Ekstrema -teori og praksis

Ekstrema -teori og praksis Optimering af profitfunktion Gruppe G3-114a 3.semester matematik-økonomi Deltagere: Dan Iversen Vejleder: Horia Cornean Dato: 16.12. - 2011

3 Titel: Optimering af profitfunktion Tema: Ekstrema, teori og praksis Projektperiode: 3.semester, E11 Projektgruppe: G3-114a Deltagere: Dan Iversen Vejledere: Horia Cornean Oplagstal: 4 Sidetal: 29 Bilagsantal og art: 0 Afsluttet den 15.12-2011 Synopsis: Dette projekt omhandler produktionsteori og hvorledes en virksomhedsprofit kan optimeres. Der gennemgåes noget teori omkring produktionsfunktioner og om funktioner af flere variable inkl. Hesse-matrix. Til sidst løses et konkret optimeringsproblem med afgrænsning.

Indhold Indhold 5 1 Indledning 7 2 Elasticiteter 9 2.1 Elastisiteter............................. 9 2.1.1 Elastisitetet af funktioner af én reel variabel....... 9 2.1.2 Regneregler for elasticiteter................ 11 2.1.3 Partielle elasticiteter.................... 11 2.2 Homogene og homotetiske funktioner............... 12 3 Økonomisk teori og problemstilling 13 3.1 Produktionsteori.......................... 13 3.1.1 Skalaafkast......................... 15 3.1.2 Substitutionselasticiteten................. 16 3.1.3 Omkostninger og profit.................. 16 3.2 Cobb-Douglas-funktionen..................... 17 3.3 Problemstilling........................... 18 4 Patielt afledede og ekstremumundersøgelse 19 4.1 Partielt afledede og ekstrema................... 19 5 Problemløsning 23 6 Konklusion 27 Litteratur 29 5

KAPITEL 1 Indledning I en tid med ressesion og lav produktion er det i stigende grad vigtigt at kunne optimere. Man må justere bugdetet efter indtægter og dermed også efter efterspørgslen efter varer, som i øjeblikket er den laveste i mange år. Specielt virksomheder der producerer forbrugsgoder eller decideret luksusvarer har mærket og kan stadigt mærke krisen. Som resultat her fyres medarbejdere i rigtigt mange virksomheder. Det har interesse at kunne modellere en produktion, således outputtet kan beskrives som en funktion af de input, der bliver forbrugt i produktionsprocessen. Hernæst må den optimale sammensæting af produktionens inputs bestemmes, for at få en produktion, der er så effektiv som muligt. På denne måde kan det forsøges undgået, at virksomheden f.eks. har uudnyttede rescurser. Dette projekt har tilformål at finde den sammensætning af maskintimer og arbejdstimet under bibetingelse af virksomhedens budgetbegrænsning. Dette problem løses i dette projekt ved at løse et optimeringsproblem med bibetingelse. Denne rapport har tre hovedkapitler. I det første gøres rede for den økonomiske teori, der er nødvendig for at opstille og forstå problemstillingen. I det andet kapitel redegøres for relevante matematiske resultater vdr. funktioner af flere variable og problemet løses i dette kapitel. I det trejde og sidste hovedkapitel redegøres for hovedsagligt elasticiteter. 7

KAPITEL 2 Elasticiteter I dette kapitel beskrives bl.a. homogene og homotetiske funktioner af flere variable, da dette begreb spiller en central rolle i forståelsen af egenskaber ved produktionsfunktion, der arbejdes med i forhold til problemstillingen. Bl.a. kan man spørge: hvis to input L og K ganges med et tal t R, hvilken effekt har dette på på outputtet q? Og hvad betyder det, at en funktion er homotetisk, og hvilken betydning har denne egenskab for produktionsfunktionen? Et andet vigtigt begreb der vil blive belyst i dette kapitel, er elastisiter. Dvs. hvad sker der med q, hvis værdien af q øges med 1% Disse spørgsmål kan besvares med de nævnte begeber, der vil blive redegjort for i dette kapitel til brug i forbindelse med den økonomiske teori om produktion, omkostninger og profit. 2.1 Elastisiteter I dette afsnit behandles elastisiteter. Dette begreb er omtrendt ligeså vigtigt i økonomi som afledte og partielt afledte funktioner. Inden for markedsteorien bruges elastisiteter til f.eks. til at afgøre, hvor stor en effekt en pristigning har på efterspøgslen. Hvor stor en nedgang i efterspørgslen på en vare kan man forvente, hvis prisen øges med 1%?. Elastisiteten for en funktion f er den relative ændring i forhold til en variabel x, hvor imod den afledte funktion i et punkt (x, y) er den absolutte ændring. Betragt et eksempel med kaffe. Efterspørgselen kan beskrives ved en funktion D(p). Enheden på den afledete, D (p) bliver så noget med kg/kr. Altså aftager efterspørgslen med et bestemt antal kg når prisen ændres med 1 kr. Dette absolutte tal fortæller ikke meget. Det ses f.eks. ikke, hvor stor en omsætning der tabes ved at sætte prisen op med 1 krone. Derfor er det ofte mere relevant med den relative ændring. Sagt på en anden måde: hvor stor er ændringen p i forhold til D(p) hvilket vil sige hvor stor er p D(p)?, hvilket kan besvares med elastisitetsbegrebet. 2.1.1 Elastisitetet af funktioner af én reel variabel Betragt igen efterspørgselsfunktionen 9

