Forside. Matematik og Statistik. Symmetri. Tapetmønstre. Gruppe G maj 2014

Forside Matematik og Statistik Symmetri Tapetmønstre Gruppe G3-110 23. maj 2014 Aalborg Universitet Institut for Matematiske Fag Fredrik Bajers Vej 7G 9220 Aalborg Ø Tfl. 99409940

Institut for Matematiske Fag Matematik og Statistik Fredrik Bajers Vej 7G Tfl. 99409940 http://math.aau.dk Titel: Tema: Tapetmønstre Symmetri Projektperiode: P4, forårssemesteret 2014 Projektgruppe: G3-110 Deltagere: Emil Færk Hanne Lone Andersen Mads Lindskou Maria Tranholm Hansen Vejleder: Martin Hubert Raussen Oplagstal: 7 Sidetal: 56 Afsluttet den: 23. maj 2014 Synopsis: Dette projekt omhandler tapetmønstre. Indledningsvist beskrives generel gruppeteori, samt tre matrixgrupper der skal vise sig særligt nyttige i beskrivelsen af symmetrigrupper i planen. Dernæst bliver de mulige isometrier i planen beskrevet; translationer, rotationer, spejlinger og glidespejlinger. Dette lægger op til undersøgelsen af symmetrier, hvor der først kigges på symmetrier i endelige mønstre og derefter på symmetrier i uendelige mønstre. Herefter beskrives punktgrupper, og hvilke gittertyper disse virker på. Med disse resultater bliver der redegjort for, hvorledes dette kan give de præcis 17 mulige tapetgrupper op til isomorfi. Afslutningsvist anvendes teorien på to eksempler, hvor det første eksempel viser, hvordan man kan bestemme tapetgruppen for et givent tapetmønster. I det andet eksempel vises det, hvordan man kan konstruere et tapetmønster ud fra en given tapetgruppe. Afslutningsvist tager projektet et historisk perspektiv. Rapportens indhold er frit tilgængeligt, men offentliggørelse (med kildeangivelse) må kun ske efter aftale med forfatterne.

Forord Dette projekt er udarbejdet af gruppe G3-110 i foråret 2014 på Aalborg Universitet - Matematik og statistik. Projektet er udarbejdet under temaet Symmetri og går i dybden med områder indenfor Tapetmønstre. Vi vil gerne takke vores vejleder, Lektor Martin Hubert Raussen, for konstruktiv vejledning gennem hele projektperioden. Projektet igennem vil der være en tombstone ( ) for hvert endt bevis og en stjerne ( ) for hvert endt eksempel. Der vil igennem projektet fremtræde kildehenvisninger, og disse vil være samlet i en kildeliste bagerst i projektet. Der er anvendt kildehenvisning sådan, at kilderne refereres med (Efternavn År), hvor efternavnet er forkortet. Yderligere oplysninger findes i kildelisten, hvor litteraturen er angivet med forfatter, titel, udgave og forlag. Figurer, tabeller og ligninger er nummereret efter kapitel, dvs. den første figur i kapitel 1 har nummer 1.1, den anden, nummer 1.2 osv. Emil Færk Hanne Lone Andersen Mads Lindskou Maria Tranholm Hansen i

Indholdsfortegnelse Kapitel 1 Indledning 1 Kapitel 2 Gruppeteori 2 Kapitel 3 Matrixgrupper 4 Kapitel 4 Isometrier 7 4.1 Planisometrier.................................. 8 4.2 De fire typer isometrier i planen......................... 9 4.2.1 Translation................................ 9 4.2.2 Rotation.................................. 11 4.2.3 Spejling.................................. 12 4.2.4 Glidespejling............................... 14 Kapitel 5 Symmetrigrupper 17 Kapitel 6 Tapetmønstre 20 6.1 Gruppevirkninger og semidirekte produkter.................. 22 6.2 Punktgruppen................................... 23 6.3 Gittertyper.................................... 28 6.3.1 Parallelogramgitre - Grupperne C 1 og C 2............... 28 6.3.2 Kvadratiske gitre - Grupperne C 4 og D 4................ 29 6.3.3 Hexagonale gitre - Grupperne C 3, D 3, C 6, D 6............. 31 6.3.4 Rektangulære gitre og rombegitre - Grupperne D 1 og D 2...... 34 Kapitel 7 Afrunding af teori 37 7.1 De 17 tapetgrupper................................ 37 Kapitel 8 Anvendelse 40 8.1 Den primitive celle og det fundamentale område............... 40 8.2 Karakterisering af et tapetmønster....................... 40 8.3 Konstruktion af et tapetmønster........................ 42 ii

Gruppe G3-110 Indholdsfortegnelse Kapitel 9 Historiske aspekter 45 Kapitel 10 Konklusion 47 Kapitel 11 Perspektivering 48 Bibliografi 51 Appendiks A Mønstre fra Alhambra 53 iii

Indledning 1 Mennesket har altid været fascineret af symmetrier og derfor også brugt det til diverse udsmykninger. Til trods for dette, er det først inden for det sidste århundrede, at samtlige symmetrier i to dimensioner er blevet beskrevet matematisk. Til at beskrive disse symmetrier kan man anvende lineær algebra, abstrakt algebra og geometri. Kombinationen af disse matematiske områder gør det muligt visuelt at se, hvorledes de ellers abstrakte grupper inden for algebra virker på helt konkrete mønstre. De eneste mulige flytninger som kan bevare et mønster i planen, kan vises at være translationer, rotationer, spejlinger eller glidespejlinger. Interessen for at beskrive symmetrier opstod først i tre dimensioner, da fysikere og kemikere ønskede at kunne bestemme krystalstrukturer for at forstå faste stoffers egenskaber. Efterfølgende fandt man ud af, at teorien for tre dimensioner også kunne bruges til symmetrier i to dimensioner. Dermed blev det muligt at karakterisere nogle af de kunstneriske udsmykninger rundt omkring i verden. Her har matematikere haft særlig stor interesse for paladset Alhambra i Spanien. Et endeligt mønster, i planen, kan have uendelig mange symmetrier og dermed flytninger som bevarer mønstret. Tag blot en cirkelskive, denne har uendeligt mange spejlinger og rotationer. Hvis mønstret derimod er uendeligt, kan det vises, at der er præcis 17 mulige grupper som virker på mønsteret. Denne form for mønstre kaldes tapetmønstre. Det matematiske kendskab til symmetrierne beskrevet ved gruppevirkninger gør det også muligt at konstruere nye mønstre fra bunden. For eksempel kan et tapetmønster skabes ved at gentage et grundmønster uendeligt mange gange vha. én af de 17 tapetgrupper. På denne måde kan et stort og krævende arbejde lettes ved, at forstå de enkelte bestanddele i opbygningen af et tapetmønster. Dette projekt omhandler udelukkende mønstre i planen. Særligt vil undersøgelsen beskæftige sig med tapetmønstre og hvorledes man kan komme frem til de i alt 17 tapetgrupper. 1

Gruppeteori 2 Dette kapitel skal fungere som en kort opsummering af basale gruppeteoretiske definitioner og resultater. Kapitlet tager udgangspunkt i [Mor07] og [Lau12]. Definition 1: Et par (G, ) bestående af en mængde G og en komposition : G G G kaldes en gruppe, hvis det overholder, at (i) Kompositionen er associativ: x 1 (x 2 x 3 ) = (x 1 x 2 ) x 3, for alle x 1, x 2, x 3 G (ii) Der eksisterer et neutralt element e G, sådan at e x = x og x e = x, for alle x G (iii) For alle x G eksisterer der et inverst element x 1 G, sådan at x 1 x = e og x x 1 = e Er gruppen kommutativ, kaldes den for en abelsk gruppe. Hvis H er en delmængde af G, og H danner en gruppe under samme komposition som G, så siges H at være en undergruppe af G, og skrives H G. Lad G være en gruppe og H G. Hvis g G, så er den venstre sideklasse gh givet ved mængden gh = {gh h H}. Mængden af alle venstre sideklasser noteres med G/H, og mængden af alle højre sideklasser noteres med H/G. Lad N G, så kaldes N en normal undergruppe af G, hvis det for alle g G gælder, at gng 1 = {gng 1 n N} = N. Når N er en normal undergruppe af G, noteres dette N G. Bemærk, at gn = Ng for alle g G, hvis N er normal. Lad G være en abelsk gruppe og H G hvor h H og g G. Så har vi at ghg 1 = gg 1 h = h. Dermed er en undergruppe af en abelsk gruppe, normal. Hvis N G, danner G/N en gruppe under komposition af sideklasser, og (xn)(yn) = (xy)n, for alle xn, yn G/N. Hvis N er en normal undergruppe af G, kaldes gruppen G/N for en kvotientgruppe. Da (gn)(en) = (ge)n = gn, ses det at det neutrale element i kvotientgruppen G/N er lig N og det inverse element til (gn) er lig g 1 N. 2

Gruppe G3-110 2. Gruppeteori Hvis det for et element g G gælder at G = g, hvor g = {g n n Z}, så siges elementet g at frembringe gruppen G, hvor g er frembringeren. En gruppe indeholdende en frembringer, kaldes for en cyklisk gruppe. Hvis ordenen af g, g, er endelig, så bestemmes denne ved at finde det mindste positive tal n, sådan at g n = e. Definition 2: Lad G og K være to grupper. En afbildning ϕ : G K kaldes en gruppehomomorfi hvis ϕ(xy) = ϕ(x)ϕ(y), for alle x, y G. Hvis ϕ er en bijektiv gruppehomomofi kaldes denne for en gruppeisomorfi, og skrives ϕ : G K. G og K siges da at være isomorfe, og vi skriver G = K. Lad ϕ : G K være en gruppehomomorfi. Kernen af ϕ defineres som mængden ker(ϕ) = {g G ϕ(g) = e}. ker(ϕ) G jf. Proposition 2.4.9(ii) i [Lau12]. Proposition 2.1: Lad N være en normal undergruppe af en gruppe G. Så er afbildningen π : G G/N, givet med π(g) = gn en surjektiv gruppehomomorfi, med ker(π) = N. π kaldes for den kanoniske gruppehomomofi. Sætning 2.2: Lad G og K være to grupper og ϕ : G K en gruppehomomorfi. Så er ϕ : G/ker(ϕ) ϕ(g) givet ved ϕ(gn) = ϕ(g) en veldefineret gruppeisomorfi. [Lau12] [Lau12] Sætning 2.3: Antag, at H og J er undergrupper af G, hvor J er en normal undergruppe. Så er HJ en undergruppe af G, H J er en normal undergruppe af H og kvotient grupperne HJ/J, H/H J er isomorfe. [Arm88] Sætning 2.2 og 2.3 kaldes hhv. for den første isomorfisætning og den anden isomorfisætning. 3

