CIVILINGENIØREKSAMEN Side af 9 sider Skriftlig prøve, den: 0. december 006 Kursus nr : 0405 Kursus navn: Sandsynlighedsregning Tilladte hjælpemidler: Alle Dette sæt er besvaret af: navn underskrift bord nr Der er i alt 30 spørgsmål fordelt på 30 opgaver, benævnt opgave,,..., 30 i teksten. De enkelte spørgsmål er ligeledes nummereret og angivet som spørgsmål,,...,30 i teksten. Bevarelserne af de 30 spørgsmål føres ind i nedenstående skema. Spørgsmål 3 4 5 6 7 8 9 0 3 4 5 Svar Spørgsmål 6 7 8 9 0 3 4 5 6 7 8 9 30 Svar Svarmulighederne for hvert spørgsmål er nummereret fra til 6. Indføres et forkert nummer i skemaet, kan dette rettes ved at sværte det forkerte nummer over og anføre det rigtige nedenunder. Er der tvivl om meningen med en rettelse, betragtes spørgsmålet som ubesvaret. Kun forsiden skal afleveres. Afleveres blankt eller forlades eksamen i utide, skal forsiden alligevel afleveres. Kladde, mellemregninger og bemærkninger tillægges ingen betydning, kun tallene indført ovenfor registreres. Der gives 5 point for et korrekt svar og for et ukorrekt svar. Ubesvarede spørgsmål eller et 6-tal svarende til ved ikke giver 0 point. Det antal point, der kræves for, at et sæt anses for tilfredstillende besvaret, afgøres endeligt ved censureringen af sættene. Husk at forsyne opgaveteksten med navn, underskrift og bordnummer. Der gøres opmærksom på, at ideen med opgaverne er, at der er ét og kun ét rigtigt svar på de enkelte spørgsmål. Endvidere er det ikke givet, at alle de anførte alternative svarmuligheder er meningsfulde. Sættets sidste side er nr 9; blad lige om og se, at den er der. I teksten benyttes betegnelsen log for naturlige logaritmer, dvs. logaritmer med grundtal e.
Opgave En 0 årig pige samler på figurer fra pakker med morgenmadsprodukter. Der er 5 forskellige typer af figurer, der antages at forekomme lige hyppigt. Spørgsmål Sandsynligheden for, at pigen får fem forskellige figurer fra de fem første pakker, hun åbner, er: 5 0 5 5 4 5 3 5 0 5 5 5 3 5 5 4 4 4 5 3 4 3 5 5 4 5 Opgave Spørgsmål Levetiden af en type komponenter kan beskrives ved identisk fordelte ikke negative stokastisk variable X i med en hazard-rate hx, der vokser med x: Gamle komponenter har en større fejlhyppighed end unge. Gamle komponenter har en mindre fejlhyppighed end unge. 3 Fejlhyppigheden er den samme for unge og gamle komponenter, men der er flere unge. 4 Det kan ikke lade sig gøre at have en hazardrate der er voksende for alle x > 0. 5 Oplysningerne er ikke tilstrækkelige til at man kan sige noget generelt.
Opgave 3 En æggeproducent har på et givet tidspunkt et problem med salmonellaforurening af æg. Antag, at sandsynligheden for, at et tilfældigt valgt æg er forurenet med salmonella er ρ, og at forekomsten af salmonella mellem forskellig æg i en æggebakke kan antages at være uafhængig. Spørgsmål 3 Sandsynligheden for, at der er højst æg med salmonella i en bakke med 0 æg er: i=0 0ρ i i! e 0ρ ρ 0 + 0ρ 9 ρ + 45ρ 8 ρ 0ρ 0 0ρ 0ρ 0 3 + 0 0 0ρ + 0 0ρ 0 0ρ 0 0 4 ρ 0 + 0ρ ρ 9 + 45ρ ρ 8 5 + Φ 0ρ 0ρ ρ hvor Φ som sædvanligt angiver fordelingsfunktionen for en standard normalfordelt variabel. 3
Opgave 4 Vi betragter en stokastisk variabel X, der følger en gamma, λ fordeling. Man danner en ny variabel Y = X. Spørgsmål 4 Tæthedsfunktionen f Y y findes til f Y y = λ y 3 e λ y f Y y = λ y e λ y 3 f Y y = λ y e λ y 4 f Y y = λ ye λy 5 f Y y = λ ye λ y Opgave 5 En mand slår med en fair terning indtil han to gange i træk får det samme antal øjne. Lad X betegne det samlede antal slag han bruger. Spørgsmål 5 Bestem sandsynligheden PX = k for k N. 5 6 k 6, k {,,3,...} 5 6 k 6. k {,3,4,...} 3 6, k {,,3,4,5,6} 4, k {,,3,...,36} 36 5 k + 6 5 6 k 4
