9 Geodætiske kurver og Gauss-krumning

9 Geodætiske kurver og Guss-krumning 9. Deinition f geodætiske kurver En ret linie i plnen fr punktet p til punktet q hr den egenskb t enhver nden kurve fr p til q hr kurvelængde som er mindst p q. Et stykke f en storcirkel på S 2 er en ret linie eller en geodæt. Hvis p og q er to punkter på S 2, så er der mindst to storcirkelbuer som forbinder p og q. Vi ønsker t klde dem lle for geodæter. Ligeledes vil vi klde kurverne, som strter i p og gennemløber storcirklen der indeholder de to punkter N gnge og derefter følger storcirklen til q, for en geodætisk kurve. Hvis p q er der netop to storcirkelbuer der forbinder p og q. Ld γ 0 være den korteste og γ den nden. Mn kn vise, t længden Lγ 0 er minimum for buelængde blndt lle kurver som forbinder p og q. For Lγ er situtionen mere kompliceret. Der findes kurver σ som forbinder p og q med Lσ < Lγ og der findes kurver med Lσ > Lγ : γ er en ekstremlkurve blndt kurver mellem p og q m.h.t. buelængde, men hverken et minimum eller et mksimum. Dette motiverer nedenstående definition f geodætiske kurver på en regulær flde. En kurve γ : [, b] S kldes differentibel hvis den kn udvides til en differentibel kurve på et åbent intervl δ, b + δ som indeholder [, b]. En vrition f γ, eller en fmilie f kurver som indeholder γ, er en differentibel funktion som opfylder ˆγ : ε, ε δ, b + δ S i ˆγ0, t = γt for t [, b], og ii ˆγϑ, = γ og ˆγϑ, b = γb for lle ϑ ε, ε. Mn skriver ofte γ ϑ t = ˆγϑ, t. Vi husker t længden f γ ϑ er givet ved Lγ ϑ = b γ ϑt dt, hvor γ ϑ = d dt γ ϑ. Vi vil i første omgng kun betrgte kurver γt som forløber indenfor en kortomegn xu S. Så vil vritionerne ˆγϑ, t også forløbe i xu når blot ε er tilstrækkelig lille. Definition 9.. En differentibel kurve γ : [, b] S, som forløber i en kortomegn, kldes en geodæt, hvis for lle vritioner γ ϑ. d dϑ Lγ ϑ = 0 og γ t = c > 0 ϑ=0 Denne definition udtrykker t længden f γ er ekstreml blndt små vritioner f γ, men ikke t længden f γ er miniml blndt lle kurver som forbinder γ med γb. Bemærk, t vi i definition 9. ikke forudsætter, t γ er prmetriseret ved

buelængde, men blot t γ t hr konstnt længde c > 0. Kurven αs = γs/c er den tilsvrende kurve, som er prmetriseret ved buelængde. Vi ntger nu, t hele fmilien γ ϑ er indeholdt i et kort U, x. Ld ˆγϑ, t = xûϑ, t, ˆvϑ, t, og sæt ut, vt = û0, t, ˆv0, t, så t γt = xut, vt. Det viser sig, t betingelsen i Definition 9. er ækvivlent til, t ut, vt opfylder en 2. ordens differentilligning. Vi bestemmer denne differentilligning i Sætning 9.3 nedenfor. Ld Rϑ, t = γ ϑt 2 = E û t 2 û ˆv ˆv 2, + 2F t t + G t hvor E, F og G er koefficienterne i første fundmentlform, og E = Eûϑ, t, ˆvϑ, t etc. Så hr vi R û 2 ϑ = û ˆv ˆv 2 û E u + 2Fu t t t + G u t ϑ û 2 û ˆv ˆv 2 ˆv + E v + 2Fv t t t + G v 2 t ϑ + 2 E û t + F ˆv 2û t ϑ t + 2 F û t + G ˆv 2ˆv t ϑ t. D hr vi Lγ ϑ = ϑ Lγ ϑ = 2 ϑ=0 b b Rϑ, t dt, R R0, t 0, t dt 3 ϑ Nu ntog vi i definition 9., t γ t = c men ikke tilsvrende for γ ϑ og derfor, t R0, t = c 2 for lle t. Prtiel integrtion giver b E û = t + F ˆv t b d dt 2û t ϑ dt E û t + F ˆv t û [ ϑ dt + E û t + F ˆv û ] b. t ϑ t= Sidste led er 0, d både ûϑ, og ûϑ, b er konstnte. Vi indsætter 2 i 3 og får ϑ Lγ ϑ = b P t û ˆv 0, t + Qt ϑ=0 c ϑ ϑ 0, t dt. 4 Her er P t = Eu u 2 + 2F 2 u u v + G u v 2 Eu + F v, t Qt = Ev u 2 + 2F 2 v u v + G v v 2 F u + Gv, t 5 og E u = E u ut, vt etc., u t = du dt t og v t = dv dt t. 2

