Formelsamling Kaos 2005

Formelsamling Kaos 2005 Lykke Pedersen Indhold 1 En dimension 2 1.1 Fixpunkter og stabiliet...................... 2 1.2 Bifurkationer........................... 3 2 To dimensioner 4 2.1 Lineære systemer......................... 4 2.2 Faserum.............................. 5 2.3 Grænsecykler........................... 7 2.4 Bifurkationer........................... 7 2.5 Poincaré maps........................... 8 3 Kaos 9 3.1 Lorenz systemer.......................... 9 3.2 En dimensionale maps...................... 10 3.3 Fraktaler.............................. 11 3.4 Sære attraktorer......................... 12 1

1 EN DIMENSION 2 1 En dimension 1.1 Fixpunkter og stabiliet Pile: ẋ > 0: mod højre ẋ < 0: mod venstre Logistisk ligning Ṅ = rn ( 1 N ) K hvor K er den bærende kapacitet. N = 0 er ustabilt, og N = K er stabilt. Stabilitet f (x) > 0: ustabilt f (x) < 0: stabilt Eks. og entydighed Betragt begyndelsværdi problemet ẋ = f(x) x(0) = x 0 Antag at f(x) og f (x) er kontinuerte på et åbent interval R på x-alsen og antag, at x 0 er et punkt i R. Så har begyndelsværdi problemet en løsning x(t) på et interval ( τ, τ) om t = 0, og løsningen er entydig. Periodicitet Der er ingen periodiske løsninger til ẋ = f(x). Potentialer Potentialet defineres som f(x) = dv dx med ẋ = f(x) = dv/dt fås ( ) dv dv dt = 0 dt dv = 0: ligevægt; V er konstant dx Lokalt minimum: stabilt fixpunkt. Lokalt maksimum: ustabilt fixpunkt.

1 EN DIMENSION 3 1.2 Bifurkationer Saddle-node Typisk ligning for saddle-node bifurkation: ẋ = r + x 2 eller ẋ = r x 2 Der opstår to fixpunkter ud af ingenting. Transkritisk Typisk ligning for transkritisk bifurkation: ẋ = rx x 2 Der skiftes stabilitet af fixpunkterne. Superkritisk pithc. Typisk ligning for superkritisk pitchfork bifurkation: ẋ = rx x 3 Invariant under skift fra x til -x. x 3 virker stabiliserende. Et stabilt fixpunkt x = 0 skifter stabilitet ved r = 0, og to nye stabile fixpunkter opstår x = ± r. Subkritisk pithcfork Typisk ligning for superkritisk pitchfork bifurkation: ẋ = rx + x 3

2 TO DIMENSIONER 4 x 3 virker destabiliserende. x = 0 er stabilt for r < 0 men skifter stabilitet ved r = 0. x = ± r er ustabile for r > 0 og forsvinder for r 0. Afdimensionalisering Se bogen s.61. Ved højere ordensled kan systemet stabiliseres og stadig være invariant under skift fra x til -x. F.eks stabileres hvis ẋ = rx + x 3 x 5 her kan der opstå hysterese se s. 59. Uperfekte bif. Man kan addere en konstant h 0 til pitchfork bifurkationerne, derved får man en uperfekt bifurkation. F.eks. ẋ = h + rx x 3 Der sker en saddle-node birfurkation for h c (r) = 2r 3 r 3 Der er ét fixpunkt for h < h c (r) og 3 fixpunkter for h > h c (r). Plotter man x over (r,h)-planen får man en cusp katastrofe plan. 2 To dimensioner 2.1 Lineære systemer Mangfoldighed Den stabile mangfoldighed for saddelpunktet x er defineret, som det sæt af begyndelsesværdier x 0 sådan at x(t) x for t. Den ustabile mangfoldighed for saddelpunktet x er defineret, som det sæt af begyndelsesværdier x 0 sådan at x(t) x for t. Tiltrækkende For alle traktorier tæt på x gælder der x(t) x for t Liapunov stabil Fixpunktet x er Liapunov stabilt, hvis alle traktorier som starter tæt på x, forbliver tæt på det hele tiden.

