Kalkulus 1 - Opgaver Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis 20. januar 2015
Mængder Opgave 1 Opskriv følgende mængder med korrekt mængdenotation. a) En mængde A indeholder alle hele tal fra og med 1 til og med 100. b) En mængde B indeholder alle rationelle tal større end 1 3 og mindre end 7. c) En mængde C indeholder alle tal i 4-tabellen. d) En mængde D indeholder alle positive ulige tal. e) En mængde E indeholder alle de reelle talsæt (x, y), hvor y er 3 gange x. Opgave 2 Opskriv følgende mængder på listeform a) {x R 4x 2 4x 3 = 0} b) {x Z 4x 2 4x 3 = 0} c) {x N x går op i 12} Opgave 3 Reducer følgende intervaller hvis muligt. a) Bestem (4, 7) [5, 9] og (4, 7) [5, 9]. b) Bestem ( 2, 9) (8, 10] og ( 2, 9) [8, 10]. c) Bestem [ 2, 5] ( 3, 9] og [ 2, 5] ( 3, 9]. d) Bestem [0, 4] ( 5, 11] og [0, 4] ( 5, 11]. e) Bestem ( 2, 1] (2, 5] og ( 2, 1] (2, 5]. 1
Opgave 4 Betragt mængderne A = {1, 2, 3, 4} B = {3, 5, 7, 9} C = {2, 4, 6, 8} a) Tegn et Venn-diagram af de tre mængder. b) Bestem A B c) Bestem A C d) Bestem A B C e) Bestem A B C Opgave 5 Lad A, B, C være mængder. Tegn Venn-diagrammer der illustrerer følgende situationer: a) A B C b) A C, B C og A B = c) A B C, men hverken A eller B er delmængder af C. Opgave 6 Tegn følgende mængder i et koordinatsystem a) A = {1, 2, 3} {1, 2, 3} b) B = {(x, y) R 2 x + y 1}. c) C = [2, 4) ( 1, 3]. d) D = {(x, y) R 2 y = 2x + 1}. e) E = {(x, y) R 2 x + y 1}. Opgave 7 (svær) a) En mængde C indeholder alle de punkter i R 2, der ligger inden i (og altså ikke på) en cirkel med radius 1 og centrum i (0, 0). Opskriv mængden med korrekt mængdenotation. b) En mængde K indeholder alle de punkter i R 3, der ligger inden i eller på en kugle med radius 2 og centrum i punktet (0, 0, 0). Opskriv mængden med korrekt mængdenotation. 2
Opgave 8 Betragt mængderne C 1 = {(x, y) R 2 (x 1) 2 + y 2 = 1} C 2 = {(x, y) R 2 (x + 1) 2 + y 2 = 1} Bestem C 1 C 2. Opgave 9 (svær) I denne opgave betragter vi planen R 2. a) Opskriv mængden af alle de punkter, som har afstanden 1 eller mindre til punktet (2, 2). b) Opskriv mængden af alle de punkter, som har afstanden r eller mindre til punktet (a, b), hvor a, b, r R. Opgave 10 (Georg Mohr konkurrencen, 2. runde 1991) Betragt den reelle talplan R 2. a) Bestem mængden af alle de punkter, der ligger dobbelt så langt fra punktet P = (3, 0) som fra punktet O = (0, 0). b) Tegn mængden. Opgave 11 a) Vis at {x R 1 x 2 < 16} {x R x > 1 5 } b) Vis at {(x, y) R 2 x 2 + y 2 1} {(x, y) R 2 1 x 1, 1 y 1} Opgave 12 (svær) Bestem og vis at din påstand er korrekt. Opgave 13 (svær) Bestem og vis at din påstand er korrekt. n=1 n=1 [ 1, 1 1 n ] [ 1, 1 1 n ] 3
