Astrofysik Ugeseddel 6 7 9/5 giver jeg en indledning til kosmologi med en gennemgng f Fundmentl Astronomy, Kpitel 19, og det supplerende mterile på denne ugeseddel. 11/5 behndler jeg målinger f kosmologiske prmetre, som behndlet i Ryden, Kpitel 7. Den 16. mj gennemgår jeg observtioner og fortolkning f den kosmiske mikrobølgebggrundsstråling, behndlet i Ryden, Kpitel 9. Jeg foreslår t vi flyser forelæsningen 18. mj (dgen efter Kristi Himmelfrtsdg). Supplerende mterile: Beskrivelsen f kosmologi i Fundmentl Astronomy er lovlig kortfttet, givet feltets voldsomme udvikling i de seneste år. En glimrende introduktion til kosmologi er givet i Brbr Ryden: Introduction to Cosmology (3; Addison Wesley). Jeg vil derfor bruge udvlgte dele f denne bog; det kn vrmt nbefles t nskffe den. På de næste sider f denne ugeseddel giver jeg desuden nogle noter, der udbygger behndlingen f emnerne behndlet i Fundmentl Astronomy og etblerer kontkten til nottionen i Ryden. Ved øvelserne 15. og 16. mj gennemgår vi Opgvesmling til A4 Astrofysik I, Sommereksmen 1987, opgve 1. Antg endvidere t L M 4 for stjerner i ustbilitetsbæltet, og vis t dette giver en reltion på formen M bol = konstnt + α log Π, hvor M bol er den bolometriske størrelsesklsse. Find α og smmenlign med Fundmentl Astronomy, Fig. 13.4 (vi negligerer vritionen i den bolometriske korrektion). Eksmensopgver i Astrofysik, Summer 6, opgve 1. Opgvesmling til A4 Astrofysik I, opgve 46. Eksmensopgver i Astrofysik, Summer 5, opgve. 9. mj 7 Jørgen Christensen-Dlsgrd 1
Supplerende noter til kosmologi Topologi og metrik Et fldt to-dimensionlt rum, smt to-dimensionelle rum med positiv og negtiv krumning. Som diskuteret i Fundmentl Astronomy er rummets geometri f stor betydning i kosmologien. Selv om vi der opererer med et fire-dimensionelt rum-tids kontinuum er det nemmere t illustrere geometrien i to dimensioner, som gjort ovenfor. Et mål for en fldes geometri kn fås ud fr vinkelsummen i de illustrerede treknter. I det plne tilfælde gælder selvfølgelig t På en kugleoverflde hr mn t α + β + γ = π. (1) α + β + γ = π + A/R, () hvor A er trekntens rel og R er kuglens rdius. På en mere kompliceret overflde med positiv krumning gælder en tilsvrende reltion, hvor R så beskriver den lokle krumning f flden i det pågældende område. Bemærk t i grænsen R (eller A ) får vi igen ligning (1), som forventeligt. På en overflde med negtiv krumning, som sdlen i figuren, gælder tilsvrende t α + β + γ = π A/R, (3) der igen definerer en lokl krumningsrdius. Geometrien på en overflde er defineret ved metrikken, dvs. fstndsmålet på overflden (se også Appendix B i Fundmentl Astronomy). I et lmindeligt fldt (eller Euklidisk) rum beskrevet i krtesiske koordinter (x, y, z) er et lille fstndselement ds givet ved ds = dx + dy + dz. (4) Bruges i stedet sfærisk polære koordinter (r, θ, φ), hvor θ er vinklen fr polksen, er ds = dr + r (dθ + sin θdφ ) = dr + r dω, (5) Bemærk t overflden til højre på Fig. 19.1 i Fundmentl Astronomy ikke hr meget med en sddel t gøre: den hr negtiv krumning i en retning og positiv krumning i en nden! Fundmentl Astronomy bruger i stedet θ for breddegrden, og hr derfor cos i stedet for sin i deres tilsvrende ligning i Appendix B; den her brugte konvention er den gængse, og er også brugt f Ryden.
