Taylorudvikling I Preben Alsholm 3. november 008 Taylorpolynomier. Definition af Taylorpolynomium Definition af Taylorpolynomium Givet en funktion f : I R! R og et udviklingspunkt x 0 I. Find et polynomium P n af grad højst n, så f og P n har samme nulte, første, anden, tredie,..., n te afledede i punktet x 0. P n skal så opfylde ligningerne Skriver vi P n på formen P n (x 0 ) = f (x 0 ) Pn 0 (x 0 ) = f 0 (x 0 ) Pn 00 (x 0 ) = f 00 (x 0 ). P n (n) (x 0 ) = f (n) (x 0 ) P n (x) = a 0 + a (x x 0 ) + a (x x 0 ) + a 3 (x x 0 ) 3 søger vi nu a 0, a, a,..., a n. +a 4 (x x 0 ) 4 +... + a n (x x 0 ) n. Udledning af formlen for Taylorpolynomiet Udledning af formlen for Taylorpolynomiet Vi ser med det samme, at a 0 = f (x 0 ). Da fås, at a = f 0 (x 0 ). Da P 0 n (x) = a + a (x x 0 ) + 3a 3 (x x 0 ) +4a 4 (x x 0 ) 3 +... + na n (x x 0 ) n P 00 n (x) = a + 3 a 3 (x x 0 ) + 4 3 a 4 (x x 0 ) +... + n (n ) a n (x x 0 ) n
fås a = f 00 (x 0 ). Da P 000 n (x) = 3 a 3 + 4 3 a 4 (x x 0 ) fås, at a 3 = 3 f 000 (x 0 )..3 Formlen for Taylorpolynomiet Formlen for Taylorpolynomiet +... + n (n ) (n ) a n (x x 0 ) n 3 Generelt fås altså a k = k! f (k) (x 0 ) således at P n (x) = f (x 0 ) + f 0 (x 0 ) (x x 0 ) + f 00 (x 0 ) (x x 0 ) + 3! f 000 (x 0 ) (x x 0 ) 3 +... + n! f (n) (x 0 ) (x x 0 ) n Dette kan også skrives P n (x) = idet vi definerer 0! = og f (0) = f. n k! f (k) (x 0 ) (x x 0 ) k k=0.4 Eksempel: Eksponenentialfunktionen Eksempel: Exponentialfunktionen f (x) = e x med udviklingspunkt 0, orden n. Vi har jo f 0 (x) = f 00 (x) = f 000 (x) =... = f (n) (x) = e x. Så f (k) (0) = e 0 = for alle k 0. Hermed fås P n (x) = f (0) + f 0 (0) x + f 00 (0) x + 3! f 000 (0) +... + n! f (n) (0) x n Altså P n (x) = + x + x + 3! x3 +... + n! xn Dette kan også skrives P n (x) = n k! xk k=0
.5 Funktion givet ved simpel forskrift Funktion givet ved simpel forskrift f (x) = x arctan x med udviklingspunkt, orden. Vi har f 0 (x) = arctan x + x + x f 00 (x) = x + x ( + x ) Så f () = 4, f 0 () = 4 +, f 00 () =. Hermed fås P (x) = f () + f 0 () (x ) + f 00 () (x ) = 4 + 4 + (x ) + (x ) = 4 + 4 + (x ) + (x ) 4 Maple. Funktion givet ved differentialligning Funktion givet ved differentialligning Find det. Taylorpolynomium med udviklingspunkt for løsningen til differentialligningen x 0 (t) = sin t + x (t) med x = 0 Vi skal finde P (t) = x + x 0 t + x 00 t Ved indsættelse af t = i differentialligningen fås x0 = sin + x = sin =. Ved differentiation af differentialligningen fås x 00 (t) = cos t + x (t) ( + x (t) x 0 (t)). Ved indsættelse af t = heri fås x00 = cos + x + x x 0 = 0. Altså fås P (t) = 0 + t + 0 t = t som jo er det samme som det første Taylorpolynomium P (t). Se Maple for P 3 (t). 3
