Løsningsvejledning til eksamenssæt fra januar 2008 udarbejdet af René Aagaard Larsen i Maple Opgave 1 1a - Parallelle linjer En linje l går gennem punktet og er parallel med linjen m der er givet ved: Linjen l må have samme hældningskoeffecient som m. Dette indsættes sammen med punktet A i linjens ligning for først at bestemme q: Ligningen for linjen l bliver da: 1b - Eksponentiel vækstfunktion En funktion er givet ved regneforskriften. Vi får opgivet følgende: Begge koordinatsæt indsættes i hver sin regneforskrift: b isoleres i den første og udtrykket for denne indsættes i den anden regneforskrift:
Værdien for a indsættes i den ene af regneforskrifterne for at beregne værdien for b: Vi får da regneforskriften: 1c - Andengradsligning Vi får opgivet en andengradsligning, hvor c er en konstant: Vi skal bestemme konstanten c så ligningen har netop en løsning. Vi ved at der er netop én løsning hvis diskriminanten er nul: 1d - Ulighed Vi får opgivet to funktioner: Vi skal løse udligheden:
Ovenstående er en andengradsulighed. Vi bestemmer andengradsulighedens rødder med det formål at faktorisere den: Vi faktoriserer udtrykket: Vi ved at hvis den ene, og kun den ene, faktor er negativ vil det samlede udtryk blive negativt. Den første faktor kan aldrig blive negativ. Grafen for f ligger ltså under grafen for g i intervallet: 1e - Tangent Vi får opgivet en funktion med regneforskriften: Vi skal bestemme ligningen for tangenten til grafen i punktet tangentligningen med den ønskede x-værdi:. Først opstilles Vi beregner funktionsværdien :
Vi bestemmer den første afledede af f, da denne er et udtryk for hældningskoeffecienten i et givent punkt: Hernæst beregner vi hældningskoeffecienten i punktet : Ovenstående indsættes i tangentlignignen: 1f - Den første afledede En funktion f er givet ved regneforskriften: Den første afledede bestemmes ved hjælp af kædereglen for sammensatte funktioner: Hernæst skal vi løse ligningen:
Vi kan nu løse den som en almindelig andengradsligning ved at bestemme diskriminanten: Vi får da løsningsmængden: (1.6.1) 1g - Parallelle tangenter En funktion f er givet ved forskriften: Grafen for f har to tangenter der er parallelle med linjen med ligningen beregne koordinatsættet til hvert af disse berøringspunkter.. Vi skal Vi bestemmer den første afledede af f: Da den første afledede er et udtryk for hældningskoeffecienten skal denne sættes lig hældningskoeffecienten i den linje tangenterne skal være parallelle med: Vi løser udtrykket som en andengradsligning ved først at bestemme diskriminanten: (1.7.1)
Vi har nu fundet x-koordinaterne til berøringspunkterne for tangenterne med hældningskoeffecienten 2. Disse indsættes i regneforskriften for f for at bestemme de tilhørende y-koordinater: 1h - Monotoniforhold Om en funktion f oplyses: Vi skitserer dette i GeoGebra: Vi ser at regneforskriften er en faktoriseret forskrift for et andengradspolynomium, som har rødderne: Hernæst bestemmes fortegnsvariationen for den første afledede, ved at beregne en værdi i hvert interval:
0 Fortegnsvariation Vi ser altså at funktionens monotoniforhold må være som følger: 0 Lok. maks. Lok. min. Monotoniforhold Funktionen er altså aftagende i intervallet: Og funktionen er voksende i intervallerne: Opgave 2 I en firkant ABCD får vi opgivet følgende: Vi skitserer firkanten i GeoGebra:
2a - Diagonalen BD Diagnoalen BD kan beregnes ved hjælp af cosinusrelationen i trekant ABD: Diagonalen BD er altså 5.10. 5.10 (2.1.1) 2b - Vinklerne B, C og D Vinkel C kan i trekant BCD beregnes ved hjælp af cosinusrelationen: 45.40 (2.2.1) Ligeledes kan vinkel B beregnes. Først i trekant ABD. Dernæst i trekant BCD. Summen af disse må udgøre den samlede vinkel B: 65.35 (2.2.2) 77.72 (2.2.3)
143.08 Vinkel D kan nu beregnes ved hjælp af vinkelsummen i et firkant: 103.53 (2.2.4) (2.2.5) Vores vinkler har altså følgende størrelser: 2c - CH Længden CH, som udgør vinkelhalveringslinjen i trekant BCD, beregnes. Da CH er en vinkelhalveringslinje kan vi bestemme hvor stor en del af vinkel C som tilhører trekant BCH: 22.70 Udfra vinkelsummen i en trekant kan vi beregne vinkel H i trekanten BCH: (2.3.1) 79.58 Da vi kender vinkel H samt den overforliggende side og vinkel B som er vinklen overfor halveringslinjen, kan sidstnævnte beregnes ved hjælp af sinusrelationen: (2.3.2) CH er altså 5.86. 5.86 (2.3.3) 2d - Areal BCH Arealet af trekant BCH kan beregnes på normalvis som arealet af en vilkårlig trekant: Arealet af trekant BCH er altså 6.78. 6.78 (2.4.1) Opgave 3 Vi får opgivet funktionen f med regneforskriften:
3a - Da vi ikke må dividere med nul kan vi bestemme hvilke værdier x ikke må antage: Vi får altså definitionsmængden: (3.1.1) Den første afledede bestemmes udfra vores regneregel om division: Vi har følgende: Dette indsættes i vores generelle regneregel: 3b - Monotoniintervaller Vi beregner skæringspunkterne med x-aksen for den første afledede af f ved at sætte den lig nul: Vi ved at brøken er nul hvis tælleren er nul, så vi får derved en almindelig andengradsligning:
Da 1 ikke er med i definitionsmængden kasseres denne. Hernæst bestemmes fortegnsvariationen for den første afledede, ved at beregne en værdi i hvert interval: Fortegnsvariation (3.2.1) 4 (3.2.2) (3.2.3) Vi ser altså at funktionens monotoniforhold må være som følger: Min. Monotoniforhold Funktionen er altså aftagende i intervallerne: Og funktionen er voksende i intervallet: 3c - Vmf For at bestemme værdimængden undersøger vi relevante grænseværdier. I dette tilfælde -1 og 1. (3.3.1)
(3.3.2) (3.3.3) (3.3.4) Herefter undersøger vi fortegnsvariationen for f ved først at bestemme skæringspunkter med x- aksen: Fortegnsvariation undersøges: 0 (3.3.5) Fortegnsvariation (3.3.6) 8 8 (3.3.7) (3.3.8) Vi ser på vores grænseværdier at vi har minimum i, hvor grafen selvfølgelig er faldende før og stigende efter, som det også ses under monotoniintervaller i opgaven ovenover. Vi ser også at ved går mod uendelig. Efter er grafen faldende, men vi ser dog på fortegnsvariationen for f, at den aldrig bliver negativ. er altså ikke kun lokalt minimum, men også globalt minimum. Vi får derfor: 3d - Vi skal løse ligningen :
Vi ved at brøken er nul hvis tælleren er nul. Vi kan derfor løse udtrykket som en andengradsligning: (3.4.1) Vi får altså løsningsmængden: (3.4.2)