Abstract This paper examines the symmetries in particle physics and the mathematics behind. It investigates the algebraic structures and uses them to describe a vector space as it derives the Hilbert space from the theory about a normed vector space. Also the groups of symmetries of the square is outlined. Here the two symmetries rotation and reection and their operators are included to give a concrete example of symmetry operations. It implicates the translation operation, and shows that invariance leads to conservation of the momentum. Furthermore that the generator of a time displacement leaves the energy unaltered. In this section an unitary operator is derived. All this theory is used to describe the parity, charge conjugation and time reversal symmetries. All these symmetries are individually represented, but also CP-symmetry and CPT-symmetry are mentioned. When dealing with the symmetries, it is natural to discuss the violation of these. Basically the study is set out to explain the symmetries and violation of symmetries connected to the topic particle physics. The conclusion that the CPT-symmetry is not universal can be drawn on behalf of the issue that the symmetries do not explain the matter-antimatter imbalance. Side 1
Indhold 1 Indledning 3 2 Algebraiske strukturer 3 3 Vektorrum og Hilbertrum 4 4 Schrödingerligningen 7 5 Symmetrioperationer på kvadrat 8 6 Translationer 12 7 Bevarelseslove 14 8 Paritets symmetri 15 9 Ladningskonjungation 17 10 CP-symmetri 18 11 Tidsomvending 19 12 CPT-symmetri 20 13 Konklusion 20 14 Litteraturliste 22 15 Bilag 1 23 Side 2
1 Indledning Symmetri er et ord, der nedstammer fra græsk. For de gamle grækere betød ordet synmetron noget velbalanceret, der var tæt knyttet til begrebet skønhed. I vores moderne verden, betyder symmetri noget, der har en bestemt struktur. En struktur siges at være symmetrisk over for en afbildning, hvis afbildningen holder strukturen invariant. Den første, der så symmetrierne i sammenhæng med fysikken, var grækeren Galileo Galilei. Det siges, at han k ideen engang, han var ombord på et skib, hvor han så en kanonkugle udsendt fra et andet skib. Ud fra kanonkuglens bane, der havde selv samme kurve som jorden, k han ideen om, at fysikkens love er invariante over for rumlige translationer. Han kunne altså ikke ud fra formen af kanonkuglens bane afgøre, om han selv bevægede sig eller var i hvile. Hvis dette igen skal overføres til den moderne fysik, beskriver vi det som, at en symmetri er et udtryk for noget, der ikke lader sig måle. Eksempelvis hvis tidslige translationer og rumlige drejninger er bevarede symmetrier, kan vi ikke måle absolut position, retning eller tid. På samme måde hvis paritet er en bevaret symmetri, så kan man ikke absolut denere - eller måle - hvad højre eller venstre betyder. Paritet udgør sammen med landingskonjugation og tidsomvending CPT-symmetrien. CPT teoremet danner grundlag for den omdiskuterede standardmodel, der er den mest universelle beskrivelse af verden, vi kender til. Derfor er symmetrierne i fysikken så utrolig vigtige. For at forstå dette symmetribegreb, er det nødvendigt at gennemgå en del grundlæggende matematisk teori. Denne teori indebærer algebraiske strukturer, vektorrum og konkrete symmetrioperationer. Det er nødvendigt at kende til vektorrum for at kunne denere et Hilbertrum. I forbindelse med dette vil der fremgå en kobling med Schrödingerligningen, der introducerer fysiske begreber og sammenhænge. Derefter bliver nogle symmetrier vist konkret, ved brug af symmetrioperatorer på et kvadrat. Her vil det forklares, hvordan operatorer arter sig. Der vil også blive præsenteret bevarelseslove, og hvordan disse kan udledes ved hjælp af operatorer. Til sidst gøres rede for symmetrierne C, P og T både hver for sig og i sammenhængene CP og CPT. Der vil der også være fokus på bruddene i de forskellige symmetrier og hvilke vekselvirkninger, der henholdsvis opfylder eller bryder med symmetrierne. 2 Algebraiske strukturer Først deneres de grundlæggende algebraiske strukturer. Når der er givet en mængde M med en komposition, kalder vi parret (M, ) for en organiseret mængde eller en algebraisk struktur. En mængde M med en komposition kaldes associativ, hvis det gælder, at a, b, c M : (a b) c = a (b c). Den associative lov er altså opfyldt, hvis det er ligegyldigt hvilke to naboelementer, der startes med at sammensætte, så længde vi ikke ændrer på elementernes rækkefølge. Addition og Side 3