Opgave 14 I denne opgave skal vi vise, at et rektangel, hvor den ene side har længden 2 og den anden side er uendelig lang kan dækkes af uendeligt mange enhedscirkler uden at cirklerne på noget sted stikker ud over rektanglets kanter. Lad os først få et overblik over vores rektangel. a) Tegn mængden i et koordinatsystem. R = {(x, y) R 2 1 y 1} Mængden af punkter, der ligger i en cirkelskive med radius r og centrum i (a, b), hvor a, b R betegnes C((a, b), r) = {(x, y) (x a) 2 + (y b) 2 r 2 } Lad os nu betragte mængderne C t ((t, 0), 1) = {(x, y) (x t) 2 + y 2 1} for alle t R. Disse mængder udgør en familie med R som indeksmængde. b) Tegn foreningen af familiens mængder t R C t i et koordinatsystem c) Vis at C t = R t R Mængden af punkter, der ligger på en periferien af en cirkel med radius r og centrum i (a, b), hvor a, b R betegnes Betragt nu mængderne P ((a, b), r) = {(x, y) (x a) 2 + (y b) 2 = r 2 } P t ((t, 0), 1) = {(x, y) (x t) 2 + y 2 = 1} for alle t R. Disse mængder udgør en familie med R som indeksmængde. d) Vis at t R P t = t R C t 4
Funktionsbegrebet Opgave 15 Vi betragter funktionen f : R R givet ved forskriften Bestem f(0), f(2) og f( 2). f(x) = 3x 2 Opgave 16 Vi betragter funktionen g : R R givet ved forskriften Løs ligningen g(x) = 18. g(x) = 2x + 3 Opgave 17 Vi betragter funktionerne f og g, som de er defineret i opgave 15 og 16. Lad G f grafen for f og lad G g betegne grafen for g. a) Tegn graferne for de to funktioner i et koordinatsystem. betegne b) Opskriv graferne med korrekt mængdenotation. c) Bestem G f G g. (HINT: Løs ligning f(x) = g(x)) Opgave 18 Vi får at vide, at om en funktion f : R R gælder, at den kan beskrives med en regel på formen f(x) = ax + b hvor a, b R. Desuden får vi at vide, at f(0) = 0 og f(2) = 4. Bestem a og b. Opgave 19 Vi betragter funktionen p : R R givet ved forskriften Bestem k så p( 2) = 0. p(x) = 4x 2 + 4kx + k 2 Opgave 20 Vi betragter funktionen f : R R givet ved forskriften Bestem a så f(a) = 0. f(x) = ax + a Opgave 21 Det oplyses at en funktion f : R R opfylder at f(xy) = f(x) + f(y) x, y R Vis at f(1) = 0. Vis herefter at f( 1 ) = f(x) for alle x R. x 5
Opgave 22 Vi betragter en funktion f, som opfylder for alle reelle tal x. Bestem f(2). Opgave 23 (GM 1999) En funktion f opfylder f(x + 1) = xf(x) + 2 f(x) + xf(1 x) = x for alle reelle tal x. Bestem tallet f(2). Bestem en forskrift for f. 6
Modeller med funktioner Opgave 24 En bil kører ud af en vej med en konstant hastighed på 75 km/t. Definer en funktion, f, der beskriver, hvor langt bilen er nået som funktion af tiden, t. Det betyder, at du skal vælge et domæne, et kodomæne og opstille en forskrift for funktionen. Opgave 25 To taxaselskaber har forskellige priser. Selskab 1 har et startgebyr på 30 kr.,og prisen pr. km er 21 kr. Selskab 2 har et startgebyr på 10 kr. og prisen pr. km er 26 kr. a) Opstil prisen for en taxatur hos hhv. selskab 1 og selskab 2 som funktion af antal km. b) Hvilket selskab er billigst at køre med, hvis turen er 5 km lang? c) Findes der nogen ture, hvor de to selskaber er lige dyre? Hvilke(n)? Opgave 26 Anne og Peter løber om kap på en bane. De tager begge skridt af 1,6 meter, men Peter tager sine skridt 1,5 gange så hurtigt som Anne. Anne starter 8 meter inde på banen, mens Peter starter fra starten. a) Definer en funktion, A(x), der angiver hvor langt Anne er kommet på banen som funktion af antal skridt, x, hun har taget. b) Definer en funktion, P(x), der angiver hvor langt Peter er kommet, som funktion af antal skridt Anne har taget, x. c) Hvor mange skridt når Anne at tage inden Peter har indhentet hende? 7