Lemm 9.2. Hvis integrlet i 4 er nul for enhver vrition γ ϑ f γ, så er P = 0 og Q = 0. Bevis. Antg modsætningsvist t P t 0 0, ld os sige P t 0 > 0. Så er P t > 2 P t 0 for t tæt ved t 0, ld os sige for t t 0 δ, t 0 + δ. Vælg en differentibel funktion ϕ: [, b] R med ϕt 0 = og ϕt = 0 hvis t t 0 δ. Vi betrgter vritionen Integrludtrykket 4 bliver b ûϑ, t = ut + ϑϕt, ˆvϑ, t = vt. t0 +δ P tϕt dt P t 2 0 ϕt dt > 0 t 0 δ i modstrid med ntgelsen. Tilsvrende vises t Q = 0. 9.2 Differentilligningerne og geodætisk krumning Sætning 9.3. Kurven γt = xut, vt er en geodæt, hvis og kun hvis γt ikke er konstnt og ut, vt opfylder differentilligningerne d Eu dt + F v = Eu u 2 + 2F 2 u u v + G u v 2, d F u dt + Gv = Ev u 2 + 2F 2 v u v + G v v 2. 6 Bevis. Differentilligningerne 6 udtrykker, t P t = 0 og Qt = 0, så de gælder for en geodæt. Hvis på den nden side 6 er opfyldt, så skl vi se i beviset for sætning 9.4 nedenfor, t γ t, γ t = 0. Det følger, t d dt γ t, γ t = 0 og derfor t γ t = c for lle t. Vi må hve c > 0, d vi hr forudst, t γt ikke er den konstnte kurve. Det følger fr 3 og 4, t er opfyldt. Sætning 9.4. Ld γ være en ikke konstnt kurve i xu S. Så er γ en geodæt, hvis og kun hvis γ t er ortogonl til T γt S for lle t. Bevis. Inden for et kort U, x er γt = xut, vt, og γ = u x u + v x v. Derfor er γ t T γt S præcis hvis d dt u x u + v x v, x u = 0, og d dt u x u + v x v, x v = 0. 3

Men d dt u x u + v x v, x u = d u x u + v x v, x u u x u + v x v, d dt dt x u = d u E + v F u x u + v x v, u x uu + v x uv dt = d u E + v F dt u 2 x u, x uu + u v x u, x uv + x v, x uu + v 2 x v, x uv = d dt u E + v F 2 Eu u 2 + 2F u u v + G u v 2, hvor det sidste lighedstegn fås ved t nvende ligningerne 2 fr do Crmo, side 232. Tilsvrende udregnes d u dt x u + v x v, xv = dt d F u + Gv 2 Ev u 2 + 2F v u v + G v v 2. Hvis på den nden side γ t T γt S, så er specielt γ t, γ t = 0, og det følger, t γ t er konstnt. Differentilligningerne i Sætning 9.3 kn omskrives til Eu + F v + 2 E uu 2 + E v u v + F v 2 G uv 2 = 0 F u + Gv + F u 2 E vu 2 + G u u v + 2 G vv 2 = 0 7 ved t udføre differentitionerne d Eu + F v og dt d Gu + F v. dt Vi kn nu omskrive 7 ved t indføre Christoffel-symbolerne fr 2 i do Crmo, side 232. Dette giver i mtrixform E F u F G v Γ + Γ Γ 2 u 2 + 2 2 Γ Γ 2 u v + 22 2 Γ 2 v 2 = 0 22 og vi kn multiplicere med den inverse mtrix og får følgende korollr. Korollr 9.5. Kurven γt = xut, vt er en geodæt, hvis og kun hvis u, v opfylder differentilligningerne u + Γ u 2 + 2Γ 2u v + Γ 22v 2 = 0, og v + Γ 2 u 2 + 2Γ 2 2u v + Γ 2 22v 2 = 0. Sætning 9.6. Ld p S og w T p S med w > 0. Så findes et ε > 0 og en entydig bestemt geodæt γ : ε, ε S med γ0 = p og γ 0 = w. 4

Bevis. Vi vælger et kort U, x med p xu, og søger en geodæt γt = xut, vt, eller ifølge ovenstående, en kurve ut, vt i U, som opfylder u0, v0 = x p og u 0x u + v 0x v = w, 8 og som er en løsning til differentilligningen u Γ + u 2 + 2 v Γ 2 Γ 2 Γ 2 2 u v + Γ 22 Γ 2 22 v 2 = 0 Det følger fr Sætning 3.3 i Noter til Geometri, t der findes netop en løsning ut, vt til denne differentilligning som, også opfylder 8. Med nottionen fr Sætning 3.3 er V = U, og Γ gx, y, t = y 2 + 2 Γ 2 Γ 2 Γ 2 2 hvor y = y, y 2, x = x, x 2 og Γ k ij = Γ k ijx, x 2. y y 2 + Γ 22 Γ 2 22 y 2 2, Eksempel 9.7 Geodætiske kurver på cylinderen. Cylinderen S kn prmetriseres ved xu, v = cos u, sin u, v. En let udregning giver x u = sin u, cos u, 0, x v = 0, 0,, N = cos u, sin u, 0. De dobbelt fledede er x uu = cos u, sin u, 0, x uv = 0, 0, 0, x vv = 0, 0, 0. Christoffel symbolerne, defineret i formel på side 232 i do Crmo udregnes let: Γ k ij = 0, L, L 2, L 3 =, 0, 0. Differentilligningen for en geodæt ut, vt bliver derfor u t = 0, v t = 0 med løsninger ut, vt = t + 0, bt + b 0,, b 0, 0. Geodæterne γt på S, som opfylder γ0 =, 0, 0 og γ 0 = er ifølge Sætning 9.6 givet ved formlen γt = cos t, sin t, bt, 2 + b 2 =. For = 0 fås linien prllel med z-ksen, for b = 0 cirklen i xy-plnen, og resten f geodæterne er skruelinier helix, dvs. kurver med konstnt krumning og torsion se opgve.5.. 5