multiplikation er eksempler på kompositioner, der opfylder den associative lov. Der ndes også en kommutativ lov, der er givet ved: En komposition i en mængde M kaldes kommutativ hvis a, b M : a b = b a. Den kommutative lov angiver at rækkefølgen af elementerne er betydningsløs, og kan derfor blandt andet opfyldes af addition og multiplikation, ligesom den associative lov. Herefter indføres et neutralt element, der deneres som følger: Lad (M, ) være en organiseret mængde, hvori der ndes et element e, for hvilket det gælder, at a M : a e = e a = a. Således må e være neutralt element for den algebraiske struktur (M, ). Til hver komposition hører altså højst et neutralt element, der ved sammensætning med en værdi a giver den selv samme værdi a. Til en organiseret mængde (M, ), hvori der ndes et neutralt element e, vil et element a M kaldes invertibelt, hvis der ndes et element x M, således at: a x = x a = e. Elementet x kaldes det inverse element til a og betegnes med a 1. På denne måde må ethvert a M have højst ét inverst. Herefter deneres gruppebegrebet: En organiseret mængde (M, ) kaldes en gruppe, hvis kompositionen er associativ, hvis der ndes et neutralt element e, og hvis ethvert element i M er invertibelt. Hvis også kompositionen er kommutativ, kaldes gruppen en kommutativ gruppe. 1 Til sidst introduceres den distributive lov: Lad en mængde M have to kompositioner og, hvor der gælder både højredistributivitet: a (b c) = (a b) (a c) og venstredistributivitet: (b c) a = (b a) (c a). Et eksempel på den distributive lov er med kompositionerne multiplikation og addition: a (b + c) = a b + a c. Den distributive lov tillader i dette tilfælde at multiplicere ind i en additionsparentes. 2 Herved er de nødvendige algebraiske strukturer deneret og forklaret. 3 Vektorrum og Hilbertrum Der ndes en særlig algebraisk struktur, der kaldes et vektorrum. En repræsentant for en vektor er som bekendt et linjestykke med størrelse og retning indenfor plan- og rumgeometrien, der opfylder kompositionerne addition og multiplikation med skalar. Disse regneregler gælder også for eksempelvis talrummet R n, der er et symbol for mængden af alle ordnede talsæt som indeholder n reelle elementer. 3 Det kan bevises, at regnereglerne er de selv samme i begge tilfælde, og derfor er det muligt at lave en generalisering af teorien for geometriske vektorer, der gælder generelt. Et vektorrum V er herved deneret som enhver mængde, der omfattes af teoriens betingelser. 4 1 [7], s. 43-89 2 [12] 3 [5] 4 [6] Side 4
definition 3.1: Vektorrum Lad L betegne mængden af reelle tal R eller mængden af komplekse tal C, og lad V være en mængde af matematiske elementer, der opfylder de to følgende stabilitetskrav: 1. Ved addition af elementer dannes en sum a, b V c V : a + b = c 2. Ved multiplikation af element a V med skalar k L, dannes et produkt a k = k a = c, hvor c V. V kaldes et vektorrum, hvori der ndes elementer, der kaldes vektorer, hvis de følgende otte kompositioner er opfyldt: 1. Addition er kommutativ: a + b = b + a, hvor a, b V 2. Addition er associativ, (a + b) + c = a + (b + c), hvor a, b, c V 3. I V ndes et neutralt element 0 med hensyn til addition: a + 0 = a, hvor a V 4. Til ethvert element a V ndes et inverst element a V med hensyn til addition: a + ( a) = 0, hvor a V 5. Produkt med skalar er associativ: k 1 (k 2 a) = (k 1 k 2 )a, hvor k 1, k 2 L og a V. 6. Den distributive regel (k 1 + k 2 )a = k 1 a + k 2 a, hvor k 1, k 2 L og a V er opfyldt 7. Den distributive regel k 1 (a + b) = k 1 a + k 1 b, hvor k 1 L og a, b V er opfyldt 8. Skalaren 1 er neutral i produkt med vektorer: 1a = a, hvor a V Hvis L i denition 3.1 denerer mængden af de reelle tal R, vil V være et vektorrum over de reelle tal. Herved kan skalaren k kun være et arbitrært reelt tal. Dette gælder naturligvis tilsvarende for de komplekse tal. Fremragende eksempler på vektorrum er mængden af vektorer i planen og mængden af vektorer i rummet, da disse opfylder både de to stabilitetskrav og de otte kompositioner i denition 3.1. På samme måde er det også muligt for mængden af reelle funktioner at optræde som et vektorrum og dermed opfylde denition 3.1. Dette vises i eksempel 3.2: Side 5
Eksempel 3.2: Mængden af reelle, kontinuerte funktioner betegnes F (R). Additionen s = f + g af to funktioner f, g F (R) deneres ved: s(x) = (f + g)(x) = f(x) + g(x), hvor x R og s F (R) Multiplikationen p = k f af funktionen f F (R) med reel skalar k R deneres ved: p(x) = (k f)(x) = k f(x), hvor x R og p F (R) Således vil F (R) være et vektorrum, da s(x) og p(x) er reelle, kontinuerte funktioner, og herved har F (R) opfyldt de to stabilitetskrav. Endvidere ndes der en nulfunktion, der antager værdien 0 for alle x R, hvilken siges at være nulvektor i vektorrummet. Der eksisterer også en invers vektor f, som for alle x R har værdien f(x). Herved opfylder mængden F (R) også de otte kompositioner. Med denne argumentation, kan det konkluderes at mængden af reelle, kontinuerte funktioner F (R) er et vektorrum. 