hvor er et rumvinkelement. I et mere generelt, krumt, rum erstttes dette udtryk med dω = dθ + sin θdφ (6) ds = dr + S κ (r) dω, (7) hvor κ = 1, eller 1 ngiver om rummet hr respektivt positiv krumning, er fldt eller hr negtiv krumning. S κ fhænger f den lokle krumningsrdius R: R sin(r/r) for κ = 1 S κ (r) = r for κ = R sinh(r/r) for κ = 1. Bemærk t for r R er S κ (r) r i lle tilfælde; rummet er ltså loklt fldt. En lterntiv formulering f smmen metrik fås ved t bruge x = S κ (r) som rdil koordint. Så kn ligning (7) skrives ds dx = 1 κx /R + x dω. (9) (Denne nottion er brugt i Fundmentl Astronomy, ligning (19.4), med r i stedet for x.) I speciel reltivitetsteori generliseres den tredimensionelle metrik i det fire-dimensionelle rumtids rum til, f.eks., ds = c dt + dx + dy + dz, (1) hvor c er lyshstigheden og t er tiden; her er rummet stdig fldt. Bemærk t lys udbreder sig lngs en såkldt nul-geodæt, med ds =. I det krumme tilfælde erstttes denne metrik f den såkldte Robertson-Wlker metrik. I det generelle tilfælde, hvor rummets skl er tidsfhængig, og hvor vi ntger homogenitet og isotropi, kn den skrives ds = c dt + (t) [ dr + S κ (r) dω ], (11) hvor (t) er sklfktoren, der ngiver hvor meget de rumlige fstnde hr ændret sig reltivt til en referencetid. Normlt bruges den nuværende tid t = t som reference, (t ) = 1. Så svrer (t) i Fundmentl Astronomy s nottion til R(t)/R. (8) Afstnd og Hubbles lov For t finde fstnden mellem to punkter i rummet (f.eks. en fjern glkse og en igtger på Jorden) til et givet tidspunkt t kn vi lægge koordintsystemet med r = i det ene punkt, og smme θ og φ for de to punkter. Så er fstnden (proper distnce i Ryden) givet ved d p (t) = r ds = (t) dr = (t)r. (1) Herf følger også t ændringen i fstnden per tidsenhed (dvs. hstigheden) er givet ved dd p (t) dt d p (t) = ȧr = ȧ d p(t). (13) 3
Specielt på det nuværende tidspunkt hr vi hstigheden v p (t ) = H d p (t ), (14) med H = (ȧ/) t=t, der udtrykker Hubble s lov. Et lterntivt, og meget nyttigt, udtryk for fstnden får vi ved t betrgte en foton udsendt til tiden t = t e fr den fjerne glkse og observeret til tiden t = t. For en foton gælder t ds =, dvs. t cdt = (t)dr. Derfor hr vi t d p (t ) = r t dr = c t e dt (t). (15) Ud fr nlyse f denne reltion kn mn også vise t bølgelængden f lys sklerer som (t): hvis bølgelængden er λ e ved emissionstidspunktet og λ til t = t er λ e (t e ) = λ (t ) ; (16) således er, som nævnt i Fundmentl Astronomy, rødforskydningen z for dette objekt er relteret til (t e ) ved λ = 1 + z = 1 λ e (t e ). (17) En speciel fstnd bseret på ligning (15) får vi ved t betrgte lys udsendt til t = : t d hor (t ) = c dt (t), (18) med (t ) = 1. Lys fr objekter længere væk hr åbenbrt ikke hft tid til t nå os i Universets levetid. Denne fstnd definerer den øjeblikkelige horizont, uden for hvilken der ikke hr kunnet været nogen kommuniktion og dermed vekselvirkning. Friedmnn ligningerne Vi får brug for en lidt mere generel form for Friedmnn ligningerne end givet i Fundmentl