Polynomier Opgave 27 Bestem rødderne i følgende polynomier. Bestem desuden f(0) for hvert polynomium. a) f(x) = x 2 1 b) f(x) = x 2 + 5x + 6 c) f(x) = x 2 5x 6 d) f(x) = 2x 2 + 6x + 4 e) f(x) = x 2 + 5x 6 f) f(x) = x 3 x 2 6x g) f(x) = 4x 2 x + 2 Opgave 28 Bestem toppunktet for følgende polynomier og skitser dem. a) f(x) = x 2 1 b) f(x) = x 2 + 5x + 6 c) f(x) = x 2 5x 6 d) f(x) = 2x 2 + 6x + 4 e) f(x) = x 2 + 5x 6 f) f(x) = 4x 2 x + 2 Opgave 29 En funktion f : R R, som opfylder at f( x) = f(x) kaldes en lige funktion, mens en funktion som opfylder f( x) = f(x) kaldes en ulige funktion. Vis at funktionen givet ved forskriften g(x) = x 4 + x 2 er en lige funktion. Hvilken linje er alle lige funktioner symmetrisk omkring? Vis herefter at funktionen givet ved forskriften f(x) = x 3 + x er en ulige funktion. Hvilke linjer er alle ulige funktioner spejlinger omkring? 8
Sammensatte funktioner Opgave 30 Definer funktionerne f : R R, g : R R og h : R R ved følgende forskrifter f(x) = 1 3 x + 2, g(x) = 3x2, h(x) = 3x 6 Bestem forskriften for følgende sammensatte funktioner a) f g(x) b) g f(x) c) h g(x) d) f h(x) e) h f(x) Hvad gælder om funktionerne f og h? 9
Inverse funktioner Opgave 31 Tegn følgende funktioner og afgør ud fra grafen, om de er injektive, surjektive eller bijektive. Find den inverse, hvis den eksisterer. a) f : R R, hvor f(x) = 2x b) f : R R, hvor f(x) = 4x c) f : R R, hvor f(x) = ax d) f : R R, hvor f(x) = 2x + 1 e) f : R R, hvor f(x) = 3x + 3 f) f : R R, hvor f(x) = ax + b Opgave 32 Tegn følgende funktioner (evt. på computer) og afgør ud fra grafen, om de er injektive, surjektive eller bijektive. Vælg X og Y (så store som muligt), så funktionen bliver bijektiv, og find herefter den inverse funktion. a) f : X Y, hvor f(x) = x 2 b) f : X Y, hvor f(x) = x 3 c) f : X Y, hvor f(x) = x d) f : X Y, hvor f(x) = 1 x e) f : X Y, hvor f(x) = x 2 + 2x (svær) Opgave 33 Betragt funktionen f : R R givet ved forskriften f(x) = x 3 + 2x 2 Du får at vide, at f har lokalt maksimum i x = 4. Indel R i intervaller, så f er injektiv på 3 hvert interval. 10
Generelle egenskaber ved funktioner Lad f : X Y være en funktion og lad A X være en delmængde af X. Mængden f(a) = {y Y x A : f(x) = y} kaldes billedet af A under f. Intuitivt indeholder mængden alle funktionsværdierne hørende til elementerne i A. Opgave 34 Betragt funktionen f : R R givet ved forskriften a) Bestem f([ 1, 1]) b) Bestem f( ) c) Bestem f(r) f(x) = x 2 Opgave 35 Betragt nu funktionen f : R R givet ved forskriften a) Løs ligningen f(x) = 0. b) Tegn en skitse af grafen for f. f(x) = x 3 4x c) Bestem f({r 1, r 2, r 3 }), hvor r 1, r 2 og r 3 betegner rødderne, som du fandt i spørgsmål a). Lad f : X Y være en funktion og lad B Y være en delmængde af Y. Mængden f 1 (B) = {x X f(x) B} kaldes urbilledet af B under f. Intuitivt indeholder mængden alle x X, hvor funktionsværdien af x ligger i B. 11
