Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Lineære sammenhænge Det sker tit, at man har flere variable, der beskriver en situation, og at der en sammenhæng mellem de variable. Enhver formel er faktisk en sammenhæng mellem de variable, der indgår i formlen. I dette kapitel skal vi se på en bestemt slags sammenhænge, hvor der kun indgår to variable. Lad os starte med et eksempel. Eksempel 3.0.1 Når man skal køre med taxa betaler man startgebyr. Lad os eksempelvis sætte det til 32,- kr. Når man så kører, betaler man efter hvor langt man kører. Kilometerprisen er 12,- kr. Vi vil i dette eksempel ikke se på betaling for ventetid, som ellers også indgår i taxapriser. Hvis man skal køre en tur på 5 km med taxa, betaler man 12,- kr. for hver kilometer, man kører, hvorfor man i alt betaler 5 12,- kr. Hertil lægges startgebyret på 32,- kr., hvorefter prisen bliver: 5 12,- kr. + 32,- kr. = 92,- kr. En tur på 10 km koster: 10 12,- kr. + 32,- kr. = 152,- kr. Således kan man fortsætte med at udregne priser for ture med forskellige længder. Man opdager ret hurtigt, at det er de samme udregninger, man foretager. Man tager nemlig turens længde i kilometer ganget med 12,kr. og lægger startgebyret til. Der er to variable i spil. Den ene variable er turens længde i kilometer. Lad os benytte symbolet x for denne variabel. Den anden variabel er prisen for turen, og vi benytter symbolet y for denne variabel. Formelen kan opskrives således: y = 12 x + 32 De to variable optræder ikke på helt samme måde i dette eksempel. Når vi kører taxa, bestemmer vi, hvor langt vi vil køre. Men prisen side 33
bestemmer vi ikke, for den afhænger af turens længde. Dette ses i formlen, hvor vi i princippet kan vælge hvilken som helst værdi for variablen x, men når denne er valgt, så er værdien af y bestemt ud fra formlen. Hvis x vælges til 5 km, er y nødvendigvis 92 kr. Vi vil sige, at værdien af den variable y afhænger af værdien af den variable x. Eller kort: y afhænger af x. Sådanne sammenhænge kaldes for funktionssammenhænge. Variablen x, der kan vælges frit, kaldes for den uafhængige variable. Mens variablen y, der afhænger af den valgte x- værdi, kaldes for den afhængige variable. Traditionelt benytter man i matematik symbolet x for uafhængige variable og y for afhængige variable. For at vise, at det er y, der afhænger af x, kan vi skrive: y(x) = 12 x + 32 Vi kan også fremstille sammenhængen mellem de to variable ved en graf, hvor værdierne for den uafhængige variable er afsat ud ad x-aksen og værdierne for den afhængige afsættes op ad y-aksen. Før vi kan gøre dette, skal vi udarbejde en tabel. Her vælger vi frit nogle x-værdier. x: 0 1 3 6 8 10 y: Så udregnes de tilsvarende y-værdier og indskrives i tabellen: x: 0 1 3 6 7 10 y: 32 44 68 92 116 152 Disse værdier indtegnes som punkter i koordinatsystemet: side 34 Som det ses ligger punkterne på en ret linie, og vi kan tegne denne rette linie. På denne måde får vi tegnet grafen.
