Matematik og Form 3. Rækkereduktion til reduceret echelonfo. Rang og nullitet

Matematik og Form 3. Rækkereduktion til reduceret echelonform Rang og nullitet Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 11.2.2013

Reduktion til (reduceret) echelonmatrix Et eksempel Et ligningssystem Reduktion på nettet x 1 + 2x 2 x 3 + 2x 4 + x 5 = 2 x 1 2x 2 + x 3 + 2x 4 + 3x 5 = 6 På echelonform 1 2 1 2 1 2 0 0 1 2 2 1 0 0 0 4 4 8 0 0 0 0 0 0 2x 1 + 4x 2 3x 3 + 2x 4 = 3 3x 1 6x 2 + 2x 3 + 3x 5 = 9

Løsningsmængde fra reduceret echelon Parameterfremstilling På reduceret echelonform Pivoter 1 2 0 0 1 5 0 0 1 0 0 3 0 0 0 1 1 2 0 0 0 0 0 0 Et simpelt ligningssystem løses frie og bundne variable 1: 2: 3: 4:

Løsning på parameterform Frie variable som parametre Metode Giv (på skift) en af de frie variable værdien 1 og de andre værdien 0.

Ligningssystemer og matricer Til et ligningssystem svarer der en totalmatrix [A b] bestående af koefficientmatrix A og højreside b. Omvendt oversættes totalmatricen [A b] til matrixligningen Ax = b med den ubekendte vektor x = ligningssystem på kort form. x 1. x n et lineært

Elementære rækkeoperationer på ligningssystemer og matricer ledende koefficient i en række: det første element = 0! Navn Formål (i en søjle) Rækkeombytning ledende koefficient op, 0-taller ned! Rækkeaddition 0-taller under/over ledende koefficient! Rækkemultiplikation ledende koefficient 1! To matricer kaldes rækkeækvivalente hvis man kan overføre den ene i den anden ved en eller flere elementære rækkeoperationer. Hvorfor? To ligningssystemer svarende til rækkeækvivalente totalmatricer har samme løsningsmængde! Hvad kan man opnå gennem systematisk anvendelse af rækkeoperationer?

Echelon-matricer Matricer på trappeform Række Echelon-matricer En matrix på echelonform har 1 alle 0-rækker nederst. 2 De ledende koefficienter (først i rækken = 0) flytter til højre når man vandrer ned ad rækkerne. (Konsekvens: I området under og til venstre for en ledende koefficient står der kun 0-taller). Reducerede række Echelon-matricer En matrix på reduceret echelonform opfylder desuden: 1 Ledende koefficienter = 1 kaldes Pivoter. 2 Også over Pivoter står der kun 0-taller. En matrix kan ved rækkeoperationer overføres til forskellige matricer på echelonform, men kun til en matrix på reduceret echelonform.

Rækkereduktion til echelonform Gauss-algoritmen (forlæns) Algoritmen (regnemetoden) går igennem matricens søjler fra venstre til højre. Den bruger r-ombytning for at opnå at ledende koefficienter længst vil venstre optræder i rækken lige under den sidst opnåede Pivotposition r-addition for at opnå at der kun står 0-taller under denne ledende koefficient. I hver søjle: højst en ombytning, men ofte flere additioner. Resultat: En rækkeækvivalent matrix på echelonform.

Rækkereduktion til reduceret echelonform Gauss-Jordan-algoritmen (baglæns) Algoritmen fortsætter fra en matrix på echelonform. Den går igennem Pivotelementer fra venstre til højre og bruger r-multiplikation for at opnå at Pivotelementet bliver 1. r-addition for at opnå at der også står 0-taller over Pivotelementet. Resultat: Den rækkeækvivalente matrix på reduceret echelonform. Ligningssystemet svarende til en matrix på reduceret echelonform løses nemt ved at isolere de bundne variable (svarende til Pivotsøjler).

Konsistente og inkonsistente ligningssystemer Echelonform afgør! Et lille ligningssystem x 1 + 2x 2 = 3 2x 1 x 2 = 5 5x 1 + 5x 2 = 0 Løsning (?) Konsistens/inkonsistens Et ligningssystem kaldes konsistent hvis det har mindst en løsning. Hvis system-matricen [A b] indeholder en række på formen [0... 0 c] med c =0, så er systemet inkonsistents; ellers konsistent.

Fra reduceret echelonform til parameterfremstilling for løsningsmængden Reduceret echelonmatrix 1 0 0 2 0 3 4 0 0 1 0 0 5 6 Pivoter Pivotsøjler og bundne 0 0 0 0 1 7 8 variable frie variable Løsning og parameterfremstilling L

Løsningsmængden L for et lineært ligningssystem I The general solution Løsningsmængden beskriver alle løsninger: L = {[x 1,..., x n ] R n x 1,... x n opylder alle m ligninger} R n Hvis en rækkeækvivalent echelonmatrix indeholder en række på formen [00 0 c] med c = 0, så er systemet inkonsistent ingen løsning L =. Hvis ikke, så svarer hver Pivotsøjle (som indeholder en ledende koefficient) til en bunden variabel og hver af de andre til en fri variabel. Er der kun bundne variable, så har systemet en entydig løsning L har netop ét element [x 1,, x n ]. Denne løsning findes umiddelbart ud fra den reducerede echelonmatrix.

Løsningsmængden L for et lineært ligningssystem II Frie variable bundne variable Frie variable kan antage vilkårlige reelle tal som værdier, uafhængigt af hinanden. De bundne variable udtrykkes som linearkombinationer af de frie ved substitution med udgangspunkt i echelonmatrix. Resultat: en parameterfremstilling for løsningsmængden L. L har uendelig mange løsninger hvis et konsistent system giver anledning til en eller flere frie variable (søjler uden Pivot).

Fra ligningssystem til løsningsmængde Trin for trin 1 Overfør ligningssystemet til (udvidet) matrix 2 Rækkereduktion matrix på echelonform 1 Er højresiden en Pivotsøjle (er der en ledende koefficient i sidste søjle)? Systemet er inkonsistent. Stop! 2 Ellers er systemet konsistent. Fortsæt! 3 Rækkereduktion matrix på reduceret echelonform. 4 Overfør denne sidste matrix til et (ækvivalent) ligningssystem 5 Isoler bundne variable parameterfremstilling med de frie variable som parametre

Rang og nullitet Givet en m n-matrix A med rækkeækvivalent matrix R på reduceret række echelonform. Definition 1 As rang rank(a): Antal Pivotsøjler i R og dermed i A. 2 As nullitet (eller defekt) nullity(a): Antal søjjler uden Pivot. Sumformel rank(a) + nullity(a) = n. (Variablene er enten bundne eller fri!)

Rang og nullitet Et eksempel på nettet Gaussian elimination Sample 5