Opgave 6 En kontinuert stokastisk variabel X har en tæthed fx som angivet på figuren. fx /6 Spørgsmål 6 Fordelingsfunktionen Fx for X er Fx = Fx = 3 Fx = 4 Fx = 5 Fx = x+ 6 x < x+3 6 x < 6 x 6 x x+ 3 x < 3 x < x 3 x x+ x < x+3 x < x x x + x < x < x x x 6 + 3 x < x 3 + x < x 6 + 3 x 5
Opgave 7 Til beskrivelse af den tid i sekunder, det tager at downloade en given hjemmeside, benyttes en stokastisk variabel X med EX = s og varians V arx = 4 s. Spørgsmål 7 En bedste øvre grænse for PX > 5s findes til 8 6 3 3 4 64 5 Φ 5 hvor Φ som sædvanligt angiver fordelingsfunktionen for en standard normalfordelt variabel. Opgave 8 Til en militær operation skal udtages en gruppe på 5 personer. De 5 personer skal tages fra en gruppe af 40 personer, hvoraf man ved, at har et særligt veludviklet nattesyn. Idet man ikke ønsker at forskelsbehandle, udtages de 5 personer tilfældigt. Spørgsmål 8 Sandsynligheden for, at ingen af de 5 personer har særligt veludviklet nattesyn, findes til 4 7 3 0 0 5 7 0 3 7 0 5 3 0 4 7 39 6 38 5 37 4 36 8 5 0 40 5 5 6
Opgave 9 Et firma fremstiller elektroniske enheder til brug i forbindelse med rumfart. Tolerancekravene er meget høje, så en betragtelig del af komponenterne - 5% overholder ikke de nødvendige specifikationer og kan ikke benyttes. Komponenterne fremstilles i batches af 400. Til en given anvendelse skal bruges 80 enheder. Det er forbundet med en del omkostninger at påbegynde produktionen af en batch, så man er interesseret i, om man kan nøjes med at producere en enkelt batch for at imødekomme ordren. Spørgsmål 9 Sandsynligheden for, at én batch er tilstrækkelig findes eventuelt approksimativt, til 400 i=80 Φ 3 0 i=0 400 i 80+ 300 4 3 4 400 400 i 4 80 Φ 300 5 3 5 79 i=0 300i i! e 300 400 i 3 4 i 4 400 i 3 4 i 4 7
Opgave 0 En forretningsrejsende skal nå en flyafgang og overvejer, om der er tid til at gå på restaurant inden rejsen. Vedkommende skønner, at der er en sandsynlighed på 4 5 for at finde en passende restaurant, medens der er en sandsynlighed på for, at den rejsende kan nå at få serveret og indtage sit måltid, givet, at hun har fundet en egnet restaurant. Spørgsmål 0 Sandsynligheden for, at den forretningsrejsende kan nå at finde en restaurant og indtage et måltid inden flyrejsen, er 5 3 0 3 5 4 5 4 5 Opgave En gruppe af filer har en størrelse, der kan beskrives ved en exponentialλ fordeling. Man har til et givet formål brug for 3 tilfældigt udvalgte af disse filer. Spørgsmål Tæthedsfunktion - fx for størrelsen af den næststørste af filerne findes til fx = λe λx fx = λ xe λx 3 fx = 6λe λx 6λe 3λx 4 fx = e λx λe λx e λx 5 fx = λe λx λe λx 8
Opgave I en familie forekommer en alvorlig arvelig sygdom. Man ved, at 5% af familiemedlemmerne har risiko for at få sygdommen. Der findes et genetisk baseret test kit til bestemmelse af om, en given person har risiko for at udvikle sygdommen. Testet giver altid positivt udslag, hvis en person har risiko for at få sygdommen, medens testet desværre også giver positivt udslag i 5% af de tilfælde, hvor personen ikke har risiko for at få sygdommen. Man har testet et familiemedlem, og testet har givet positivt udslag. Spørgsmål Efter kendskab til testresultatet vurderer man, at risikoen for, at den testede person har risiko for at få sygdommen, er 4 3 3 4 4 7 5 3 4 Opgave 3 Ved et busstoppested i den indre by kan tiden mellem busserne med god tilnærmelse beskrives ved uafhængige eksponentialλ fordelte stokastiske variable. En person kommer til stoppestedet på et tilfældigt tidspunkt. Spørgsmål 3 Personens forventede ventetid er λ λ 3 λ 4 λ 5 Man kan ikke bestemme denne forventningsværdi uden kendskab til, den forrige bus afgangstidspunkt. 9