Lige som formlen fortæller om sammenhængen mellem de to variable, fortæller grafen også om denne sammenhæng. Hver gang vi kender en x- værdi, så kan vi finde den tilsvarende y-værdi ved at gå fra x-værdien lodret hen til grafen og derfor vandret hen til y-aksen, hvor vi aflæser den tilsvarende y-værdi. 3.1 Funktionssammenhænge. Vi møder meget ofte problemstillinger, hvor der er to variable på spil, og hvor værdien af den ene variable afhænger af værdien af den anden. Sådanne sammenhænge mellem variable kaldes for funktionssammenhænge. Definition: Funktionssammenhænge. Hvis to variable, x og y, opfylder, at hver gang vi kender værdien af den ene, x, så kan vi bestemme værdien af den anden, y, er der tale om en funktionssammenhæng. Variablen x kaldes for den uafhængige variabel. Variablen y kaldes for den afhængige variabel. En sammenhæng mellem to variable kan illustreres ved en graf i et koordinatsystem. Grafen kan tegnes ud fra en række støtte punkter, der udregnes og indsættes i en tabel. x: y: Her vælger man selv en række passende værdier for x og bestemmer så de tilsvarende værdier af y. Disse indsættes som punkter i koordinatsystemet. Herefter kan grafen tegnes som en kurven gennem disse punkter. Jo flere punkter, man har udregnet, jo mere præcis bliver ens graf. I enkelte tilfælde kan man se et system i den måde punkterne ligger på. De kunne fx danne en ret linie. Hvis det er tilfældet vil man ofte stole på, at alle de andre punkter, man kunne udregne, også vil ligge på denne rette linie. side 35
3.2 Lineære funktioner. I mange tilfælde bliver grafen for en funktionssammenhæng til en ret linie. Vi vil her se på disse typer af sammenhænge. Definition: En sammenhæng mellem to variable, x og y, kaldes for lineær, hvis den kan skrives således: y = ax + b hvor a og b er to reelle tal. Eksempel 3.2.1 Sammenhængen: y = 4x + 5 er lineær, idet den kan skrives som y = ax + b med a = 4 og b = 5. Sammenhængen: y = 5x er også lineær, idet a = 5 og b = 0. Sammenhængen: y = x 2 er ikke lineær. Hvis man tegner grafen, vil man opdage, at den ikke bliver en ret linie. Eksempel 3.2.2 Sammenhængen y = 2x + 7 er lineær med a = 2 og b = 7. Vi opstiller en tabel: x: 1 0 1 2 3 4 y: 5 7 9 11 13 15 Og her ud fra kan grafen tegnes: side 36
Det bemærkes, at grafen bliver en ret linie. Vi vil undersøge betydningen af de to tal, a og b, der optræder i regneforskriften y = 2x + 7. Skæringspunktet med y-aksen findes, hvor x har værdien 0. Det ses i tabellen, at det bliver 7, netop b-værdien. Endvidere ses, at hver gang x-værdien vokser med 1, vokser y-værdien med 2. Dette svarer præcis til tallet a. Hvis x vokser med 2 fx fra 0 til 2, eller fra 1 til 3, vokser y-værdien med 4, altså 2 2. Voksen y-værdien med 3 fx fra 0 til 3, eller fra 1 til 4, vil y- værdien vokse med 6, altså 2 3. Vi vil undersøge lineære funktionssammenhænge lidt nærmere. Hvis vi indsætter x = 0 i regneforskriften: y = ax + b får vi: y = a 0 + b = b Dette betyder med andre ord, at grafen vil skære y-aksen i punktet ( 0, b ). Hvis vi har en bestemt x-værdi, lad os kalde den x 1 og øger den med 1 til en ny x-værdi, lad os kalde den x 2, så er x 2 = x 1 + 1. Vi siger, at vi har givet x-variablen en absolut tilvækst på Δx = 1. Tegnet Δ læses delta og står for ændring eller tilvækst. Så vil vi udregne de tilsvarende y-værdier: Til x 1 svarer: y 1 = ax 1 + b Til x 2 = x 1 + 1 svarer: y 2 = ax 2 + b = a(x 1 + 1) + b = Det betyder altså, at y-værdien er vokset med a. = ax 1 + a 1 + b =y 1 +a side 37