10 KAPITEL 2. ELASTICITETER x = D(p) (2.1) Prisen på en given vare ændres nu fra p til p + p. Den absolutte ændring i prisen er kalrt nok givet ved p, men som nævnt ovenfor, er det ofte den relative ændring i prisen der er mest interessant. Denne er givet ved p p. Den relative ændring i x når p ændres til p + p, bliver den absolutte ændring i x bliver derfor ud fra (2.1): x = D(p + p) D(p) hvilket medfører, at den relative ændring i x er givet ved: x x D(p + p) D(p) = D(p) (2.2) Forholdet mellem de to relative ændringer er derfor givet ved: / x p x p = p x x p = p D(p + p) D(p) D(p) p (2.3) p 100 x Lad p =. Hvis dette indsættes i andet udtryk i (2.3) fås tallet x 100, hvilket er den procentvise ændring i efterspørgslen, når prisen ændres med 1 %. Det ses, at den anden faktor i (2.3) er sekanthældningen for (2.1). Det sidste udtryk i (2.3) kaldes derfor den gennemsnitlige elasticitet af D(p) i intervallet [p, p + p] Elasticiteten kan med rimelig tilnærmelse beregnes ud fra ovenstående. Specielt hvis p er lille. Det er dog ikke kun elasticiteten af et givet interval, der har interesse. Faktisk er elasticiteten for D mht. x vigtigere. Derfor antages det, at D er differentiabel. Så medfører (2.3): lim p 0 p D(p + p) D(p) = p dd(p) D(p) p D(p) dp (2.4) hvor (2.4) kaldes elasticiteten af D mht. p. Denne kan defineres mere generelt. Definition: Lad f være en funktion af én reel varible x og antag f er differentialbel samt f(x) 0. Elasticiteten af f mht.x er da defineret ved: El x f(x) = x f(x) f (x) (2.5) En vigtig elasticitet i denne rapport, er elasticiteten af polynomier. Denne kan let bestemmes ved hjælp af definitionen (2.5). Lad f(x) = ax b Da fås f (x) = abx b 1. Elasticiteten af f mht. x er derfor: El x Ax b = x ax b abxb 1 = b (2.6) Bemærk derfor, at elasticiteten af f(x) = x er EL x x = 1

2.1. ELASTISITETER 11 2.1.2 Regneregler for elasticiteter Analogt til regnereglerne for differentiabilitet eksisterer der regneregler for elasticiteter: Elasticiteten af konstante funktioner er 0 (a) El x A = 0 Elasticiteten af et produkt fg er lig summen af elasticiteterne af f og g: (b) El x (fg) = El x f + El x g Elasticiteten af en brøk f g er differensen af elasticiteterne af f og g: (c) El x f g = El xf El x g Elasticiteten af en sum: (d)el x (f + g) = felxf+gelxg f+g Elasticiteten af en differens: (e) El x (f g) = felxf gelxg f g Disse regneregler har nogle konsekvenser. Eksempelvis: El x (Af(x)) = El x f(x) (2.7) El x (A + f(x) = f(x)el xf(x) A + f(x) (2.8) (2.7) siger, at en multiplikativ konstant forsvinder, hvilket er en konsekvens af hhv. (b) og (a). (2.8) følger af (d) og (a) og siger, at additive konstanter forsvinder ikke. 2.1.3 Partielle elasticiteter For en funktion f(x 1, x 2 ), x 1, x 2 R af to variable defineres de partielle elasticiteter af f som følger: Definition: De partielle elasticiteter af z = f(x 1, x 2 ), x 1, x 2 R mht. til x 1 og x 2 er givet ved: El x1 z = x 1 z z El x2 z = x 2 x 1 z z x 2 (2.9) For funktioner af n variable defineres de partielle elasticiteter som følger:

12 KAPITEL 2. ELASTICITETER Definition: For en funktion z = f(x 1, x 2 x n ), x 1, x 2 x n R defineres de partielle elasticiteter af f mht. x i, i = 1, 2,, n: El x iz = x i z z x i i = 1, 2,, n (2.10) 2.2 Homogene og homotetiske funktioner I dette afsnit defineres homogene og homotetiske funktioner af flere variable, som er vigtigt i forbindelse med produktionsfunktionen i denne rapport. For en funktion af n variable defineres homogen funktion i det følgende: Definition: Lad f : R n R være defineret på en mængde D. Lad x = (x 1, x 2,, x n ) D og antag for t > 0 gælder at tx = (tx 1, tx 2,, tx n ) D. D Siges da at være en kegle. Vi kalder f for homogen af grad k hvis: f(tx 1, tx 2,, tx n ) = t k f(x 1, x 2,, x n ), t > 0 (2.11) Endelig er der homotetiske funktioner: Definition: Lad f : R n R være defineret i en kegle K. Så siges f at være homotetisk hvis x, y K, f(x) = f(y), t > 0 f(tx) = f(ty) (2.12) For tilfældet f : R n R betyder det, at hvis f er homotetisk og for to vilkårlige punkter A og B på samme niveau-kurve, så fås f(a) = f(b) og f(ta) = f(tb). Så punkterne ta og tb ligger også på samme niveaukurve, hvilket betyder for dette tilfælde, at en funktion af to variable af homotetisk, hvis alle punkter på en niveau-kurve også ligger på samme niveau kurve, når de multipliceres med et tal t > 0, hvilket sker, når niveau-kurven forskydes. Sætning 2.2.1. Enhver homogen funktion af grad k er homotetisk Bevis for 2.2.1. Antag at f er homogen af grad k og f(x) = f(y) så medfører homogeniteten: f(tx) = t k f(x) = t k f(y) = f(ty)