Vi husker fr 3 2 f do Crmo, t hvis α er en kurve i S som er prmetriseret ved buelængde α s =, så er dens normlkrumning k n s projektionen f α s = ksns på Ns = Nαs, hvor N : S S 2 er en Guss-fbildning: k n s = α s, Ns = II αs α s. Vi kn også projicere α s på T αs S. I T αs S kn vi bruge {α s, Ns α s} som ortonormlbsis. D α s, α s = 0, er projektionen f α s på T αs S proportionl med Ns α s. Definition 9.8. Den geodætiske krumning f αs er k g s = α s, Ns α s αs. D α s ligger i plnen udspændt f Ns og Ns α s, og d k n s og k g s er projektionerne på de to kser, giver Pythgors, ks 2 = k n s 2 + k g s 2. 9 Bemærk t α er en geodæt præcis hvis k g = 0, og t krumningen ks = α s i dette tilfælde er den numeriske værdi f k n s. Thi k g s = 0 medfører, t α s er ortogonl på tngentplnen. Det er ikke umiddelbrt oplgt fr definition 9., t hvis γ : [, b] S er en geodæt, så gælder det smme for restriktionen f γ til ethvert delintervl f [, b]. Men dette følger fr ovenstående, som viser: αs er en geodæt prmetriseret ved buelængde, hvis og kun hvis k g s = 0. 0 Vi fslutter med t nævne et pr sætninger om geodætiske kurver, som vi dog ikke skl bevise. Det første resultt fortæller, t geodæter er loklt længdeminimliserende, dvs. Sætning 9.9. Ld p S. Der findes en omegn U f p, som hr følgende egenskb. Ld γ : [, b] U være en geodæt med γ = p, og ld β : [, t 0 ] S være en kurve med β = γ og βt 0 = γt 0. Så er t0 γ t dt t0 β t dt. Bevis kn findes i do Crmo, side 293. En delmængde W S kldes geodætisk konveks, hvis to vilkårlige punkter p, q W kn forbindes med en miniml geodætisk kurve. Sætning 9.0. Ld p S, og ld U være en vilkårlig omegn f p. Så findes en geodætisk konveks omegn W med p W U. Bevis kn findes i do Crmo, side 305. Hidtil hr vi kun betrgtet geodætiske kurver loklt, men vi kn bruge 0 til t udvide begrebet. 6

Definition 9.. En kurve γ : [, b] S kldes en geodæt hvis γ t = c > 0 for lle t, og hvis den geodætiske krumning f den reprmetriserede kurve γ s er nul c for lle s [c, bc]. Sætning 9.6 fortæller os, t geodæter eksisterer for t i et lille intervl ε, ε. Dette motiverer følgende definition. En flde S kldes komplet, hvis der for ethvert p S gælder, t en geodæt γ : [0, ε S med γ0 = p kn udvides til en geodæt γ : R S. Sætning 9.2 Hopf-Rinow. Ld S være en komplet smmenhængende flde. Til to vilkårlige punkter p, q S findes der en miniml geodæt, som forbinder dem. Bevis kn findes i do Crmo, side 333 334. Endelig bemærker vi, t enhver kompkt flde er komplet. 9.3 Vinkelvrition og geodætiske treknter Denne prgrf indeholder et nyt bevis for, t Guss-krumningen kun fhænger f første fundmentlform. Vi vil betrgte geodætiske treknter indeholdt i en orienteret flde S. Hovedresulttet er følgende formel for Guss-krumningen: Kp = lim T p AreT ψ 0 + ψ + ψ 2 π, hvor T gennemløber geodætiske treknter, som indeholder punktet p, og hvor ψ 0, ψ og ψ 2 er de indre vinkler. D både rel og vinkler kn beregnes fr første fundmentlform, giver et nyt og mere konkret bevis for Theorem Egregium. I resten f denne prgrf er S en orienteret flde og N : S S 2 er den tilhørende Guss-fbildning. Vi skl udelukkende betrgte kort U, x på S med den egenskb, t første fundmentlform er på formen I p u x u + v x v = Eu 2 + Gv 2, dvs. kort, hvor F = 0. For sådnne kort er e = x u / x u og e 2 = x v / x v en ortonormlbsis for T p S. Vi klder dem ortogonle kort. Mn kn vise, t ethvert p S er indeholdt i et ortogonlt kort. Ld αs = xus, vs være en kurve på S indeholdt i U = xu og prmetriseret ved buelængde. Så er α s = u sx u + v sx v = se + bse 2 2 f længde. D e = x u / x u og e 2 = x v / x v er en ortonormlbsis, er Lemm 9.3. Kurven ϕs = ϕ 0 + s 2 + bs 2 =. s s 0 sb s bs s ds 7