Hvis ændringen i x er lig med 1, Δx =1, vokser y-værdien med a. Altså vokser grafens y- værdier med samme trin, nemlig tallet a, hver gang vi går et skridt ud ad x-aksen. Alle de små trekanter på figuren er altså ens, hvorfor grafen må være en ret linie. Tallet a kaldes for hældningskoefficienten. Dette tal beskriver, hvor stejl linien er. Hvis hældningskoefficienten er negativ, bliver y-ændringen negativ, og det svarer til at linien går nedefter. Nu vil vi igen betragte en ændring i x-værdierne fra x 1 til x 2. Den absolutte ændring i x- variablen er altså Δx = x 2 x 1. Vi udregner den tilsvarende ændring i y: Δy = y 2 y 1 = (ax 2 + b) (ax 1 + b) = ax 2 + b ax 1 b = ax 2 ax 1 = a (x 2 x 1 ) a Δx Dette vil altså sige, at hver gang x øges med en bestemt størrelse, vil y øges med samme størrelse blot ganget med tallet a. Vi kan sammenfatte vores undersøgelser i disse definitioner og sætninger: Definition Absolut tilvækst af variable. Hvis en variabel, x, ændrer værdi fra et tal x 1 til et andet tal x 2, siges den absolutte tilvækst (eller ændring) af x at være: Δx = x 2 x 1 side 38
Sætning Graf for lineær sammenhæng Grafen for en lineær sammenhæng, y = ax + b, er en ret linie i et almindeligt koordinatsystem. Tallet a angiver liniens hældningskoefficient, og det angiver, hvor meget y-værdien ændres, når x-værdien øges med 1. Tallet b angiver liniens skæring med y-aksen. Sætning Tilvækster for lineære sammenhænge I en lineær sammenhæng: y = ax + b, gælder, at hvis den uafhængige variabel, x, har den absolutte ændring Δx, vil den afhængige variabel, y, få den absolutte ændring: Δy = a Δx 3.3 Er der en lineær sammenhæng? Hvis man har et datamateriale, der viser samhørende værdier mellem to variable kan man undersøge, om der er en funktionssammenhæng mellem dem, altså om den ene afhænger af den anden, ved at indtegne punkterne i et koordinatsystem. Hvis de indtegnede punkter ligger tilfældigt fordelt i en sky i koordinatsystemet, må man konkludere, at der slet ikke er en sammenhæng mellem de to variable. Hvis de danner et mønster, dvs. hvis de følger en kurve, er der tilsyneladende en sammenhæng mellem de to variable. Hvis denne kurve danner en næsten ret linie, kan vi konkludere, at der er tale om en lineær sammenhæng. Figur: Tilfældige punkter: Punkter danner kurve: Punkter danner ret linie: Ingen sammenhæng. Sammenhæng, ikke lineær. Tilnærmelsesvis lineær sammenhæng. side 39
Når man har tegnet en ret linie i et koordinatsystem, har man ofte brug for at finde regneforskriften, der hører til den lineære sammenhæng. Derfor vil vi udlede nogle formler til dette brug: Sætning: Regneforskrift for lineær sammenhæng Hvis grafen for en funktionssammenhæng mellem x og y er en ret linie, er regneforskriften givet ved: y = ax + b Hvis man kender koordinaterne til to punkter på grafen, P 1 = (x 1, y 1 ) og P 2 = (x 2, y 2 ), kan hældningskoefficienten, a, beregnes ved denne formel: Tilsvarende kan b findes ved formlen: b = y 1 a x 1 For at bevise disse formler ser vi på den retlinede graf, som har regneforskriften y = ax + b blot kender vi endnu ikke værdierne for tallene a og b. Men da punkterne P 1 = (x 1, y 1 ) og P 2 = (x 2, y 2 ) ligger på grafen, ved vi at: ( ) og: y 1 = ax 1 + b y 2 = ax 2 + b Derfor er: y 2 y 1 = ax 2 + b (ax 1 + b) = ax 2 + b ax 1 b side 40 = ax 2 ax 1
= a (x 2 x 1 ) Hvoraf følger: Af ligningen ( ) får man: y 1 ax 1 = ax 1 + b ax 1 = b som er sidste regel i sætningen. Eksempel 3.3.2 Grafen for en lineær funktion går gennem punkterne P 1 = (1, 4) og P 2 = (6, 6). Vi aflæser x 1 = 1 og y 1 = 4 x 2 = 6 og y 2 = 6 Hældningskoefficienten beregnes som: Herefter kan skæringen med y-aksen beregnes: b = y 1 a x 1 = 4 0,4 1 = 3,6 Regneforskriften for den lineære sammenhæng er derfor: y = 0,4 x + 3,6 side 41