KAPITEL 3 Økonomisk teori og problemstilling I dette kapitel redegøres først kort for den relevante økonomiske teori omkring en virksomheds produktion. Helt centrale begreber inden for produktionstoeri bliver gennemgået. Herunder det marginale teknologiske substitutionsforhold (RTS) og substitutionselasticiteten af en produktionsfunktion. Herefter opstilles projektets konkrete problemstilling mht. Cobb-Douglas-produktionsfunktion, der fører frem til projektets problemformulering. 3.1 Produktionsteori Dette projekt omhandler som bekendt om optimering af en virksomheds profit. Det første skridt i denne process, er at finde en funktion, der beskriver produktionen. Hertil anvendes følgende definition: Definition 3.1.1. En funktion der relaterer n input til et output i en produktion kaldes en produktionsfunktion og skrives generelt som q = f(k, l, m,... ) (3.1) q angiver den maksimale produktion ved en given kombination af input. I det meste af denne rapport arbejdes der dog kun med en funktion af to inputs, k og l, hhv. kapital og arbejdskraft dvs. q = f(k, l). De partielt aflede af denne funktion har naturligvis en betydning, som defineres i det følgende: Definition 3.1.2. Ved det marginale fysiske produkt mht. et input forstås den ekstra produktion, som én enhed mere af et givet indput medfører, når alle 13

14 KAPITEL 3. ØKONOMISK TEORI OG PROBLEMSTILLING andre inputs holdes konstante. Matematisk formuleres dette sålede: Det marginale fysiske produkt af kapital: Det marginale fysiske produkt af arbejdskraft: MP k = q k = f k MP l = q l = f l For en funktion af to variable består niveau-kurven, af alle de punkter (x 1, x 2 ), hvor f(x 1, x 2 ) = c. I produktionsteorien har niveaukruven et specielt navn: Definition 3.1.3. Ved en isokvant for f(k, l) forstås den kurve i l k-planen, der består af alle de punkter (k, l) der giver samme niveau af output, q 0 kilde:http://en.wikipedia.org/wiki/isoquant Figur 3.1: 3 isokvant-kurver for en produktionsfunktion Tangenthældningen for en isokvant i et vilkårligt punkt er særdeles vigtig. Denne fortæller, hvor meget der må opgives af et af ét input for at få mere af et andet. Denne størrelse defineres således: Definition 3.1.4. Det marginale tekniske substitutionsforhold RTS(l for k) angiver hvor meget kapital der må opgives for én enhed mere arbejdskraft i et vilkårligt punkt (l, k) på isokvanten, når produktionen skal være konstant. Matematisk kan det formuleres således: RTS(l for k) = dk dl (3.2) q=q0

3.1. PRODUKTIONSTEORI 15 Hvis RTS er høj, må man opgive meget kapital for at få en enhed mere arbejdskraft, eller en enhed arbejdskraft kan erstatte meget kapital. Hvis RTS derimod er lav skal der meget arbejdskraft til at erstatte en enhed kapital. Det kan vises, at RT S kan bestemmes som: RTS(l for k) = dk dl q=q0 = MP k MP l (3.3) Det bemærkes heraf, at da forholdet melle de partielt afledede er positiv (produktionen falder ikke med større input), hvilket betyder at RT S er positiv, så må tangenthældningen være negativ, da RT S iflg. definition 3.1.4 har modsat fortegn end tangenten. Pga. af dette, vil ingen virksomhed operere på den del af en isokvant, hvor tangenthældningen er positiv. Dette ville betyde, at hvis man valgte at øge mængden af kapital, skulle man også øge mængden af arbejdskraft for at opretholde den samme produktion, hvilket vil være meningsløst! 3.1.1 Skalaafkast Der er vigtigt at kunne sige, hvordan en produktion vil reagere, hvis alle input multipliceres med en faktor t > 0. Hvis eksempelvis alle input bliver fordoblet, bliver outputtet så også fordoblet, eller bliver det mere eller mindre end fordoblet? Disse spørgsmål besvares med produktionsfunktionens skalaafkast. Definition 3.1.5. Lad q = f(k, l) være en produktionsfunktion. Hvis begge input bliver multipliceret med en positiv konstant, t > 0, så defineres skalaafkast som følger: Effekt på output f(tk, tl) = tf(k, l) = tq f(tk, tl) < tf(k, l) = tq f(tk, tl) > tf(k, l) = tq Skalaafkast Konstant skalaafkast Aftagende skalaafkast Voksende skalaafkast Hvis der er konstant skalaafkast medfører en propotional tilvækst i input en propotional stigning i output med samme faktor t > 0. Eks. hvis både k og l fordobles, fordobles q ligeledes. Afkastet på outputet er i dette tilfælde altså proportionalt med ændringen i input. Anderledes er det, hvis der er aftagende skalaafkast. I dette tilfælde medfører en proportional stigning i input en stigning i output der er mindre end den proportionale stigning i output tq og hvis der er voksende skalaafkast medfører en proportional stigning i input en stigning i output der er større end den proportionale stigning. Lad t 1 < t 2 < t n Dvs. t er voksende og lad q i = f(t j k, t j l) f(t i k, t i l) for j > i og i = 0, 1,, n. Hvad betyder det for for ændringen i outputet q i i hvert af de tre tilfælde når t vokser, hvilket vil sige, når inputene vokser proportionalt? Aftagende skalaafkast: Her er ændringen i output mindre end den proportionale ændring, hvilket betyder, at inputene vokser hurtigere end outputet. Hvis f.eks. begge indput øges med 1%, øges outputet måske kun med 0,8%. Når t vokser fås derfor q 1 > q 2 > > q n

