Flere ligninger med flere ukendte Frank Villa 14. februar 2012 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her.
Indhold 1 Introduktion 1 1.1 Logisk opvarmning................. 2 2 Flere ligninger med flere ukendte 3 2.1 At løse et ligningssystem.............. 6 2.2 Overdeterminerede og underdeterminerede systemer 7 3 Substitutionsmetoden 10 4 Eksempler 14 4.1 Lineære ligninger.................. 14 4.2 Ikke lineære ligninger............... 19 4.3 Veldeterminerede systemer............. 20 4.4 Over og underdeterminderede systemer..... 20
Resumé I dette dokument ser vi på en metode til at løse flere ligninger med flere ukendte størrelser. Undervejs introducerer vi ordene underdetermineret, overdetermineret og veldetermineret samt begrebet lineære ligningssystemer. 1 Introduktion Når man løser matematiske problemer, så sker det ofte at man har mange ukendte talstørrelser som skal bestemmes. I så fald skal man lede efter nogle informationer om disse størrelser som kan bruges til at bestemme værdierne af dem. Disse informationer vil meget ofte bestå af ligninger som fortæller en sammenhæng imellem de forskellige størrelser. Hvis man har tilstrækkeligt mange ligninger, kan man være heldig at der kun er 1 mulighed for hvad de forskellige ukendte tal kan være. Dette dokument handler om en teknik til at finde denne mulighed. Det kaldes at løse flere ligninger med flere ukendte, og teknikken omtales ofte som substitutionsmetoden. Den kan være nyttig i mange forskellige situationer. F.eks.: Skæringsproblemer i to eller tredimensionale koordinatsystemer. Bestemmelse af parametre til en generel funktionstype ud fra nogle givne funktionsværdier (modellering). I beviser hvor flere informationer skal kombineres til en samlet konklusion. Forudsætninger Inden du læser dette dokument bør du have nogenlunde styr på at løse ligninger som kun indeholder en ukendt størrelse. Desuden kan du komme i det rigtige humør ved at læse det næste afsnit. side 1
1.1 Logisk opvarmning I bund og grund handler dette dokument om en eneste ting: Nemlig at kombinere flere forskellige informationer til en samlet konklusion. Evnen til at gøre dette er noget som man skal træne op, og ganske få mennesker (1 ud af flere millioner) udvilker den aldrig. Men bare rolig: Hvis du kan overskue de følgende eksempler, så har du ingen problemer. Eksempel 1. Her er to informationer om en person ved navn Bjarne: 1. Bjarnes bil har Bjarnes yndlingsfarve. 2. Bjarnes yndlingsfarve er rød. Og nu det store spørgsmål: Hvilken farve har Bjarnes bil? Hvis du kan svare på spørgsmålet (ja, den er rød!) så har du evnen til at kombinere to informationer. Du har nemlig aldrig fået oplyst direkte hvilken farve Bjarnes bil har, men ved at kombinere de to informationer kan du konkludere det. Du kan endda løse endnu mere komplekse problemer: Eksempel 2. Her har du hele tre oplysninger om en person ved navn Bente: 1. Bentes hus har Bentes yndlingsfarve. 2. Bentes bil har også Bentes yndlingsfarve. 3. Bentes hus er gult. Og nu det store spørgsmål: Hvilken farve har Bentes bil? Denne gang har du (hvis du klarede den) faktisk kombineret hele tre oplysninger. Det er umuligt at besvare spørgsmålet uden at side 2