opfylder cos ϕs = s og sin ϕs = bs såfremt cos ϕ 0 = s 0 og sin ϕs 0 = bs 0. Bevis. Vi skl godtgøre, t e iϕs = s + ibs. 3 Vi differentierer ligning 3 og multiplicerer resulttet med e iϕs ; det giver iϕ s = s + ib ss ibs = ib ss sbs + ss + b sbs = ib ss sbs. Thi ved differentition f ligningen s 2 + bs 2 = ses, t ss + b sbs = 0. Det følger, t ϕs = ϕ 0 + s s 0 b b ds. Omvendt, ld ϕ være defineret ved ovenstående integrl med ϕ 0 vlgt, så t Så giver ovenstående udregninger, t s 0 = cos ϕ 0 og bs 0 = sin ϕ 0. d ds eiϕs = s + ib s og dermed e iϕs = s + ibs + c 0, hvor c 0 er en konstnt. Sæt s = s 0 for t se, t c 0 = 0. Funktionen ϕs kldes vinkelvritionen for kurven αs. Den måler vinklen mellem e = x u / x u og α s i tngentrummet T αs S. Bemærk dog, t selvom 0 ϕ 0 π, så behøver ϕs ikke t ligge i dette intervl: ϕs måler vinklen mellem e og α s op til et helt multiplum f 2π. I 9.2 indførte vi den geodætiske krumning k g for en kurve α, og så t k g s = 0 for en geodætisk kurve, som er prmetriseret ved buelængde. Lemm 9.4. I et orienteret ortogonlt kort er den geodætiske krumning for kurven αs = xus, vs givet ved formlen k g s = 2 EG dv G u ds E du v + dϕ ds ds, hvor Es = Eus, vs og Gs = Gus, vs, og hvor ϕ er vinkelvritionen f α. 8

Bevis. Den geodætiske krumning lngs α er givet ved k g s = α s, Ns α s, hvor Ns = Nαs. Ld e i s = e i us, vs for i =, 2, hvor som ovenfor e = x u E, e 2 = x v G. Som i lemm 9.3 hr vi ligningen og derfor α s = cos ϕs e s + sin ϕs e 2 s, α s = ϕ sin ϕ e + ϕ cos ϕ e 2 + cos ϕ e + sin ϕ e 2 D U, x er et orienteret kort, er e e 2 = N, og dermed er N e = e 2 og N e 2 = e, så Ns α s = cos ϕ e 2 sin ϕ e. D {e, e 2 } er en ortonormlbsis ses ved differentition f e i, e j = δ ij, t En lille udregning giver så e, e = 0, e 2, e 2 = 0, e, e 2 + e, e 2 = 0. α s, Ns α s = ϕ s + e s, e 2 s. På den nden side er d e s, e 2 s = ds e us, vs, e 2 s = u e u + v e v, e 2 = Gu v E v u. 2 EG EG Det sidste lighedstegn bruger, t F = 0 og differentition f x u, x v = 0 m.h.t. u, som giver, t x uu, x v = x u, x vu = x u, x uv = 2 E v. Det følger, t e u, e 2 = xu E u, x v = E v. G 2 EG Vi hr brugt, t x u E /2 u = x uu E /2 + x u E /2 u og t x u, x v = 0. Tilsvrende vises G u e v, e 2 =. 2 EG Dette godtgør formlen, og beviset er færdigt. 9

9.4 Integrtion f Guss-krumning over treknter En simpel lukket kurve i S er en kontinuert kurve γ : [, b] S med γ = γb og således, t restriktionen f γ til det hlvåbne intervl [, b er injektiv. En simpel lukket kurve kldes stykkevist differentibel, hvis der er en inddeling = s 0 < s < < s k+ = b således, t restriktionen γ i f γ til intervllet [s i, s i+ ] er differentibel. Vi ntger endvidere, t γ i er prmetriseret ved buelængde således, t γ is =. Vi minder om, t en bsis {v, v 2 } i T p S kldes positiv, såfremt v v 2 / v v 2 = Np og negtiv, hvis v v 2 / v v 2 = Np. Definition 9.5. Den orienterede vinkel mellem to vektorer v, v 2 T p S er tllet π < ϑ < π bestemt ved i ii cos ϑ = v, v 2 / v v 2, og ϑ > 0, hvis og kun hvis {v, v 2 } er en positiv bsis. Den orienterede vinkel vil blive betegnet med v, v 2. Ld os betrgte en treknt T S, som er indeholdt i kortområdet U = xu. Det betyder, t rndkurven γ er en simpel lukket kurve, som er stykkevist differentibel med = s 0 < s < s 2 < s 3 = b. Hjørnerne f T er A 0 = γs 0 = γs 3, A = γs og A 2 = γs 2. γ s 2 γ 2 s 2 ϑ 2 A 2 ψ 2 γ 2 γ T γ s ϑ A 0 ψ 0 ψ γ 0 s γ 2 s 3 ϑ 0 γ 0 s 0 γ 0 A De ydre eller eksterne vinkler ϑ 0, ϑ, ϑ 2 er de orienterede vinkler mellem γ i s i og γ is i, hvor γ i er restriktionen f γ til intervllet [s i, s i+ ], i = 0,, 2. Mere præcist ϑ 0 = γ 2s 3, γ 0s 0, ϑ = γ 0s, γ s, ϑ 2 = γ s 2, γ 2s 2. 0