Astronomy. Som i udledningen der betrgter vi en Newtonsk pproksimtion, men vi ersttter i ligning (19.3) R 3 ρ med R 3 ρ, ifølge ligning (19.6). Endvidere indfører vi ikke Ω umiddelbrt. Endelig bruger vi = R(t)/R. Resulttet er, t ligning (19.9) kn skrives (ȧ ) = 8πG 3 ρ + 1 3 Λ + C, (19) hvor C er en smlet integrtionskonstnt. Som rgumenteret i Fundmentl Astronomy fås den korrekte reltivistiske form ved t sætte C = κc /R, hvor κ = ( 1,, 1) er krumningskonstnten, og R nu er krumningsrdius til t = t. Altså får vi (ȧ ) = 8πG 3 ρ + 1 3 Λ κc R. () 4
Det følger f Einsteins ækvivlens mellem msse og energi t energitætheden bidrger til tyngdefeltet. Således fås den korrekte form ved t ersttte ρ med ɛ/c, hvor ɛ er energitætheden. For lmindeligt stof inkluderer dette hvilemssenenergien, således t vi genfinder et bidrg ρ fr stoffet, hvis dette bevæger sig med hstigheder meget mindre end lyshstigheden. Formelt kn bidrget fr Λ også inkluderes ved t indføre et bidrg ɛ Λ = til ɛ. Dette giver endelig Friedmnn ligningen på formen c 8πG Λ (1) (ȧ ) H(t) = 8πG 3c ɛ κc R, () hvor vi, i nlogi med ligning (14), indførte den øjeblikkelige Hubble prmeter H = ȧ/. Af ligning () følger t fortegnet f κ er defineret f fortegnet f ɛ ɛ c, hvor den kritiske energitæthed er givet ved ɛ c = 3c 8πG H(t). (3) Ofte udtrykker mn energitætheden reltivt til ɛ c, som Ω(t) = ɛ/ɛ c. Som også diskuteret i Fundmentl Astronomy hr rummet positiv krumning, er fldt eller hr negtiv krumning hvis Ω > 1, Ω = 1 eller Ω < 1. Udtrykt ved Ω kn ligning () skrives κc 1 Ω(t) = R (t) H(t). (4) Her er det klrt t højresidens fortegn er konstnt i tiden, og dermed gælder også t Ω enten er < 1, eller > 1 til lle tider. Det relevnte tilfælde kn i princippet fgøres ud fr de nuværende værdier, der giver 1 Ω = κc R. (5) H Den kritiske tæthed i det nuværende Univers kn findes ud fr den målte værdi for Hubblekonstnten, H = 7 km s 1 Mpc 1 ; det giver ɛ c, = 3c 8πG H = 8.3 1 1 J m 3 = 5 MeV m 3. (6) Udtrykt ved den tilsvrende mssetæthed ρ c, = ɛ c, /c fås ρ c, = 9. 1 7 kg m 3 = 1.4 1 11 M Mpc 3. (7) Vi får også brug for energiligningen for Universet, under ntgelse f en dibtisk proces, uden energiudveksling. Udgngspunktet er gnske simpelt termodynmikkens første hovedsætning for et område V (t), på formen = Q = Ė + P V, (8) hvor Q er hstigheden f vrmetilførsel (= for en dibtisk proces), E er energien i området og P er trykket. Volumen V for et givet område, der udvikler sig med sklfktoren, er proportionlt med (t) 3, så V = 3ȧ V. (9) 5
Endvidere hr vi t E = ɛv, og derfor t Ė = ɛv + ɛ V. Alt i lt får vi fr ligning (8) t [ ] V ɛ + 3ȧ (ɛ + P ) =, eller ɛ + 3ȧ (ɛ + P ) =. (3) Denne ligning kn bruges til t udlede en ligning for Universets ccelertion, som vi siden får brug for. Ved t gnge ligning () med og differentiere får vi ȧä = 8πG 3c ( ɛ + ɛȧ). Ved t dividere med ȧ og bruge, ud fr ligning (3), t får vi endelig ccelertionsligningen ɛ ȧ = 3(ɛ + P ), ä = 4πG (ɛ + 3P ) (31) 3c (Ryden, ligning 4.44). For t komme videre hr vi brug for