Virum Gymnasium Studieretningsopgave Harmoniske svingninger i matematik og fysik Vejledere: Christian Holst Hansen (matematik) og Bodil Dam Heiselberg (fysik) 30-01-2014
Indholdsfortegnelse Indledning... 2 Delforsøg 1 og Hookes lov... 3 Udledning af løsning til differentialligning... 4 Udtryk for harmoniske svingninger... 8 Delforsøg 2 og harmoniske svingninger... 8 Beregning af svingningstid... 11 Efterprøvning af løsningen til differentialligningen... 13 Konklusion... 15 Litteraturliste... 15 Bøger... 15 Internetmateriale... 16 Dokumenter... 16 1
Indledning Et lod er ophængt i en fjeder. Vi definerer ligevægtspunktet og sætter til på dette sted. Fra denne ligevægt er der en udstrækning eller et udsving, vi betegner. Den resulterende kraft kan beskrives ved Hookes lov, hvor er en konstant og kaldes fjederkonstanten. Når en kraft kan beskrives ved denne formel, har vi noget, der udfører harmoniske svingninger Kraften vil altid være rettet mod ligevægtspunktet, og derfor har og aldrig ens fortegn. Vi ved, at den resulterende kraft også kan beskrives ved formlen Vi kan derved sætte de to udtryk lig hinanden På grund af definitionen af acceleration, kan vi i stedet for skrive, da betegner stedfunktionen Vi har nu, at Det sidste skridt tages ved at bruge vores information om konstanten Vi har nu udledt en differentialligning, der beskriver sammenhængen mellem stedfunktionen og accelerationen 2
Delforsøg 1 og Hookes lov Vi vil nu undersøge rent fysisk om denne Hookes lov er gyldig. I vores første forsøg undersøges sammenhængen mellem fjederkraften og udstrækningen af fjederen ved tilføjelse af tungere og tungere lodder. Her fås denne graf pålagt en lineær regression. Vi betragter et kraftdiagram (se figur til højre). Således ser vores opstilling til forsøget ud. En fjeder er monteret på en kraftmåler, og et lod er ophængt i fjederen. Vi sætter ligevægtspunktet til stedet, fjederens bund befinder sig uden vægt på. Her er og accelerationen er lig nul. Derfor er fjederkraften også lig nul, da Da loddet ikke er i bevægelse men står stille, vil tyngdekraften være lig fjederkraften ifølge Newtons 3. lov. Den resulterende kraft er altså lig nul 3
Kraftmåleren måler tyngdekraften og dermed fjederkraften, da de to kræfter hele tiden er ens loddet er aldrig i bevægelse. Når flere lodder hænges på fjederen, vil udstrækningen blive større og både fjederkraften og tyngdekraften ligeså. De vil forblive af samme størrelse, da loddet stadig ikke er i bevægelse. Dette ser vi af vores lineære udvikling, grafen ovenfor, der viser fjederkraften som funktion af udstrækningen fra ligevægt. En lineær udvikling kan altid skrives på formen I dette tilfælde er den uafhængige variabel udstrækningen af fjederen, som vi har valgt at betegne ikke at forveksle med det, der betegner den afhængige variabel i formen for en lineær sammenhæng. Derimod er vores afhængige variabel fjederkraften, som vi betegner. Vores - værdi burde være lig nul, dog har målingerne ikke været helt præcise, blandt andet på grund af unøjagtige aflæsninger af udstrækningen, og det er derfor grafen ikke går igennem. Endeligt bliver vi nødt til at have en -værdi. Dette skal være en konstant, og da vi ikke kender dens værdi, kalder vi den. Vi har altså en formel, der hedder Det er på denne form, vores regressionsgraf er, da kraftmåleren jo måler den positive tyngdekraft. Dog peger den positive retning for fjederkraften opad, mens den positive retning for udstrækningen peger nedad. Derfor bliver vi nødt til at skabe omvendt fortegn på hver side af lighedstegnet, og vi sætter til at være negativ Vi har bevist, at forsøget med fjederen opfylder Hookes lov. Denne konstant kaldes fjederkonstanten, og den er individuel for hver eneste fjeder. Den angiver, hvilken kraft der skal til for at trække fjederen ud. Som komponent i Hookes lov angiver den det, der lægges til kraften for hver meter, fjederen udstrækkes. Derfor har den enheden. Vores forsøg har givet os -værdien med en usikkerhed på. Udledning af løsning til differentialligning I indledningen udledte vi en differentialligning, der viste sammenhængen mellem accelerationen og udstrækningen af fjederen. Vi har altså antaget at 4
Vi vil nu matematisk bevise, at den fuldstændige løsning til ligningen kan skrives hvor og er konstanter. Altså er de to udtryk ensbetydende, og vi skal derfor vise, at dobbeltpilen gælder og er sand begge veje. Vi viser nu, at dobbeltpilen er sand mod venstre. Til start differensieres får to gange, så vi Vi får nu et udtryk for. Nu mangler vi bare at tjekke, at dette udtryk er lig højresiden af differentialligningen. Dette gør vi simpelt ved at indsætte og i differentialligningen Vi kan tydeligt se, at de to sider af lighedstegnet er fuldstændig ens, og vi har hermed bevist, at er en løsning til differentialligningen. Beviset er ikke færdigt endnu, da vi mangler at påvise sandheden af dobbeltpilen for den modsatte retning. Vi er givet, at også kan skrives på formen hvor og er funktioner. Værdierne for disse er givet Vi viser nu, at kan skrives på formen 5