5 I midlertid ndes også et normeret vektorrum. Et normeret vektorrum er et par (V, ), der består af enten et reelt eller komplekst vektorrum V og en normfunktion.: V R +, hvor der gælder tre regler. Den første regel er, at av = a v, for alle v V og a R eller a C. Regel nummer to angiver at v = 0 v = 0, for alle v V. Den sidste er trekantsuligheden: v + w v + w, for alle v, w V. Hvis et vektorrum V opfylder disse tre regler, og er fuldstændigt ifølge metrikken 6, kaldes det et Banachrum. 7 Et Banachrum er dog kun fuldstændigt, hvis en Cauchyfølge 8 af vektorer altid konvergerer mod en grænse i vektorrummet, altså hvis denne følge har en veldeneret grænseværdi i rummet. 9 Per denition er et Hilbertrum også et Banachrum. Et Hilbertrum er et vektorrum, der er har et indreprodukt (x, y), således at H har normen, der er deneret ved: x = (x, x) Eksempelvis ses et skalarproduktet i Hilbertrummet af bølgefunktionerne Φ(x) og Ψ(x) (Φ, Ψ) angiver (Φ, Ψ) = Φ (x)ψ(x)d 3 x, hvor betyder kompleks konjugeret 10. Herved vil normen være Φ = (Φ, Φ). Et Hilbertrum kan altså angive mængden af vektorer eller funktioner med et skalarprodukt. 11 men et Hilbertrum kan også betegne en mængde af kvadratisk integrerbare kom- 5 Ibid 6 Metrikken betegner et afstandsmål i vektorrummet: d(x, y) = x y 7 [14] 8 En følge er Cauchy hvis ɛ > 0 N < 0 x x 0 < N f(x) b < ɛ, hvor lim f(x) = b for x x 0. 9 [11] 10 Den oprindelige funktion og den kompleks konjugerede funktion er et funktionspar, der har ens reel del og imaginær del af samme størrelse, men med modsat fortegn. 11 [13] Side 6
plekse funktioner. Disse er funktioner hvor integralet f(x) 2 dx eksisterer. Her vil skalarproduktet s være (f, g) = f(x)g(x)dx, hvor normen vil være f = (f, f) = f(x) 2 dx. 12 s s 4 Schrödingerligningen Som i eksempel 3.2 kan elementerne i et vektorrum opfattes som reelle funktioner, og i Hilbertrummet kan disse eksempelvis være egenfunktionerne for Hamlintonoperatoren H, der beskriver partiklers egentilstande med bestemt energi. Dette kan eksempelvis være den tidsafhængige Schrödingerligning, hvis løsning er en bølgefunktion for en partikel. Schrödingerligningen er en partiel dierential ligning, der som løsning giver Ψ(x, t). Et element i et Hilbertrum kan også være en tilstandsvektor. En tilstandsvektor beskriver en fysisk tilstand, og bølgefunktionens tilstandsvektor Ψ(x) er derfor også element i Hilbertrummet. Kvadratet på bølgefunktionen Ψ(x, t) 2 angiver sandsynligheden for at træe partiklen eksempelvis et bestemt sted i rummet. Denne er et produkt af Ψ og dens kompleks konjugerede Ψ (x, t). En sandsynlighed skal være reel og ikke negativ, hvor Ψ(x, t) generelt er kompleks, så derfor må sandsylighedstætheden for positionen af en partikel være givet ved: P (x, t) = Ψ (x, t)ψ(x, t) = Ψ(x, t) 2. Sandsynligheden for at nde partiklet et sted i rummet må naturligvis være 1. Det ses også at udtrykket for P (x, t) indebærer at bølgefunktionen er normaliseret, og derfor må det gælde at: Ψ(x, t) 2 d 3 x = 1. Det antages at integralet rækker over hele regionen. 13 Schrödingerligningen ndes også i en tidsuafhængig udgave, der simpelt er givet ved: HΨ = EΨ, her er H er Hamlintonoperatoren 14, Ψ er partiklens egentilstand og energien E er egenværdien. Det første led betyder at vi lader Hamlintonoperatoren virke på bølgefunktionen Ψ, og leddet til højre er et produkt af skalaren E og bølgefunktionen Ψ. Hvis vi betrager dette i sammenhæng med brintatomet, vil værdierne af E præcist give energierne i brintatomets orbitaler. Hvis dette nu skal generaliseres til en hvilken som helst partikel i rummet, der påvirkes af en operator A, kan dette skrives således: AΨ = aψ. På samme måde som før er A en arbitrær operator, a er egenværdien og Ψ egenfunktionen, der beskriver partiklens egentilstand. Tilstande er kun samtidigt egentilstande for to forskellige operatorer, hvis disse kommuterer 15 : AB = BA (AB BA) = [A, B] = 0, hvor A og B er arbitrære operatorer, der kommuterer. Man kan forstå egenfunktionerne som basisvektorer i et uendeligdimensionalt Hilbertrum, hvorudfra man kan udtrykke en hvilken som 12 [8], s. 163 13 [8], s. 19-31 14 Når vi lader en sådan operator virke på en egenfunktion i et Hilbertrum, laves en afbildning fra et Hilbertrum over i at andet. 15 Hvis A og B kommuterer kan de have egenværdier samtidigt Side 7