De indre vinkler er ψ i = π ϑ i. Det bemærkes, t ϑ i skifter fortegn, hvis gennemløbsretningen for γ vendes: f.eks. γ 0s, γ s = γ s, γ 0s 4 fordi {γ 0s, γ s } og { γ s, γ 0s } hr modstte orienteringer. Ld n i s T γi ss være vinkelret på γ is og ntg t n i s peger ind i treknten T. Vi klder γ positivt orienteret, hvis {γ is, n i s} er en positiv bsis for T γi ss for s i s < s i+ og i = 0,, 2. Ld ϕ i s være vinkelvritionen for γ i s, hvor γ is = i se + b i se 2. ϕ i s = e, γ is i + s s i i b i ib i ds, Definition 9.6. Den totle vinkelvrition for γ er tllet Θγ = 2 ϕ i s i+ ϕ i s i + i=0 2 ϑ i. i=0 Lemm 9.7. Den totle vinkelvrition Θγ er et helt multiplum f 2π. Bevis. Vinklen mellem e og γ 0s er ϕ 0 s, og vinklen mellem γ 0s og γ s er ϑ, så ϕ 0 s + ϑ er vinklen mellem e og γ s. På den nden side er ϕ s også vinklen mellem e og γ s. Derfor er differensen ϕ 0 s + ϑ ϕ s et helt multiplum 2π, ϕ 0 s + ϑ ϕ s 2πZ. Tilsvrende ses, t ϕ s 2 + ϑ 2 ϕ 2 s 2 2πZ, ϕ 2 s 3 + ϑ 0 ϕ 0 s 0 2πZ. Summen f de tre udtryk er Θγ, som derfor er et helt multiplum f 2π. Uden præcist bevis nføres følgende resultt, som dog er reltivt oplgt ud fr ovenstående tegning. Sætning 9.8. For en treknt T S, indeholdt i en kortomegn og med rndkurve γ er Θγ = ±2π. Fortegnet er +, hvis γ er positivt orienteret. Bemærk, t det er klrt fr definitionen, t tllet Θγ ikke forndres ved kontinuert deformtion f γ. For eksempel kn vi deformere treknten til en differentibel simpel kurve ved t frunde hjørnerne grdvist uden t forndre Θγ. For en glt simpel kurve er ϑ i = 0, så t Θγ = ϕb ϕ = b b b ds. Dette kldes også omløbstllet for γ : [, b] S, γ = γb. Et bevis for sætning 9.8 kn findes i do Crmo, 5 7.

Ld os ntge t kortet U, x er ortogonlt og orienteret, og sæt R = x T, αs = x γs. Så er R en treknt i U med sider α i s og hjørner αs 0, αs, αs 2. Mn kn beregne de ydre vinkler ϑ i og vinkelvritionen ϕ i ud fr kurven α, men det er ikke det sædvnlige vinkelmål som kommer i brug. Her følger en diskussion. Betrgt to vektorer = 2, b = b b2 i R 2, og ld q U. Så er dx q = x u + 2 x v, dx q b = b x u + b 2 x v og det indre produkt i T p S, p = xq, kn udregnes til dxq, dx q b = E b + G 2 b 2, og dermed dxq, dx q b p dx q p dx q b p = E b + G 2 b 2 E 2 + G 2 2 Eb 2 + Gb 2 2 5 hvor E = Eq og G = Gq. Vi indfører q = Eq, Gq 2, bq = Eqb, Gqb 2. Så er q, bq = E b + G 2 b 2, og det følger fr 8, t dx q, dx q b = R 2 q, bq, hvor R 2 betegner den sædvnlige euklidiske vinkel. Hvis Eq = Gq for q U, så er højre side i 8 det sædvnlige euklidiske udtryk, b / b, og i dette tilfælde er den orienterede vinkel mellem dx q og dx q b det smme som den orienterede euklidiske vinkel mellem og b. Et kort U, x med E = G, F = 0 kldes et isotermisk kort. Mn kn vise, t enhver flde hr isotermiske kort. For sådnne kort er det euklidiske vinkelmål i U det smme som vinkelmål i xu, dvs. fbildningen dx q : R 2 T q S, p = xq er konform vinkelbevrende. Hvis U, x er isotermisk så er de ydre vinkler i R U og de ydre vinkler i T xu ens, og vinkelvritionen for T kn beregnes fr vinkelvritionen for R = x T f vinklen mellem stndrd enhedsvektoren, 0 og α is. Hvis U, x er et isotermisk orienteret kort, og vi læser treknten side 0 som den tilsvrende treknt i U, dvs. ersttter T med R og γ i med α i, så bliver vinkelvritionen som skitseret på nedenstående grf. 2

2π ε ϑ 3 } ϕ 2 s π ϑ 2 ϑ ϕ s } ε s 0 s s 2 s 3 ϕ 0 s Bemærk t den totle vinkelvrition er Θγ = 2π, som påstået i Sætning 9.6. Vi skl nu integrere Guss-krumningen over en treknt T xu, hvor U, x er et orienteret ortogonlt kort, evt. et orienteret isotermisk kort. Ld R U være et begrænset mængde, dvs. en mængde indeholdt i en kompkt delmængde f U, og sæt T = xr. Ld f : xu R være en kontinuert funktion. Definition 9.9. Integrlet f f over T defineres ved f = f xu, v x u x v da, T R hvor højre side er integrlet over det plne område R se f.eks. E. T. Poulsens Funktioner f en og flere vrible, Kp. 0.2 Trnsformtionssætning, Sætning A. fr Appendix A, medfører t højre side ikke fhænger f vlg f koordintsystem. Vi giver rgumentet. Ld Ū, y være et kort med yū = xu. Så er h : Ū U, h = x y, en diffeomorfi, og y = x h. Vi udregner y u y v : y u = x u h u + x v h 2u, y v = x u h v + x v h 2v, hvor hu, v = h u, v, h 2 u, v. Bilineritet f vektorproduktet giver Dermed er y u y v = x u x v h u h 2v + x v x u h u h v = h u h 2v h v h 2u x u x v = detdhx u x v. f yu, v y u y v = f x hu, v detdh x u x v hu, v = f x x u x v h detdh, 3