Opgave 36 Betragt funktionen f : R R givet ved forskriften a) Bestem f 1 ({0}) b) Bestem f 1 ([ 5, 0]) c) Bestem f 1 ({8}) d) Bestem f 1 ({ 10}) f(x) = 2x 2 + 2x 4 Opgave 37 Vi betragter funktionen f : X Y og delmængderne A, B X og C, D Y. Afgør om følgende udsagn er sande. Hvis du mener et udsagn er sandt, skal du bevise det, og hvis du mener det er falsk, skal du give et modeksempel. a) f(a) f(b) = f(a B) b) f(a) f(b) = f(a B) c) f 1 (C) f 1 (D) = f 1 (C D) d) f 1 (C) f 1 (D) = f 1 (C D) 12
Eksponentielle udviklinger Opgave 38 Du har 1000 kr., som du gerne vil sætte i banken. Banken giver dig 5% i rente pr. år. a) Opstil en funktion f : N Q, der beskriver hvor mange penge, du har stående på din konto efter x år. b) Hvorfor er funktionens domæne N? c) Hvor mange penge har du på din konto efter 10 år? Opgave 39 Forstil dig, at du har et stykke papir med arealet 100cm 2. Du folder nu papiret på midten. Herefter folder du igen papiret på midten, osv. a) Hvor stort er arealet, når du har foldet papiret 3 gange? 4 gange? b) Opstil en funktion f : N Q, der beskriver hvor stort arealet er, når du har foldet papiret x gange. c) Hvorfor er funktionens kodomæne Q? d) Omskriv forskriften for f, så den har formen f(x) = ba x. 13
Opgave 40 Du har besluttet dig for, at du har brug for en tur i en varm sauna. Men saunaen er kun stuetemperatur, dvs. 20 C. Efter du har tændt for saunaen kan du se på saunaens termometer, at temperaturen i saunaen stiger med 4 C pr. minut indtil temperaturen i saunaen er 80 C. Herefter er temperaturen konstant. a) Opstil en funktion f : [0, ) R, der beskriver temperaturudviklingen i saunaen. b) Hvorfor er funktionens domæne [0, )? c) Hvorfor er funktionens kodomæne R? Efter halv time i saunaen har du fået nok. Derfor slukker du for saunaen og åbner vinduet for at køle saunaen ned igen. Antag at det er vinter og temperaturen udenfor er 0 C. Når vinduet åbnes falder temperaturen hurtigt i starten, men efterhånden som temperaturen i saunaen nærmer sig 0 C falder temperaturen langsommere, fordi forskellen i temperatur udenfor og inden i saunaen bliver mindre. For at kunne beskrive temperaturudviklingen har du besluttet at indsamle data om temperaturudviklingen. Da saunaen når op på 80 C åbner du vinduet og kigger på saunaens termometer. Hvert minut noterer du temperaturen, hvilket fører til følgende skema. Tid i minutter 0 1 2 3 Temperatur i C 80 72 64,8 58,32 d) Hvor mange procent falder temperaturen hvert minut? e) Antag at temperaturen bliver ved med at falde på denne måde. Opstil en funktion f : [0, ) R, der beskriver temperaturen i saunaen efter vinduet er åbnet som funktion af tiden. f) Opstil en funktion der beskriver temperaturen i saunaen fra du tænder den, til den er fuldstændigt afkølet. g) Skitser funktionen i et koordinatsystem. 14
Eksponential- og logaritmefunktioner Opgave 41 Udregn følgende. a) log 8 (64) = b) log 3 (27) = c) log 3 (1) = d) log 4 (64) = e) log 4 (1) = f) log 2 (2) = Opgave 42 Vi betragter funktionen f : R R + givet ved forskriften f(x) = a x, hvor a > 1. a) Bestem f(0) for ethvert a. b) Hvad sker der med f(x) når x bliver meget negativ (nærmer sig )? c) Antager funktionen nogensinde værdien 0? Hvorfor? Hvorfor ikke? d) Hvad sker der med f(x), når x bliver meget stor? e) Skitser