2 TO DIMENSIONER 5 Stabilt x er både tiltrækkende og Liapunov stabilt. Center Alle egenværdier er imaginære. Perioden er T = 1 2 2π 4 τ 2 Spiral Komplekse egenværdier optræder. Stabil hvis Re(λ) < 0 og ustabil hvis Re(λ) > 0 2.2 Faserum Nullclines Defineres som linier hvor ẋ = 0 eller ẏ = 0. Eks. og entydighed Betragt begyndelsesværdi problemet ẋ = f(x), x(0) = x 0. Antag at f er kontinuert, og at alle dens partielle afledede f i / x j, i, j = 1,..., n er kontinuerte for x i et åbent interval D R n. Så gælder for x 0 D, at begyndelsesværdiproblemet har en løsning x(t) på et tidsinterval ( τ, τ) omkring t = 0, og løsningen er entydig. Poincaré-Bendixson Hvis en traktorie er indesluttet i en lukket, begrænset region, og der ikke er nogen fixpunkter i den region, så vil traktorien nærme sig en lukket kurve. Jacobiant ( f x g x f y g y ) (x,y ) Linearisering ( u v ) = ( f x g x f y g y ) ( u v Kan kun bruges til afgørelse af saddel punkter, knuder eller spiraler. ) Robust Repellers: begge egenværdier har en positiv real del. Attraktorer: begge egenværdier har en negativ real del. Saddles: en egenværdi er negativ den anden er positiv. Marginal Centers: Begge egenværdier er kun imaginære. Higher-order and non-isolated fixedpoints: mindst en egenværdi er nul. Hyperbolsk Re(λ) 0 for begge egenværdier. Linearisering giver den eksakte stabilitet.

2 TO DIMENSIONER 6 Basin of attr. Givet et tiltrækkende fixpunkt x, så er sættet af begyndelsesværdier x 0 for hvilke x(t) x for t defineret som the bassin of attraction. Konservativt system Givet et system ẋ = f(x), så er en bevaret størrelse en reel-funktion E(x), som er konstant på traktorier. Et konservativt system kan ikke have nogle tiltrækkende fixpunkter. Centrer bestemt af linearisering er centrer for konservative systemer. Theorem 6.5.1: Betragt et system ẋ = f(x), hvor x = (x, y) R 2 og f er kontinuert differentiabel. Antag at der eksisterer en bevaret størrelse E(x) og antag, at mathbfx er et isoleret fixpunkt. Hvis x er et lokalt minimum for E, så er alle traktorier tæt på x lukkede. Reversible systemer Ethvert system mẍ = F (x) er symmetrisk under tids ombytning. Hvis (x(t),y(t)) er løsninger, så vil (x(-t),-y(-t)) også være det. Definition: Et reversibelt system er et 2. ordens system som er invariant under t t og y y. F.eks. systemet ẋ = f(x, y) og ẏ = g(x, y) med f lige og g ulige. Theorem 6.6.1: Hvis x = 0 er et lineært center for det kontinuerte diff. system ẋ = f(x, y) og ẏ = g(x, y) og hvis systemet er reversibelt, så vil alle traktorier tæt på origo være lukkede kurver. Indeks Indekset for en lukket kurve C er et heltal, der måler krumningen af vektorfeltet på C. Hvis ẋ = f(x) er et glat vektorfelt i faserummet. Betragt da en simpel, lukket kurve C, som ikke løber gennem nogen fixpunkter. Ved hvert punkt x på C, vil vektorfeltet ẋ = (ẋ, ẏ) danne en vinkel med x-aksen φ = tan 1 (ẏ/ẋ) Lad [φ] C være den totale ændring af φ i løbet af en omgang, så er indekset af den lukkede kurve C med respekt til vektorfeltet f I C = 1 2π [φ] C

2 TO DIMENSIONER 7 Under deformation af C ændres I C ikke. I C = 0, hvis C ikke omslutter nogen fixpunkter. I C er uændret under t t. Hvis C er en traktorie for systemet, så er I C = +1. Theorem 6.8.1: Hvis en lukket kurve C omslutter n isolerede fixpunkter x 1,..., x n, så er I C = I 1 + I 2 + + I n hvor I k er indekset for x k for k = 1,..., n. Theorem 6.8.2: Enhver lukket bane i faserummet må omslutte fixpunkter hvor deres indeks summer til +1. 2.3 Grænsecykler Grænsecykler Kan ikke opstå ved lineære systemer. Dulacs kriterie Lad ẋ = f(x) være et kontinuert differentiabel vektorfelt defineret på et simpelt forbundet underrum R af faserummet. Hvis der eksisterer en kontinuert reel differentiabel funktion g(x), sådan at (gẋ) har samme fortegn i hele R, så er der ingen lukkede kurver, som udelukkende ligger i R. g(x) kan være 1, 1/x a, y b, e ax og e ay. Poincaré-Bendixson Antag at: 1. R er en lukket, begrænset mængde af rummet. 2. ẋ = f(x) er et kontinuert differentiabel vektorfelt på en åben mængde indeholdende R. 3. R indeholder ikke nogen fixpunkter. 4. Der eksisterer en traktorie C, som er begrænset til R. Så er C enten en lukket bane, eller den spiralerer mod en lukket bane når t. I begge tilfælde indeholder R en lukket kurve 2.4 Bifurkationer Saddle-node Typisk system: ẋ = µ x 2 og ẏ = y

