Kvanttatve metoder 2 Forår 2007 Ugeseddel 0 Program for øvelserne: Gennemgang af teoropgave fra Ugesedel 9 Gruppearbejde og plenumdskusson SAS øvelser, spørgsmål -4. Sdste øvelsesgang (uge 2): SAS øvelser, spørgsmål 5-6. Teoropgave Vækstregressoner (fortsat) Ugeseddel 0 fortsætter den emprske analyse af vækstregressonen fra ugeseddel 8. Opgaven tager udgangspunkt, at to af de forklarende varable regressonen kan være endogene. V søger at løse problemet ved at anvende nstrumentvarabel (IV) estmaton. Det nvolverer bl.a. test af, om nstrumentvarabler er brugbare, test af eksogentet, brug af 2SLS estmator og test af overdentfcerende restrktoner. Vores økonometrske lgnng for væksten er gvet ved (se også ugeseddel 8): g = β0 + βlog y0 + β2 (log sk, log( n + 0.075)) + β3 (log sh, log( n + 0.075)) + β4( Safrca log y0) + β5latnam + β6safrca + u (0.) hvor den afhængge varabel, g, repræsenterer den gennemsntlge vækstrate realt BNP per beskæftget for peroden 960-2000. De forklarende varabler dækker over den ntale ndkomst, nvesterngskvoter for fyssk og human kaptal samt dummyvarabler, der korrgerer for specelle forhold for lande Afrka syd for Sahara og Latnamerka. u repræsenterer et fejlled for hvert af de 80 lande, =,...,80. Modellen er velspecfceret set forhold tl heteroskedastctet fejlleddet følge vores resultater fra Ugeseddel 8. MLR.5 kan altså antages at holde. Sammen med de øvrge Gauss-Markov antagelser MLR.-4 betyder det, at OLS er den bedste lneære og mddelrette estmator for parametrene modellen.
Ltteraturen krtserer dog ofte brugen af OLS estmatoren på konvergenslgnnger som (.). Argumentet er, at en eller flere af de forklarende varable er korreleret med fejlleddet. Modellen opfylder så fald kke zero correlaton antagelsen på sde 78 Wooldrdge (og dermed heller kke den strengere antagelse MLR.4) så den forklarende varabel er endogen. Konkret ser v her på ntalndkomstnvauet, log y 0, som en mulg endogen forklarende varabel. Gruppearbejde og plenumdskusson: Dskuter følgende spørgsmål: a. Hvad betyder det for OLS-estmatorens egenskaber, hvs zero correlaton antagelsen kke holder? b. Barro (99) peger på, at en mdlertdg målefejl ntalndkomsten log y 0 kan gve nkonsstente OLS estmater for lgnng (.). Hvordan kan en mdlertdg målefejl ntalndkomsten medføre korrelaton mellem fejlleddet og den forklarende varabel log y 0? c. Antag, at mdlertdge målefejl ekssterer, og at v vl løse problemet ved at estmere model (.) va IV estmatoren. Kan følgende varabler bruges som nstrument for log y 0? ) Logartmen tl det samlede forbrug per beskæftget land, log c 0. ) Den absolutte værd af afstanden mellem land og ækvator, alattude (målt ved breddegraden som en andel af 90 grader). SAS-øvelser: Du kan med fordel tage udgangspunkt SAS-programmer fra tdlgere ugesedler. Programmerne lgger på hjemmesden for øvelserne. Én gruppe bedes skrve en kort opsamlng (½- sde) af spørgsmål 4 og sende den tl rasmus.jorgensen@econ.ku.dk (og dn øvelseslærer) senest mandag kl. 2.00.. Check udgangspunkt Datasættet MERGEDATA bør gve de samme 80 brugbare observatoner som hdtl. Estmer model (.) med OLS estmatoren og check, at resultaterne stemmer overens med dem på Ugeseddel 8. Fx Robert Hall og Charles Jones: Why do some countres produce so much more output per worker than others? Quarterly Journal of Economcs, februar 999.