Matrixgrupper 3 En matrixgruppe kan tænkes på, som gruppen af inverterbare matricer. Fra lineær algebra er det velkendt at sådanne matricer er velegnet til at beskrive symmetrier. Følgende kapitel beskriver nogle af de vigtigste grupper, som er nødvendige for at undersøge symmetrier i planen. Definition 3: Lad M n (R), n 1 være mængden af alle n n matricer i R. Den generelle lineæregruppe er givet ved Gl n (R) = {A M n (R) det (A) 0}. Gl n (R) er en gruppe under matrixmultiplikation. Dette ses af følgende. Lad A, B Gl n (R), så er det(ab) = det(a)det(b) 0, hvorfor Gl n (R) er lukket under matrixmultiplikation. Associativitet er opfyldt eftersom matrixmultiplikation er associativ. Identitetsmatricen I n ligger i Gl n (R), da det(i n ) = 1 0 og er gruppens neutrale element. Lad A Gl n (R), så er det(a 1 ) = 1 det(a) 0, hvorfor A 1 Gl n (R). Dermed er Gl n (R) en gruppe jf. Definition 1. Den generelle lineære gruppe har tre vigtige undergrupper; den specielle lineære gruppe, den ortogonale gruppe og den specielle ortogonale gruppe som er relevante i dette projekt, defineret som hhv. Sl n (R) = {A M n (R) det (A) = 1}, O n (R) = {A M n (R) A T A = I n } og SO n (R) = Sl n (R) O n (R) = {A O n (R) det(a) = 1}. Det ses af følgende, at Sl n (R) er en undergruppe af Gl n (R). Lad A, B Sl n (R), så er det(ab) = det(a)det(b) = 1, hvorfor Sl n (R) er lukket under komposition. Det neutrale element i Gl n (R) ligger i Sl n (R), da det(i n ) = 1. For A Sl n (R) har vi, at A 1 Sl n (R), fordi det(a 1 ) = 1 det(a) = 1. Det ses af følgende, at O n (R) er en undergruppe af Gl n (R). Lad A, B O n (R). Så er (AB) T AB = I n, hvorfor O n (R) er lukket under komposition. Det neutrale element i Gl n (R) ligger i O n (R), da I T n I n = I n. For A O n (R) har vi, at A 1 = A T, da A T A = I n. Da (A 1 ) T A 1 = AA 1 = I n er A 1 O n (R). SO n (R) er en undergruppe af Gl n (R), da fællesmængden af to undergrupper er en undergruppe, som det ses af følgende lemma. 4

Gruppe G3-110 3. Matrixgrupper Lemma 3.1: Fællesmængden af to undergrupper er en undergruppe. Bevis: Lad H og K være undergrupper af G. Det neutrale element e H og e K, hvorfor e H K. Hvis x H K, så tilhører x både H og K, og da H og K er undergrupper ligger det inverse element, x 1 i både H og K, og dermed også i H K. Hvis x, y H K, så er xy H og xy K, hvorfor xy H K. Grupperne SO 2 (R) og O 2 (R) har stor betydning for dette projekt, og følgende proposition viser at SO 2 (R) er en normal undergruppe af O 2 (R). Proposition 3.2: SO 2 (R) er en normal undergruppe af O 2 (R) Bevis: Definér ϕ : O 2 (R) {±1}, hvor A det(a), for alle A O 2 (R). Da det(ab) = det(a)det(b) for alle A, B O 2 (R) er ϕ en gruppehomomorfi. Da ker(ϕ) = {A O 2 (R) det(a) = 1} = SO 2 (R) har vi, at SO 2 (R) O 2 (R), da ker(ϕ) er en normal undergruppe. Det undersøges nu hvordan grupperne O 2 (R) og SO 2 (R) kan beskrives vha. matricer. Lad H være en endelig undergruppe af O 2 (R) og lad A H, hvor Så har vi, at Af (3.1) ses det, at [ A T a A = b ] [ c a d c [ a A = c ] b. d ] [ ] [ ] b a 2 + c 2 ab + cd 1 0 = d ab + cd b 2 + d 2 =. (3.1) 0 1 a 2 + c 2 = 1 (a, c) = (cos θ, sin θ), ab + cd = 0 (b, d) = (sin θ, cos θ) eller ( sin θ, cos θ). Dermed er der to mulige typer matricer for elementerne i O 2 (R), [ ] [ ] cos θ sin θ cos θ sin θ A 1 = eller A 2 =. sin θ cos θ sin θ cos θ Da det(a 1 ) = 1 er A 1 O 2 (R) \ SO 2 (R). Da det(a 2 ) = 1 er A 2 SO 2 (R). A 1 er en spejlingsmatrix og A 2 en rotationsmatrix om origo med vinkel θ. Fra overstående er det ikke klart hvilken linje vi spejler i når A 1 anvendes. Lad θ være vinklen mellem en spejlingsakse l og x-aksen. En spejling mht. den kanonisk basis i x-aksen giver da matricen [ ] 1 0 S x aksen =. 0 1 5

Aalborg Universitet Spejlingsaksen l er en rotation af x-aksen med vinklen θ. Denne rotation kan beskrives med følgende matrix, [ ] cos θ sin θ R =. sin θ cos θ Lad S l være en spejling i linjen l. For at undersøge hvilken vinkel denne rotation har med x-aksen opskrives matrixrepræsentationen for S l. Dette gøres ved først at se hvordan S l virker på den kanoniske basis roteret med θ. Dette giver S l Re 1 = Re 1 og S l Re 2 = Re 2 og dermed R 1 S l Re 1 = e 1 og R 1 S l Re 2 = e 2. For at få matrixrepræsentationen for S l, laves følgende udregning [ ] R 1 1 0 S l R = 0 1 [ ] 1 0 S l = R R 1 0 1 [ ] [ ] [ ] cos θ sin θ 1 0 cos θ sin θ = sin θ cos θ 0 1 sin θ cos θ [ ] cos 2θ sin 2θ =. sin 2θ cos 2θ Da S l er en spejling i linjen l har vi, at vinklen er 1 2 θ. 6

Isometrier 4 I dette kapitel behandles afstandsbevarende afbildninger; isometrier. Først defineres isometrier i metriske rum generelt, hvorefter nogle vigtige egenskaber bevises. Dernæst begrænses undersøgelsen til planen og de fire isometrier heri beskrives. Dette kapitel tager udgangspunkt i [Mor07] og [Lau12] Definition 4: En isometri f er en afstandsbevarende afbildning mellem to metriske rum (X, d X ) og (Y, d Y ): d Y (f(x), f(y)) = d X (x, y), x, y X Mængden af bijektive isometrier fra X til X skrives Isom(X), og kaldes isometrigruppen. Dette betyder geometrisk set, at to figurer er kongruente, hvis der findes en isometri der overfører den ene figur i den anden. Isom(X) er en gruppe, da det fra Proposition 4.1(i), samt det at kompostionen af to bijektive funktioner igen er bijektive, ses at mængden af isometrier er lukket under komposition. Det neutrale element, givet ved identitetsafbildningen, er tydeligvis afstandsbevarende og kompositionen af funktioner er altid associativ. Desuden ligger det inverse element i Isom(X), jf. Proposition 4.1(ii), samt det at det inverse element altid er bijektivt. Derfor er Isom(X) en gruppe og benævnelsen isometrigruppen er velbegrundet. Proposition 4.1: Lad f, g Isom(X). (i) Kompositionen f g er en isometri. (ii) f 1 er en isometri. Bevis: (i) Givet x, y X, så gælder, at Dette beviser at f g er en isometri. d(f(g(x)), f(g(y))) = d(g(x), g(y)) = d(x, y) 7

4.1 Planisometrier Aalborg Universitet (ii) Da f er bijektiv på X og derfor surjektiv, kan vi finde x, y X sådan at x = f(x ) og y = f(y ). Dette giver d(f 1 (x), (f 1 (y)) = d(x, y ) = d(f(x ), f(y )) = d(x, y) Derfor gælder det, at f 1 er en isometri. 4.1 Planisometrier Når undersøgelsen begrænses til R 2 kan alle punkter ses som vektorer, hvor normen af vektorerne er den euklidiske norm skrevet som. Afstanden mellem to vektorer u og v skrives da u v. Med denne notation er f i R 2 en isometri hvis f(u) f(v) = u v for alle vektorer u, v R 2. Der fokuseres nu på lineære isometrier. Proposition 4.2: Hvis g er en isometri i R 2 med g(0) = 0, så er g en lineær transformation. Bevis: Beviset deles op i to dele. (i) g bevarer prikprodukt: Lad u, v R 2. Det skal vises, at g(u) g(v) = u v. Følgende to ligninger g(u) g(v) 2 = (g(u) g(v)) (g(u) g(v)) = g(u) 2 + g(v) 2 2g(u) g(v) og u v 2 = (u v) (u v) = u 2 + v 2 2u v er lig hinanden, da g er en isometri. Da g(u) = g(u) g(0) = u 0 = u, for alle u R 2 har vi, at 2g(u) g(v) = 2u v, hvilket viser at g bevarer prikprodukt. (ii) g er lineær: Det skal vises at g bevarer vektoraddition: g(u + v) = g(u) + g(v). g(u + v) g(u) g(v) 2 =g(u + v) g(u + v) + g(u) g(u) + g(v) g(v) 2g(u + v) g(u) 2g(u + v) g(v) 2g(u) g(v) =(u + v) (u + v) + u u + v v 2(u + v) u 2(u + v) v 2u v = (u + v) u v 2 = 0. Det skal også vises at g bevarer skalarmultiplikation: g(cu) = cg(u). g(cu) cg(u) 2 = g(cu) g(cu) + c 2 g(u) g(u) 2cg(cu) g(u) Dette viser, at g er en lineær transformation. = cu cu + c 2 u u 2c(cu) u = c 2 u u + c 2 u u 2c 2 u u = 0. 8

