Oversigt Nøgleord og begreber Egenvektorer, egenværdier og diagonalisering Dobbelt integral og polært koordinatskift Ortogonal projektion og mindste afstand Retningsafledt og gradient Maksimum/minimums metoder Potensrækker Differentialligninger [S], [LA] Oversigt Matematik Alfa, Januar Opgaver. Find gradient og retningsafledt. Angiv egenvektorer. Beregn et dobbeltintegral 4. Beregn en ortogonal projektion 5. Løs en lineær differentialligning 6. Angiv en potensrække og find en grænseværdi 7. Bestem kritiske punkter og ekstrema Calculus - 6 Uge 5. - Calculus - 6 Uge 5. - Find gradient Matematik Alfa, Januar Opgave Betragt funktionen f(, ) + + for >, >. ) Angiv f (5, ). ) Angiv f(5, ). ) Angiv en enhedsvektor u så at den retningsafledede D u f(5, ) er. Find gradient Matematik Alfa, Januar Opgave - løsning ) De partielle afledede beregnes ) Gradienten angives f ( + ) f ( + ) f (5, ) 49 f(5, ) (f (5, ), f (5, )) ( 49, 4 49 ) Calculus - 6 Uge 5. - Calculus - 6 Uge 5. - 4 Find gradient Matematik Alfa, Januar Find gradient Matematik Alfa, Januar Opgave - løsning 7 f u (5,) 5 6. I retning u (u, u ) er den retningsafledede D u f(5, ) f(5, ) u ( 49, 4 49 ) (u, u ) 49 ( u + 4u ) Opgave - løsning Den retningsafledede for D u f(5, ) 49 ( u + 4u ) u + 4u u + u En løsning er u ( 4 5, 5 ) Calculus - 6 Uge 5. - 5 Calculus - 6 Uge 5. - 6 Find gradient Matematik Alfa, Januar Find gradient Matematik Alfa, Januar Opgave - ekstra Opgave - figur Grafen + + angenter til niveaukurver for + +. Calculus - 6 Uge 5. - 7 Calculus - 6 Uge 5. -
Find gradient Matematik Alfa, Januar Angiv egenvektor Matematik Alfa, Januar Opgave - figur Opgave Betragt matricen 9 4 A 6. 4 Skalerede gradienter 4 for + +. ) Det oplses, at vektoren (,, ) er en egenvektor for A. Angiv den tilhørende egenværdi. ) Angiv endnu en egenvektor til dennne egenværdi; der ønskes en egenvektor, som ikke er af form t (,, ). Calculus - 6 Uge 5. - 9 Calculus - 6 Uge 5. - Angiv egenvektor Matematik Alfa, Januar Opgave - løsning. Egenværdi hørende til egenvektoren (,, ): 9 4 6 4 giver egenværdi.. Egenvektorer hørende til egenværdien : 4 4 A I 6 4 Angiv egenvektor Matematik Alfa, Januar Opgave - løsning giver det reducerede ligningssstem og dermed + 4 4 + 4 + 4 + hvor, vælges frit. Som egenvektor ej på form t (,, ) kan vælges ( 4,, ). Calculus - 6 Uge 5. - Calculus - 6 Uge 5. - Angiv egenvektor Matematik Alfa, Januar Angiv egenvektor Matematik Alfa, Januar Opgave - gør prøve! 9 4 4 6 4 9 4 6 4 4 4 Opgave - figur (,,) (,,) Egenvektorer ( 4,,) Så prøven stemmer! Calculus - 6 Uge 5. - Calculus - 6 Uge 5. - 4 Beregn et dobbeltintegral Matematik Alfa, Januar Opgave Lad betegne trekanten i -planen med hjørner (, ), (, ), (, ) (tegn!). ) Opskriv to itererede integraler til udregning af et dobbeltintegral af form f(, ) da. ) Udregn dobbeltintegralet sin( ) da. Beregn et dobbeltintegral Matematik Alfa, Januar Opgave - figur (,) {(, ), } {(, ), } Calculus - 6 Uge 5. - 5 Calculus - 6 Uge 5. - 6