helst funktion i Hilbertrummet som en linearkombination 16 af egenfunktionerne. Ved eksperiment udvælges én af basisvektorerne, som så får en bestemt værdi. 17 5 Symmetrioperationer på kvadrat Som sagt er en symmetri en egenskab ved en genstand, der forbliver invariant under nogle operationer. En symmetri har altså brug for både et objekt og en operator, der virker på objektet. Efter denne operator har virket, skal objektet altså ikke have ændret sig, for at der er tale om symmetri. For at demonstrere og præcisere begrebet, lader vi nogle symmetrioperationer virke på et simpelt kvadrat. Til dette bruges operationerne rotation og spejling, og hvert af kvadratets hjørner får tildelt et bogstav: A, B, C, D. Først benyttes symmetrioperatoren rotation til at rotere kvadratet 90 med uret, se gur 5.1: Figure 5.1: Rotationsoperation R: kvadratet er roteret 90 med uret Det ses, hvis der ses bort fra hjørnernes betegnelse, at kvadratet efter operationen er identisk med kvadratet før operationen. Her er brugt en operator R. En anden operation kaldes m 1, hvilken reekterer kvadratet i en vertikal akse gennem kvadratets geometriske centrum, hvilket ses på gur 5.2: Figure 5.2: Reektionsoperation m 1 : spejling af kvadratet i en vertikal akse gennem dets geometriske centrum. Efter denne reektionsoperation vil kvadratet på samme måde forblive invariant, hvis der ses bort fra hjørnernes betegnelse. Der indføres nu en operator R 2, der roterer kvadratet 180. Operatoren R 2 må således være identisk med R 2 = RR. Dette vides, da det er muligt at der ud fra to operationer kan opstå en 16 En linearkombination er kombination af to funktioner f 1 og f 2 : k 1 f 1 (x) + k 2 f 2 (x), hvor k 1, k 2 L 17 Ibid Side 8
ny: XY = Z, hvor X, Y og Z alle er arbitrære operatorer. Denne komposition, der betegnes multiplikation, angiver i hvilken rækkefølge vi skal lade operatorerne virke. Her skal vi altså først lade X virke og derefter Y for at frembringe resultatet af operation Z. Der kan på denne måde argumenteres for, at sammensætning af operatorer er associativ, altså at: X(Y Z) = (XY )Z, hvor X, Y og Z alle som før er arbitrær operatorer. Hvis kvadratet roteres tre gange, altså 270, med uret, vil operatoren angives som RRR = R 3. Det er tydeligt, at dette må være det samme som at rotere kvadratet 90 mod uret, altså benytte operatoren R 1 = R 3. R 1 er det inverst af rotationsoperatoren R, og der må derfor gælde at R 1 R = e, hvor e er neutralt. Det betyder helt simpelt at hvis der roteres en gang mod uret og derefter en gang med uret er kvadratet tilbage ved udgangspunktet e, som kaldes for identiteten. På et kvadrat kan der virke re forskellige spejlingsoperatorer, disse ses på gur 5.3: Figure 5.3: Kvadratets re spejlingsakser Ved to ens reektionsopertioner på kvadratet fremkommer også her identiteten m i m i = m 2 i = e, hvor m i er en arbitrær reektionsoperator, der virker på kvadratet. På denne måde er en spejlingsoperator sin egen invers operator m 1 = m 1 1, og derfor er det muligt på samme måde at skrive m i m 1 i = e. 18 Alle disse operationer, der virker på et kvadrat, hvorefter det forbliver invariant, danner en gruppe D 4 = {e, R, R 2, R 3, m 1, m 2, m 3, m 4 }. Dette er muligt da alle kriterierne for en gruppe, som er deneret i afsnit 1, er opfyldt. Det kan konkluderes at gruppen D 4 er lukket, da enhver sammensætning af to operatorer resulterer i en operator, der ndes i gruppen D 4. Det ses eksempelvis ved RR = R 2. Ethvert element i gruppen D 4 har sit eget inverst, der også er den del af gruppen D 4, hvilket antages ud fra blandt andet (R 2 ) 1 = R 2. Der er før gjort rede for, at enhver sammensætning af operatorer fra gruppen D 4 er associativ. Til sidst ndes der også en identitet e, for hvilken der gælder, at ex = Xe = X, for alle X D 4. 18 [9], s. 3-7 Side 9
For at tjekke om gruppen D 4 er kommutativ, udføres operationen Rm 1 og derefter operationen m 1 R. Dette ses på gur 5.4. Hvis slutproduktet er invariant for alle kombinationer af elementer i en gruppe, er gruppen kommutativ. Figure 5.4: Kombinerede symmetrioperationer på kvadrat På gur 5.4 ses det, at slutproduktet af Rm 1 og m 1 R ikke er identisk, Rm 1 m 1 R. Således kommuterer m 1 og R ikke. Dog er der andre operatorer inden for gruppen D 4, der kommuterer. Det viser sig, at både rotationsoperatoren og reektionsoperatoren kommuterer med sig selv. Herved er gruppen D 4 ikke kommutativ, men nogle af operatorerne indenfor gruppen er kommuterende. Denne D 4 -gruppe kaldes Diheral-4-gruppen, fordi det er en symmetrigruppe for 4-kanter som kvadratet. Derfor vil en symmetrigruppe for en n-kant kaldes en D n gruppe. Dihedral-4-gruppen består af 8 operatorer, og er derfor en endelig gruppe, hvori antallet af elementer kaldes gruppens orden, der betegnes D 4 = 8. Det er muligt for en endelig gruppe at opstille en Cayleytabel, også kaldet en multiplikationstabel. Denne tabel kan ses på bilag 1. Så ndes D 4 -gruppens generatorer. Generatorerne er de grundlæggende operatorer for en gruppe, altså den mindste mængde operatorer, der kan beskrive alle operatorer i gruppen. For Dihedral-4-gruppen gælder det, at vi ud fra operatorerne {R, m 1 } kan generere alle de andre operatorer. Dette kan hurtigt konkluderes ud fra D 4 -gruppens Cayleytabel, der kan ndes på bilag 1. Her gælder følgende: R 2 = RR, R 3 = RRR, m 2 = R 2 m 1, m 3 = Rm 1, m 4 = m 1 R og e = m 1 m 1. På denne måde er der argumenteret for, at gruppen D 4 er genereret af en delmængde af generatorerne {R, m 1 }. 19 Dette kvadrat og dets operatorer kan beskrives ret simpelt matematisk ved hjælp af matricer. Det antages at dette kvadrat bender sig et reelt vektorrum, hvilket er deneret i afsnit 3. Der indføres et koordinatsystem i planen med basisvektorer: i = 1 og j = 0. Origo placeres i (0, 0) og 0 1 i dette punkt placeres kvadratets geometrisk centrum også. Herefter kan ethvert punkt beskrives 19 Ibid Side 10