Gruppe G3-110 4. Isometrier Det vises nu, hvordan disse lineære transformationer kan beskrives. Proposition 4.3: g er en lineær isometrisk transformation i R 2, hvis og kun hvis g kan beskrives med en matrix A O 2 (R), således at g(x) = Ax. Bevis: Betragt standardbasen for R 2 og antag, at g er en lineær isometrisk transformation, så kan g beskrives vha. en matrix A. Det ses, at A T A (i,j) = 2 a ki a kj, hvilket netop er den i te søjle i A prikket med den j te søjle i A. Da den i te søjle i en matrix fås ved at gange den i te basisvektor på matricen, opnås k=1 2 a ki a kj = Ae i Ae j = g(e i ) g(e j ) = e i e j, k=1 hvor vi har udnyttet, at g bevarer prikprodukt i den sidste lighed. Det ses at indgangene i A T A giver 1, når i = j og nul ellers. Dette betyder at A T A er lig identitetsmatricen I 2. De matricer der opfylder dette, er netop ortogonal matricerne, i gruppen O 2 (R). Antag, at g(x) = Ax hvor A O 2 (R), så er g lineær. For u, v R 2 har vi, at g(u) g(v) = (Au) (Av) = (Au) T (Av) = u T (A T A)v = u T v = u v. Derfor, ved at sætte v = u, ses det at g(u) = u, og da er g lineær har vi, at Derfor er g en lineær isometri. g(u) g(v) = g(u v) = u v. 4.2 De fire typer isometrier i planen Dette afsnit har til formål at beskrive de fire planisometrier: translation, rotation, spejling og glidespejling. Ydermere vises det afslutningsvist at der kun findes netop disse fire isometrier i planen. Grundlæggende for alle isometrierne glæder der, at ordenen af en isometri ϕ, er det positive heltal n, således at ϕ n = e, jf. Kapitel 2. Eksisterer sådan et tal ikke, siges isometrien at have uendelig orden. 4.2.1 Translation En translation kan beskrives som en forskydning af alle punkter i planen. Alle punkter flyttes med samme længde i en given retning, hvorved f.eks. en figur bevares, se Figur 4.1. τ v Figur 4.1. Translation. 9

4.2 De fire typer isometrier i planen Aalborg Universitet Formelt defineres en translation på følgende måde. Definition 5: Lad v R 2. En translation, med vektoren v, er givet ved afbildningen τ v : R 2 R 2, hvor det gælder, at τ v (x) = x + v, x R 2. Det ses ved nedenstående proposition, at denne flytning er en isometri, da den er afstandsbevarende. Proposition 4.4: Enhver translation er en isometri. Bevis: Lad x, y R 2 og τ v være en translation. Af Definition 5 har vi, at τ v (x) τ v (y) = (x + v) (y + v) = x y, hvilket viser, at τ v er afstandsbevarende. Det ses umiddelbart fra ovenstående bevis, at τ v τ w = τ v+w, se Figur 4.2. Bemærk ligeledes at den inverse, τ 1, til τ v er lig τ v, og at en translation ikke har endelig orden. τ v τ w τ v+w τ w τ v Figur 4.2. Sammensat translation og invers translation. Et vigtigt resultat siger, at en isometri på entydig vis kan beskrives ved sammensætning af en ortogonal lineær afbildning og en translation. Dette er sammenfattet i følgende sætning. Sætning 4.5: Hvis f er en isometri i R 2, så er f(x) = Ax + t for en matrix A O 2 (R) og et t R 2. Bevis: Lad t = f(0) og sæt g(x) = f(x) t, så er g kompositionen af f og en translation med t, og g er derfor en isometri jf. Proposition 4.1. Da g(0) = f(0) t = 0 er g en lineær isometri jf. Proposition 4.2, og derfor kan g beskrives ved en ortogonal matrix A. 10

Gruppe G3-110 4. Isometrier Forsimplet notation af isometrigruppen For at lette notationen kan et element i isometrigruppen f(x) = Ax+t skrives (A, t). Hvis x R 2 og (A i, t i ) Isom(R 2 ) kan kompositionen af isometrier beskrives ved følgende: (A 1, t 1 ) (A 2, t 2 )(x) = (A 1, t 1 ) (A 2 x + t 2 ) = A 1 (A 2 x + t 2 ) + t 1 = (A 1 A 2, A 1 t 2 + t 1 )(x) Det kan ses direkte af kompositionen, at det neutrale element kan skrives som (I n, 0). Det inverse element til (A, t) kan også findes fra ovenstående, da kompositionen af (A, t) og (A, t) 1 skal være (I n, 0). Ved at lade ( A, t) beskrive elementerne i (A, t) 1 findes A og t (A A, A t + t) = (I n, 0) A = A 1 og t = A 1 t Den inverse til (A, t) kan altså skrives (A 1, A 1 t). Med denne notation kan translationen med vektoren v skrives på formen (I 2, v). Lemma 4.6: Lad T være mængden af alle translationer i R 2, så er T er en normal undergruppe af Isom(R 2 ). Bevis: Fra Sætning 4.5 vides det, at enhver isometri kan beskrives som sammensætningen af to isometrier, nemlig en lineær isometri beskrevet ved en matrix i O 2 (R) og en translation i R 2. Det vides, at sammensætningen af to translationer er en translation, derfor er det nok at vise, at hvis f er en lineær isometri og τ er en translation, så er fτf 1 en translation, ifølge definitionen på en normal underguppe i Kapitel 2. Lad τ v (x) = x + v, sådan at τ v (f 1 (x)) = f 1 (x) + v. Da f er lineær, bliver fτf 1 (x) = f(f 1 (x) + v) = x + f(v), Det ses at fτf 1 beskriver en translation med f(v). Derfor er T en normal undergruppe af Isom(R 2 ). 4.2.2 Rotation Rotationer i planen kan beskrives som flytninger omkring et fikspunkt med en given vinkel θ [0, 2π). Afstanden fra fikspunktet til ethvert andet punkt i planen forbliver den samme efter rotationen, se Figur 4.3. θ Figur 4.3. Rotation med θ = 240 omkring fikspunktet markeret med rødt. 11

4.2 De fire typer isometrier i planen Aalborg Universitet Definition 6: En rotation, r, er en afbildning der fastholder et enkelt punkt i planen, fikspunktet. De øvrige punkter drejes heromkring, med en vinkel θ [0, 2π] mod uret. Bemærk, at en rotation med vinklen θ = 2π n har ordenen n, da rn = e. Hvis r θ er en rotation med vinklen θ, så er r θ det inverse element til r θ. Hvis rotationen r, af punktet (x, y), sker omkring origo med en vinkel θ, kan den ved koordinater beskrives på følgende måde. ( [ ] ) [ ] [ ] [ ] x cos θ sin θ x x cos θ y sin θ r = = y sin θ cos θ y x sin θ + y cos θ Herved ses det at en rotation omkring origo er en isometri og derudover også er lineær jf. Proposition 4.3. En rotation kan derfor, jf. Sætning 4.5, skrives på formen r(x) = Rx+t hvor t R 2 og R SO 2 (R) er rotationsmatricen omkring origo med vinklen θ, som beskevet i Kapitel 3. Rotationer kan på kort form skrives r = (R, t). Befinder fikspunktet sig ikke i origo kan rotationen beskrives ved hjælp af translationer, da fikspunktet på denne måde flyttes til origo. Enhver rotation som ikke sker omkring origo, kan da beskrives som følger. (i) Translation af fikspunktet til origo (ii) Rotation med vinklen θ omkring origo (iii) Translation fra origo tilbage til fikspunktet Rotationen om et vilkårligt punkt x 0 med vinklen θ bliver da kompositionen af de ovenstående isometrier, og kan skrives r = τ x0 r 0 τ x0. Proposition 4.7: Enhver rotation er en isometri. Bevis: Enhver rotation er en sammensætning af isometrier, hvorfor alle rotationer selv er isometrier, jf. Proposition 4.1. 4.2.3 Spejling En spejling foregår altid omkring en akse. Spejlingen af punkter omkring aksen, vil altid ligge med samme afstand fra aksen som de oprindelige punkter, hvorved figuren bevares. Definition 7: En spejling, s, er en afbilding der fastholder en linje i planen, mens den reflekterer alle andre punkter heromkring, hvorved afstande bevares. 12

Gruppe G3-110 4. Isometrier Det ses altså direkte fra Definition 7 og Figur 4.4, at dette er en isometri. l Figur 4.4. Spejling i l. En spejling kan derfor, jf. Sætning 4.5, skrives på formen s(x) = Sx + t, hvor t R 2 og S O 2 (R) \ SO 2 (R). S er spejlingsmatricen, der repræsenterer en spejling omkring en linje l der går gennem origo og danner en vinkel på θ 2 med x-aksen, jf. Kapitel 3. Denne er givet ved [ ] cos θ sin θ S =. sin θ cos θ Med den korte notationsform får vi, at spejlingen s = (S, t). Bemærk, at ordenen af en spejling altid er lig to. En vilkårlig spejling s i linjen l kan ligeledes beskrives ved hjælp af translationer. Her flyttes et punkt fra l gennem en translation τ til origo. Herved sender τ spejlingsaksen l til linjen l som går gennem origo. Spejlingen s fremkommer derved gennem tre isometrier. (i) Translation af punkt fra l til origo, som danner en ny spejlingsakse l. (ii) Spejling, s, i l. (iii) Invers translation der sender l tilbage til l. Spejlingen, i en vilkårlig akse, bliver da kompositionen af de tre isometrier, som kan beskrives ved s = τ 1 s τ. Proposition 4.8: Enhver spejling er en isometri. Bevis: Det ses at enhver spejling er en sammensætning af isometrier, hvorfor de også selv er isometrier, jf. Proposition 4.1. 13

4.2 De fire typer isometrier i planen Aalborg Universitet 4.2.4 Glidespejling En glidespejling opstår ved sammensætning af to isometrier; en spejling og en translation med en vektor parallel til spejlingsaksen se Figur 4.5. Glidespejlingen kan altså opdeles i to trin, i vilkårlig rækkefølge. (i) Spejling, s, i spejlingsakse l. (ii) Translation med en vektor v parallel til l. l τ v Figur 4.5. Glidespejling i l. Kompositionen af glidespejlingen kan da skrives som g = sτ v = τ v s. Hvis glidespejlingen ikke blot er en spejling, τ 0, siges den at være ikke-triviel. Bemærk, at ikke-trivielle glidespejlinger har uendelig orden, grundet ordenen af translationer ikke er endelig. Desuden er g 2 en ikke-triviel translation parallel med spejlingsaksen. Da sammensætningen af to isometrier igen er en isometri jf. Proposition 4.1, kan følgende proposition opstilles uden yderligere bevis. Proposition 4.9: Enhver glidespejling er en isometri. Sætning 4.10: Der eksisterer kun 4 typer isometrier i planen; translationer, rotationer, spejlinger og glidespejlinger. Bevis: Vi har vist, i Sætning 4.5, at alle isometrier kan skrives på formen Ax + t for en matrix A O 2 (R) og en vektor t R 2. På denne måde er der kun to typer matricer at betragte, nemlig rotationsmatricerne i SO 2 (R) og spejlingsmatricerne i O 2 (R) \ SO 2 (R). Translationer: Lad A = I 2 O 2 (R). Enhver translation kan da skrives som ϕ(x) = Ix + t = x + t, hvilket netop beskriver en translation jf. Definition 5. 14