2. 6-trnsprocedure for IV-estmaton V ønsker at anvende 6-trnsproceduren for IV-estmaton beskrevet IV-noten, afsnt 8, for at løse problemet med, at log y 0 potentelt er en endogen forklarende varabel. Analysen gennemløber følgende trn: Trn : Opstl den økonometrske model og udpeg de endogene regressorer: Model (.) specfcerer den strukturelle lgnng. Varablen log y 0 kan være endogen som følge af målefejl. Da varablen log y 0 også ndgår nteraktonsleddet med Afrka-dummen, er der potentelt to endogene regressorer lgnngen, log y 0 og Safrca log y 0. Resten af varablerne antages at være eksogene. Trn 2: Fnd nstrumentvarable: Betragt alattude som et mulgt nstrument for log y 0. Da varablen log y 0 også ndgår nteraktonsleddet med Afrka-dummen betragter v også nteraktonen mellem Afrkadummyen og alattude som et mulgt nstrument. Antag, at alattude er ukorreleret med u og således kan ndgå det samlede sæt af eksogene varable, Z (også som nterakton med Afrka-dummyen). Trn 3: Test, om nstrumenterne er korrelerede med de potentelt endogene regressorer: Opstl en hjælpelgnng (reduceret form) for hver potentelt endogene varabel, log y 0 og Safrca log y 0. Regresser hver endogen varabel på alle de eksogene varable, Z, ved OLS. Test hver lgnng, om koeffcenterne tl alattude og Safrca alattude er sgnfkant forskellge fra nul. Trn 4: Udregn resdualer fra hjælpelgnngerne: Gem de to sæt af resdualer E ˆ og E ˆ 2 fra de to hjælpelgnnger. Trn 5: Test af om regressorerne er exogene: Tlføj de to sæt af resdualer fra hjælpelgnngerne som ekstra regressorer den strukturelle lgnng (.). Estmer modellen ved hjælp af OLS. Udfør et test for, om log y 0 og Safrca log y 0 er endogene på grundlag af sgnfkansen af E ˆ og E ˆ 2. Trn 6: Estmer den strukturelle lgnng: Ser det ud tl, at mdlertdge målefejl log y 0 faktsk udgør et problem forhold tl konsstent estmaton af lgnng (.)? Er det nødvendgt at bruge IV estmatoren det tlfælde? Kan man bruge OLS estmatoren? Estmér lgnngen gvet ved (.) va dn foretrukne estmator.
3. Beregn korrekte standardfejl for IV estmaterne Koeffcenterne fra Trn 5 gver de korrekte IV estmater for parametrene β 0,..., β 6, men kke de korrekte standardfejl, da de almndelge OLS standardfejl fra regressonen kke tager højde for, at de predkterede værder X ˆ og X ˆ 2 er estmerede regressorer. Andre størrelser fra Trn 5 regressonen, fx resdualerne, kan heller kke umddelbart bruges. De korrekte standardfejl for IV estmatoren kan beregnes ved hjælp af proceduren Proc Sysln SAS, som blandt andet kan udføre 2SLS proceduren. Brug de korrekte IV standardfejl tl at teste hypotesen, at struck kke ndgår sgnfkant konvergenslgnngen. Formuler hypotesen og udfør det relevante test. Du kan bruge følgende programstump: proc sysln 2SLS data = mergedata ; endogenous lyr_60 ntafyr ; nstruments alattude ntafal struck struch latnam safrca ; model g60_00 = lyr_60 ntafyr struck struch latnam safrca ; run ; Kommandoen nstruments skal ndeholde alle eksogene varable, dvs. både de eksogene varable fra den strukturelle lgnng (her: struck, struch, latnam og safrca) og de egentlge nstrumentvarabler (her: alattude og Safrca alattude ). Du kan få mere at vde om Proc Sysln ved at søge SAS hjælpefunkton. 4. Tabel med sammenfatnng af resultater Opstl en tabel, der sammenfatter de to sæt af estmater, OLS og IV, og deres standardfejl den strukturelle lgnng (.), som du har opnået spørgsmål, 2 og 3. Kommenter kort på tabellen, herunder på, hvlke(t) sæt af estmater, du vl lægge tl grund for dn vurderng af parametrene konvergenslgnngen en Solow model. Sdste øvelsesgang (uge 2) 5. 6-trnsprocedure for IV-estmaton, når antal nstrumenter er større end antal endogene regressorer I spørgsmål -4 var antallet af nstrumenter to og dermed lg antal endogene regressorer. V vl nu genoverveje spørgsmålet om endogentet og se på mulghederne ved at bruge et ekstra nstrument form af varablen yrsopen. Hall og Jones beskrver varablen yrsopen således: [ yrsopen ] measures the fracton of years durng the perod 950 to 994 that the economy has been open and s measured on a {0,} scale.