bruge alle tre oplysninger, og man skal endda være lidt kreativ for at kombinere dem rigtigt. Bemærk at der er mindst to måder at bygge sin konklusion på: Man kan enten starte med at kombinere oplysning 1 og 3 (til delkonklusionen: Bentes yndlingsfarve er gul ), og derefter kombinere dette med oplysning 2. Eller man kan starte med at kombinere oplysning 1 og 2 (til delkonklusionen Bentes hus og Bentes bil er samme farve ), og derefter kombinere dette med oplysning 3. Hvis disse eksempler er utroligt nemme for dig at forstå, så er du helt klar til at læse resten af dokumentet. 2 Flere ligninger med flere ukendte I matematik kommer informationer ofte i form at ligninger. Mange hverdagsproblemer hvor nogle oplysninger skal kombineres til en samlet konklusion kan gøres matematiske hvis man starter med at navngive de ukendte talstørrelser og derefter opskrive de givne oplysninger som ligninger. Eksempel 3. På en bondegård ude på landet bor en landmand sammen med sine elskede dyr. Han har høns og grise, og de er alle velskabte (uden mutationer og manglende lemmer). Landmanden oplyser desuden følgende: 1. Der er sammenlagt 344 ben på bondegården. 2. Der er sammenlagt 100 hoveder på bondegården. Spørgsmål: Hvor mange høns er der på bondegården? side 3
Måske kan du svare på dette uden at skrive noget som helst ned. I så fald bør du springe frem til det næste eksempel for at se at det nemt kan gøres sværere. Jeg vil ikke svare på spørgsmålet endnu, men bare vise hvordan det kan gøres til et matematisk problem. Hvis vi bliver enige om at kalde antallet af høns for x og antallet af grise for y, så kan informationerne skrives meget simplere, fordi antallet af ben på bondegården dermed bliver: 2x + 4y + 2 (Fordi hver høne har 2 ben, hver gris har 4 ben, og bondenmanden selv har 2 ben.) og antallet af hoveder på bondegården bliver: og x + y + 1 Vi kan altså omformulere vores oplysninger til: 2x + 4y + 2 = 344 x + y + 1 = 100 Det er oplysninger på denne form vi skal lære at håndtere i dette dokument. Hvis du kom til at løse ligningerne i det foregående eksempel (muligvis uden at skrive dem ned), så har du brug for at se et eksempel, hvor det er meget sværere at få overblik over informationerne, hvis ikke man skriver dem ned. Det kommer her: Eksempel 4. Bondemanden beslutter sig for at slå dyrebestanden ihjel og holde Pokémon er TM i stedet for. Hans samling består af: side 4
Charmandere (som har to ben, en hale, ingen horn og ingen ører) Ninetails (som har fire ben, ni haler, ingen horn og to ører) Tauroser (som har fire ben, tre haler, to horn og to ører) Rhydons (som har to ben, en hale, et horn og to ører) Bondemanden går nu omkring på gården og finder følgende oplysninger: 1. Det samlede antal ben på gården er 202 2. Det samlede antal haler på gården er 218 3. Det samlede antal horn på gården er 73 4. Det samlede antal ører på gården er 120 Der er ikke ret mange mennesker som er i stand til at se direkte hvor mange der er af hver slags Pokémon ud fra disse oplysninger. Hvis ikke du er denne ene person, så kan jeg glæde dig med at det heller ikke er meningen. I stedet for kan vi prøve at matematisere oplysningerne, lige som i eksemplet inden. Hvis vi kalder antallet af Charmandere for C, antallet af Ninetails for N, antallet af Tauroser for T og antallet af Rhydons for R, så kan vi udregne antallet af ben, haler o.s.v. lige som i det foregående eksempel. Dermed bliver de fire oplysninger til følgende fire ligninger: 1. 2C + 4N + 4T + 2R + 2 = 202 2. C + 9N + 3T + R = 218 3. 2T + R = 73 4. 2N + 2T + 2R + 2 = 120 Når du er færdig med dette dokument, så lover jeg at du kan løse disse ligninger og finde frem til hvor mange der er af hver slags Pokémon. side 5
2.1 At løse et ligningssystem Dette afsnit skal bare slå fast en gang for alle hvad det er vi skal arbejde med, og hvad vi er ude på at gøre. Definition 1. Et ligningssystem er to eller flere ligninger, som hver især giver information om et antal ukendte størrelser. Bemærk: Antallet af ukendte størrelser kan både være større og mindre end antallet af ligninger. Det er heller ikke nødvendigt at alle de ukendte størrelser optræder i hver eneste af ligningerne. (Se f.eks. eksempel 4). Definition 2. At løse et ligningssystem betyder at finde værdier af alle de ukendte størrelser som får alle ligningerne til at være opfyldt (på en gang). Et sådant sæt af værdier omtales som en løsning til ligningssystemet (selvom det består af flere tal). Bemærk: Et ligningssystem kan godt have mere end 1 løsning. Men dette betyder altså ikke at løsningen består af flere tal, men derimod at der findes flere forskellige sæt af tal som får ligningerne til at være opfyldt. side 6