grafen for f. Opgave 43 Vi betragter funktionen g : R + R givet ved forskriften g(x) = log a (x), hvor a R +. a) Bestem g(1) for ethvert a. b) Hvad sker der med g(x) når x nærmer sig 0? c) Bestem g(0). Har udtrykket mening? Hvorfor? Hvorfor ikke? d) Har log a (x) mening for x < 0? Hvorfor? Hvorfor ikke? e) Hvad sker der med g(x), når x bliver meget stor? f) Skitser grafen for g. g) Sammenlign din skitse af g med din skitse af f fra opgave 42. Hvad ser du? 15
Opgave 44 (svær) Lad a, b R +. a) Vis at ln(a) + ln(b) = ln(ab) b) Vis at ln(a) ln(b) = ln( a b ) c) Vis at ln(a n ) = n ln(a) d) Vis at ln(x) = ln(a) log a (x) Opgave 45 Benyt logaritmeregnereglerne til at reducere følgende udtryk mest muligt. a) ln(8) + ln(2) ln(4) = b) ln(8) + ln(4) ln(2) = c) ln(4) 2 ln(2) = d) ln(4) ln(2) + ln(5) = e) ln(81) ln(9) ln(3) = f) ln(e) ln(1) + ln(e 2 ) + ln(6) ln(2) + ln(3) = Opgave 46 Løs følgende ligninger. a) ln(5x) = 0 b) 10 x = 7 c) ln(x) = 1, 3 d) ln(4x) = 1 e) ln(12x + 40) = 2 f) e ln(x 1)+1 = e Opgave 47 (opgave 38 fortsat) Hvor mange år går der, før der står (mere end) 1 mio. kr på kontoen? Opgave 48 (opgave 39 fortsat) Hvor mange gange skal papiret foldes, hvis arealet skal være mindre end 1cm 2? 16
Trigonometriske funktioner Opgave 49 Brug enhedscirklen til at bestemme følgende værdier for sinus og cosinus. a) cos(0) = b) sin(0) = c) cos( π 2 ) = d) sin( π 2 ) = e) cos(π) = f) sin(π) = g) cos( 3 2 π) = h) sin( 3 2 π) = i) cos(2π) = j) sin(2π) = Opgave 50 a) Argumenter ud fra enhedscirklen for at cos( π 4 ) = sin( π 4 ). b) Bestem cos( π ). (HINT: Brug Pythagoras sætning) 4 c) Bestem sin( 3 4 π) Opgave 51 På næste side finder du en skitse af enhedscirklen. Angiv koordinater til alle punkter, der er markeret på skitsen. Udnyt dine resultater fra opgave 49 og opgave 50. Opgave 52 Vi har set at grader og radianer er to sider af samme sag, nemlig at måle vinklers størrelse. Benyt nu enhedscirklen til at omregne fra grader til radianer. a) En vinkel V er 90 grader. Hvor mange radianer er vinklen? b) En cirkel er 360 grader. Hvor mange radianer er en cirkel? c) En vinkel U er 60 grader. Hvor mange radianer er vinklen? d) Kan du opstille en generel formel for hvordan man omregner fra grader til radianer? 17
y π 2 3π 4 π 4 π 2π x 5π 4 7π 4 3π 2
Opgave 53 Vis at sin 2 (x) + cos 2 (x) = 1. (HINT: Brug samme ide som i opgave 50 spørgsmål b)) Opgave 54 Vi betragter to ligedannede trekanter ABC og A 1 B 1 C 1. At trekanterne er ligedannede betyder, at den ene er en forstørrelse af den anden, altså Specielt har de to trekanter ens vinkler. a) Vis at a 1 a = b 1 b = c 1 c b) Vis nu at b c = b 1 c 1 a k = a 1, b k = b 1, c k = c 1, k R Det oplyses nu at trekanterne er retvinklede og c = 1. Herunder ses en skitse af de to trekanter. c) Vis at cos(a) = b 1 c 1 d) Vis at sin(a) = a 1 c 1 Betragt en vilkårlig retvinklet trekant. De to korte sider kaldes kateter, mens den længste side kaldes hypotenusen. Lad V betegne en af de to spidse vinkler. e) Forklar hvorfor følgende formler altid gælder cos(v ) = hosliggende katete hypotenusen sin(v ) = modstående katete hypotenusen 19