og Sætning A. fortæller, t f x x u x v da = xr yh R f y y u y v da. Det følger t f er ufhængig f vlg f kort. T Hvis fp = for lle p T, så giver f netop relet f T, T AreT = se do Crmo, 2-8 6 T Det ndet resultt fr integrtionsteorien, vi skl bruge, er Greens sætning i plnen, Sætning A.3. Den skl nvendes på en treknt T = xr med positivt orienteret rndkurve γs = xαs. Formlen er B u A da = Adu + Bdv, 7 v α R forudst t tværvektoren til α s peger ind i R, og dette er ækvivlent med t ψ er positivt orienteret tværvektoren til, 2 er 2,. Højre side i 7 er mere udførligt givet ved b Aαsu s + Bαsv s ds = 2 si+ Aαi su is + Bα i sv is ds, i=0 s i hvor αs = us, vs og α i = α [si,s i+ ] = u i, v i. Sætning 9.20. Ld T være en treknt i S, og som er indeholdt i et orienteret ortogonlt kort U, x. Ld γ være rndkurven med positiv orientering og med hjørner γs 0, γs og γs 2. Så gælder 2 i=0 k g s ds + s i si+ T K + 2 ϑ i = 2π. Bevis. Ifølge do Crmo, Exercise i 4 3, er K givet ved formlen i=0 K = 2 Ev Gu +. 8 EG EG v EG u Ld R U være treknten med xr = T og rndkurve α med xαs = γs. Vi husker, t K = ˆK x u x v da 9 T hvor ˆKu, v = Kxu, v. Den geodætiske krumning er givet i lemm 9.4: k g s = 2 EG R dv G u ds E du v + dϕ i ds ds 4

for s i s s i+, hvor E = Eu i s, v i s osv.. Fr 7 og 8 følger, t k g = α 2 = R R Ev EG v + ˆK EG da + Gu EG u da + 2 i=0 2 ϕ i s i+ ϕ i s i. i=0 si+ s i ϕ is ds Men x u x v = EG, så ˆK EG da = K. Endelig nvender vi sætning 9.8. R T Hvis siderne γ i s i treknten T er geodætiske kurver, så kldes T for en geodætisk treknt. I det tilfælde er k g s = 0 ifølge 9, og Sætning 9.20 reduceres til Korollr 9.2. For en geodætisk treknt T er K = 2π ϑ 0 + ϑ + ϑ 2 = ψ 0 + ψ + ψ 2 π, T hvor ψ i = π ϑ i er de indre vinkler. Hvis T, T 2,... er en følge f geodætiske treknter, som lle indeholder punktet p S, og som konvergerer mod p, så gælder K Kp for i. AreT i T i Dette følger f ulighederne, min Kq AreT i q T i T i K mx q T i Kq AreT i, og f t K er kontinuert, således t både mksimum og minimum konvergerer mod Kp når T i p. Det følger herf og f Korollr 9.2, t vi hr bevist følgende sætning, som skyldes Guss. Sætning 9.22. For en følge f geodætiske treknter T i, som lle indeholder p, og som konvergerer mod p, gælder formlen Kp = lim i AreT i π ψ 0 ψ ψ 2, Vi bemærker t Sætning 9.22 giver et nyt og mere oplysende bevis for Teorem Egregium, d en lokl isometri bevrer både rel og vinkler. Hvis Guss-krumningen er konstnt Kq = K for q T, så ser vi fr Korollr 9.2, t K AreT = ψ 0 + ψ + ψ 2 π, 20 5

hvor ψ i = π ϑ i er de indre vinkler i treknten. Hvis T er indeholdt i en pln, så er K = 0, og vi genfinder den sædvnlige formel ψ 0 + ψ + ψ 2 = π. Hvis T er indeholdt i enhedskuglen, som hr konstnt krumning K = +, så giver 20, t ψ 0 + ψ + ψ 2 > π. Hvis endelig T er indeholdt i pseudo-sfæren, som hr konstnt krumning K = do Crmo, opgve 6 i 3-3, så er ψ 0 + ψ + ψ 2 < π. Specielt er AreR < π for enhver treknt i pseudo-sfæren. 9.5 Den hyperbolske hlvpln Vi betrgter den øvre hlvpln H = {x, y R 2 y > 0}, og. fundmentlform givet ved funktionerne Ex, y = y 2, F x, y = 0, Gx, y = y 2. Den hyperbolske. fundmentlform er således I H x,yx, y = y 2 x 2 + y 2. 2 For en kurve α : [, b] H er den hyperbolske længde givet ved hvor αt = xt, yt. L H α = b yt 2 x t 2 + y t 2 dt Bemærkning 9.23. I do Crmo betrgtes kun flder S R 3, men mn kn også betrgte regulære flder S R n for n > 3. Definition 8. svrende til Definition i do Crmo, 2-2 kn overføres. Den eneste forskel er t 8. iii erstttes f betingelsen: dx q : R 2 R n er injektiv. Tngentrummet T p S defineres som for flder i R 3, nemlig som mængden α 0, hvor αt er en kurve i S med α0 = p. T p S er et 2-dimensionlt underrum f R n, og for p = xq er {x u q, x v q} en bsis. Første fundmentlform er som tidligere I q : T p S R, I p α 0 = α 0 2, hvor v 2 = v 2 + + v 2 n. Givet et kort U, x på S, så kn vi udtrykke I p ved funktioner I p u x u + v x v = Eu, vu 2 + 2F u, vu v + Gu, vv 2, p = xu, v. Der er ingen Guss fbildning fordi T p S hr dimension n 2 men mn kn stdig definere Christoffelsymboler ved formlerne 2 i do Crmo side 232 formlerne i 6