2 TO DIMENSIONER 8 Trankritisk Typisk system: ẋ = µx x 2 og ẏ = y Superkritisk pitch. Typisk system: ẋ = µx x 3 og ẏ = y Subkritisk pitchfork Typisk system: ẋ = µx + x 3 og ẏ = y Hopf Kan opstå i faserum med dimension 2. To egenværdier, der er hinandens kompleks konjugerede, krydser den imaginærer akse og kommer ind i højre halvplan. Superkritisk Hopf En stabil spiral ændres til en ustabil spiral omringet af en næsten elliptisk grænsecykel. Typisk system: ṙ = µr r 3 θ = ω + br 2 Generelle regler: Subkritisk hopf Typisk system: 1. Størrelsen af grænsecyklen vokser kontinuert fra 0 og forøges proportionelt med µ µ C, for µ tæt på µ C (se systemet s.250). 2. Frekvensen af grænsecyklen er ca. givet ved ω = Im(λ), evalueret ved µ = µ C. Perioden er T = 2π + O(µ µ Im(λ) C). ṙ = µr + r 3 r 5 θ = ω + br 2 r 3 virker nu destabiliserende. Ved µ = 0 sker en subkritisk Hopf bifurkation hvor den mellemliggende ustabile grænsecykel snørres rundt om det stabile fixpunkt, der bliver ustabilt. Hysterese er muligt. 2.5 Poincaré maps Poincaré map Betragt et n dimensionelt system ẋ = f(x). Lad S være en n-1 dimensionel overflade, hvor ALLE traktorier går igennem og ikke langs med. Poincaré map et P er en afbildning fra S til S. Hvis x k S betegner den k te skæring med S, så er Poincaré map defineret ved x k+1 = P (x k ) Antag at x er et fixpunkt for P, så vil en traktorie der starter ved x også ende ved x efter en tid T.

3 KAOS 9 3 Kaos 3.1 Lorenz systemer Lorenz lignigner ẋ = σ(y x) ẏ = rx y xz ż = xy bz σ (Prandtl nummer), b,r (Rayleigh nummer) 0. Løsninger er symmetriske da (x, y) ( x, y) ikke ændrer systemet. V (t) = V (0)e (σ+1+b)t, volumener skrumper eksponentielt. Volumen ændring V = V ḟdv Fixpunkter Origo (x, y, z ) = (0, 0, 0) er saddelpunkt hvis r > 1 og stabil knude for r < 1 (egentlig globalt stabilt fixpunkt). C + og C er fixpunkter for r > 1 med x = y ± b(r 1) og z = r 1. De er lineære stabile for 1 < r < r H = σ(σ + b + 3) σ b 1 og mister stabiliteten i en Hopf bifurkation. Kaos Aperiodisk opførelse på lang sigt i et deterministisk system, som afhænger sensitivt af begyndelsesbetingelserne i et faserum med dimension større end eller lig 3. 1. Aperiodisk: Der er traktorier som aldrig går mod fixpunkter, periodiske baner, eller quasiperiodiske baner når t 2. Deterministisk: systemet har ingen tilfældige inputs eller forstyrrende elementer. 3. Sensitiv afh. af beg.bet.: Nærliggende traktorier separeres eksponentielt hurtigt. Attraktor En attraktor er en lukket mængde som har følgende egenskaber: 1. A er invariant 2. A tiltrækker et åbent sæt af begyndelsesværdier 3. A er minimal Sær attraktor En attraktor der er stærkt afhængig af begyndelsesværdierne.

3 KAOS 10 3.2 En dimensionale maps Stabilitet λ = f (x ) < 1: x er stabilt. λ = f (x ) > 1: x er ustabilt. λ = f (x ) = 0: x er superstabilt. λ < 0 x n konvergerer mod x via dæmpede oscillationer. λ > 0 x n konvergerer monotont mod x. Logistisk map x n = rx n (1 x n ) med x n 0 og r 0. r < 1: x n 0 for n. Periode fordoblinger: Liapunov eksp. r periode 3 Periode 2 fødes 3,449... 4 3,5440... 8 3,5644... 16 3,568759... 32.. 3,569946... { } 1 n 1 λ = lim ln f (x i ) n n i=0 λ = for superstabile fixpunkter og cykler. λ < 0 for fixpunkter og stabile cykler. λ > 0 for kaotiske attraktorer. U-sekvens De periodiske attraktorer opstår altid i samme sekvens Feigenbaum 1, 2, 2 2, 6, 5, 3, 2 3, 5, 6, 4, 6, 5, 6 δ = lim n r n rn 1 r n+1 r n = 4, 669... hvor r n betegner en værdi for r, hvor der opstår en bifurkation. Dette gælder for alle unimodale maps, dvs alle dem der ligner det logistiske.