Gruppe G3-110 4. Isometrier Rotationer: Lad R SO 2 (R) og R I 2. Vi har at (R, 0) er en rotation omkring fikspunktet origo. Hvis (R, t) skal være en rotation, så skal det ske omkring et fikspunkt x 0. Vi antager derfor at ϕ(x 0 ) = Rx 0 +t = x 0 for et x 0 R 2. Da har vi at x 0 = (I 2 R) 1 t, hvor matricen (I 2 R) er inverterbar, da vi har antaget at R I 2. Vi undersøger nu, om ϕ beskriver en rotation om x 0. Da x 0 er et fikspunkt har vi, at ϕ(x) = Rx + t = Rx Rx 0 + Rx 0 + t = R(x x 0 ) + x 0 = (R, (I 2 R)x 0 ), hvor (I 2 R)x 0 er en translationsvektor. ϕ er dermed en rotation om fikspunktet x 0. Spejlinger: Vi lader [ cos α S = sin α ] sin α, cos α være spejlingsmatricen i O 2 (R) \ SO 2 (R) omkring origo med vinklen α. Notér med t 1 = (cos α 2, sin α 2 ) og t 2 = ( sin α 2, cos α 2 ) egenvektorerne for S og λ 1 = 1 og λ 2 = 1 egenværdierne for hhv. t 1 og t 2. Da t 1, t 2 = 0, er de to vektorer ortogonale. Vi lader {t 1, t 2 } være egenvektorbasen. Så eksisterer der entydige koefficienter c 1, c 2, a 1, a 2 R sådan at translationsvektoren kan skrives t = c 1 t 1 + c 2 t 2. Vi vælger en vilkårlig vektor x = a 1 t 1 + a 2 t 2 og ser hvad der sker når vi anvender (S, t) på x, se Figur 4.6. Med andre ord; vi spejler x i en akse langs med t 1. Vi har at (S, t)(x) = Sx + t = a 1 t 1 a 2 t 2 + c 1 t 1 + c 2 t 2 = c 2 2 t 2 + a 1 t 1 (a 2 t 2 c 2 2 t 2) + c 1 t 1. (4.1) Vi lader linjen m være spejlingsaksen parallelt med vektoren t 1. Så er (S, t) en spejling i linjen m når c 1 = 0, og en glidespejling når c 1 0, som det ses på Figur 4.6. x m a 2 t 2 c2 2 t 2 a 2 t 2 c 22 t 2 c 22 t 2 + a 1 t 1 a 1 t 1 x x c 1 t 1 c 22 t 2 + a 1 t 1 (a 2 t 2 + c2 2 t 2) Figur 4.6. Spejling og glidespejling af x i m. sådan 15

4.2 De fire typer isometrier i planen Aalborg Universitet Korollar 4.11: Hvis (S, 0) er en spejling i linjen l igennem origo, så er (S, b) en spejling i linjen k = l+ 1 2 b, hvor b er ortogonal på l. Bevis: Lad S, t 1 og t 2 være givet som i Sætning 4.10. Vi lader {t 1, t 2 } være egenvektorbasen. Lad linjen k være givet ved parameterfremstillingen rt 1 + st 2 for et fast s R og varierende r R. Der findes c 1, c 2 R, så en vektor x kan skrives som x = c 1 t 1 + c 2 t 2 = c 1 t 1 + st 2 + (c 2 s)t 2. Af Figur 4.7, ses det at x 2(c 2 s)t 2 svarer til en spejling af x i k. Vi får, at x 2(c 2 s)t 2 = c 1 t 1 c 2 t 2 + 2st 2 = Sx + 2st 2 = (S, 2st 2 )(x) = x Hvis b = 2st 2, så svarer (S, b)(x) til en spejling af x i k = l + 1 2 b. Hvis b = 2st 2 + rt 1, så svarer (S, b)(x) til en spejling af x i k = l + 1 2 b sammensat med en translation rt 1 parallel med l, altså har vi en glidespejling. c 1 t 1 x k : rt 1 + st 2 c 2 t 2 l t 2 st 2 t 1 x Figur 4.7. Spejling af x i k. kom nu tombstone og billede 16

Symmetrigrupper 5 Efter at have defineret de fire isometrier i planen, betragtes nu endelige mønstre i planen og de dertil hørende isometrier. Kapitlet er baseret på [Mor07]. Definition 8: Symmetrigruppen af en delmængde W af R 2 er givet ved Sym(W ) = {ϕ Isom(R 2 ) ϕ(w ) = W }. Bemærk, at symmetrigruppen er en undergruppe af isometrigruppen pga. følgende punkter i) Lad ϕ, ϱ Sym(W ) så er ϕ(ϱ(w )) = ϕ(w ) = W altså er Sym(W ) lukket under komposition. ii) Det neutrale element er identitetsafbildningen, som altid ligger i symmetrigruppen. Denne kaldes også den trivielle symmetri. iii) Lad ϕ Sym(W ) så er W = id(w ) = ϕ 1 (ϕ(w )) = ϕ 1 (W ) Derfor ligger det inverse element i Sym(W ). Dette viser at Sym(W ) er en undergruppe af Isom(R 2 ). Dette afsnit fokuserer på symmetrier af endelige figurer, hvor de eneste symmetrier er rotationer og spejlinger. Dette skyldes, at de to andre mulige isometrier, translationer og glidespejlinger, begge flytter en endelig figur væk fra den oprindelige figur. Eksempel 1: Lad os finde symmetrigruppen for en ligesidet trekant, T, med centrum i origo. B k O l A j C Figur 5.1. Ligesidet trekant med spejlingsakserne k, l og j. 17

Aalborg Universitet Identitetsafbildningen ligger i Sym(T ), da den afbilder alt i sig selv. Rotationerne omkring origo på 120 og 240, og spejlinger omkring de tre spejlingsakser k, j og l er sammen med identitetsafbildningen elementer i Sym(T ), som vist på Figur 5.1. Disse 6 isometrier i Sym(T ) er de eneste der afbilder mængden {A, B, C} i sig selv. Dette ses, da AOB = AOC = BOC = 120, hvorfor tre af isometrierne i Sym(T ) er rotationer på 120, 240 og 360 = id = e. Desuden kan man kun reflektere T over i sig selv, hvis man reflekterer i netop de tre spejlingsakser på Figur 5.1. Lad, fra Eksempel 1, r være en rotation på 120 og s en spejling i l, sådan at e, r, r 2 er rotationerne og s, rs, r 2 s er spejlingerne. At s, rs, r 2 s er spejlingerne ses fra Figur 5.1, hvor rs er en spejling om k og r 2 s en spejling om j. Således er Sym(T ) = {e, r, r 2, s, rs, r 2 s}. Ydermere ses det, at r 3 = s 2 = e, r 2 = r 1 og s 1 = s. Sym(T ) er en gruppe, og dermed lukket under komposition, som vist ovenfor. Dermed har en ligesidet trekant kun 6 symmetrier. Da en spejling har orden to har vi, at (rs)(rs) = e, hvilket medfører, at srs = r 1. Dette muliggør en forsimpling af komplicerede udtryk som for eksempel, (rs)(rs)r 2 (srs)r 2 (srs)(sr) = er 2 (r 1 r 2 )(r 1 r 2 )s = rs. Det kan vises ved et lignende eksempel, at et kvadrat har 8 symmetrier. Ved at generalisere til en regulær n-gon fås, at denne har 2n elementer i symmetrigruppen, med n rotationer på 2π n radianer og n spejlinger. Rotationerne og spejlingerne i symmetrigruppen er da hhv. r, r 2,..., r n 1, r n = e og s, rs,..., r n 1 s. Denne gruppe kaldes diedergruppen, som består af spejlinger og rotationer i en regulær n-gon. Den cykliske gruppe er en undergruppe af diedergruppen, der kun indeholder rotationerne fra diedergruppen. Vha. ortogonalmatricer, kan vi opskrive disse grupper meget konkret, hvilket fører til følgende definition, hvor det er forudsat at tyngdepunktet ligger i origo og at en evt. spejlingsakse er sammenfaldende med x-aksen. Dette kan altid opnås ved hhv. at flytte origo til tyngdepunktet og/eller rotere figuren om dets tyngdepunkt så spejlingsaksen er sammenfaldende med x-aksen. Definition 9: Den cykliske gruppe betegnes med C n og er givet ved { [ cos θ C n = sin θ ] sin θ cos θ } : θ = 2πk, hvor n, k Z. n Diedergruppen, der betegnes D n, er defineret som { [ ] } cos θ sin θ D n = C n : θ = 2πk, hvor n, k Z. sin θ cos θ n πk n Bemærk, at C n = n og D n = 2n. D n består af C n og spejlinger i akser med vinkler, hvor n, k Z i forhold til x-aksen. 18

Gruppe G3-110 5. Symmetrigrupper Den mest simple diedergruppe D 1 består af identiteten og en enkelt spejling, se Figur 5.2, hvor der også er eksempler på C 3, C 4 og D 5. Figur 5.2. Eksempler på hhv. D 1, C 3, C 4 og D 5. Generelt er D n frembragt af én rotation og én spejling, altså D n = r, s, hvor r n = s 2 = e og srs = r 1. Sætning 5.1: Lad G være en endelig undergruppe af O 2 (R). Så er G isomorf med enten C n eller D n, hvor n Z. Bevis: Lad N = G SO 2 (R), sådan at N består rotationsmatricer. N er en normal undergruppe af G jf. Sætning 2.3 og Proposition 3.2. Da determinanten er en surjektiv gruppehomomorfi og afbilder O 2 (R) i mængden {±1} med kernen SO 2 (R), så er O 2 (R)/SO 2 (R) = 2 jf. Sætning 2.2. Da G O 2 (R) og N SO 2 (R) er G/N isomorf med en undergruppe af O 2 (R)/SO 2 (R), så G/N 2. Antag, at N = {e}. Så indeholder G enten ét eller to elementer. Hvis G = {e}, er G cyklisk og hvis G = {e, s} er G en diedergruppe. Derfor er G isomorf med enten C 1 eller D 1. Antag nu, at N {e}. Da SO 2 (R) kun indeholder rotationer og N er endelig, eksisterer der en ikke-triviel rotation r N, med mindst mulig vinkel θ. Lad r være en anden ikketriviel rotation i N med vinkel θ. Så er θ = θk + θ 1, hvor 0 θ 1 < θ og k Z. Da θ er den mindst mulige vinkel i N, må θ 1 = 0. Så r r, dermed er N = r cyklisk. Hvis G = N, så er G cyklisk og dermed G = C n. Hvis G N, så er G/N = 2. Hvis s G/N, hvor s r, så er rs / N, altså er s en spejling. Da rs, r 2 s,..., r n s er spejlinger gælder det, at (rs) 2 = e srs = r 1. Hvis N = n, så er G = 2n jf. Sætning 2.2.8 i [Lau12]. G er så frembragt af r og s hvorom der gælder, at r n = s 2 = e og srs = r 1. Altså er G = D n. 19