ved en stedvektor: A = xi + yj. denition 3.1, står det klart at: Ved brug reglerne for addition af vektor, der er beskrevet i A = xi + yj = x y En operator kan også udtrykkes med matricer. Lad en operator M være en 2 2 matrix på den følgende form: M = a c b, hvor a, b, c, d R d Alle elementerne i D 4 -gruppen er altså udtrykt på denne form som en 2 2 matrix. Lad øverste venstre hjørne af kvadratet være deneret ved stedvektoren A = 1, herved vil identitetsoperatoren 1 være givet ved: e = 1 0 0 1 Som også kaldes identitetsmatricen. Vi ved at hvis vi benytter rotationsoperatoren R på kvadratet vil hjørnet A erstatte hjørnet Bs plads, som ses på gur 5.1. Dette er altså beskrevet som: B = R 1 = 1 1 1 Det ses at operatoren R har en matrix ækvivalent med: R = 0 1. Hvis denne operator 1 0 benyttes på stedvektoren A fås altså stedvektoren B, eller tværvektoren  til A, således må  =B. De resterende operatorer fra D 4 kan beregnes til: R 2 = m 2 = 1 0, R 3 = 0 1, m 1 = 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0, m 3 = 0 1, m 4 = 0 1 0 1 1 0 1 0 For at argumentere for, at dette er sandfærdigt, vælges kombinationen Rm 1 fra Cayley tabellen på bilag 1. Det ses at Rm 1 = m 4, og dette regnes efter: Side 11
0 1 1 0 = 0 1 1 0 0 1 1 0 Det ses at denne sidste matrix repræsenterer operatoren m 4. Det er vigtigt at vektorrummet er reelt, da alle skalarer er reelle og derfor ndes i rummet. Derved er der gjort rede for, at operatorer kan opfattes som matricer. 20 6 Translationer Som vist, kan et system påvirkes af en operator og stadig forblive invariant. Et eksempel på en operator er translationsoperatoren. Ved en translation bruges en translationsoperator T. Denne operator bevirker at når et partikelsystem yttes med a, vil det forblive invariant når koordinatsystemet yttes med a. Dette skrives på følgende måde: x = T (a)x = x + a og x = T 1 (a)x = x a Hvor x og a er vektorer. Lad os antage at vores system består af en enkel partikel. Som nævnt er bølgefunktionen for en partikel Ψ(x), og hvis dette system translateres med a, noteres den nye bølgefunktionen Ψ (x). De to funktioner Ψ(x) og Ψ (x) kan kombineres med en operator kaldet den unitære operator U(a): Ψ (x) = U(a)Ψ(x) Operatoren U er den unitære repræsentation af translationsgruppen, som er den gruppe af transformationer, som udgøres af translationerne T. Systemet her er lukket, og dets fysiske egenskaber bliver derfor ikke ændret ved translation, så derfor må: Ψ (x ) = Ψ (x + a) = Ψ (T x) = Ψ(x) og: Ψ (x) = Ψ(T T 1 x) = Ψ(T 1 x) = Ψ(x a) = U(a)Ψ(x) [1] Ud fra dette ses det, at det er opfyldt, at systemet er invariant under en translation. Heller ikke bølgefunktionens normalisering 21 ændres, og derfor må det gælde at skalarproduktet: (Ψ, Ψ ) = (Ψ, Ψ). Da vi ved at Ψ = UΨ, kan vi fæste kravet at: 20 [9], s. 8-10 21 Normen Φ = (Φ, Φ) vil forblive invariant under translation. Dette er forklaret nærmere sidst i afsnit 3. Side 12
(UΨ, UΨ) = (Ψ, Ψ) For en hermitisk konjugeret operator X gælder det at: (XΦ, Ψ) = (Φ, X Ψ). Det vides at U er hermitisk, og derfor kan det konkluderes at: (UΨ, UΨ) = (Ψ, U UΨ) = (Ψ, Ψ) Det bekræftes at U er en unitær operator, da U U = 1 = UU [2]. Altså er denitionen på en unitær operator; en operator der kombineret med sin egen hermitisk konjugerede operator, er en operator, der har et neutralt element som identitetsoperator. Efterfølgende bestemmes en eksplicit form af operatoren U ved at betragte eekten af at lade en uendelig lille translation a virke på bølgefunktionen. Af dette fremkommer en Taylorudvikling i a: Ψ (x) = Ψ(x a) = Ψ(x) ( a) 1 (Ψ(x)) ( a) 2 (Ψ(x)) ( a) 3 (Ψ(x))... x 1 x 2 x 3 = (1 a. )Ψ(x) Hvis vi sammenligner med [1] opstår U( a) = (1 a. ), hvor = ( x 1, x 2, x 3 ). Ved indføring af impulsoperatoren P = p = i 22 fås U( a) = 1 i a.p/. Dette er kun muligt fordi P er generator for de uendelig små translationer, når den virker på bølgefunktionen, og fordi P Ψ = pψ. Vi kan dog opnå endelig translation ved at udøve små transformationer af a ved at bruge a = a n, hvor n er et helt tal, vi lader gå mod uendelig n : U(a) = lim U( a) = lim U( a n n ) = lim n n n (1 ia.p n ) = e iap [3] Impulsoperatoren P er hermitisk P = P, og ud fra resultat [2] er det let at se, at U er en unitær operator da: U (a) = e + iap. Fordi hvis de to resultater for U(a) og U (a) multipliceres, giver de skalaren 1: U (a)u(a) = U(a)U (a) = 1. Hvis tilstanden Ψ er en egentilstand af impulsen og 22 i = 1 og = h, hvor h er Plancks konstant 2π Side 13