Taylors formel. Lineariseringen Lineariseringen I semesteruge E så vi, at definitionen på differentiabilitet kunne formuleres således: f er differentiabel i x 0 med differentialkvotient a, hvis der findes en funktion ε defineret i et interval omkring 0, så f (x 0 + h) f (x 0 ) = ah + ε (h) h og hvor ε (h)! 0 for h! 0. At f er differentiabel i x 0 betyder altså, at f (x) approksimeres godt ved f (x 0 ) + a (x x 0 ), når jx x 0 j er lille. Funktionen P (x) = f (x 0 ) + a (x x 0 ) kaldes for lineariseringen af f i x 0. Lineariseringen P er det første Taylorpolynomium for f med udviklingspunkt x 0. Grafen for P er tangenten til grafen for f i (x 0, f (x 0 )). Hvor meget smider vi væk, når vi erstatter f (x) med P (x)?. Rolles sætning Rolles sætning Antag, at φ er kontinuert i [a, b] og differentiabel i ]a, b[ og at φ (a) = φ (b) = 0. Så findes der et tal ξ ]a, b[, så φ 0 (ξ) = 0. Bevis: Hvis ikke φ er konstant lig nul, antager funktionen enten et positivt maksimum eller et negativt minimum. Her bruges kontinuiteten på [a, b]. I et sådant ekstremumspunkt (som jo må være indre) er differentialkvotienten nødvendigvis nul..3 Middelværdisætningen (den udvidede) Middelværdisætningen (den udvidede) Antag, at funktionerne h og g er kontinuerte i intervallet [a, b] og differentiable i ]a, b[. Så findes der et tal ξ ]a, b[, så Bevis: Lad [h(b) h(a)] g 0 (ξ) = [g(b) g(a)] h 0 (ξ) φ (x) = (g (x) g (a)) (h (b) h (a)) (g (b) g (a)) (h (x) h (a)) 4
Så er φ kontinuert i [a, b] og differentiabel i ]a, b[ og φ (a) = φ (b) = 0. Ifølge Rolles sætning findes et ξ ]a, b[, så φ 0 (ξ) = 0. Men φ 0 (ξ) = g 0 (ξ) (h (b) h (a)) (g (b) g (a)) h 0 (ξ), så φ 0 (ξ) = 0 giver umiddelbart giver påstanden. Den sædvanlige middelværdisætning fås ved at tage g (x) = x..4 Taylors formel med Lagrange s restled Taylors formel med Lagrange s restled Hvad er den fejl man begår ved at erstatte en funktion f med dens Taylorpolynomium P n? Taylors formel: Lad f være n + gange differentiabel i intervallet I og lad x 0 I. For givet x I findes et tal ξ mellem x 0 og x, så f (x) = f (x 0 ) + f 0 (x 0 ) (x x 0 ) + f 00 (x 0 ) (x x 0 ) +... + n! f (n) (x 0 ) (x x 0 ) n + (n + )! f (n+) (ξ) (x x 0 ) n+ Altså f (x) = P n (x) + (n+)! f (n+) (ξ) (x x 0 ) n+ = P n (x) + R n (x). Vi beviser sætningen i det konkrete tilfælde n = : f (x) = P (x) + 3! f (3) (ξ) (x x 0 ) 3..5 Bevis for Taylors formel Bevis for Taylors formel I middelværdisætningen tager vi h(x) = f (x) P (x) og g(x) = (x x 0 ) 3. Så har h, h 0, h 00 og g, g 0, g 00 alle værdien 0 i x 0. Lad x > x 0. Middelværdisætningen giver nu et ξ ]x 0, x[ så Herefter fås et ξ ]x 0, ξ [ så Til sidst fås et ξ 3 ]x 0, ξ [ så h(x) g(x) = h(x) h(x 0) g(x) g(x 0 ) = h0 (ξ ) g 0 (ξ ) h 0 (ξ ) g 0 (ξ ) = h0 (ξ ) h 0 (x 0 ) g 0 (ξ ) g 0 (x 0 ) = h00 (ξ ) g 00 (ξ ) h 00 (ξ ) g 00 (ξ ) = h00 (ξ ) h 00 (x 0 ) g 00 (ξ ) g 00 (x 0 ) = h000 (ξ 3 ) g 000 (ξ 3 ) = f 000 (ξ 3 ) 3! Så h(x) g(x) = f 000 (ξ 3 ) 3!, dvs. f (x) P (x) = 3! f 000 (ξ 3 ) (x x 0 ) 3. 5