reltioner mellem ɛ og P for de forskellige bestnddele f Universet. Generelt er det bekvemt t skrive sådnne reltioner på formen P = wɛ. (3) For lmindeligt stof (der bevæger sig ikke-reltivistisk) er trykket f smme størrelsesorden som bevægelsesenergien og dermed lngt mindre end hvilemssenergien. Altså er den tilsvrende værdi f w, w m, meget mindre end 1. For stråling (eller ndre ekstremt reltivistiske prtikler) ved vi t w = w rel = 1/3. Endelig kn mn vise t for en simpel konstnt kosmologisk konstnt (hvor også ɛ Λ er konstnt) er w = w Λ = 1. I dette tilfælde hr vi ltså et negtivt tryk (eller en spænding), der bidrger til t ccelerere Universets udvidelse. Bemærk t dette gælder unset t ɛ Λ giver et positivt bidrg til den effektive mssetæhed og dermed til en opbremsning f Universet; men i ligning (31) dominerer bidrget fr P Λ. Hvis de forskellige bidrg til energitætheden ikke vekselvirker, gælder ligning (3) for energitætheden ɛ w for hver komponent seprt. Bruges også ligning (3) hr vi t eller ɛ w ɛ w = 3(1 + w)ȧ, ɛ w = ɛ w, (t) 3(1+w), (33) hvor vi går ud fr t w er konstnt. For lmindeligt stof, med w, hr vi derfor t ɛ = ɛ m = ɛ m, (t) 3. Det følger også f mssebevrelse i et givet område, og f t volumen f området ændrer sig proportionlt med (t) 3. Tilsvrende hr vi for stråling, med w = 1/3, t ɛ = ɛ r = ɛ r, (t) 4. Et simpelt rgument for denne reltion fås ved t benytte t den gennemsnitlige energi f en foton er proportionl med λ 1 (t) 1 (se ligning 16), og t ntlstætheden f fotoner vrierer som (t) 3. Endelig hr vi, for bidrget fr den kosmologiske konstnt, t w = 1 og dermed t ɛ Λ er konstnt, som llerede nført. 6
Som vi senere skl se tyder meget på t Universet er fldt, med Ω = 1 og dermed κ =. Hvis en komponent med et givet w dominerer kn vi derfor skrive Friedmnn ligningen som eller og dermed (ȧ ) = 8πG 3c ɛ = 8πG 3c ɛ c, 3(1+w) = H 3(1+w), (34) t (1+3w)/ d = H dt = H t, Endvidere er Universets nuværende lder t (med (t ) = 1) [ ] /(3+3w) 3H (1 + w)t (t) =. (35) t = 3(1 + w) H 1. (36) Dette generliserer udledningen f Fundmentl Astronomy, ligning (19.34). I et Univers domineret f lmindeligt stof, med w, hr vi derfor ( 3H t (t) = ) /3, t = 3 I et Univers domineret f stråling, med w = 1/3, hr vi tilsvrende 1 H. (37) (t) = (H t) 1/, t = 1 H. (38) Som reference bruger Ryden et såkldt Benchmrk Universe ; som vi skl se hr det betydelig støtte observtionelt. Her er Ω = Ω CMB, + Ω m, + Ω Λ, = 1, hvor Ω m, =.3 og Ω Λ,.7. Bidrget Ω CMB, fr den kosmiske bggrundsstråling kn findes ud fr temperturen f strålingen til Ω CMB, = 3.4 1 5. Hertil skl lægges et bidrg fr neutrinoer, der også opfører sig som reltivistiske prtikler. Det smlede strålingsbidrg (eller reltivistiske bidrg) er derfor Ω r, = 8.4 1 5. Alderen f Universet er, med disse prmetre, t = 13.5 Gyr. D Ω m 3 og Ω r 4 er Ω r /Ω m 1. På det nuværende tidspunkt er Universet helt domineret f stof (og Λ) men for < Ω r, /Ω m,.8 1 4 dominerede strålingen. Det svrer, i reference-universet, til en lder på 4.7 1 4 år. 7