16 KAPITEL 3. ØKONOMISK TEORI OG PROBLEMSTILLING Tilsvarende for hhv. voksende skalaafkast og konstant skalaafkast: q 1 < q 2 < < q n q 1 = q 2 = = q n Ved aftagende skalaafkast fås derfor et afkast der konstant bliver mindre når inputene gøres proportionalt større. Effektiviteten af inputene bliver derfor mindre når inputene bliver større. Med andre ord: det er ikke effektivt i dette tilfælde, at vælge have meget store mængder input. Ved voksende skalaafkast gælder det stik modsattem. Her bliver afkastet hele tiden større, når inputene vokser proportionalt, hvilket altså medfører stigende effektivitet. Ved konstant skalaafkast er effektiviteten konstant. 3.1.2 Substitutionselasticiteten Et andet vigtigt karekteristika for produktionsfunktionen er, hvor nemt et input kan substitueres for et andet. Dvs. hvor nemt er det at ændre på forholdet k/l? Hvis RTS er konstant, kan kombinationen af input vælges frit, da denne ikke influerer på RTS. Omvendt hvis en lille ændring i k/l medfører en stor ændring i RTS, og hvis isokvanten følges fra venstre mod højre, vil RTS aftage så hurtigt, at der skal rigtigt meget arbejdskraft til at erstatte en enhed kapital. I denne situation er substitution svært. Af figur 3.1 bemærkes det, at forholdet k/l er størst længst til venstre på kurven, mens det er aftagende når man bevæger sig mod højre. Ligeledes bemærkes det, at tangenthældningen er størst længst mod højre og bliver mindre mod venstre. Dette betyder også, at RTS er størst mod venstre aftager, når k/l aftager og omvendt. Det betyder, at RTS kan defineres som en funktion af k/l og så kan elasticiteten af k/l mht. RTS defineres, og denne har navnet substitutionselasticiteten og måler den relative ændring i k/l ifh. den relative ændring i RTS: Definition 3.1.6. Substitutionselasticiteten af produktionsfunktionen q = f(k, l) måler den relative ændring i k/l i forhold til den relative ændring i RTS langs isokvanten. Dvs: σ = d(k/l) RT S (3.4) drt S k/l 3.1.3 Omkostninger og profit Den sidste del om økonomisk teori der er nødvendig i forhold til problemstillingen er omkostninger og profit. I det daglige bruges termerne udgifter, udbetalinger, omkostninger, indtægter og indbetalinger i flæng. Der er dog stor forskel i den økonomiske betydning. En udgift binder sig til en aftale. Dvs virksomheden har en udgift, når den f.eks. anskaffer et driftsmiddel. Udbetalingen falder ikke nødvendigvis sammen med udgiften, da udbetalingen først finder sted i det øjeblik, at betalingstransaktionen for driftsmidlet forefalder. Omkostningerne er det vurderede forbrug af resurcer i produktionen. Det kan f.eks. være afskrivninger på driftsmidler. Virksomheden har en indtægt i det