egenværdien for impulsen er p, så gælder det både at P Ψ = pψ og U(a)Ψ = e iap Ψ 23. Det er nu vist, at translation invarians leder til impulsbevarelse. På samme måde leder invarians overfor translation i tid til energi bevarelse. 24 7 Bevarelseslove Noget af vigtigste i symmetri er bevarelser eller såkaldt invarians. Der argumenteres for, at disse er gældende ud fra antagelser i forrige afsnit. Hvis U er en unitær operator, der virker på Schrödingerligningen fås: Ψ = UΨ, og hvis H er Hamlintonoperatoren, må det gælde at: (Ψ, HΨ ) = (Ψ, HΨ)[4] fordi energien er den samme før og efter operationen for en symmetri. Grundet [2], kan venstresiden også skrives som: (Ψ, HΨ) = (Ψ, U HUΨ), og dermed gælder det at U HU = H. Det er ovenfor i [3] vist, at en unitær operator kan skrives på formen: U = e iɛa, hvor A er en hermitisk operator A = A og ɛ er et helt tal. Hvis vi foretager en første ordens Taylorudvikling i en lille værdi af ɛ, får vi at: U 1 + iɛa. 25 Herefter vil det fremkomme at: U HU = (1 iɛa )H(1 + iɛa) = H iɛ(ah HA) = H iɛ[a, H] = H Led til anden orden i epsilon ɛ 2 forsvinder, fordi når ɛ er lille, må ɛ 2 være utrolig lille, og derfor i denne sammenhæng ikke-eksisterende. Ud fra dette ses, at kommutatoren (AH HA) = [A, H] = 0, hvilket betyder at A og H kommuterer. 26 Det er i afsnit 4 forklaret at egentilstande for partikler kan optræde som linearkombinationer af egenfunktioner, og derfor er det nødvendigt at indføre begrebet forventningsværdi. Forventningsværdien er middelværdien, altså den gennemsnitlige værdi en størrelse antager efter et stort antal forsøg. Forventningsværdien er faktisk givet ved [4], så der gælder således at forventningsværdien er et skalarprodukt: < A >= (Ψ, AΨ) = Ψ (x)aψ(x)d 3 x. Dette er tydeligt da Ψ og Ψ som beskrevet i afsnit 4 i integralet giver 1. 27 Forventningsværdien 23 Hvis Ψ er en egentilstand af en operator A med egenværdi a, så vil f(a)ψ = f(a)ψ, hvis f(a) er en arbitrær funktion af A. 24 [1], s. 56-59 25 Tangentligningen for e x : e x = e x 0 + e x 0(x x 0 ), lader x 0 0, så fås: e x 1 + x 26 [1] s. 59-60 27 [8], s. 27 Side 14
er et helt generel kvantemekanisk begreb og opfylder normalt: i d < A >=< [A, H] > dt Ud fra dette forstås at hvis Hamiltonoperatoren er invariant under en symmetritransformation, så kommuterer den med sig selv, og så er forventningsværdien < A > for transformationen en bevaret størrelse. 28 Til tidsforskydning af en bølgefunktion er Schrödingerligningen i tψ = HΨ brugt. Der benyttes en unitær tidsforskydningsoperator U T, sådan at: U T (t t)ψ(x) = Ψ(t t) Igen benyttes en Taylorudvikling, denne gang i t: Ψ(t t) = Ψ(t) t Ψ(t) +... t = (1 t t )Ψ(t) = (1 + i t H )Ψ(t) Af dette udledes det, at U T (t) = e iht. Det ses at generatoren for tidsforskydning er energioperatoren H, og ud fra overstående forklaring, kan det konkluderes at energien er bevaret under en tidsforskydningstransformation. 29 8 Paritets symmetri Paritet er deneret som en operation, der spejler koordinatsystemet, så en vektor R bliver til R. På gur 8.1 ses en illustration af hændelsen. 28 [10] 29 [1], s. 59-60 Side 15
Figure 8.1: Paritet Det vides, at hvis paritetsoperatoren P kommuterer med Hamilton operatoren H [H, P] = 0 så, som lige bevist, er paritet bevaret, og så kan egentilstandens egenværdi for paritet ndes. 30 Denne symmetri er bevaret i stærke kernereaktioner og elektromagnetiske reaktioner. Det er forklaret, at når vi lader paritetsoperatoren virke på et isoleret system, sker en spejling af rummet: x = Px = x, hvor x er en vektor i rummet. Dette system antages at bestå af en partikel, og derfor opereres på partiklens bølgefunktion: PΨ(x) = Ψ( x). Det er i afsnit 5 beskrevet at en spejling er sin egen invers P = P 1, og derfor må det også gælde at: PPΨ(x) = PΨ( x) = Ψ(x) Dette viser at egenværdien for P er +1 eller 1: PΨ(x) = ±1Ψ(x). Hvis vi så inddrager impulsoperatoren P, sker der følgende: P Ψ(x) = P P PΨ(x) = P( i )PΨ = P( i )(±Ψ(x)) = P(±pΨ(x)) = pψ(x) = P Ψ(x) Her ses at impulsvektoren vendes ved en paritetsoperation. Ved tilsvarende udregninger for impulsmomentet L og spinvektor σ fås: L = L og σ = σ. Impulsmomentet og spin ændrer altså 30 [3], s. 19-20 Side 16