Tapetmønstre 6 Med udgangspunkt i lineær algebra og abstrakt algebra, er det muligt at konstruere uendelige mønstre. Kort sagt, kan man vha. matematik gentage et grundmønster uendeligt mange gange. I to dimensioner kaldes denne form for ubegrænset mønster et tapetmønster. Symmetrigruppen skal vise sig at være ret anderledes beskrevet for disse mønstre, end den var for de endeligt dimensionale mønstre beskrevet i foregående kapitel. Dette kapitel er baseret på [Mor07]. Ideen i dannelsen af et tapetmønster kan ses på Figur 6.1, hvor en firkant er gentaget flere gange vha. en translation. Figur 6.1. Translateret firkant. For at kunne beskrive gruppen af tapetmønstre mere præcist og matematisk, er det nødvendigt at betragte en delmængde af alle translationer, nemlig de translationer, som også ligger i symmetrigruppen. Det er værd at bemærke, at for de endelige mønstre var translationer slet ikke en del af symmetrigruppen. Definition 10: Lad T være mængden af translationer og W en delmængde af R 2. Så kaldes mængden Sym(W ) T = {τ Sym(W ) τ er en translation}, for translationsundergruppen af Sym(W ). Vi skriver kort Sym(W ) T. Korollar 6.1: Sym(W ) T er en normal undergruppe af Sym(W ). Bevis: Da mængden af translationer er en normal undergruppe af Isom(R 2 ) jf. Lemma 4.6 og Sym(W ) Isom(R 2 ), følger det af Lemma 3.1 at Sym(W ) T Sym(W ). 20

Gruppe G3-110 6. Tapetmønstre Inden vi definerer tapetgruppen, behøver vi en elegant måde at se R 2 på, uden at betragte uendeligt mange punkter i R 2. Proposition 6.2: Gruppen (R 2, +) er isomorf til (T, +) via afbildningen v τ v. Bevis: Det vises, at afbildningen ϕ : R 2 T givet ved ϕ(v) = τ v er en isomorfi. Vi har, at ϕ(v) + ϕ(w) = τ v + τ w = τ v+w = ϕ(v + w), v, w R 2. Dette viser, at ϕ er en homomorfi jf. Definition 2. Det ses samtidig, at ϕ(v) 1 = τ 1 v = τ v = ϕ( v) for alle v R 2. Af Definition 5 ses det, at til ethvert τ v i billedmængden hører ét element v i definitionsmængden. Derfor er ϕ surjektiv. Antag, at ϕ(v) = e. Så er τ v (x) = x, for alle x R 2. Da τ v (x) = x + v, har vi, at v = 0. Det viser, at Ker(ϕ) = {0}, hvorfor ϕ er injektiv jf. Proposition 2.4.9(iii) i [Lau12]. ϕ er dermed en isomorfi jf. Definition 2. Betragt Figur 6.2. Hvis man lader t 1 og t 2 være to lineært uafhængige vektorer af minimal længde, så vil enhver translation på figuren være på formen n 1 t 1 + n 2 t 2, hvor n 1, n 2 Z. t 2 t 1 Figur 6.2. Translateret figur. En vigtig egenskab ved et tapetmønster er, at der altid eksisterer to translationer, hvorved alle andre translationer kan opnås. På denne måde er Proposition 6.2 utrolig nyttig. Idéen formaliseres i Definition 11. Definition 11: Et to-dimensionalt gitter T, er en undergruppe af R 2, hvor for en basis {t 1, t 2 } R 2. T = {n 1 t 1 + n 2 t 2 n 1, n 2 Z} R 2, Vi kalder mængden {t 1, t 2 } R 2 for en heltalsbasis af T, for at skelne denne fra en basis i vektorrummet R 2. I et sådant gitter vælger man typisk t 1 = (1, 0) til at være den korteste gittervektor. t 2 vælges som den korteste vektor sådan, at den lineært uafhængige med t 1, hvor t 1 t 2. 21

6.1 Gruppevirkninger og semidirekte produkter Aalborg Universitet To-dimensionelle gitre har to vigtige egenskaber i) T indeholder en vektor, forskellig fra nulvektoren, med minimal længde. ii) T indeholder endeligt mange vektorer inden for enhver given cirkel. På Figur 6.3 ses det, hvordan egenskab ii) kan forstås. Dette bevises i Lemma 6.5. Ligeledes ses det, hvordan gittervektorerne t 1 og t 2 udspænder et to-dimensionalt gitter. t 2 t 1 Figur 6.3. Et to-dimensionalt translationsgitter i R 2. Hvorfor netop disse egenskaber er vigtige, vender vi tilbage til i afsnit 6.3; Gittertyper. Vi er nu i stand til at præcisere, hvad vi forstår ved et tapetmønster. Definition 12: En delmængde W af R 2 kaldes et tapetmønster, hvis Sym(W ) T er et to-dimensionalt gitter. Symmetrigruppen af et tapetmønster kaldes for en tapetgruppe. W er således et tapetmønster når der findes to lineært uafhængige vektorer t 1 og t 2 sådan at Sym(W ) T = {n 1 t 1 + n 2 t 2 n 1, n 2 Z}. Alle tapetgrupper indeholder således translationer. Fremadrettet noteres tapetgruppen Sym(W ) med G og det dertilhørende translationsgitter Sym(W ) T med T, når det ikke giver anledning til misforståelse. 6.1 Gruppevirkninger og semidirekte produkter Der gives en kort introduktion til gruppevirkninger samt semidirekte produkter i dette afsnit. Definition 13: Lad G være en gruppe og S en mængde. G siges at virke på S, hvis der eksisterer en afbildning G S S, noteret med (g, s) gs sådan, at i) es = s, for alle s S. ii) (gh)s = g(hs), for alle g, h G og for alle s S. 22

Gruppe G3-110 6. Tapetmønstre Eksempel 2: Gruppen Gl n (R) virker på R 2 via den almindelige matrixmultiplikation givet ved A v = Av. Da O 2 (R) Gl n (R) giver dette en gruppevirkning af O 2 (R) på R 2. Eksempel 3: Betragt translationsgitteret T = {n 1 t 1 +n 2 t 2 n 1, n 2 Z}, med heltalsbasen {t 1, t 2 } R 2. Da T er mængden af alle heltallige linearkombinationer af t 1 og t 2, inducerer afbildningen O 2 (R) T T ikke nødvendigvis en gruppevirkning af O 2 (R) på T. Med andre ord; for et A O 2 (R) og v T kan man ikke være sikker på at Av er en heltallig linearkombination af {t 1, t 2 }. Eksempel 3 er centralt for den videre undersøgelse af punktgruppen. Det viser sig, at hvis man lader T være translationsgitteret i en tapetgruppe, så virker punktgruppen på denne. Hvorfor dette er vigtigt, bliver klart i afsnit 6.2. Definition 14: Lad G være en gruppe, og lad N og H være to undergrupper af G. Så siges G at være det semidirekte produkt af N og H, hvis følgende er opfyldt: i) N G. ii) N H = {e}. iii) G = NH = {nh n N, h H}. Vi skriver G = N H. Eksempel 4: Gruppen Isom(R 2 ) er det semidirekte produkt af de to grupper T og O 2 (R). i) T Isom(R 2 ) jf. Korollar 4.6. ii) T O 2 (R) = (I, 0) = e. iii) Alle elementer i O 2 (R) kan skrives som (A, 0) og alle elementer i T kan skrives som (I, b). Sammensætningen af disse, giver (I, b)(a, 0) = (A, b) Isom(R 2 ). Dermed er alle punkter i Definition 14 opfyldt. 6.2 Punktgruppen I dette afsnit er det nu helt centralt, at Sym(W ) T Sym(W ), når Sym(W ) er en tapetgruppe og Sym(W ) T er et translationsgitter. Det vises, at punktgruppen er isomorf til kvotientgruppen Sym(W )/Sym(W ) T, og dernæst undersøges hvilke grupper, der opstår som denne kvotientgruppe. 23

6.2 Punktgruppen Aalborg Universitet Definition 15: Lad G være en tapetgruppe. Så defineres mængden som punktgruppen af G. G 0 = {A O 2 (R) b R 2 : (A, b) G} Punktgruppen er en undergruppe af O 2 (R). Dette gælder pga. følgende punkter i) Det neutrale element ligger i G 0, da I 2 O 2 (R) og (I 2, 0) G. ii) Lad A G 0 og (A, b) G. Da både O 2 (R) og G er grupper har vi, at A 1 O 2 (R) og (A, b) 1 = (A 1, A 1 b) G. Dermed ligger det inverse element i punktgruppen. iii) Lad A, B G 0 og (A, b), (B, c) G. Da både O 2 (R) og G er grupper har vi, at AB O 2 (R) og (A, b)(b, c) = (AB, Ac + b) G. Derfor er G 0 lukket under komposition. Proposition 6.3: Lad G = Sym(W ) være tapetgruppen med translationsundergruppen T = Sym(W ) T. Så er G 0 = G/T. Bevis: Hvis ϕ : Isom(R 2 ) O 2 (R) er gruppehomomorfien givet ved (A, b) A, så er ϕ(g) = {A O 2 b R 2 : (A, b) G} = G 0, hvilket viser, at G 0 O 2 (R) jf. Proposition 2.4.9(i) i [Lau12]. Vi restringerer nu ϕ til sitionsmængden G. Det ses, at ker(ϕ G ) = {(A, b) G ϕ G ((A, b)) = I} = {(I, b) G} = T. Sætning 2.2 garanterer nu, at G 0 = G/T. Som et skridt på vejen til at vise hvilke punktgrupper, der kan forekomme i planen, er det vigtigt at vise, at G 0 virker på translationsgitteret T ; dvs. for et A G 0 og et t T har vi, at At T. Lemma 6.4: Lad T være translationsgitteret i en tapetgruppe. Så virker G 0 på T ved matrixmultiplikation. Bevis: Af Eksempel 2 vides det, at O 2 (R) virker på R 2 ved matrix-multiplikation. Denne virkning giver samtidig en virkning af G 0 på T. Lad A G 0, og t T så eksisterer et b R 2 sådan at (A, b) G. Så har vi, at øv (A, b)(i, t)(a, b) 1 = (A, b)(a 1, A 1 b + t) = (AA 1, A( A 1 b + t) + b) = (I, At) T. 24