3.2. COBB-DOUGLAS-FUNKTIONEN 17 øjeblik, der er indgået en aftale om salg. Det er således det modsatte af udgiften. Indbetalingen betalingstransaktionen knyttet til indtægten. I det følgende antages det, at inputene er homogen arbejdskraft målt i arbejdstimer og homogen kapital målt i antal maskintimer. Dette betyder, at der er én slags arbejdskraft og én slags maskiner. Herudover antages det, at virksomheden opererer i et perfekt kompetetivt marked. Dvs. at virksomheden kan købe eller sælge arbejdskraft og maskiner ubegrænset til priserne w og v. Det antages også, at virksomheden ikke har indflydelse på prisdannelsen på w og v. Virksomhedens omkostningsfunktion kan nu defineres som følger: Definition 3.1.7. Virksomhedens omkostninger i forbindelse med produktionen kan beskrives ved Totale omkostninger = C = wl + vk (3.5) hvor l og k selvfølgelig er hhv. input at arbejdskraft i for af arbejdstimer, og k er input af kapital i form af maskintimer. Størrelsen w er prisen pr. arbejdstime og v er prisen pr. maskintime. Virksomhedens fortjeneste er selvfølgelig salgsprisen pr. enhed ganget med antal enheder, hvilket vil sige forstjeneste= pq. Profitfunktionen kan nu defineres: Definition 3.1.8. Profiten ved et givent produktionsniveau er givet ved π = total fortjeneste - totale omkostninger = pq (wl + vk) (3.6) 3.2 Cobb-Douglas-funktionen En specifikt defineret og meget anvendt produktionsfunktion er Cobb-Douglasproduktionsfunktionen givet ved: q = f(k, l) = k a l b (3.7) Undersøges homogeniteten af denne produktionsfunktion fås: f(tk, tl) = (tk) a (tl) b = t a k a t b l b = t a+b f(k, l) (3.8) Hvis a + b = 1 fås f(tk, tl) = tq, og i dette tilfælde viser funktionen altså konstant skalaafkast. Hvis a + b < 1 fås at f(tk, tl) = t a+b < tq hvilket betyder aftagende skalaafkast og hvis a + b > 1 fås f(tk, tl) = t a+b > tq og voksende skalaafkast. De partielle elasticiteter af f mht. hhv. k og l er efter reglerne (2.6) og (2.7): El k f = k f f(k, l) k = a og El l f lf = f(k, l) l = b (3.9) Dvs. at hvis k øges med 1% øges outputet med a% og tilsvarende med l. Substitutionselasticiteten beregnes som nævnt også ved elasticiteter. Dog er der her kun tale om en funktion af én variabel. De partielt afledte af f er

18 KAPITEL 3. ØKONOMISK TEORI OG PROBLEMSTILLING MP l = bk a l b 1 MP k = ak a 1 l b Ud fra disse kan RTS udregnes: RT S(l for k) = MP L = bka l b 1 MP K ak a 1 l b = b k a l (3.10) Lad RT S = x og når forholdet (k/l) i (3.10) isoleres fås: k l = a b x (3.11) Nu er forholdet (k/l) en funktion af RTS og substitutionselasticiteten kan nu udregnes. Der gælder (k/l) = RT S = x Dvs. (k/l) er et førstegradspolynonmie og ifølge (2.6) fås det derfor at substitutionselasticiteten for Cobb-Douglasfunktionen er σ = 1. Dette betyder, at substitution er muligt i nogen grad. 3.3 Problemstilling Antag at en virksom har en produktion med to input: l for antal arbejdstimer og k for antal kapitaltimer (maskintimer). Produktionen for denne virksomhed pr. tidsenhed kan beskrives med Cobb-Douglas produktionsfunktionen: q = f(k, l) = k 0,8 l 0,2 (3.12) Virksomheden har omkostninger til lønninger på 150 kr/time og til maskiner til 600 kr/time. Omkostningsfunktionen er derfor: C(k, l) = 600k + 150l (3.13) Virksomheden tjener 400 kr pr. solgt enhed. Profitten pr. tidsenhed beskrives herved som: π(k, l) = 1200q (600k + 150l) (3.14) Der skal findes en optimal produktion og hertil kombination af l og k u.b.b. 600k+150l 8000, hvor altså kræves, at den samlede omkostning pr. tidsenhed maks må være 8000 kr Problemformulering: Hvordan kan optimeringsproblemet løses under de givne betingelser? Hvad er Hessematricen, og hvordan kan denne bruges til klassificering af ekstremumspunkter for funktioner af flere variable?

KAPITEL 4 Patielt afledede og ekstremumundersøgelse I dette kapital gennegåes relevant teori omkring partielle afledede og anvendelsen af disse til bestemmelse af og karakterisering af kristiske punkter for en funktion af flere variable. Herunder bl.a. sammenhængen mellem Hessematricen og dennes egenværdier og ekstremumundersøgelse. Kapitlet er skrevet ud fra [Sydsæter, 2000] og [W ade, 2010]. 4.1 Partielt afledede og ekstrema I dette afsnit behandles partielt aflede af funktioner a flere variable og nogle resultater vedrørende disse. Dog skal middelværdisætningen behandles først, da denne skal bruges at at vise et resultat i det følgende. Sætning 4.1.1 (Middelværdisætningen). Antag at a, b R og a < b. Hvis f er en kontinuert funktion på intervallet [a, b] og differantialble på (a, b) så findes et c (a, b) således at f(b) f(a) = f (c)(b a) Den partielt afledede af f mht. x i er den afledte funktion af f når alle andre variable holdes konstante og kan defineres som følgede: Definition 4.1.1. Den partielt afledede af f : R n R mht til x i R eksisterer hvis og kun hvis nedenstående grænseværdi eksisterer. : f f(x 1,, x i + h,, x n ) f(x 1,, x i,, x n ) = lim x i x 0 h I dette tilfælde siges f at være differentialbel mht. x i. (4.1) 19

