se i + te j ) f(x + te j ). Ifølge middelværdisætningen findes da et s 1 i ]0, s[ således at g(s) g(0) = g (s 1 )s, og et t 1 i ]0, t[ således at h(t) h(0) = h (t 1 )t. Ved differentation fås at g (s 1 ) = f i (x + s 1e i + te j ) f i (x + s 1e i ). Bruger vi nu middelværdisætningen på denne differens fås g (s 1 ) = f ij (x + s 1e i + t 2 e j )t for et t 2 i ]0, t[. Tilsvarende vil h (t 1 ) = f ji (x + s 2e i + t 1 e j )s for et s 2 i ]0, s[. Vi har altså g(s) g(0) = f ij (x + s 1e i + t 2 e j )st samt h(t) h(0) = f ji (x + s 2e i + t 1 e j )st. Ved udregning ses imidlertid at g(s) g(0) = f(x + se i + te j ) f(x + se i ) f(x + te j ) + f(x) = h(t) h(0), og vi får heraf at f ij (x + s 1e i + t 2 e j )st = f ji (x + s 2e i + t 1 e j )st, hvormed f ij (x + s 1e i + t 2 e j ) = f ji (x + s 2e i + t 1 e j ). Dette gælder for alle s og t, og derfor også i grænsen s, t 0. Da de partielle afledede er kontinuerte følger heraf at f ij (x) = f ji (x), som ønsket. Referencer [Noter] Bent Fuglede, Gerd Grubb & Tage Gutmann Madsen, Analyse og optimering, Universitetsbogladen 1999, www.math.ku.dk/noter. [Ss I] [Ss II] Knut Sydsæter, Matematisk analyse, Bind 1, Gyldendal Akademisk, Oslo 2000, 7. Udgave. Knut Sydsæter, Atle Seierstad & Arne Strøm, Matematisk analyse, Bind 2, Gyldendal Akademisk, Oslo 2000, 3. Udgave, 5. Oplag.