Opgave 55 (svær) I denne opgave skal du bevise additionsformlen for sinus sin(x + y) = sin(y) cos(x) + sin(x) cos(y) Delopgaverne vil give dig alle de byggesten du har brug for til at vise sætningen. Derfor er det vigtigt, at du løser delopgaverne i alfabetisk rækkefølge. Nendenfor ser du en skitse af enhedscirklen. Alle referencer til punkter og linjer i opgaven er til skitsen. Punkterne G og F er afsat ved at bevæge sig henholdsvis afstanden y og x + y langs enhedscirklen. a) Argumenter for at sin(x + y) = BE + DF. b) Argumenter for at BE = sin(y) OE. c) Argumenter for at OAC og CEF er ensvinklede. d) Argumenter for at då må OAC og DEF også være ensvinklede. e) Argumenter for at DF = cos(y) EF. Ovenstående kan kombineres til sin(x + y) = sin(y) OE + cos(y) EF Vi mangler altså blot at argumentere for, at OE = cos(x) og EF = sin(x). f) Argumenter for at OE = cos(x). (HINT: Drej figuren med uret) g) Argumenter for at EF = sin(x) h) Sætningen er nu vist. Men har vi vist sætningen for alle x, y R? Er det et problem? 20
Opgave 56 (svær) I denne opgave skal vi bruge additionsformlen for sinus til at vise additionsformlen for cosinus cos(x + y) = cos(x) cos(y) sin(x) sin(y) Vi viser først to delresultater, som der bliver brug for i det endelige bevis. ( a) Vis at sin x + π ) = cos(x). 2 ( b) Vis at sin(x) = cos x + π ) (. (HINT: Undersøg sin x + π 2 2 π ) ) 2 ( c) Vis additionsformlen for cosinus. (HINT: Udnyt at sin x + y + π ) = cos(x + y)) 2 Opgave 57 (svær) En funktion sige at være lige hvis f( x) = f(x) og ulige hvis f( x) = f(x). Vi skal nu vise, at sinus er en ulige funktion, og cosinus er en lige funktion. a) Vis at cos(x) sin( x) + cos( x) sin(x) = 0 b) Vis at cos(x) cos( x) sin(x) sin( x) = 1 Vi er nu klar til at vise sinus og cosinus er henholdsvis ulige og lige. Det gøres ved at opfatte ligningerne fra a) og b) som et kvadratisk ligningssysem, hvor cos( x) og sin( x) er variable. c) Løs ligningssystemet. cos(x) sin( x) + cos( x) sin(x) = 0 cos(x) cos( x) sin(x) sin( x) = 1 Hermed er det ønskede vist. 21
Grænseovergange Opgave 58 Bestem følgende grænseværdier. Tegn eventuelt graferne for funktionerne. a) Betragt f(x) = x og afgør f(x)? når x 0 b) Betragt f(x) = x og afgør f(x)? når x c) Betragt f(x) = 1 x d) Betragt f(x) = 1 x og afgør f(x)? når x 0 og afgør f(x)? når x e) Betragt f(x) = x 2 og afgør f(x)? når x 0 f) Betragt f(x) = x 2 og afgør f(x)? når x g) Betragt f(x) = x og afgør f(x)? når x 0 x2 h) Betragt f(x) = x og afgør f(x)? når x x2 Opgave 59 Bestem følgende grænseværdier. Tegn eventuelt graferne for funktionerne. a) Betragt f(x) = e x og afgør f(x)? når x 0 b) Betragt f(x) = e x og afgør f(x)? når x c) Betragt f(x) = e x og afgør f(x)? når x d) Betragt f(x) = ex x og afgør f(x)? når x e) Betragt f(x) = x og afgør f(x)? når x ex f) Betragt f(x) = x og afgør f(x)? når x ex Opgave 60 Bestem følgende grænseværdier. Tegn eventuelt graferne for funktionerne. a) Betragt f(x) = x og afgør f(x)? når x 0 b) Betragt f(x) = x og afgør f(x)? når x c) Betragt f(x) = d) Betragt f(x) = x x x x og afgør f(x)? når x og afgør f(x)? når x 0 22