22, nedenfor, og dermed Guss-krumningen ved t bruge formel 5 i do Crmo side 234. En sætning f John Nsh fortæller t, t der findes en regulær flde S H R n, for n tilstrækkelig stor, og et kort x : H S H, så i xh = S H, ii. fundmentlform for S H i kortet H, x er givet i 2. Vi ønsker t finde geodæterne i H eller ækvivlent hermed geodæterne i S H R n. Først bestemmer vi Christoffelsymbolerne vi ligningerne do Crmo side 232: E F Γ = E 2 x F G Γ 2 F x E 2 y E F Γ 2 = E 2 y 22 F G Resulttet er Γ 2 2 2 G x E F Γ 22 Fy = G 2 x F G Γ 2 22 2 G y Γ = 0, Γ 2 = y, Γ 2 = y, Γ 2 2 = 0, Γ 22 = 0, Γ 2 22 = y. Differentilligningerne for en geodæt γt = xt, yt bliver dermed x 2y x y = 0, y + y x 2 y y 2 = 0. Disse differentilligninger er ikke så lette t løse, men vi kn strks se, t xt = x 0, og yt er en løsning præsis hvis y t = yt y t 2. Denne ligning hr løsningerne yt = e t+ 0. Derfor er de lodrette linier i H, prmetriseret ved γt = x 0, e t+ 0, 23 geodætiske kurver. Bemærk t γ t er lodret, og t den hyperbolske længde f γ t er 2. For t finde resten f de geodætiske kurver er det prktisk t indføre polære koordinter i H, og udtrykke. fundmentlform og differentilligningerne for geodæter i disse koordinter. Vi giver først et generelt sæt formler for hvordn koefficienterne i. fundmentlform forndrer sig under koordintskift. Ld U og Û være åbne mængder i R2 og ϕ : U Û en diffeomorfi. Ld Ê, ˆF, Ĝ : Û R være koefficienterne i. fundmentlform på Û, Î x,y x, y = Êx, yx 2 + 2 ˆF x, yx y + Ĝx, yy 2. 7

Vi definerer den tilsvrende fundmentlform på U ved I u,v u, v = Îϕu,v dϕu, v. Derved bliver ϕ : U Û en isometri. Ld E, F, G : U R betegne koefficienterne til I u,v. Hvis ϕu, v = xu, v, yu, v, så er reltionerne mellem de to sæt koefficienter giver ved Eu, v = Êx, yx2 u + 2 ˆF x, yx u y u + Ĝx, yy2 u F u, v = Êx, yx ux v + ˆF x, yx u y v + x v y u + Ĝx, yy uy v 24 Gu, v = Êx, yx2 v + 2 ˆF x, yx v y v + Ĝx, yy2 v hvor x = xu, v, y = yu, v, x u = x u, v osv. u Beviset for 24 er gnske simpelt: Ld αt = ut, vt være en kurve i U, og ϕαt = x ut, vt, y ut, vt den tilsvrende kurve i Û. Så er ϕα t = x u u + x v v, y u u + y v v, og formlen Îx,yϕα t = I u,v α t giver ligningen Eu, vu 2 + 2F u, vu v + gu, vv 2 = Êx, yx uu + x v v 2 + 2 ˆF x, yx u u + x v v y u u + y v v + Ĝx, yy uu + y v v 2. Herf følger 24. Vi vender nu tilbge til den hyperbolske hlvpln og indfører polære koordinter med centrum i x 0, 0. Sæt R = 0, 0, π, og betrgt diffeomorfien ϕ : R H, ϕϱ, θ = x 0 + ϱ cos θ, ϱ sin θ. Formlerne 24 viser, t. fundmentlform på U får koefficienterne Eϱ, θ = ϱ 2 sin 2, F ϱ, θ = 0, Gϱ, θ = θ sin 2 θ. 25 Det viser sig prktisk, t udføre endnu et koordintskift, nemlig ved t ersttte intervllet 0, π med, på pssende vis. Vi sætter R = 0,,, søger en diffeomorfi ψ : R R på formen ψϱ, ν = ϱ, θν, 8