2.2 Overdeterminerede og underdeterminerede systemer Nu skal vi have indført nogle ord som kan hjælpe os med at formulere hvad vi kan forvente os af løsningerne til et ligningssystem. Definition 3. Et ligningssystem kaldes overdetermineret hvis det ikke har nogen løsninger. Navnet overdetermineret betyder overbestemt og det hentyder til at ligningerne i dette tilfælde bestemmer for meget. Altså at de tilsammen kræver så meget at der ikke er nogen værdier af de ukendte størrelser som kan få alle ligningerne til at være opfyldt på en gang. LIgningssystemer er ofte (med ikke altid!) overdeterminerede hvis antallet af ligninger er større end antallet af ukendte. Eksempel 5. Følgende ligningssystem er overdetermineret: x + y = 1 x + y = 2 Det kan nemlig ikke lade sig gøre at finde to tal, x og y, som giver både 1 og 2 når man lægger dem sammen. Det næste navn er meget let at gætte: Definition 4. Et ligningssystem kaldes underdetermineret hvis det har mere end 1 løsning. side 7
Navnet hentyder til at ligningerne i dette tilfælde bestemmer for lidt. Altså at de tilsammen kræver så lidt at man kan få alle ligningerne til at være opfyldt på en gang på mere end en måde. LIgningssystemer er ofte (med ikke altid!) underdeterminerede hvis antallet af ligninger er mindre end antallet af ukendte. Eksempel 6. Følgende ligningssystem er underdetermineret: x + y = 1 2x + 2y = 2 Man kan vælge x og y på uendeligt mange måder (f.eks. x = 0 og y = 1 eller x = 1 og y = 1 ) sådan at begge ligninger kommer til at 2 2 gælde. Faktisk kommer den sidste ligning til at gælde automatisk hvis den første gælder. Og så selvfølgelig også det sidste begreb: Definition 5. Et ligningssystem kaldes veldetermineret hvis det har præcis 1 løsning. LIgningssystemer er ofte (med ikke altid!) veldeterminerede hvis antallet af ligninger er det samme som antallet af ukendte. Eksempel 7. Følgende ligningssystem er veldetermineret: x + y = 1 x y = 0 Den sidste ligning kræver at x og y er ens. Dermed er der kun en side 8
eneste måde at få den første ligning til at gælde. Nemlig: og x = 1 2 y = 1 2 Øvelse 1. Find eksempler på n ligninger med m ukendte, hvor: n > m og systemet er overdetermineret. n < m og systemet er overdetermineret. n > m og systemet er underdetermineret. n < m og systemet er overdetermineret. n > m og systemet er veldetermineret. Eksempel 8. Den sidste mulighed (hvor n < m, og hvor systemet er veldetermineret) er den sværeste at finde eksempler på. Faktisk er det umuligt hvis man kun leder iblandt såkaldt lineære ligninger. (Se afsnit 4.1.) Men hvis man laver lidt vildere ligninger, kan det godt lade sig gøre. Her er f.eks. 1 ligning med 2 ukendte som har præcis 1 løsning: x 2 + y 2 = 0 Den eneste løsning til denne ligning er x = 0 og y = 0. Hvis bare en af de ukendte er forskellig fra nul, så bliver venstresiden af ligningen positiv, og derfor ikke nul. side 9