3 KAOS 11 Lad x m betegne maksimum for f, og lad d n betegne afstanden fra x m til det nærmeste punkt på en periode 2 n -cykel, så vil d n α = lim = 2, 5029... n d n+1 Renormalisering Lad f(x, r) betegne et unimodalt map og x m et maksimum for f. Lad desuden r n betegne den værdi for r, hvor der opstår en 2 n -cykel, og lad R n betegne den værdi for r, hvor den 2 n -cykel er superstabil. En super stabil cykel indeholder altid x m. f renormaliseres ved lim n αn f (2n ) ( x n) α, R = g n 0 (x) hvor g 0 er en universel funktion med et superstabilt fixpunkt. 3.3 Fraktaler Cantor mængden C har en struktur selv på meget lille skala. C er selvsimilær. Dimensionen af C er ikke et heltal. (dim 0,63) Similaritets dim Antag at en mængde består af m kopier af sig selv og skaleret ved en faktor r. Så er similartitets dimensionen givet ved d = ln m ln r Topologisk C-sæt En lukket mængde S kaldes en topologisk cantor mængde hvis den opfylder: 1. S er fuldstændig usammenhængende. 2. S indeholder ikke nogen isolerede punkter; givet et punkt p S og enhver lille distance ɛ > 0, så er der et andet punkt q S med afstanden ɛ til p. Box dimension Lad S være en delmængde af det D-dimensionale Euklidiske rum, og lad N(ɛ) være det mindste antal af D-dimensionale terninger med sidelængder ɛ, der kan dække S. Så er box dimensionen d = lim n ln N(ɛ) ln(1/ɛ)

3 KAOS 12 Punktvis dimension Fastsæt et punkt x på attraktoren. Lad N x (ɛ) betegne antallet af punkter på A der ligger i en kugle med radius ɛ om x. Når ɛ forøges vil antallet af punkter indenfor kuglen forøges som N x (ɛ) ɛ d hvor d kaldes den punktvise dimension ved x. Korrelation dim. For at få en dimension af hele A tages gennemsnittet af N x (ɛ) fra den punktvise dimension ved flere x er. Den resulterende størrelse er Hénon map C(ɛ) ɛ d hvor d kaldes korrelations dimensionen. Generelt gælder d korrelation d box. 3.4 Sære attraktorer x n+1 = y n + 1 ax 2 n og y n+1 = bx n Hénon map et er invertibelt. Hénon map et er dissipativt; det sammentrækker arealer med samme hastighed overalt i rummet. For specifikke parametre a og b har Hénon map et en trapping region. Nogle traktorier af Hénon map et går mod uendelig. Areal bevarende Hvis det J(x, y) < 1 for alle (x, y), så er map et areal bevarende. Rössler system ẋ = y z ẏ = x + ay ż = b + z(x c) Det undergår en periode fordoblende vej til kaos.

Indeks Afdimensionalisering, 4 Areal bevarende, 12 Attraktor, 9 Sær, 9 Basin of attraction, 6 Bifurkation Hopf, 8 Saddle-node, 3, 7 Subkritisk Hopf, 8 Subkritisk pitchfork, 3, 8 Superkritisk Hopf, 8 Superkritisk pitchfork, 3, 8 Transkritisk, 3, 8 Uperfekt, 4 Cantor mængden, 11 Center, 5 Definition af kaos, 9 Dimension Box, 11 Korrelation, 12 Punktvis, 12 Similaritets, 11 Dulacs kriterie, 7 Eksistens og entydigheds sætning 2 dimensioner, 5 Ekstistens og entydigheds sætning 1 dimension, 2 Feigenbaum, 10 Fixpunkt Hyperbolsk, 5 Lorenz systemet, 9 Marginal, 5 Robust, 5 Stabilt, 5 Tiltrækkende, 4 Grænsecykler, 7 Hénon map, 12 Hysterese, 4 Indeks, 6 Jacobiant, 5 Konservativt system, 6 Liapunov Eksponenten, 10 Stabil, 4 Linearisering, 5 Logistisk Ligning, 2 map, 10 Lorenz lignigner, 9 Mangfoldighed Stabil, 4 Ustabil, 4 Nullclines, 5 Periodicitet, 2 Poincaré map, 8 Poincaré-Bendixson theorem, 5, 7 Potentialer, 2 Rössler system, 12 Renormalisering, 11 Reversible systemer, 6 Spiral, 5 Stabilitet, 2, 10 Topologisk Cantor smængde, 11 U-sekvens, 10 Volumen ændring, 9 13