Beregn et dobbeltintegral Matematik Alfa, Januar Opgave - løsning Dobbeltintegralet er pe I: {(, ), } {(, ), } f(, ) da Dobbeltintegralet er pe II: f(, ) da f(, ) d d f(, ) d d Beregn et dobbeltintegral Matematik Alfa, Januar Opgave - løsning sin( ) da sin( ) d d [ sin( ) sin( ) d [ cos( ) ] ( cos()). ] d Calculus - 6 Uge 5. - 7 Calculus - 6 Uge 5. - Beregn et dobbeltintegral Matematik Alfa, Januar Opgave - figur E {(,, ) (, ), sin( )} Beregn projektion Matematik Alfa, Januar Opgave 4 Betragt følgende vektorer i R 4, u (,,, ) u (,,, ) u (,,, ) Det oplses at disse vektorer er indbrdes ortogonale. Lad U betegne det lineære underrum af R 4, som er udspændt af u, u og u. Lad v betegne vektoren v (,,, 5). ) Angiv projektionen ( den ortogonale projektion) proj U (v) af v ind på U. ) Angiv afstanden fra v til U. Calculus - 6 Uge 5. - 9 Calculus - 6 Uge 5. - Beregn projektion Matematik Alfa, Januar Opgave 4 - løsning ) Fra Sætning 7 fås projektionen af v (,,, 5) på u (,,, ), u (,,, ), u (,,, ) proj U (v) proj u (v) + proj u (v) + proj u (v) v u u u u + v u u u u + v u u u u (,,, ) + (,,, ) + 6 (,,, ) (, 5,, ) Beregn projektion Matematik Alfa, Januar Opgave 4 - løsning Restvektoren v proj U (v) (,,, 5) (, 5,, ) (,,, ) har længde, som angiver den mindste afstand fra v til U v u (,,, ) 7 6 Calculus - 6 Uge 5. - Calculus - 6 Uge 5. - Beregn projektion Matematik Alfa, Januar Løs differentialligning Matematik Alfa, Januar Opgave 4 - figur v v u U Opgave 5 Angiv den fuldstændige løsning () til differentialligningen (for > ) +. Angiv endvidere den løsning, der opflder betingelsen () 5. u proj U(v) Ortogonal projektion på underrum U Calculus - 6 Uge 5. - Calculus - 6 Uge 5. - 4
Løs differentialligning Matematik Alfa, Januar A() B() + a(), b() a() d d ln e A() b() d e ln d Løs differentialligning Matematik Alfa, Januar Som giver fuldstændig løsning () Ce A() + B()e A() Ce ln + e ln C + Calculus - 6 Uge 5. - 5 Calculus - 6 Uge 5. - 6 Løs differentialligning Matematik Alfa, Januar Opgave 5 - retningsfelt Løs differentialligning Matematik Alfa, Januar I den partikulære løsning bestemmes C ved () 5. () C + 5 I alt er løsningen () 6 + I punktet (, ) tegnes et kort linjestkke med hældning () +. Calculus - 6 Uge 5. - 7 Calculus - 6 Uge 5. - Løs differentialligning Matematik Alfa, Januar Opgave 5 - figur skurve () 6 + Angiv potensrække Matematik Alfa, Januar Opgave 6 ) Angiv en potensrækkefremstilling for sin. ) Angiv grænseværdien ) Bent potensrækken sin sin lim cos. ( ) n (n + )! n+ n Calculus - 6 Uge 5. - 9 Calculus - 6 Uge 5. - Angiv potensrække Matematik Alfa, Januar Opgave 6 - løsning sin!! + 5! 5... til at få sin ( ) n+ (n + )! n+ n skrevet ud sin! 5! 5 +... Angiv potensrække Matematik Alfa, Januar Opgave 6 - løsning ) Dermed er Det følger, at f() sin ( ) n+ (n + )! n n! 5!... sin lim cos lim f() cos f() cos 6 Calculus - 6 Uge 5. - Calculus - 6 Uge 5. -
Angiv potensrække Matematik Alfa, Januar Bestem ekstrema Matematik Alfa, Januar Opgave 6 - figur Grafen for sin cos Opgave 7 Minimer + + under bibetingelsen +. Det kan frit benttes at et sådant minimum eksisterer. Sæt f(, ) + + og g(, ) +. De partielle afledede er f +, f + g, g Calculus - 6 Uge 5. - Calculus - 6 Uge 5. - 4 Bestem ekstrema Matematik Alfa, Januar Opgave 7 - fortsat Lagrange ligningssstem bliver Bestem ekstrema Matematik Alfa, Januar Opgave 7 - figur + λ + λ + en giver ± og videre fire punkter (, ), (, ), (, ), (, ) Indsættelse giver minimumspunkter/værdi (a, b) (, ), (, ), f(a, b) 9 (,,9) Grafen for f (,,9) Calculus - 6 Uge 5. - 5 Calculus - 6 Uge 5. - 6 Bestem ekstrema Matematik Alfa, Januar Opgave 7 - alternativt Løs bibetingelsen, ± og minimer funktionen Den afledede er h() f(, ± ) ± h 6 4 () 4 De kritiske punkter a ± giver minimumspunkter/værdi (a, b) (, ), (, ), f(a, b) 9 Calculus - 6 Uge 5. - 7