3 Substitutionsmetoden Nu kommer hele hemmeligheden bag at løse flere ligninger med flere ukendte. Metoden (eller rettere: måden at tænke på) er kendt som substitutionsmetoden og det er præcis den samme metode som du (måske uden at vide det) brugte da du løste problemerne i eksempel 1 og 2. Vi starter med at formulere metoden uden nogen matematiske ord: Hvis du har flere oplysninger som omtaler flere ukendte størrelser, så benyt følgende fremgangsmåde: 1. Vælg en af oplysningerne. 2. Omformuler den til en brugbar form. 3. Brug den til at simplificere de andre oplysninger. Selvom denne fremgangsmåde lyder ret indlysende, så er det stadig ret uklart hvad brugbar form og simplificere betyder. Og det er stadig ikke klart hvordan de andre oplysninger bringer os til den samlede konklusion. Det bliver meget mere præcist når de ukendte størrelser er tal og oplysningerne er ligninger: Metode 9 (Substitutionsmetoden, del 1). Når du har flere ligninger med flere ukendte talstørrelser, så benyt følgende fremgangsmåde: 1. Vælg en af ligningerne. 2. Omskriv den til en brugbar form. I praksis betyder det ofte (men ikke altid) at man isolerer en af de ukendte størrelser, sådan at man ved hvordan denne størrelse kan beregnes ud fra de øvrige. side 10
3. Anvend denne omformulering til at simplificere de andre ligninger. I praksis betyder det ofte at man erstatter enhver forekomst af den ukendte som man lige har isoleret med det som den er lig med. Dette er den vigtigste del af substitutionsmetode. Og det er grunden til navnet, fordi vi substituerer udtrykket for den ene ukendte ind i de øvrige ligninger. Nu mangler vi bare at sparke bolden i mål. Det foregår i 3 skridt mere: Metode 10 (Substitutionsmetoden, del 2). 4. Kig på de resterende ligninger. Der er 1 ligning mindre end da vi startede, og at de handler om 1 ukendt mindre end da vi startede. Dermed har vi simplificeret problemet. 5. Løs det simplificerede problem (eventuelt ved at starte forfra og bruge denne metode på det simplificerede problem). Og find dermed værdierne af de resterende ukendte størrelser. 6. Slut af med at gå tilbage til den ligning som du omskrev i punkt 2, og indse at her står hvordan den sidste størrelse kan beregnes (fordi du nu kender værdierne af de øvrige størrelser.) Denne del er som regel den sværeste at forstå hvis ikke man sidder med et eksempel foran sig. Derfor kommer der øjeblikkeligt et eksempel her: Eksempel 11. Lad os løse de to ligninger med to ukendte fra eksempel 3 2x + 4y + 2 = 344 side 11
x + y + 1 = 100 Punkt 1: Vi vælger den sidste ligning. (Fordi den er nemmest at gennemføre punkt 2 med.) Punkt 2: Vi omskriver den valgte ligning til: x + y = 99 dvs. x = 99 y Punkt 3: Dette substitueres ind i den første af ligningerne. Dermed bliver den til: 2 (99 y) + 4y + 2 = 344 Bemærk at vi simpelt hen at skrevet den første ligning op, men i stedet for x har vi copy paste et det som vi lige har fundet ud af at x er lig med. (Det er sat i en parentes for at sikre at det hele bliver ganget med 2). Punkt 4: Vi bemærker (til vores glæde) at dette kun er én ligning med én ukendt størrelse. side 12
Punkt 5: Efter at have klappet lidt i hænderne over den indsigt, løser vi ligningen ved først at omskrive den: dvs. dvs. dvs. 2 99 2 y + 4y + 2 = 344 200 + 2y = 344 2y = 144 y = 72 Og dermed har vi fundet ud af at y (altså antallet af grise) må være 72. Punkt 6: Nu er det meget nemt at spole tilbage til punkt 2 og se at: x = 99 y = 99 72 = 27 Og dermed har bondemanden altså 27 høns. Øvelse 2. Det er meget nemt at lave sine egne træningsopgaver. Men her er et eksempel på 2 ligninger med 2 ukendte som du kan øve dig på: 6x y = 181 x + y = 26 side 13