Overvej, om yrsopen kan være et gyldgt nstrument for ntalndkomsten. Gennemfør 6- trnsproceduren gen, men denne gang med tre nstrumenter. Du kan med fordel bruge følgende programstump: proc sysln 2SLS data = mergedata out=out2sls3 ; endogenous lyr_60 ntafyr ; nstruments alattude ntafal struck struch latnam safrca yrsopen; model g60_00 = lyr_60 ntafyr struck struch latnam safrca ; output resdual=res2sls3 ; run ; Output kommandoen sørger for, at resdualerne fra 2SLS estmatonen blver gemt datasættet OUT2SLS3. De skal bruges næste spørgsmål. 6. Test af overdentfcerende restrktoner Udfør et test af overdentfcerende restrktoner ved at regressere resdualerne fra 2SLS estmatonen, 2 u ˆ, på hele sættet af eksogene varable, Z. Beregn teststatstkken som nr, hvor n er antal 2 observatoner og R kommer fra hjælperegressonen. Hvor mange overdentfcerende restrktoner er der her? Hvad blver konklusonen om de tre nstrumenter ud fra testet? Hvad vlle blve resultatet af et tlsvarende test spørgsmål 2, hvor der kun var to nstrumenter? (prøv at køre en hjælperegresson, der svarer tl spørgsmål 2, men husk at bruge de rgtge resdualer). Teor opgave: IV estmaton en model med dummyvarabel (beregnet tdsforbrug uden hjælpemdler: 30 mn). I denne opgave undersøges hvordan IV estmatoren beregnes, hvs det anvendte nstrument er en dummyvarabel. Betragt følgende smple regressonsmodel: y = β + β x + u (*) 0 hvor u er et fejlled. V antager at x er en endogen varabel. Der fndes desuden en varabel z, som er en dummyvarabel, der kan anvendes som nstrument for x. IV estmatoren for β er således gvet ved udtrykket
ˆ = n IV = β n = ( z z)( y y) ( z z)( x x) For en smpel regressonsmodel af fx y på en dummyvarabel og en konstant gælder der det generelle resultat, at OLS estmatoren for koeffcenten tl dummyvarablen er gvet ved yd= yd= 0, hvor y d = er gennemsnttet af y for ndvder med d= og y d = 0 er gennemsnttet af y for ndvder med d=0.. Vs, at IV estmatoren for β kan opskrves som ratoen mellem OLS estmaterne, ˆ γ og ˆ π, fra følgende hjælperegressoner: y = γ 0 + γz + v x = π + π z + w 0. Angv, hvlke antagelser der er nødvendge for at udlede IV estmatoren. 2. Antag at (*) er en model for den planlagte tlbagetræknngsalder, y, mens x er et mål for helbred (større værder betyder bedre helbred) og z er en dummyvarabel for, om man har fået hjælp tl rengørng osv. Fnd et udtryk for IV estmatoren for β model (*) på grundlag af forskelle gennemsntlg planlagt tlbagetræknngsalder og forskelle gennemsntlgt helbred mellem de personer, der enten har eller kke har modtaget hjælp.