. Vurdering af fejlen ved Taylors formel I Vurdering af fejlen ved Taylors formel I Eksempel. f (x) = e x, udviklingspunkt 0. Vi har P n (x) = + x + x + 3! x3 +... + n! xn. f (n+) (x) = e x. Så je x P n (x)j = (n + )! eξ x n+ = e ξ (n + )! jxjn+ Bestem n, så je x P n (x)j 0 5 for alle x [ 0., 0.]. I Taylors formel gælder så jξj 0. og dermed je x P n (x)j = e ξ (n + )! jxjn+ e0. (n + )! (0.)n+ (n + )! (0.)n+ Vi vælger nu n, så (n+)! (0.)n+ 0 5. n = 3 er nok, idet 4! 0 4 = 0 4 < 0 5..7 Vurdering af fejlen ved Taylors formel II Vurdering af fejlen ved Taylors formel II Lad f (x) for alle x være givet ved f (x) = Z x 0 ( + t) cos t 3 dt Vurdér den fejl, der begås ved at erstatte f (x) med h dets i. Taylorpolynomium P (x) med udviklingspunkt 0, når x. Vi finder f 0 (x) = ( + x) cos f 00 (x) = cos f 000 (x) = x ( + x) sin ( + x) 3x sin, 9x 4 ( + x) cos Heraf findes P (x) = x + x. h Vha. Maple findes, at j f 000 (x)j.59 for x i,. Altså fås j f (x) P (x)j.59 jxj3.59 Den faktiske maksimale fejl kan findes grafisk til 0.0008. 3 ' 0.03 3
.8 Taylors grænseformel Taylors grænseformel Lad f C n (I) og lad x 0 I. Der findes da en funktion ε defineret i et interval omkring 0 så for x I gælder hvor ε (h)! 0 for h! 0. f (x) = P n (x) + (x x 0 ) n ε (x x 0 ) Bevis. Taylors formel giver et ξ mellem x og x 0 så f (x) = P n (x) + n! f (n) (ξ) (x x 0 ) n. Heraf fås f (x) = P n (x) + n! f (n) (ξ) f (n) (x 0 ) (x x 0 ) n. f (n) (x 0 )! 0 for x! x 0, da f (n) er kontinuert pr. an- Men f (n) (ξ) tagelse..9 Eksempel Eksempel Vi ønsker at bestemme grænseværdien Vi udnytter, at lim x!0 ln ( + x) = x ln ( + x) x e x x x + ε (x) x e x = + x + (x) + ε (x) x Så for x! 0 fås ln ( + x) x e x x = x + ε (x) x x + ε (x) x =.0 Store O-notationen Store O-notationen + ε (x) + ε (x)! 4 Når Maplekommandoen taylor(sin(x),x=0,4); som resultat giver x x3 + O x 4, betyder der følgende: Der findes en konstant K, så x sin x x3 Kx 4 for alle x i et interval med 0 som indre punkt. 7
Generelt betyder f (x) = O (u (x)) for x! a, at der findes en konstant K, så j f (x)j K ju (x)j for alle x i et interval med a som indre punkt. Vi har eksempelvis: sin x = O (x), sin x = x + O x, men også sin x = x + O og den allerede viste. I Taylor-sammenhæng kan O (x højere. x 0 ) n tolkes som led af orden n og. Lille o-notationen Lille o-notationen Udsagnet sin x = x + ε (x). + o betyder det samme som sin x = x Med andre ord: sin x = x + o betyder, at for x! 0. sin x x! 0 Generelt betyder f (x) = o (u (x)) for x! a, at for x! a. f (x) u (x)! 0 Hvis f (x) = O x 4 for x! 0 så gælder også f (x) = o. Den omvendte gælder ikke. 8