Gruppe G3-110 6. Tapetmønstre Lemma 6.5: Punktgruppen G 0 af en tapetgruppe G er endelig. Bevis: Lad {t 1, t 2 } være en heltalsbasis for T = {n 1 t 1 + n 2 t 2 n 1, n 2 Z}, og lad C R = {x R 2 x R} være en cirkel med centrum i origo og radius R, som indeholder t 1 og t 2 i sin indre mængde. Først vises det, at C R indeholder endeligt mange elementer af T. Med andre ord; vi vil vise, at fællesmængden T C R = {t T t R} er endelig. Betragt elementet v T C R. Så er for passende a, b Z. Af ligning (6.1) haves v 2 = at 1 + bt 2 2 R 2, (6.1) a 2 t 1 2 + 2ab(t 1 t 2 ) + b 2 t 2 2 R 2 (6.2) Af ovenstående har vi således den kvadratiske form λa 2 + 2ζab + γb 2 af de to variable a og b hvor λ = t 1 2, ζ = (t 1 t 2 ) og γ = t 2 2. Det ses, at løsningen til ligning 6.2, er alle punkter indenfor en ellipse. Da a, b Z, er der kun endeligt mange løsninger. Dermed er fællesmængden T C R endelig. Vi er nu i stand til at færdiggøre beviset. Da G 0 virker på translationsgitteret T, jf. Lemma 6.4, har vi, at G 0 også virker på mængden T C R. Da G 0 O 2 (R), er gruppevirkningen længdebevarende og multiplikation af en matrix fra G 0 med en vektor i T C R, overføres i en vektor i T C R. Ved at betragte rotationerne i G 0 har vi, at G 0 SO 2 (R) T C R T C R. Antag nu, at G 0 ikke er endelig. Så må det samtidig gælde, at mængden af rotationer, G 0 SO 2 (R), ikke er endelig. På denne måde findes der uendeligt mange rotationsvinkler, og dermed overføres en vektor, forskellig fra nulvektoren, i T C R i uendeligt mange forskellige vektorer ved alle disse rotationsvinkler. Da T C R er endelig, er dette en modstrid, og derfor må G 0 være endelig. Det bestemmes nu hvilke mulige grupper, der kan opstå som punktgrupper af en tapetgruppe. Sætning 6.6 (Den krystallografiske restriktion): Lad G 0 være punktgruppen af en tapetgruppe G. Så er G 0 isomorf med en af de følgende ti grupper C 1, C 2, C 3, C 4, C 6, D 1, D 2, D 3, D 4, D 6. Bevis: Af Lemma 6.5 er G 0 en endelig gruppe. Da G 0 O 2 (R), vides det fra Propostition 5.1, at G 0 er isomorf med C n eller D n, for et n N. Der forestår således kun at vise de mulige værdier af n. Gruppen N = G 0 SO 2 (R) er en endelig cyklisk gruppe frembragt af en rotation r med mindst mulig vinkel, jf. Sætning 5.1. Lad θ være den mindst mulige vinkel sådan, at r frembringer N. Da N er endelig eksisterer et n sådan at θn = 2π, hvilket viser at r er en rotation med vinklen θ = 2π n. 25

6.2 Punktgruppen Aalborg Universitet Vi repræsenterer nu r ved en matrix på to forskellige måder. Med hensyn til den kanoniske basis, repræsenteres r ved matricen [ ] cos θ sin θ A =. sin θ cos θ Med hensyn til heltalsbasen {t 1, t 2 } for translationsgitteret T, så kan r repræsenteres ved matricen [ ] a b B =, c d for a, b, c, d Z. Da disse matricer repræsenterer den samme lineære transformation med forskellige baser, eksisterer en inverterbar matrix P sådan, at A = P 1 BP. Matricerne A, B er således konjugerede. Lemma 6.7: Konjugerede matricer har samme spor. Bevis: Lad matricerne A og B være similære sådan, at A = P 1 BP, for en inverterbar matrix P. Da tr(xy ) = tr(y X) for vilkårlige matricer X og Y har vi, at slut tr(a) = tr(p 1 BP ) = tr(bp P 1 ) = tr(b). Af Lemma 6.7 har vi, at 2 cos θ = a + d Z. Da 1 cos θ 1 betyder det, at cos θ { 1, 1 2, 0, 1 2, 1}. Vi har nu, at θ = 2π { n π, 2π 3, π 2, π } 3, 2π Vi løser for n og får at n {1, 2, 3, 4, 6}. Da G 0 er isomorf med enten C n eller D n, for n = N, jf. Sætning 5.1, er sætningen vist. Af den krystallografiske restriktion ses det eksempelvis, at der er en begrænsning af vinkler mellem spejlingsakser. Det vises nu, at punktgruppen G 0 er entydigt bestemt ved den tilsvarende tapetgruppe G. Lemma 6.8: Hvis G og G er tapetgrupper med translationsgitter T hhv. T, og ϕ : G G er en isomorfi, så er ϕ(t ) = T. [Mor07] 26

Gruppe G3-110 6. Tapetmønstre Korollar 6.9: Hvis G og G er isomorfe tapetgrupper, så er deres punktgrupper G 0 og G 0 isomorfe. Bevis: Lad ϕ : G G være en isomorfi, og T hhv. T være translationsgitteret for hhv. G og G. Af Lemma 6.8 har vi at G 0 = G/T G /ϕ(t ) = G /T = G 0, som viser at G 0 og G 0 er isomorfe. Korrolar 6.9 er vigtig, men vi behøver et stærkere resultat for at afgøre om to tapetgrupper er isomorfe. Det skal vise sig smart at repræsentere alle rotationer og spejlinger som elementer i Gl 2 (Z) vha. et basisskift. Korollar 6.10: Lad G og G være isomorfe tapetgrupper med punkgrupperne G 0 og G 0. Hvis man identificerer G 0 og G 0 som undergrupper af Gl 2 (Z), ved at vælge en passende basis, så findes en matrix U Gl 2 (Z) sådan at G 0 = UG 0U 1. [Mor07] Korrolar 6.10 fortæller således, at hvis to tapetgrupper skal være isomorfe, så skal deres punktgrupper være konjugerede i Gl 2 (Z). Basisskift Vi slutter kapitlet af med at vise, hvordan der rent praktisk kan skiftes fra standardbasen til en basis, hvor matricen er repræsenteret som et element i Gl 2 (Z). Eksempel 5: Lad A = [ ] cos 2π 3 sin 2π 3 sin 2π 3 cos 2π C 3, 3 være rotationen i den cykliske gruppe C 3 omkring origo med vinklen 2π 3, svarende til 120. Lad t 1 = (1, 0) og t 2 = ( 1 2, 3 2 ) være de to nye basisvektorer. Bemærk, at t 2 = At 1, og t 2 = 1. Lad B være matricen indeholdende søjlerne t 1 og t 2. Basisskiftmatricen kan nu udregnes, og vi får [ ] T = B 1 0 1 AB = Gl 2 (Z), 1 1 Da enhver vektor er entydigt bestemt ved basisvektorerne ses det, at T t 1 = (0, 1) = 0t 1 + 1t 2, hvilket svarer til at rotere t 1 med 120 omkring origo. I afsnit 6.3 vil vi, istedet for at regne basisskiftmatricer, argumentere geometrisk for hvordan disse matricer skal se ud. 27

6.3 Gittertyper Aalborg Universitet 6.3 Gittertyper Det vides nu, at en punktgruppe for en tapetgruppe er isomorf til en af de ti punktgrupper beskrevet i den krystallografiske restriktion. Hvilke translationsgitre disse punktgrupper virker på, bliver beskrevet i det følgende afsnit, hvor det undersøges ved at betragte gitrene geometrisk. Det viser sig, at der er fem forskellige gittertyper; parallelogramgitter, kvadratisk gitter, hexagonalt gitter, rektangulært gitter og et rombegitter. I det følgende vælges gitrene sådan at t 1 = (1, 0), hvilket altid kan opnås ved en rotation. 6.3.1 Parallelogramgitre - Grupperne C 1 og C 2 Først betragtes punktgruppen C 1. Denne indeholder kun den trivielle rotation, hvorfor C 1 er uafhængig af heltalsbasen. En heltalsbasis uden en begrænsning beskriver geometrisk et parallelogramgitter, se Figur 6.4, da der ikke er nogen restriktion på hverken længden af de to basisvektorer t 1 og t 2 eller vinklen mellem dem. t 2 t 1 Figur 6.4. Parallelogramgitter. Dette generelle gitter har, udover den trivielle rotation, også en symmetri ved rotation på 180. Derfor virker punktgruppen C 2 også på ethvert parallelogramgitter, da C 2 netop indeholder den trivielle rotation og en rotation på 180. Frembringeren for C 2 kan let opskrives ud fra heltalsbasen, da t 1 sendes til t 1 og t 2 sendes til t 2. Derfor bliver punktgrupperne for et parallelogramgitter repræsenteret ved, [ ] 1 0 C 1 = 0 1 og C 2 = [ ] 1 0. 0 1 For at kunne repræsentere grupperne C n og D n, hvor n 3 med en passende basis bliver følgende lemma behjælpeligt. Lemma 6.11: Lad G 0 indeholde en rotation r med vinklen 2π n for n 3. Hvis t 0 er et element i T af minimal længde, så er {t, r(t)} en basis for T. 28

Gruppe G3-110 6. Tapetmønstre Bevis: Lad {t 1, t 2 } være en basis for T, så har vi, at t = at 1 + bt 2 og r(t) = ct 1 + dt 2, for a, b, c, d Z. Mængden {t, r(t)} er lineært uafhængig, da vinklen mellem t og r(t) er skarpt mindre end 180 når n 3, og vektorerne kan da aldrig blive parallelle. Derfor kan ovenstående ligningssystem løses mht. t 1 således at, t 1 = d ad bc t b ad bc r(t). For at forsimple notationen skrives t 1 = αt + βr(t), hvor α = d ad bc og β = b ad bc. Lad α = α 0 + ε og β = β 0 + ε, hvor α 0, β 0 Z og ε, ε 1 2. Da α 0 og β 0 er hele tal kan et element s i T skrives s = α 0 t + β 0 r(t). Ved at trække s fra t 1 fås et nyt element i T, sådan at t 1 s = εt + ε r(t). Da t og r(t) ikke er parallelle, medfører dette en skarp ulighed t 1 s = εt + ε r(t) < εt + ε r(t) 1 2 ( t + r(t) ) = 1 (2 t ) = t. 2 Med mindre s = t 1 er dette en modstrid, da t er en vektor med minimal længde. Derfor bliver koefficienterne α = α 0 og β = β 0, som giver at t 1 er en heltallig linearkombination af t og r(t). Det kan vises analogt, at t 2 er en heltallig linearkombination af t og r(t). Derfor må {t, r(t)} være en basis for T, når {t 1, t 2 } er en basis for T. 6.3.2 Kvadratiske gitre - Grupperne C 4 og D 4 Lad t 1 være en vektor af minimal længde og r en rotation på 90. Af Lemma 6.11 har vi, at for t 1 så er {t 1, r(t 1 )} en basis for T. Denne basis udspænder et kvadratisk gitter, som ses på Figur 6.5. t 2 t 1 Figur 6.5. Kvadratisk gitter. Hvis G 0 = C 4 = r, så vil basen {t 1, r(t 1 )} rotere vektorerne t 1 og t 2 i Figur 6.5 med 90. t 1 sendes da til 0t 1 + 1t 2 og t 2 sendes til 1t 1 + 0t 2. Dette giver repræsentationen [ ] 0 1 C 4 =. 1 0 29