Dette gøres ved simpel indsættelse af og i udtrykket for For at reducere det sidste udtryk bruger vi vores viden om Pythagoras sætning og enhedscirklen. I parentesen ses et udtryk, der minder om venstresiden af Pythagoras sætning Betragter vi en enhedscirkel (se figur til højre), ser vi, at og angiver de to kateter i en retvinklet trekant, der skabes af et vinkelben. Benytter vi herved Pythagoras sætning, får vi, at Da radius i en enhedscirkel altid er 1, er hypotenusen her også 1. Vi kan derfor reducere yderligere Vi ser hermed, at ved indsættelse af og i fås, og dette er jo sandt. Hermed har vi bevist, at dobbeltpilen også gælder den anden vej, og at er den eneste løsning. Nu mangles der bare at påvise, at og er konstanter. Dette gøres ved differensiering af de to funktioner. Hvis vi herved får nul, må funktionerne være lig en konstant, da kun en konstant differensieret giver nul. Vi differensierer de to funktioner 6
Vi ser, at de begge giver nul, og hermed har vi også bevist, at og er konstanter. Nu er beviset færdigt, da vi også har vist, at pilen gælder begge veje. Alt i alt har vi bevist, at er den fuldstændige løsning til differentialligningen 7
Udtryk for harmoniske svingninger Vi ved, at løsningen til differentialligningen også kan skrives på formen hvor, og er konstanter. Dette vil vi nu vise. Til det benyttes en regneregel, der kaldes additionsformlen for sinusfunktionen. Når sinus tages til to vinkler lagt sammen, hvad vi i dette tilfælde gør, kan udtrykket også skrives således, hvor og er vinkler Denne regel benytter vi på udtrykket for For yderligere reduktion af dette bruger vi vores information om konstanterne og Derfor kan vi nu tydeligt se, at også kan skrives på formen Delforsøg 2 og harmoniske svingninger Nu vil vi beskrive, hvorledes formlen for harmoniske svingninger kan relateres til virkeligheden. Andet forsøg vi udførte, lod vi vægtskålen med loddet, der hang i fjederen, svinge lodret op og ned. En motion detector lå på gulvet og målte afstanden til vægtskålen over tid. Af dette fås en graf, der ser således ud 8
Den uafhængige variabel, der forløber ud ad x-aksen, er tiden målt i sekunder, og den afhængige variabel op ad y-aksen er positionen over måleren målt i meter. Vi har altså med en stedfunktion at gøre. Vi har tidligere vist, at harmoniske svingninger kan beskrives ved formlen Derfor burde det være muligt, at lægge en regression på grafen, der følger samme form. Dette har vi gjort, dog indgår der en ekstra konstant. Regressionen er altså på denne form Vi har altså, at, at, og at. De fire konstanter har hver deres betydning for grafens udseende. Konstanten angiver ligevægten, det vil sige afstanden fra motion detectoren til ligevægt. Denne konstant er målt til med en meget lille, ubetydelig usikkerhed. Denne konstant indgår ikke i den teoretiske formel, da vi der sætter ligevægtspunktet lig 0. Konstanten angiver faseforskydningen. Denne konstant er nødt til at indgå, da der ikke er ligevægt til tiden 0. er målt til med en usikkerhed på. Konstanten angiver vinkelhastigheden den tid, det tager for fjederen at bevæge sig en radian, og den kan beregnes ved formlen hvor T er svingningstiden, fjederkonstanten og massen. Den er her målt til med en usikkerhed på. Til sidst har vi konstanten, der betegner amplituden. Den angiver, den længde, der er fra ligevægt til bølgetop eller dal. I vores forsøg er den med en usikkerhed på. Vi ser, at regressionen den sorte graf stemmer umådeligt godt overens med vores målte graf den røde. Vi har altså med harmoniske svingninger at gøre. 9
Nedenfor ses vores fulde resultater af dette forsøg med stedfunktionen, hastighedsfunktionen og accelerationsfunktionen. De kan alle beskrives ved formlen for harmoniske svingninger, da de alle er sinusfunktioner. Teoretisk ser formlen for stedfunktionen således ud Teoretisk vil hastighedsfunktionen derfor stå på formen og accelerationsfunktionen vil stå på formen De fire konstanter,, og har samme betydning, dog er i både hastigheds- og accelerationsfunktionen meget nær. 10