ikke fortegn ved en paritetsoperation. Grundet dette resultat opstår der et problem. 31 Indtil år 1956 troede man, at alle fysiske lov adlød denne spejlsymmetri, men efter forsøg med den radioaktive isotop 60 Co fandt man et brud for de svage vekselvirkninger. Figure 8.2: Helicitet For betahenfald gælder det, at alle udsendte neutrinoer har negativ helicitet. Dette vil sige, at de er venstrehåndet cirkulært polariserede, og derfor er spinnet modsat rettet bevægelsesretningen. Det er lige set, at impulsen skrifter retning, når den påvirkes af en paritetsoperation, og derfor vil neutrinoen efter operationen være højrehåndsdrejet, hvilket ses på gur 8.2. Denne chiralitet er således et brud i den ellers velopfyldte paritetssymmetri. 32 9 Ladningskonjungation På samme måde som paritet, ndes også ladningskonjugation, der stiller spørgsmålet: Er fysikkens love ens for partikler og antipartikler? Hvis man benytter ladningskonjugationsoperatoren C på en tilstandsvektor for en partikel, ændrer denne partiklen til dens antipartikel. Efter en operation vil impulsen og spin forblive uændret, mens ladningen omvendes. Det vides at operatoren C kommuterer med H, altså at [C, H] = 0 og dermed er ladningskonjugation en bevaret størrelse og disse kan have egentilstande samtidigt. Dette gælder dog ikke for den svage vekselvirkning. C-symmetri er opfyldt i elektromagnetiske og stærke vekselvirkninger, men ikke i et regime, hvor svage vekselvirkninger er dominerende. 33 Det er klart, at der brud i C-symmetri samme sted som ved P-symmetri, da disse retter op på hinanden. Den svage kraft føles kun af venstrehåndet 31 [1], s. 68-69 32 [3], s. 19-22 33 [1], s.77-78 Side 17
cirkulært polariserede partikler og højrehåndet cirkulært polariserede antipartikler. Her er C- og P-symmetri brudt hver for sig, og derfor tyder det på, at CP-symmetri er opfyldt. 10 CP-symmetri Når hverken paritets symmetri eller ladnings symmetri er universelt gældende, hvad så med en kombination af disse? CP-symmetrien er netop opfyldt af betahenfaldet, da antineutrinoer modsat almindelige neutrinoer, har positiv helicitet. Tilsvarende er heliciteten af elektroner og positroner også modsat hinanden. Dette løser problemer, som hverken C- eller P-symmetrierne kunne løse alene. CP-symmetrien er illustreret på gur 10.1. Figure 10.1: CP-symmetri Dog ndes der også i denne symmetri et brud i henfald af den neutrale kaon. Den neutrale kaon henfalder ved en svag vekselvirkning. En neutral kaon kan enten henfalde til to pioner eller til tre pioner. De neutrale kaoner K 0 og K 0 opfører sig som de er en linearkombination af to tilstandsvektorer, som betegnes K 1 og K 2. Både K 0 - og K 0 -mesonen er ikke i sig selv CP egentilstande. Dette kan ses ud fra deres tilstandsvektorer: C PK 0 = K 0, da dette udtryk indeholder ikke en egenfunktion for CP-operatoren. De neutrale kaoner er nemlig egentilstande af hyperladning Y 34, og denne størrelse er bevaret i stærke vekselvirkninger, og ikke i svage vekselvirkninger. Dog kan vi udvidde tilstandsvektorerne ved at introducere to nye tilstandsvektorer for K 1 og K 2. Hver af disse skal have egenværdier på henholdsvis +1 og 1 for CP, og derfor er de acceptable tilstande af K 0 -mesonen. Idet de neutrale kaoners spin er nul, så må impulsmomentet for tilstanden af to pioner, som er produktet af henfaldet, også være nul. Det skal tilføjes, at pioners spin er nul. Hvis vi lader CP-operatorerne virke på tilstanden af to pioner, hvor impulsmomentet er lig 0, skal egenværdien være +1. Derfor må K 1 henfalde til 2 eller 3 pioner, mens K 2 skal henfalde til 3 pioner for 34 Dette er et kvantetal, der er relateret til den stærke vekselvirkning. Side 18
at få egenværdi 1. Således er det ikke muligt, ifølge denne teori, at K 2, med en C P-egenværdi på 1, at henfalde til to pioner. I 1964 udførtes en række forsøg med disse kaoner, og fandt i meget få tilfælde at K 2 henfaldte til to pioner: K 2 π + + π Dette betød et brud i den ellers velfungerende CP-symmetri, hvilket indtil videre er det eneste brud på CP-symmetri, der er fundet. 35 11 Tidsomvending Når tidsomvendingsoperatoren benyttes på et system bliver t til t. Til at vise dette, kan vi benytte den tidsafhængige Schrödingerligning: HΨ(x, t) = i tψ(x, t). Nu lader vi t t, hvormed vi antager at Hamiltonoperatoren H er tidsuafhængig og reel. HΨ(x, t) = i Ψ(x, t) t Ved at kompleks konjugere ligningen, fremkommer igen den originale ligning: HΨ (x, t) = +i t Ψ (x, t). Både bølgefunktionen Ψ(x, t) og Ψ (x, t) opfylder den samme Schrödingerligning, og har dermed samme fysiske egenskaber som den oprindelige bølgefunktion. Udtrykket Ψ (x, t) kaldes den tidsomvendte bølgefunktion. Operatoren T er deneret som T = U T K, hvor U T er en unitær operator og K er en operator, der virker på den kompleks konjugerede del. Hvis vi lader tidsomvendingsoperatoren T virke på bølgefunktionen fås: T HΨ(t) = T i t Ψ(t) = i t T Ψ(t) Herefter antages det at T og H kommuterer T H = HT [T, H] = 0 og at der derfor gælder: HT Ψ(t) = i t T Ψ(t) Nu lader vi så t t, hvilket vil sige at T Ψ( t) opfylder Schrödingerligningen: HT Ψ( t) = i t T Ψ( t) 35 [1], s. 227-229 Side 19