Opgaver til kapitel 3 Opgave 1: Taxafirmaet Vakse Viggo Vognmand kører i Lilleby. Man betaler 25,- kr for en tur plus 7,- kr. pr. km. a. Hvad koster en tur på 10 km? b. Hvis prisen for en tur er 39,- kr. hvor langt har man så kørt? c. Udfyld en tabel som denne: Turens længde Turens pris 1 2 3 4 5 6 7 d. Indtegn punkterne fra tabellen i et koordinatsystem, hvor du har sat turens længde ud ad x- aksen og turens pris op ad y- aksen. Forbind punkterne med en kurve. Hvordan ser kurven ud. I samme by er der et andet taxaselskab, nemlig Byens Taxa. De udregner prisen for en taxatur efter denne formel: Pris = antal km 5,50kr. + 34,00kr. e. Udfyld en tabel som denne for Byens Taxa og tegn den tilsvarende graf på samme måde som i d). Tegn grafen i samme koordinatsystem som den foregående: Turens længde Turens pris 1 2 3 4 5 6 7 f. Hvornår kan det bedst betale sig at køre med Vakse Viggo Vognmand, og hvornår er det billigst at køre med Byens Taxa? Opgave 2: Teleselskabet Kort Sagt beregner månedsprisen for et mobilabonnement således: p = 0,85 x + 75,00 hvor x er antallet minutter, der er talt i telefonen, og p er månedsprisen. a. Forklar i ord, hvad de to tal 0,85 og 75,00 i formlen betyder. b. Kort sagt har også abonnementet Lang snak hvor du betaler 250,- kr. pr. måned og har fri taletid. Hvornår kan det betale sig at skifte til Lang snak? Opgave 3: Rumfanget af en pyramide kan beregnes som en tredjedel gange højden og ganget med grundfladens areal. Indfør passende variable og opstil en formel for pyramidens rumfang. side 42
Opgave 4: En gårdejer vil lave en indhegning til sine høns. Han har 20m hønsenet til rådighed. Indhegningen laves op ad muren til laden, så han behøver kun at indhegne den på de tre sider. Opstil en formel, der viser hvordan arealet af hønsegården afhænger af x og bestem hvordan hønsegården skal indrettes, så den får størst muligt areal. Opgave 5: Et stykke papir, der måler 30cm på den ene led og 20 på den anden, skal bruges til at fremstille en kasse. a. Indfør passende variable og opstil en formel til beregning af kassens rumfang. b. Forsøg dig frem med forskellige kassefaconer og find ud af, hvad rumfanget af den største kasse vil blive. Opgave 6: Bestem tallene a og b i disse lineære sammenhænge. a. y = 2x + 5 b. y = - 3x + 7 c. y = x + 3 d. y = 2x e. y = - 2x +4 f. y = 6 + 3x side 43
Opgave 7: Reducér udtrykkene og undersøg, om der er tale om en lineær sammenhæng. Hvis der er tale om en lineær sammenhæng, skal du angive tallene a og b i den reducerede regneforskrift: a. y = 3(x + 2) b. y = 2(x 2) + 3(3 x) c. y = (x + 1)(x 3) x(x+2) Opgave 8: Tegn graferne for disse lineære sammenhænge i et koordinatsystem: a. f(x) = 2x 3 b. g(x) = 0.5x + 4 c. h(x) = 3x Opgave 9: Bestem regneforskriften for disse lineære funktioner: Opgave 10: En lineær funktion går gennem punkterne (3,1) og (5,7). Bestem en regneforskrift for denne funktion. Opgave 11: Undersøg om punkterne (3,7), (6,13) og (500,1001) ligger på samme rette linje. Opgave 12: Firmaet Arnold Fiskkær & Søn opdrætter fisk i et dambrug. De får leveret 5000 fiskelarver, der hver vejer ca 10 gram, og de udsættes i fiskebassinet. Når fiskene er store nok, fiskes de op af bassinet og sælges til dybfrost. Erfaringsmæssigt vejer hver fisk ca. 260 gram efter 10 uger. I nærheden af fiskebassinet er der en mågekoloni. Mågerne fanger nogle af fiskene i bassinet. Arnold Fiskkær regner med, at mågerne tager omkring 200 fisk pr. uge. a. Vi antager, at vægten af fisken vokser som en lineær funktion af tiden. Angiv en regneforskrift for denne funktion som funktion af tiden efter fiskene blev udsat i bassinet angivet i uger. b. Angiv en forskrift for den funktion der angiver antallet af fisk som funktion af antallet af uger efter fiskene blev udsat i bassinet. c. Vurder, hvornår det bedst kan betale sig at tømme bassinet for fisk. side 44