6.3 Gittertyper Aalborg Universitet Hvis G 0 derimod er lig D 4, så er G 0 = r, s. Rotationen r er velkendt fra C 4, derfor betragter vi nu spejlingerne s, rs, r 2 s og r 3 s. Spejlingerne skal bevare vektorerne med minimal længde, t 1 og t 2. Ud fra dem får vi, at t 1 og t 2 også er vektorer af minimal længde. Vi skal vise, at der kun findes disse fire vektorer af minimal længde og dermed sikre, at der ikke er andre spejlinger. Vi betragter, af symmetri, kun vektorer i første kvadrant mellem t 1 og t 2. ) Antag, at a = har vi, at ( 2 2, 2 2 ) 2 a t 1 = ( 2 2 1 + 1 2 = T, hvor a = 1, da er a t 1 T, se Figur 6.6. I så fald 1 2 + 1 2 + 1 2 = 2 2 < 1. Dermed er vektoren a t 1 kortere end vektorerne af minimal længde, hvilket er en modstrid. Hvis v er en vektor forskellig fra a, t 1 og t 2, så er afstanden til enten t 1 eller t 2 kortere end den fra a til enten t 1 eller t 2, hvorfor en sådan vektor også resulterer i en modstrid. Spejlingerne skal dermed bevare {t 1, t 2, t 1, t 2 } som vektorer af minimal længde. Disse spejlinger har spejlingsakser med vinkler på 0, 45, 90, 135 med udgangspunkt i x-aksen, se Figur 6.7. t 2 90 135 45 t 1 + tl v a a t 1 t 1 0 +1 0 Figur 6.6. Illustration af punktet a. Figur 6.7. Spejlingsakserne for D 4. Vi har da, at r er en rotation på 90 og s vælges til at være en spejling i en linje parallel med t 1, hvorfor vi får, at t 1 sendes til 1t 1 + 0t 2, og t 2 sendes til 0t 1 1t 2. Dette giver repræsentationen [ ] [ ] 0 1 1 0 D 4 =,. 1 0 0 1 30

Gruppe G3-110 6. Tapetmønstre 6.3.3 Hexagonale gitre - Grupperne C 3, D 3, C 6, D 6 Lad t 1 være en vektor af minimal længde, og lad r være en rotation med 120. Af Lemma 6.11 ses det, at {t 1, t 2 } er en heltalsbasis for T, når t 2 = r(t 1 ). Gitteret T kaldes i dette tilfælde et hexagonalt gitter, se Figur 6.8. t 2 t 1 Figur 6.8. Hexagonalt gitter. Punktgrupperne C 3 og C 6 er frembragt af en rotation med hhv. 120 og 60. Vi betragter først C 3. Ved at rotere heltalsbasen 120 ses det, at t 1 sendes til 0t 1 + t 2 og t 2 sendes til t 1 t 2. I C 6 ses det, at t 1 sendes til t 1 + t 2 og t 2 sendes til t 1 + 0t 2. På denne måde kan vi frembringe de to grupper som følger [ ] 0 1 C 3 = 1 1 [ ] 1 1 og C 6 =. (6.3) 1 0 Vi betrager nu punktgrupperne D 3 og D 6, som indeholder hhv. tre og seks spejlinger foruden rotationerne C 3 og C 6. På samme måde som det blev vist, at der kun er fire vektorer af minimal længde i det kvadratiske gitter, kan man vise, at der kun er seks vektorer af minimal længde i det hexagonale gitter, {t 1, t 1 + t 2, t 2, t 1, t 1 t 2, t 2 }. Vi starter med gruppen D 6. De seks spejlingsakser i D 6 har en indbyrdes vinkel på 30, da de så bevarer de seks vektorer af minimal længde. Derfor må de have vinklen kπ 6, for k = 0,... 5 med x-aksen. De er givet som på Figur 6.9. t 2 Spejlingsakse for D 3,l t 1 Spejlingsakse for D 3,s t 1 t 2 Figur 6.9. Spejlingsakserne for D 3 og D 6. 31

6.3 Gittertyper Aalborg Universitet Hvis vi lader spejlingen om x-aksen være en frembringer i D 6, så ses det, at t 1 sendes i sig selv og t 2 sendes til t 1 t 2. Da D 6 frembringes af en rotation i C 6 samt denne spejling har vi, at [ ] [ ] 1 1 1 1 D 6 =,. (6.4) 1 0 0 1 I D 3 er spejlingsakserne adskilt med 60. Det viser sig, at D 3 kan virke på det hexagonale gitter på to forskellige måder. Da D 3 er en undergruppe af D 6 er der to mulige måder hvorpå de tre spejlingsakser kan ligge. De kan ligge ved 30, 90 og 150 i forhold til vektor t 1 eller ved 0, 60 og 120 i forhold til vektor t 1. For at skelne disse to gruppevirkninger skriver vi D 3,s hhv. D 3,l. Da t 1 og t 2 udspænder et parallelogram hvori den længste diagonal er givet ved t 2 t 1, og den korteste er givet ved t 1 + t 2, ses det at notationerne D 3,s og D 3,l er retfærdiggjort med s for short og l for long. D 3,s indeholder således en spejlingsakse med 60, som er parallel med den korte diagonal og D 3,l indeholder spejlingsaksen med 150, som er parallel med den lange diagonal. I D 3,s benytter vi spejlingen i x-aksen som frembringer, hvor imens vi benytter spejlingsaksen med en vinkel på 30 som frembringer i D 3,l. Af Figur 6.9 ses det da, at for D 3,s sendes t 1 til t 1 + 0t 2 og t 2 til t 1 t 2. Samtidig ses det, at t 1 bliver sendt i t 1 + t 2 og t 2 bliver sendt i 0t 1 t 2, når vi anvender frembringeren i D 3,l. På denne måde kan de to grupper repræsenteres på følgende måde [ ] [ ] 0 1 1 1 D 3,s =, 1 1 0 1 [ ] [ ] 0 1 1 0 og D 3,l =,. (6.5) 1 1 1 1 Bemærk, at spejlingsmatricen i frembringeren for D 6 og D 3,s er den samme, da spejlingen i x-aksen kan vælges som en frembringer for begge. Proposition 6.12: Grupperne D 3,l og D 3,s er ikke konjugerede i Gl 2 (Z). Bevis: Antag, at der findes en matrix U Gl 2 (Z) sådan at D 3,l = UD 3,s U 1. Determinanten bevares under konjugation, og derfor overfører konjugation drejninger i drejninger og spejlinger i spejlinger. De tre spejlinger i D 3,l må derfor sendes til de tre spejlinger i D 3,s. De tre spejlinger for hhv. D 3,l og D 3,s er givet ved s l, rs l, r 2 s l og s s, rs s, r 2 s s, hvor s og r er valgt som i (6.5). Ved direkte udregning ses det, at spejlingerne indenfor hver gruppe er konjugerede med hinanden D 3,l D 3,s r(s l )r 1 = r 2 s l r(s s )r 1 = r 2 s s r(rs l )r 1 = s l r(rs s )r 1 = s s r(r 2 s l )r 1 = rs l r(r 2 s s )r 1 = rs s 32

Gruppe G3-110 6. Tapetmønstre Hvis man kan konjugere et element fra D 3,l i et element i D 3,s ved en matrix U så overføres de andre elementer i D 3,l, ved samme konjugation, i de andre elementer i D 3,s. Med andre ord, hvis Ur 2 s l U 1 = rs s, så er Ur(r 2 s l )r 1 U 1 = r(rs s )r 1 Urs l U 1 = s s, hvor vi har brugt, at (Ur) 1 = r 1 U 1. Vi kan nøjes med at betragte elementerne r 2 s l D 3,l og rs s D 3,s, da elementerne i hver gruppe er indbyrdes konjugerede. Hvis D 3,l og D 3,s er konjugerede kan vi antage, at [ ] [ ] [ r 2 0 1 a b a s l U = Urs s = 1 0 c d c [ ] [ c d b = a b d ] [ ] b 0 1 d ] 1 0 a c, for nogle a, b, c, d Z, hvor det(u) = ±1. Af ovenstående får vi, at d = a og c = b. Det giver nu ad bc = b 2 a 2 = (b a)(b + a) = ±1. Det betyder, at (b a) = ±1 og (b + a) = ±1, hvorfor der i alt er fire tilfælde at betragte; a = ±1 og b = 0 eller a = 0 og b = ±1. Lad a = 1 og b = 0 så har vi, at Us s U 1 = Lad a = 0 og b = 1 så har vi, at [ ] [ 1 0 1 1 0 1 0 1 ] [ 1 0 0 1 ] 1 = [ ] 1 1 0 1 [ ] [ ] [ ] 1 [ ] Us s U 1 0 1 1 1 1 0 1 0 = = 1 0 0 1 0 1 1 1 / D 3,l. / D 3,l. Tilfældet hvor a = 1 og b = 0, samt tilfældet hvor a = 0 og b = 1 kan udelades, da disse blot er et multiplum af I 2 af de to ovenstående tilfælde, da disse kommuterer. Således er grupperne D 3,l og D 3,s ikke konjugerede i Gl 2 (Z). På denne måde er to tapetgrupper med hhv. D 3,l og D 3,s som punktgrupper ikke isomorfe jf. negationen af Korrolar 6.10. 33