Opgave 4 Antallet af kolonier af en given type af skimmelsvamp i et parti korn, der har været udsat for fugt, kan beskrives ved en Poissonfordelt stokastisk variabel med middelværdi 5. Tilsvarende kan forekomsten af kolonier af en anden type skimmelsvamp i et parti fugtskadet korn beskrives ved en Poisson fordelt stokastisk variabel med middelværdi 3. Det antages, at de to typer af kolonier er de eneste typer, der kan forekomme og, at de forekommer uafhængigt af hinanden. Man udtager en stikprøve af en størrelse svarende til et kvart parti korn. Spørgsmål 4 Givet partiet har været udsagt for fugt er fugtskadet findes sandsynligheden for, at der er højst en skimmelsvampskoloni i stikprøven, til 4 Φ 4 5+ 3 3 i=0 8 i 4 9e 8 5 3e 8 i 3 4 i 4 Opgave 5 For de tre hændelser A,B og C kendes, PA, PB, PC, PA B, PA B C og PA B C. Man ønsker at bestemme PB C. Spørgsmål 5 Man finder PB C ved PB C = PA + PB + PC PA B PA B C PB C = PA + PB + PC PA B + PA B C PA B C 3 PB C = PB + PC PA B C 4 PB C = PA B C PA PB PC + PA B PA B C 5 Kan ikke lade sig gøre, idet der ikke er de tilstrækkelige oplysninger 0
Opgave 6 Man har X, der er en stokastisk variabel, der følger en exponentialβ fordeling og Y, der er en stokastisk variabel, der følger en normalµ,σ fordeling. Man kan antage, at X og Y er uafhængige. Spørgsmål 6 Sandsynligheden PX > x, Y y findes til y x u π e β β e xβ Φ 3 e xβ Φ y µ σ v µ σ y µ σ 4 y x βe βu πσ e v µ σ dvdu dudv 5 Kan ikke bestemmes da den simultane fordeling for X og Y ikke er angivet. hvor Φ som sædvanligt angiver fordelingsfunktionen for en standard normalfordelt variabel. Opgave 7 Man har to stokastiske variable X og Y med EX = 4,EY = 3,V arx = 9,V ary = 4 og EXY = 6. Man danner nu den stokastiske variabel Z = X 3Y. Spørgsmål 7 Man finder EZ og V arz til EZ =,V arz = 4 EZ =,V arz = 7 3 EZ = 7,V arz = 4 4 EZ = 7,V arz = 7 5 EZ = 7,V arz = 0
Opgave 8 IQ for skolebørn kan med god tilnærmelse beskrives ved en normal00, 5 fordeling. Man betragter nu 00 tilfældigt udvalgte skolebørn. Spørgsmål 8 Sandsynligheden for, at det skolebarn, der har den højeste IQ, har en IQ på mere end 30, er Φ 30 00 5 Φ 0030 00 5 00 3 Φ 30 00 5 4 00 Φ 30 00 5 5 Φ 0030 00 5 hvor Φ som sædvanligt angiver fordelingsfunktionen for en standard normalfordelt variabel. Opgave 9 Parret X,Y er bivariat standardiseret normalfordelt med korrelationskoefficient ρ =. Spørgsmål 9 Man finder PX + Y 0,Y X til Arctan π 6 3 Arctan π 4 3 3 5 Arctan 5 π
Opgave 0 En type af frø spredes fra en moderplante på en sådan måde, at frøets placering i forhold til moderplanten med en passende valgt længdeenhed kan beskrives ved to uafhængige standardiserede normalfordelte variable, hvor moderplanten betragtes som nulpunktet i koordinatsystemet. Spørgsmål 0 Middelafstanden af en plante til moderplanten er 0 3 π 4 π 5 π Opgave En stokastisk variabel defineres ud fra to kast med en retfærdig mønt på følgende måde: Ved plat tildeles X værdien 0, ved plat og krone tildeles X værdien, medens X tildeles værdien tre ved krone. Spørgsmål Middelværdien EX af X findes til 3 5 4 4 7 4 5 3 3