Hastighedsfunktionen og accelerationsfunktionen er lige så pæne som stedfunktionen, og de stemmer ligeså godt overens med regressionen. Vi kan også se, at de i forhold til hinanden svinger godt. Betragt den prikkede streg nedenfor. Vi ser, at når vægtskålen befinder sig i et af yderpunkterne, her længst fra måleren, er hastigheden lig, og accelerationen er på sit højeste acceleration og position har altid modsat fortegn. Det er præcis sådan, det i teorien burde være. Hvis vi ser på den stiplede linje, er hastigheden ved ligevægt størst, og accelerationen er derfor lig. De tre kurver harmonerer derfor fint. Beregning af svingningstid Vi vil nu beregne svingningstiden for loddet både teoretisk og eksperimentelt. Svingningstiden angiver, hvor lang tid det tager for loddet at foretage en svingning, dvs. enten fra bølgetop til bølgetop eller fra bølgedal til bølgedal eller fra ligevægt til loddet igen når ligevægt for anden gang. Da vi kender formlen for, hvori svingningstiden indgår, kan vi finde formlen for. 11
Ved udførelsen af vores forsøg brugte vi lodder med massen. Her ser vi, at usikkerheden ligger på første decimal, og der må derfor være en usikkerhed på massen på. Desuden har vi set i det første delforsøg, at vores fjederkonstant er lig med, hvor usikkerheden også her ligger på første decimal, og den er derfor. Da vi har usikkerheder på vores værdier bliver vi nødt til at benytte max-min-metoden. Vi beregner altså først den størst mulige svingningstid og herefter den mindst mulige svingningstid og finder gennemsnittet. Den maksimale svingningstid findes ved formlen Vi beregner den minimale svingningstid ved brug af formlen Vi beregner nu gennemsnittet af de to værdier, og denne er den teoretiske værdi for svingningstiden, vi vil bruge. Her ligger usikkerheden på anden decimal, og vores resultat er derfor Nu vil vi beregne svingningstiden, som vi har målt den i delforsøg 2. Til dette bruger vi vores målte -værdi, som er lig med. Også -værdien har en usikkerhed, og den ligger på tredje decimal. Ud fra grafen kan vi herved se, at usikkerheden er. Vi benytter altså igen max-min-metoden, og begynder med den maksimale svingningstid 12
Vi udregner den minimale svingningstid Vi tager herved gennemsnittet og finder vores målte svingningstid Vi ser, at usikkerheden ligger på fjerde decimal, og resultatet bliver derfor Vi sammenligner den teoretiske,, og den eksperimentelle svingningstid,, og ser, at den eksperimentelle svingningstid er en smule større end den teoretiske. De er meget ens, men den lille forskel skyldes med stor sandsynlig vores udeladelse af fjederen i massen. Fjederen masse trods lille tæller med, og den ville have sørget for, at den teoretiske værdi blev en smule større. Vi kan også betragte grafen for stedfunktionen (se nedenfor), og vi ser, at det passer meget godt med en svingningstid på lidt under. Efterprøvning af løsningen til differentialligningen Vi vil prøve at bestemme den løsning, der til differentialligningen opfylder, at 13
og Vi skriver løsningen på formen Det vil sige, at for at finde løsningen skal vi bestemme konstanterne, og. Vi kan starte med at finde, da differentialligningen står på formen Vi sætter de to udtryk lig hinanden Vi får altså til at være. Vi bruger kun den positive værdi af, da vi ved altid er positiv. Vi vil nu finde, og da vi ved, at finder vi først og. Vi prøver nu at sætte ind i Da, og da, får vi, at. Nu sætter vi og ind i. Først differentieres Vi ser her, at. Da vi nu har fundet både og, kan vi beregne Konstanten har altså værdien. Nu mangler vi kun, og denne kan beregnes ved brug af vores information om Vi isolerer i denne ligning og husker, at der skal regnes med radianer 14
Da vi nu har beregnet de tre konstanter, kan vi sætte løsningen til differentialligningen op Grafen for denne ligning ser således ud Vi ser, at den skærer y-aksen i nøjagtigt, som den skulle. Konklusion I denne opgave har vi ved hjælp af en differentialligning baseret på Hookes lov udledt, hvorledes en harmonisk svingning kan beskrives, og vi har vist, at en fjeder svinger harmonisk. Litteraturliste Bøger Brydensholt, Morten & Gjøe, Tommy, m.fl.: Orbit BA, 2. udgave, Systime, 2011 Brydensholt, Morten & Ridder Ebbesen, Grete: Lærebog i matematik Bind 2, 1. udgave, Systime, 2011 15
Internetmateriale Artikel om additionsformlen for sinus fra denstoredanske.dk: http://www.denstoredanske.dk/it,_teknik_og_naturvidenskab/matematik_og_statistik/trigonom etri/additionsformler, sidst besøgt 30/1-2014 Billede af enhedscirkel fra denstoredanske.dk: http://www.denstoredanske.dk/it,_teknik_og_naturvidenskab/matematik_og_statistik/trigonom etri/sinus, sidst besøgt 30/1-2014 Dokumenter Fra Christian Holst Hansen: Matematik til SRO.pdf Fra Christian Holst Hansen: Differentialligningen y =ky.pdf 16