Hvis du finder på dine egne opgaver skal du bare være forberedt på at lave lidt brøkregning, fordi divisionerne ikke altid går op. Det bliver en hel del sværere hvis man har mere end 2 ligninger. Så skal man nemlig bruge substitionsmetoden flere gange. Det kan du se eksempler på i det næste afsnit. 4 Eksempler I dette afsnit vil jeg ikke fremhæve hvert skridt af substitutionsmetoden sådan som jeg gjorde i eksempel 11. Det bliver nemlig forvirrende når man skal bruge substitionsmetoden flere gange. I stedet vil jeg prøve at vise hvordan man som regel skriver sin løsning ned på en måde så andre kan følge med. 4.1 Lineære ligninger En særlig type af ligningssystemer er de såkaldte lineære ligninger. De dukker op mange steder, og de har den fordel at substitutionsmetoden altid virker. Definition 6. En ligning med n ukendte: x 1, x 2,..., x n kaldes lineær hvis den er på (eller kan omskrives til) formen: a 1 x 1 + a 2 x 2 +... + a n x n = b hvor a 1, a 2,..., a n og b er (kendte) reelle tal. Et system af flere ligninger kaldes et lineært ligningssystem hvis alle de indgående ligninger er lineære. Lad os tage et eksempel med 3 ligninger og 3 ukendte: side 14
side 15
Eksempel 12. Jeg vil løse det lineære ligningssystem: x + y + z = 1 2x y + z = 2 x + y z = 3 Den første ligning kan omskrives til: z = 1 x y (1) Dette substitueres ind i de to sidste ligninger. Dermed bliver de til: hvilket kan omskrives til: og 2x y + (1 x y) = 2 x + y (1 x y) = 3 x 2y = 1 (2) 2x + 2y = 4 (3) Vi har nu reduceret problemet til 2 ligninger med 2 ukendte (nemlig ligning 2 og 3). Så vi nulstiller lige hovedet og løser disse to ligninger ved at starte forfra med substituionsmetoden. For at bevare overblikket kan det være en god ide at minde sig selv om at når vi bliver færdige med denne omgang og finder x og y, så står der oppe i ligning 1 hvad z skal være. Vi vælger at omskrive ligning 2 til: x = 1 + 2y Indsættes dette i ligning 3, giver det: 2 (1 + 2y) + 2y = 4 side 16
dvs. 2 + 6y = 4 Dette er en ligning med en enkelt ukendt og kan lynhurtigt løses: y = 1 3 Hvis vi så spoler tilbage til den linje hvor vi isolerede x, så ser vi at: x = 1 + 2y = 1 + 2 3 = 5 3 Og spoler vi så helt tilbage til ligning 1 (som planlagt), så ser vi at: z = 1 x y = 1 5 3 1 3 = 1 Ligningerne fra eksempel 4 er også lineære. Lad os prøve at løse dem: Eksempel 13. Ligningerne fra eksempel 4 var: 2C + 4N + 4T + 2R + 2 = 202 C + 9N + 3T + R = 218 2T + R = 73 2N + 2T + 2R + 2 = 120 Jeg tager fat i den tredie ligning (fordi den er mest overskuelig) og isolerer R. Det giver: R = 73 2T (4) side 17
Dette substitueres ind i de øvrige ligninger, hvilket giver tre ligninger med tre ukendte: 2C + 4N + 4T + 2 (73 2T ) + 2 = 202 C + 9N + 3T + (73 2T ) = 218 2N + 2T + 2 (73 2T ) + 2 = 120 Hvilket kan omskrives (ved at gange ind i parenteser og samle de led som indeholder T ): 2C + 4N + 148 = 202 C + 9N + T + 73 = 218 2N 2T + 148 = 120 Og ved at trække tal fra på begge sider: 2C + 4N = 54 C + 9N + T = 145 2N 2T = 28 Jeg tager fat i den sidste af disse ligninger (temmeligt tilfældigt valg) og isolerer N: 2N = 28 + 2T dvs. N = T 14 (5) Dette substitueres ind i de øvrige to ligninger, hvilket giver to ligninger med to ukendte: 2C + 4 (T 14) = 54 C + 9 (T 14) + T = 145 Disse ligninger kan simplificeres ved at gange ind i parentes: 2C + 4T 56 = 54 side 18
og derefter samle nogle led: C + 9T 126 + T = 145 2C + 4T = 110 C + 10T = 271 Jeg isolerer C i den nederste af de to ligninger: C = 271 10T (6) og substituerer dette ind i den øverste af de to ligninger. Det giver (endelig!) en enkelt ligning med en enkelt ukendt: 2 (271 10T ) + 4T = 110 dvs. dvs. dvs. 542 20T + 4T = 110 16T = 432 T = 27 4.2 Ikke lineære ligninger Det eneste punkt i substitutionsmetoden som kan give problemer er det punkt, hvor man skal isolere en af de ukendte størrelser. Her er et (forfærdeligt) eksempel. Eksempel 14. Her er et eksempel som du (og jeg) ikke har lyst til at løse ved hjælp af substitutionsmetoden: side 19
y sin(e x ) = 1 e sin(x y) = 1 4.3 Veldeterminerede systemer 4.4 Over og underdeterminderede systemer Til slut vender vi tilbage til det som vi startede med, nemlig snakken om tilstrækkelige informationer. side 20