hvor θ :, 0, π er en diffeomorfi. Det følger fr 24, t Ēϱ, ν = ϱ 2 sin 2 θν, F = 0, Ḡϱ, ν = G ϱ, θn θ ν 2. Vi ser, t Ḡϱ, ν = præcis hvis θν opfylder differentilligningen Det er lettere t finde den inverse diffeomorfi θ ν = sin θν. 26 f : 0, π,. Formel 26 oversættes til f θ = /sin θ, d f θ = id medfører t f θνθ ν =, og vi kn vælge f til t være fθ = θ sin t dt. D f θ > 0 for 0 < θ < π er f voksende, og d fθ for θ 0 fθ + er f en diffeomorfi. Dens inverse funktion for θ π θ :, 0, π opfylder 26. Vi kn udregne Christoffelsymbolerne svrende til Ē, F, Ḡ : R R under brug f 22. Vi hr kun brug for t vide, t Γ 2 2 = 0, Γ 22 = 0, Γ2 22 = 0, således t differentilligningerne for geodæter i R bliver ϱ + Γ ϱ 2 + 2 Γ 2ϱ θ = 0 ν + Γ 2 ϱ 2 = 0. 27 Igen løser vi ikke 27 fuldstændigt, men konstterer blot t ϱt, νt = ϱ0, t + 0 er løsninger. Smmensætningen ϕ ψ : R H er en isometri, d ϕ og ψ hver især er isometrier, og ϕ ψ ϱt, νt = x 0 + ϱ 0 cos θνt, ϱ 0 sin θνt 28 er derfor en geodæt i H, defineret for t,. Denne geodætiske kurve er en hlvcirkel i H med centrum i x 0, 0. 9

Sætning 9.24. Geodæterne defineret i 23 og 28 er smtlige geodæter i H. Bevis. Ld p H og w = w, w 2 T p H = R 2 være en retning forskellig fr 0, 0. Hvis w = 0, så giver 23 en geodæt med γ0 = p, γ 0 = w. Hvis w 0, lder vi x 0 være punktet på x-ksen således t linien fr x 0 til p er vinkelret på w. Hlvcirklen med centrum i x 0 og rdius p x 0, 0 hr tngentlinie i punktet p givet ved retningen w. Derfor hr en f geodæterne γt fr 28 egenskberne γ0 = p, γ 0 = w. D enhver geodæt er entydigt bestemt ved prret γ0, γ 0 ifølge Korollr 9.5 hr vi fundet lle geodætiske kurver i H. geodæter prllelle med γ gennem p γ ϱ 0 γ x 0 θ p γ4 γ 3 γ 2 Ld os endelig udregne Guss-krumningen f H ved brug f formel 8: E = G = y 2, E x = G x = 0, E y = 2y 3 = G y, så 8 giver K =. Fr 20 ser vi, t for enhver geodætisk treknt T H er vinkelsummen ψ 0 + ψ + ψ 2 < π og AreT < π for enhver geodætisk treknt i H. 9.6 Aksiomer for plngeometri Euklids ksiomer for plngeometri fr c. år 300 kn udtrykkes bekvemt med begreber fr metriske rum. En linie i et metrisk rum X er billedet f en fstndsbevrende fbildning γ : R X. Plngeometriens ksiomer er: Incidensksiomet. Gennem to forskellige punkter i X går netop én linie. Refleksionsksiomet. Komplementet X \ l til en linie l i X hr to smmenhængskomponenter, og der findes en isometri σ f X, som i holder punkterne f l fst σx = x for x l, og 20

ii ombytter de to smmenhængskomponenter. Prllelksiomet Givet en linie l i X og et punkt p X \ l. Så findes der netop en linie l med p l og l l =. De tre ksiomer er ækvivlente med Euklids ksiomer. Den enkle formulering nyder godt f t vi llerede hr konstrueret de reelle tl, og f den generelle definition f metriske rum. Prllelksiomet hr en usædvnlig interessnt historie. Allerede i ntikken blev det nset for t være f en nden ntur end Euklids øvrige ksiomer hvordn kn mn empirisk fgøre t to linier ldrig skærer hinnden? I 2000 år diskuterede mtemtikere om prllelksiomet kunne udledes f de øvrige ksiomer. I begyndelsen f 800-tllet blev sgen fgjort igennem smtidige men ufhængige undersøgelser f J. Bolyi, C. F. Guss og N. I. Lobchevsky og lidt senere E. Beltrmi: Prllelksiomet er ufhængigt f de øvrige ksiomer, idet der gælder Sætning. Et metrisk rum som tilfredsstiller de tre ksiomer er isometrisk med den Euklidiske pln R 2. Et metrisk rum, som opfylder de to første ksiomer men ikke prllelksiomet, er isometrisk med den hyperbolske hlvpln efter sklering. Linierne i den hyperbolske pln er hlvcirklerne med centrum på x-ksen smt linierne prllelle med y-ksen. I 9.5 fndt vi, disse kurver er billedet f geodætiske kurver γ : R H. Vi prmetriserer γ ved buelængde, og giver H fstndsmålet dist γs, γs 2 = s s 2. Mn overbeviser sig let om, t de to første ksiomer er opfyldt. Vi så også i 9.5, t negtionen f prllelksiomet gælder i H. Givet en linie l og et punkt P udenfor l så findes der uendelig mnge linier igennem P, som ikke skærer l. Hvis vi multiplicerer koefficienterne E og G i første fundmentlform for H med en positiv konstnt c > 0, så multipliceres krumningen K = 2 EG Ev EG v + Gu EG med c 2. Dette giver en hlvpln H c som også opfylder de to første ksiomer smt negtionen f prllelksiomet, men H c fremkommer fr H ved sklering. Det mest bemærkelsesværdige ved prllelksiomets 2000 årige historie er måske t løsningen, dets ufhængighed, indeholder begrebet negtiv krumning som en fgørende ingrediens. u 2