Opgave En bestemt fiskeart lægger et antal æg, der kan beskrives ved en Poisson fordelt stokastisk variabel X med middelværdi µ. Hvert æg vil med sandsynligheden p give en fiskelarve af hunkøn og med sandsynligheden p give en fiskelarve af hankøn. Antag at en given fisk har lagt X = x æg. Spørgsmål Det forventede antal æg fra denne fisk, der giver en fiskelarve af hunkøn er xp µp 3 x µ p 4 µp + p 5 xp p Opgave 3 Ved en flyafgang med 400 passagerer kan den bagage, en tilfældigt valgt passager medbringer, beskrives ved en stokastisk variabel med middelværdi 30 kg og varians 00 kg. Spørgsmål 3 Sandsynligheden for, at den samlede vægt af bagage overstiger.5 ton findes - eventuelt approksimativt - til 5 5 3 Φ.5 400 30 4000 4 Φ.5 5 Opgaven kan ikke løses uden kendskab til fordelingstype. 4
Opgave 4 Et punkt vælges tilfældigt i det markerede område på figuren. { Tætheden } for { det valgte punkts } koordinater er således givet ved fx,y = c for x,y x y \ x 4 y 4 og 0 ellers, hvor \ betyder mængdedifferens, altså de punkter der er i den førstnævnte mængde uden at være i den anden. /,/ /,/ /, / /, / Spørgsmål 4 Konstanten c er 3 4 3 4 4 3 5 5
Opgave 5 De stokastiske variable X og Y er uafhængige og begge uniformt fordelt på [0,]. Lad A betegne hændelsen {Y < cos πx}. Spørgsmål 5 Bestem den betingede sandsynlighedstæthed for X givet A, som funktion af x. cos πx 3 cos πx 4 π cos πx. 5 sin πx Opgave 6 En spiller slår to gange med en almindelig 6-sidet terning. Antallet af øjne i det første kast betegnes med X medens det totale antal øjne i de to kast betegnes med Y. Det oplyses, at Y = 0 det totale antale øjne i de to kast var 0. Spørgsmål 6 Bestem sandsynlighedsfordelingen fx Y = 0 = PX = x Y = 0 for X antallet af øjne i det første kast, givet Y = 0 det totale antale øjne i de to kast var 0. fx Y = 0 = 6 x {,,3,4,5,6} f Y = 0 = 3 36,f Y = 0 = 5 0 36,f3 Y = 0 = 36 f4 Y = 0 = 0 36,f5 Y = 0 = 5 36,f6 Y = 0 = 3 36 3 f4 Y = 0 = 4 f5 Y = 0 = f6 Y = 0 = 4 4 f4 Y = 0 = 5 f5 Y = 0 = 5 f6 Y = 0 = 5 5 fx Y = 0 = 3 x {4,5,6} 6
Opgave 7 Antallet af fejl på en stålplade kan beskrives ved en Poissonfordeling med middelværdi µ. Man kan benytte en model, hvor A i angiver hændelsen, at der er i fejl på en stålplade. Alternativt kunne man benytte en model med en stokastisk variabel N, hvor N beskriver antallet af fejl på stålpladen. Man ønsker at udtrykke sandsynligheden for hændelsen H = A 0 A A ved brug af N. Spørgsmål 7 PH kan alternativt udtrykkes som PH = PN PH = PN 0 + PN + PN 3 PH = PA i 4 PH = PN = 0,N =,N = 5 Man kan ikke på det foreliggende grundlag udtrykke PH ved brug af N. Opgave 8 I det reelle interval 0;0 vælges et tal tilfældigt 5 gange. Man betegner det næsthøjeste af disse tal med X. Spørgsmål 8 Efter en passende valgt skalering med en konstant kan X beskrives ved en Normalfordeling Betafordeling 3 Gammafordeling 4 Ligefordeling uniform fordeling 5 Rayleigh fordeling 7
Opgave 9 Filer, der sendes gennem et kommunikationsnetværk opdeles i et helt antal lige store såkaldte pakker. I det system, der betragtes, vil antallet af pakker fra en tilfældigt valgt fil kunne beskrives ved en geometrisk fordeling med parameter p. Vi betragter nu det eksperiment, hvor en pakke i kommunikationsnetværket vælges tilfældigt, og man betegner størrelsen - målt i pakker - af den fil, hvorfra pakken stammer, med X. Man interesserer sig for fordelingen af den stokastiske variabel X. Spørgsmål 9 Sandsynlighedsfordelingen for X findes til PX = i = i p i p PX = i = i p i p 3 PX = i = i p i 4 PX = i = p i p 5 i + PX = i = p p 3 8
Opgave 30 Lad X og Y være to positive stokastiske variable med simultan tæthedsfunktion { λ fx,y = e λx for 0 < y x 0 ellers Man danner nu en ny stokastisk variabel Z = Y X med tæthedsfunktion f Zz. Spørgsmål 30 Indenfor værdimængden af Z findes f Z z til f Z z = +z f Z z = 3 f Z z = λe λz 4 f Z z = z 5 f Z z = 6z z Slut på opgavesættet. 9