20KAPITEL 4. PATIELT AFLEDEDE OG EKSTREMUMUNDERSØGELSE Højereordens partielle afledte funktioner er bestemt iteratativt ud fra de førsteordens partielle afledte. Dette giver en samling funktioner som klacificeres som følgende: Definition 4.1.2. Lad V være en ikke-tom, åben delmængde af R n, lad f:v R m og lad p N (1) f siges at være C p hvis på V hvis og kun hvis hver partiel afledede af orden k p af f eksisterer og er kontinuert på V (2) f siges at være C på V hvis og kun hvis f er C p på V for alle p N Den næste sætning er vigtig i forhold til Hesse-matricen og siger, at de blandede 2.ordens partielt afledede er ens. Sætning 4.1.2. Antag at V er åben i R 2, (a, b) V og at f : V R. Hvis f er C 2 på V og den ene 2.ordens blandede partielle afledede eksisterer, så eksisterer den anden blandede partielt afledede også og desuden gælder at: 2 f y x (a, b) = 2 f (a, b) (4.2) x y Bevis. Antag at f(x, y) er C 2. Da eksisterer begge 2.ordens blandede partielle afledede eksisterer og er kontinuerte i punktet (a, b). Definér: (h, k) = f(a + h, b + k) f(a + h, b) f(a, b + h) + f(a, b) (4.3) For fastholdte b og k defineres funktionen g ved: Ud fra denne funktion fås: g(a) = f(a, b + k) f(a, b) (4.4) g(a + h) g(a) = (h, k) (4.5) Lad g være defineret i intervallet (a, a + h). Ifl. sætning 4.1.1 findes der et c 1 i dette interval således at: g(a + h) g(a) = g (c 1 )h = (f 1 (c 1, b + k) f 1 (c 1, b))h (4.6) Sidenf 1 (c 1, b) er differentialbel, kan middelværdisætningen anvendes igen. Der findes således et d 1 i intervallet (b, b + k) således at: Ud fra resultaterne, og fås at: f 1 (c 1, b + k) f 1 (c 1, b) = f 12 (c 1, d 1 )k (4.7) (h, k) = f 12 (c 1, d 1 )hk (4.8) For funktionen h(y) = f(a + h, b) f(a, b) når a og h fastholdes fås (h, k) = f(b + k) f(b) og ved samme fremgangsmåde som før, fås ved to gange brug af middelværdisætningen: (h, k) = f 21 (c 2, d 2 )hk (4.9)

4.1. PARTIELT AFLEDEDE OG EKSTREMA 21. Ved omskrivning af 4.8 og 4.9 fås: (h, k) hk = f 12 (c 1, d 1 ) og (h, k) hk = f 21 (c 2, d 2 ). (4.10) Med dette fås at: (h, k) = f 12 (c 1, d 1 )hk = f 21 (c 2, d 2 )hk og dermed at f 12 (c 1, d 1 ) = f 21 (c 2, d 2 ) Når h og k begge er små, er intervallerne (a, a + h) og (b, b + k) ligeledes små, hvilket betyder, at både c 1 pg c 2 ligger tæt på a og d 1 og d 2 ligger tæt på b, så når h og k går mod nul går både (c 1, d 1 ) og (c 2, d 2 ) mod (a, b) og derfor fås: lim lim (h, k) = f 12 (a, b) = f 21 (a, b) (4.11) k 0 h 0 hk Derfor er de blandede 2.ordens partielt afledede ens. I beviset for Taylors formel for R n bruges for Taylors formel for funktioner af én variabel, som derfor nævnes i følgende sætning: Sætning 4.1.3 (Taylors formel). Lad n N og lad a, b være udvidede reelle tal, så a < b. Hvis f : (a, b) R, og f (n+1) eksiseterer på intervallet (a, b), så eksisterer der et tal c mellem x og x 0 for alle parvise punkter x, x 0 (a, b) således at: f(x) = f(x 0 ) + n k=1 f (k) (x 0 ) (x x 0 ) + f n+1 (c) k! (n + 1)! (x x 0) n+1 (4.12) For at kunne bruge Taylors formel for R n, skal højere ordens differentialer først defineres. Definition 4.1.3. Lad p 1, lad V være åben i textbfr n, lad a V og lad f : R. Funktionen f siges da at have et p.ordens totaldifferentiale i a hvis og kun hvis de (p 1).ordens partielle afledede af f eksisterer på V i a og er differentialble i a og udtrykket D (p) f(a; h) = n i 1=1 n i p=1 p f x i1 x ip (a)h i1 h ip kaldes det p.-ordens totaldifferentiale af f i a h = (h 1,, h n ) R n (4.13) Her er så versionen af Taylors formel, der gælder på R n : Sætning 4.1.4 (Taylors formel i R n ). Lad p N, Lad V være åben i R n, lad x, a V og antag at f : V R. Hvis det p.ordens totaldifferentiale af f eksisterer på V og linjestykket L(x; a) V, så findes et punkt c L(x; a) således at for h := x a p 1 f(x) = f(a) + k=1 1 k! D(k) f(a; h) + 1 p! D(p) f(c;h) (4.14)