Dette gælder hvis, og kun hvis T og H kommuterer. 36 Både impulsen og impulsmomentet vendes ved tidsomvending. Både CERN og Fermilab har rapporteret T-symmetribrud i det neutrale kaonsystem. Det er ikke det samme som ved C- og CP-brud, men det er de samme mesoner, der virker til at bryde symmetrien. 37 12 CPT-symmetri Separat er de alle symmetrier invariant overfor den elektromagnetiske og stærke vekselvirkning, men ikke overfor den svage vekselvirkning. Selv CP-operationen har et minimalt brud ved den svage vekselvirkning. Derfor opereres der nu med CPT-symmetri, hvor kombinationen af disse tre symmetrier kan forgå i en tilfældig rækkefølge. 38 CPT er gældende for alle fysiske fænomener, og er lige nu fysikkens bud på den universelle symmetri, da der indtil videre ikke er vist noget brud i CPT-symmetri. Dog er der mange, der leder efter et brud i CPT teoremet, da der er visse ting, den ikke forklarer. Som allerede nævnt er fysikernes bedste beskrivelse af mikroverdenen, der kaldes standardmodellen, baseret på CPT teoremet. Teoremet forudsiger blandt andet at stof og antistof opfører sig ens over for fysikkens love, da C-symmetrien indgår. Men hvis stof og antistof opfører sig fuldkommen ens, hvorfor består vores verden så af næsten udelukkende stof og næsten intet antistof? Det vides med stor sikkerhed, at der ved Big Bang var ækvivalente mængder stof og antistof, og når disse mødes sker der annihilation. Derfor arbejder højtuddannede forskere på højtryk på CERN for at nde årsagen til denne ubalance. Det er almen viden blandt fysikere, at standardmodellen ikke er det endelige svar, men kun et midlertidigt svar, der kan forbedres. 39 13 Konklusion Afslutningsvis kan det konkluderes at paritets-, ladningskonjugations- og tidsomvendingssymmetri til sammen udgør den grundlæggende CPT-symmetri for alle kendte fysiske fænomener. Den nødvendige fysik og matematik tilhørende emnet er behandlet nøje, for at skabe en samlet forståelse. Der er gjort rede for algebraiske strukturer, vektorrum og konkrete symmetrioperationer. Vektorrum er deneret og ved hjælp af andre egenskaber ved vektorrum, nåede vi frem til Hilbertrummet. Herefter blev det forklaret hvordan Schrödingers ligning er deneret. Ved symmetrioperationerne er det introduceret hvordan operatorer arter sig. De vigtige bevarelseslove, der har en stærk sammenhæng med symmetrier er forklaret og konkluderet på. Til sidst blev alt denne teori brugt til 36 [1], s. 72-73 37 [4] 38 [1], s. 79-80 39 [2] Side 20
at gøre rede for C-, P- og T-symmetrier og symmetribrud. Også CP- og CPT-symmetri og symmetribrud er diskuteret. Det er forklaret hvilke vekselvirkninger, der er årsag til brud og hvilke der opfylder symmetrierne. Side 21
14 Litteraturliste 1. Brandsen, B.H. m..: The Fundamental Particles. 1. udg. Van Nostrand Raynhold, 1973. (Bog) 2. Close, Frank: Antimatter. 1. udg. Oxford University Press, 2009. (Bog) 3. Discrete Symmetries. Udgivet af J.F.J van den Brand. Internetadresse: http://www.nat.vu.nl/~jo/course.pdf - Besøgt d. 14.12.2013 (Internet) 4. Elvang, Henriette: CERN og Fermilab rapporterer T-symmetribrud. I: NBI: Gamma 112, 14.12.1995, s. 35-39. 5. enote 1: Talrum. Udgivet af DTU. Internetadresse: http://01005.mat.dtu.dk/materialer/enoter/afsnit/nuid1 tn1/ - Besøgt d. 9.12.2013 (Internet) 6. enote 7: Vektorrum. Udgivet af DTU. Internetadresse: http://01005.mat.dtu.dk/materialer/enoter/afsnit/nu tn7/ - Besøgt d. 9.12.2013 (Internet) 7. Jensen, Helle: Ane afbildninger og Algebra. Side 43-89. 1. udg. FAG, 1982. (Bog) 8. Schi, Leonard: Quantum Mechanics. 3. udg. McGraw-Hill, 1968. (Bog) 9. Symmetry in Physics. Udgivet af Eugene A. Lim. Internetadresse: http://damtp.cam.ac.uk/user/eal40/teach/ - Besøgt d. 6.12.2013 (Internet) 10. Time Derivative of Expectation Values. Udgivet af Jim Branson. Sidst opdateret: 04.22.2013. Internetadresse: http://quantummechanics.ucsd.edu/ph130a/130_notes/node189.html - Besøgt d. 12.12.2013 (Internet) 11. Wikipedia: Banach rum. Udgivet af Wikipedia. Internetadresse: http://en.wikipedia.org/wiki/banach_space - Besøgt d. 10.12.2013 (Internet) 12. Wikipedia: Distributiv lov. Udgivet af Wikipedia. Internetadresse: http://no.wikipedia.org/wiki/distributiv - Besøgt d. 10.12.2013 (Internet) 13. Wikipedia: Hilbertrum. Udgivet af Wikipedia. Internetadresse: http://en.wikipedia.org/wiki/hilbert_space - Besøgt d. 10.12.2013 (Internet) 14. Wikipedia: Normeret vektorrum. Udgivet af Wikipedia. Internetadresse: http://en.wikipedia.org/wiki/nor - Besøgt d. 10.12.2013 (Internet) Side 22
15 Bilag 1 Cayley tabel for D 4 Side 23