22KAPITEL 4. PATIELT AFLEDEDE OG EKSTREMUMUNDERSØGELSE Bevis. Lad h = x a. Vælg δ > 0 så lille, at a+th V for t I δ := ( δ, 1+δ). Funktionen F (t) = f(a + th) er differentiabel på I δ og ved kædereglen fås F (t) = Df(a; h)(h) = Det kan vises ved induktion at der gælder: F (j) (t) = n i 1=1 for j = 1, 2,, p, og så fås derfor n i j=1 n k=1 f x k (a + th)h k (4.15) (j)f x i1 x ij h i1 h ij (4.16) f (j) (0) = D (j) f(a; h) og f (j) (1) = D (p) f(a + th; h) (4.17) for j = 1,, p 1 og t I δ. Da differentialerne af orden k p eksisterer jf. 4.17 har den reelle funktion F p.-ordens partielt afledede overalt på I δ [0, 1]. Ved 4.17 og Taylors formel for R derfor fås: f(x) f(a) = F (1) F (0)) = = p 1 j=1 p 1 j=1 1 j! F (j) (0) + 1 p! F (p) (t) 1 j! D(j) f(a; h) + 1 p! D(p) f(a + th; h) for et t (0, 1). Lad c = a + th og sætningen er dermed bevist. Sætning 4.1.5. 1 Lad V R n være åben, f C 3 (V[ ; R), a] V og f = 0. Lad λ 1, λ 2,, λ n være egenværdierne for Hf(a) = 2 f x j x i (1) Hvis λ j > 0 for j = 1, 2, n, så er f(a) et lokalt minimum (2) λ j < 0 for j = 1, 2, n så er f(a) et lokalt maksimum (3) Hvis der findes et λ i1 > 0 og et λ i2 < 0 så er f(a) et saddelpunkt 1 Trench, 2011

KAPITEL 5 Problemløsning I dette kapitel løses selve projektets problem, som er π(k, l) = 1200k 0,8 l 0,2 600k 150l (5.1) under den bibetingelse, at budgetbegrænsningnen for omkostningerne skal være overholdt. Dvs. der skal gælde at 600k 150l 8000 Objektfunktionen er af typen: og det brugbare område afgrænses af f(x, y) = Ax α y 1 α (bx + cy) (5.2) D = { (x, y) R 2, x 0, y 0, bx + cy d } (5.3) For obejktfunktionen bestemmes de partielt afledede og disse sættes lig 0 for at opfylde kriteriet for indre kritiske punkter. Dvs. der skal gælde ar (x, y) er et kritisk punkt, y > 0, x > 0 og bx + cy < d Mht. x fås: f x = Aαxα 1 y 1 α b = 0 ( y ) 1 α b = x Aα ( y x = b ) 1 1 α Aα 23

24 KAPITEL 5. PROBLEMLØSNING og mht til y fås: ( x y = c A(a α) f y = A(α 1)xα y α c = 0 ( ) α x c = y A(1 α) ) 1 α y x = ( ) 1 α A(1 α) c For at f har indre kritisk(e) punkt(er) skal begge partielt afledede være nul. Dette er pga. ovenstående udregninger det samme som at der skal gælde: ( y x = b Aα ( ) 1 1 α = ) 1 α A(1 α) c (5.4) Er dette opfyldt, findes der mindst én løsning til ligningssystemet af de to ( partielt afledede. Sæt A(1 α) c ) 1 α = T. Af (5.4) fremgår det derfor, at en ydeligere betingelse for kristiske punkter er, at y = xt. Substitueres dette ind i (5.2) fås værdierne af de kritiske indre punkter for f. Ved substitution fås derfor: g(x) = f(x, xt ) = Ax α (xt ) 1 α bx cxt = (AT 1 α b ct )x (5.5) Da kriteriet for indre kritiske punkter er givet ved (5.4) medfører dette at (AT 1 α b ct ) = 0 så g(x) = 0 for alle x. Derfor er g en konstant funktion, og der findes ikke noget indre kritisk punkt, der er et maksimum. Et globalt maksimum inden for begrænsningen kan ligge på én af koordinatakserne eller på linjestykket med ligningen bx + cy = d (5.6) Hvis x = 0 fås af (5) at cy = d y = d c. Dvs at der for y skal gælde 0 y d c. Det bemærkes at f(0, y) = cy 0, så den største værdi f kan antage er 0. Tilsvarende når y = 0 fås at bx = d x = d b her er 0 den største værdi f kan antage. f(x, 0) = bx 0, så også Tilbage er at undersøge for maksimum på bugdetbegrænsningen, dvs. søge maksimum på liniestykket mellem punkterne d c og d b. Dette liniestykke er vist i figur 5.1 Fra fås at y = d bx c og 0 x d b. Nu defineres en funktion af x, nemlig h(x): ( h(x) = f(x, d bx ) = Ax α c ) 1 α d bx d (5.7) c

25 For at finde et maksimum for denne funktion skal ligningen h (x) = 0 løses. Først differentieres h og ved brug af produkt- og kæderegel fås: h (x) = A [ αx α 1 c 1 α (d bx) 1 α + x α (1 α)(d bx) α ( b) ] (5.8) = A [ (d bx)1 α α d bx ] b(1 α) = 0 (5.9) c1 α x Hvis d bx = 0 fås at x = d b hvilket medfører y = 0. Dette punkt ligger ikke på linjestykket, og er ikke en brugbar løsning i dette tilfælde, da en løsning skal ligge på selve linjestykket. Derfor skal [ α d bx x b(1 α) ] = 0 være opfyldt. Ved at løse denne ligning fås: α d bx x = b (1 α) αd αbx = bx bαx x c = αd b Den kritiske x-værdi på linjestykket er dermed x c = αd b. Indsættes dette i h(x) fås den kritiske funktionsværdi af h: ( ) α ( ) 1 α αd d αd h(x c ) = A d (5.10) b c = A αα d α d 1 α ((1 α) 1 α ) b α c 1 α d (5.11) ( α α A(1 α) 1 α ) = d b α c 1 α 1 (5.12) Formlen 5.12 er formlen for den den maksimale x-værdi i maksimumpunktet. Til at verificere, at x er en maksimumværdi bruges h (x). Ved brug af produktog kædereglen fås: h (x) = A c 1 α [ α [ (α 1)x α 2 (d bx) α 1 + x α 1 (α 1)/(d bx) α]] +( b)(1 α) [ αx α 1 (d bx) α + x α ( α)(d bx) α 1 ( b) ] I det konkrete tilfælde er α = 0, 8, (α 1) = 0, 2, x = k, y = l, b = 600, c = 150, d = 8000 og A = 1200. Under disse forudsætninger fås den kritiske k-værdi til at være k c = 0,8 8000 600 = 10, 67 Ovenfor blev y sat til y = d bx c så den kritiske l-værdi til at være l c = 8000 600 10,67 150 ( = 10, 67. Den ) maksimale funktionsværdi er ifl. 5.12 h(10, 67) = 8000 0,8 0,8 1200(0,2) 0,2 0,2 0,2 600 1 = 4800, hvilket er den 0,2 maksimale profit under de givne betingelser.fortolkningen er, at virksomheden pr. tidsenhed generer et overskud på 4800kr. For at verificere at h(10, 67) er et maksimum, bruges h (x) Lavpraktisk er h differentieret to gangen på lommeregneren og x = 10, 67 sat ind. Herved blev resultatet h(10, 67) = 150. Da h (10, 67) < 0 er det et maksimum.

26 KAPITEL 5. PROBLEMLØSNING Figur 5.1: linien med ligning bx+cy=d

KAPITEL 6 Konklusion En produktionsfunktion relaterer flere inputs til ét output. Et eksempel på en konkret produktionsfunktion er Cobb-Douglas-funktionen. Niveaukurverne for produktionsfunktionen kaldes isokvanter og består af alle kombinationer af de to inputs k og l, der giver samme produktionsniveau. Det marginale teknologiske substitutionsforhold (RTS) fortæller, hvor meget der må opgives af ét input for at få mere af noget andet uden af produktionsniveauet ændres. Ud fra RTS kan subsitutionselasticiteten udledes. Denne angiver, hvor nemt det er at udskifte et input for et andet. Elasticiteter angiver de relative ændring for en funktion modsat den afledede der angiver den absolutte ændring. En produktionsfunktion kan udvise aftagende, konstant eller voksende skalaafkast. Dette er et mål for, hvad der sker med effektivteten, når begge input forøges med samme faktor. Hesse-matricen er en matrix, der beståer af de partielt afledede i et givent kritisk punkt for en funktion. Hvis denne matrix har positive egenværdier er punktet a et lokalt minimum, er de negative er det et maksimum og er de blandede mellem positive og negative er det et saddelpunkt. Beviset for dette er dog udeladt i denne rapport. Det konkrete problem der blev opstillet og skulle løses viste sig ikke at have nogen kritiske indre punkter. Derimod lå den maksimale værdi objektfunktionen kunne antage på den afgrænsende linje. Den maksimale værdi viste sig at være 4800 kr/pr tidsenhed. Dette betyder at der opnåes en fortjeneste på kr/pr tidsenhed i virksomheden. I modellen er der ikke taget højde for andre omkostninger end til maskiner og arbejdskraft, og det kan derfor ikke vurderes, om den fundne maksimale profit er tilstrækkelig til et årligt overskud. 27

Litteratur Bøger [1] Sydsæter, K., Matematisk anayse - bind 1, Gyldendal Akademisk, 7.udgave, Oslo, 2000 [2] Nicholson, W., Microeconomic Theory - Basic Principles and Extensions, Thomson-South-Western, 9.udgave, Ohio, 2005 [3] Wade, W.R, An Introduction to Analysis, Pearson, 4.udgave, New Jersey, 2010 [4] Trench, W.F, Introdution to Real Analysis, Free Edition 1.06, 2011 29