6.3 Gittertyper Aalborg Universitet 6.3.4 Rektangulære gitre og rombegitre - Grupperne D 1 og D 2 Hvis G 0 er lig D 1 eller D 2, kan vi ikke benytte Lemma 6.11, hvorfor vi laver en anden basis for T. I begge grupper har vi en ikke-triviel spejling s i G 0. Lad t være en vektor forskellig fra nulvektoren i T, som ikke er parallel med spejlingsaksen for s, se Figur 6.10. Da s skal virker på gitteret, må vektorerne t + s(t) og t s(t) være elementer i T. Disse vektorer er hhv. parallelle og ortogonale på spejlingsaksen, som ses på Figur 6.11. l t s(t) l t s(t) t + s(t) Figur 6.10. Vektorerne t og s(t). Figur 6.11. Vektorerne t+s(t) og t s(t). Da translationsgitteret er diskret, eksisterer der to vektorer forskellig fra nulvektoren, som er hhv. parallelle og ortogonale med spejlingsaksen og af minimal længde. Lad disse være givet ved w 1 og w 2. Så gælder det for alle t T, at t + s(t) = m t w 1, t s(t) = n t w 2 for m t, n t Z. Dette giver, at t = m t 2 w 1 + n t 2 w 2. Af ovenstående er det ikke klart, hvilke værdier m t og n t kan antage. Der opstår nu tre tilfælde for valget af m t og n t. i) Hvis m t og n t begge er lige har vi, at {w 1, w 2 } udspænder T som en basis, hvilket giver anledning til det rektangulære gitter, som ses på Figur 6.12. ii) Hvis m t er ulige og n t er lige har vi, at 34 m t 2 w 1 = t n t 2 w 2 1 2 w 1 = t n t 2 w 2 m t 1 2 Dermed er 1 2 w 1 T. Det er en modstrid, da w 1 er en vektor af minimal længde. Ved symmetri får vi at 1 2 w 2 T hvis m t er lige og n t er ulige. iii) Hvis både m t og n t er ulige, så lad t 1 = 1 2 (w 1 + w 2 ) og t 2 = 1 2 (w 1 w 2 ) = s(t 1 ), så t 1, t 2 T, og t = m t 2 w 1 + n t 2 w 2 ( ) ( ) ( ) ( ) mt + n t w1 + w 2 mt n t w1 w 2 = + 2 2 2 2 ( ) ( ) mt + n t mt n t = t 1 + t 2 2 2 =m tt 1 + n tt 2, hvor m t, n t Z. Dermed kan alle t T skrives som en heltallig linearkombination af t 1 og t 2. Således er {t 1, t 2 } en basis for T, hvilket giver anledning til et rombegitter, se Figur 6.13. w 1

Gruppe G3-110 6. Tapetmønstre Dermed er {w 1, w 2 } en basis, for et rektangulært gitter, bestående af to ortogonale vektorer, hvor w 1 er parallel med spejlingsaksen. Samtidig haves en basis {t 1, t 2 }, for et rombegitter, bestående af lige lange vektorer med en spejling, der bytter om på dem. t 2 t 2 t 1 t 1 Figur 6.12. Rektangulært gitter. Figur 6.13. Rombegitter. Det rektangulære gitter kaldes et primitivt gitter, mens rombegitteret kaldes for et centreret gitter. Med de fundne baser kan vi nu repræsenterer D 1 og D 2, hvor der for hver gruppe er to mulige gruppevirkninger på T, da de hver især virker på begge gitre. Vi noterer de to mulige gruppevirkninger med p og c som fodtegn for hhv. rektangulært gitter og rombegitter. Valget af indeks skyldes at p og c står for hhv. primitivt og centreret gitter. Ved brug af basen {w 1, w 2 } for det rektangulære gitter får vi, ved spejling i l, at w 1 sendes til 1w 1 + 0w 2 og at w 2 sendes til 0w 1 1w 2. Da rotationen i D 1 er identiteten, kan denne udelades i repræsentationen [ ] 1 0 D 1,p =. 0 1 Da D 2 er frembragt af rotationen fra C 2 og spejlingen fra D 1 får vi, at D 2,p = [ ] [ ] 1 0 1 0,. 0 1 0 1 Ved brug af basen {t 1, t 2 } for rombegitteret får vi, ved spejling i l, at t 1 sendes til 0t 1 + 1t 2, og t 2 sendes til 1t 1 + 0t 2. Dette giver repræsentationerne [ ] [ ] [ ] 0 1 1 0 0 1 D 1,c = og D 2,c =,. 1 0 0 1 1 0 35

6.3 Gittertyper Aalborg Universitet Proposition 6.13: Hverken D 1,p og D 1,c eller D 2,p og D 2,c er konjugerede i Gl 2 (Z). Bevis: Ideen i beviset er den samme som i Proposition 6.12. Antag, for D 1,p og D 1,c, at der eksisterer en matrix U Gl 2 (Z), så D 1,c = UD 1,p U 1. Da den trivielle rotation er fælles for begge punktgrupper, skal vi se om spejlingerne er konjungerede. Derfor kan vi antage, at [ ] [ ] [ ] [ ] a b 1 0 0 1 a b Us p = s c U = c d 0 1 1 0 c d [ ] [ ] a b c d =, (6.6) c d a b for a, b, c, d Z, hvor det(u) = ±1. Af ligning (6.6) har vi, at d = b og c = a, hvorfor det(u) = ad bc = 2ab = ±1. Da a, b Z er 2ab ±1, hvorfor D 1,p og D 1,c ikke er konjugerede. For D 2,p og D 2,c antager vi, at D 2,p og D 2,c er konjugerede, så der findes en inverterbar matrix U, så D 2,c = UD 2,p U 1. Da rotationerne er de samme i D 2,p og D 2,c, betragter vi spejlingerne. Af antagelsen har vi, at [ ] [ ] [ ] [ ] a b 1 0 0 1 a b Us p = sr c U = c d 0 1 1 0 c d [ ] [ ] a b c d =, (6.7) c d a b for a, b, c, d Z, hvor det(u) = ±1. Af ligning (6.7) har vi, at a = c og b = d, hvorfor det(u) = ad bc = 2cd = ±1. Da c, d Z er 2cd 1. Altså er D 2,p og D 2,c ikke konjugerede. Af ovenstående proposition, samt negationen af Korollar 6.10, kan to tapetgrupper med punktgrupperne D 1,p, D 1,c, D 2,p og D 2,c ikke være isomorfe. Det undersøges, om nogle af de resterende grupper C n og D n for n = 1, 2, 3, 4, 6 med samme antal elementer er isomorfe, for at finde ud af, om deres tapetgrupper kan være isomorfe. Da D 1 er den eneste diedergruppe der er abelsk, som de cykliske grupper, er de eneste isomorfe grupper D 1 og C 2. Disse to grupper er dog ikke konjugerede, da elementernes determinanter er forskellige, idet determinanten skal være bevaret ved konjugering. Derfor kan tapetgrupperne for D 1 og C 2 ikke være isomorfe, jf. Korollar 6.10. På denne måde er vi kommet frem til, at der må være 13 ikke konjugerede punktgrupper. Afslutningsvist kan det bemærkes, at der i alt er fem gittertyper; parallelogramgitter, kvadratisk gitter, hexagonalt gitter, rektangulært gitter og et rombegitter. Rombegitteret kaldes som nævnt et centreret gitter, mens de øvrige gittertyper kaldes for primitive gitre. 36

Afrunding af teori 7 I foregående afsnit blev det vist, at der i alt findes 13 mulige punktgrupper op til konjugering. Ved hjælp af dette resultat er det muligt at bestemme hvor mange tapetgrupper der er i alt op til isomorfi. Dette betyder, at antallet af tapetgrupper der ikke er isomorfe bestemmes. Det kan vises, at der er præcis 17 af disse tapetgrupper, men beviset udelades i denne rapport. I stedet redegøres der for, hvordan tapetgrupperne kan karakteriseres og navngives, og bagefter gives en kort forklaring på hvorfra de 17 tapetgrupper fremkommer. Kapitlet tager udgangspunkt i [Mor07]. 7.1 De 17 tapetgrupper Nedenstående skema lister de 17 tapetgrupper med deres krystallografiske navne, tilhørende punktgrupper samt gittertyper. Denne navngivning er den internationale standard for krystallografisk notation. I navngivningen af tapetgrupperne vælges en basis {t 1, t 2 } for translationsgitteret, hvor retningen af t 1 svarer til x-aksen, jf. afsnit 6.3. Tapetgruppe Forkortelse Punktgruppe Gittertype Split p111 p1 C 1 Parallelogram Ja c1m1 cm D 1,c Rombe Ja p1m1 pm D 1,p Rektangulært Ja p1g1 pg D 1,p Rektangulært Nej p211 p2 C 2 Parallelogram Ja c2mm cmm D 2,c Rombe Ja p2mm pmm D 2,p Rektangulært Ja p2mg pmg D 2,p Rektangulært Nej p2gg pgg D 2,p Rektangulært Nej p311 p3 C 3 Hexagonalt Ja p3m1 p3m1 D 3,l Hexagonalt Ja p31m p31m D 3,s Hexagonalt Ja p411 p4 C 4 Kvadratisk Ja p4mm p4m D 4 Kvadratisk Ja p4gm p4g D 4 Kvadratisk Nej p611 p6 C 6 Hexagonalt Ja p6mm p6m D 6 Hexagonalt Ja Tabel 7.1. De 17 tapetgrupper. 37

7.1 De 17 tapetgrupper Aalborg Universitet De fire symboler i navnene giver følgende forskellige informationer. (i) Navnet på en tapetgrupper starter enten med et p eller et c. Disse bogstaver angiver gittertypen; primitive henholdsvis centrerede. (ii) Det første bogstav er efterfulgt af et tal, n, hvilket fortæller den højeste orden af en rotation. (iii) Det tredje symbol kan enten være et m, g eller 1. Et m betyder, at der er en spejlingsakse vinkelret på x-aksen, mens et g angiver en glidespejlingsakse vinkelret på x-aksen. Tallet 1 repræsenterer, at ingen af delene er tilstede. (iv) Det sidste symbol er ligeledes et m, g eller 1. I dette tilfælde er m en spejlingsakse med en vinkel θ med x-aksen, hvor g tilsvarende er en glidespejlingsakse. Tallet 1 repræsenterer, at ingen af delene er tilstede. θ er afhængig af tallet fra symbol nummer to, tallet der angiver ordenen af en rotation, på følgende måde n 1 2 3 4 6 θ π π π/3 π/4 π/3 Eksempel 6: Informationerne der er gemt bag tapetgruppen c2mm fortæller os, at gitteret er centreret, og at der er en rotation på 180. Desuden fortæller navnet os, at der findes spejlingsakser vinkelret med x-aksen, samt spejlingsakser med en vinkel på 180 i forhold til x-aksen - altså x-aksen selv eller akser parallelt hermed. Tapetgruppen kan skrives som mængden G = { (g, t g + t) g G 0, t T }, hvor vektoren t g R 2 ikke nødvendigvis ligger i translationsgitteret. Betragt den kanoniske gruppehomomorfi G G/T som er givet ved (g, t) (g, t)t, jf. Proposition 2.1. Da G/T = G 0 er den samme afbildning givet ved (g, t) g. Urbilledet til denne, består af alle elementer i G som rammer et element sideklassen i G/T, hvilket netop er elementer på formen (g, t g + t). For at se, at t g ikke behøver ligge i T, betragtes Figur 7.1. t 2 t g t 1 Figur 7.1. En tapetgruppe med t g / T. På figuren ses det, at der findes et element i tapetgruppen, som må være en glidespejling, hvor t g = 1 2 t 1. Det er netop i de tilfælde, hvor der er en ikke-triviel 38

Gruppe G3-110 7. Afrunding af teori glidespejling, at t g ikke ligger i T. Når man ser på tabel 7.1, svarer dette til de fire tapetgrupper der i navnet indeholder et g. Hvis vektoren t g = 0 for alle g, så er tapetgruppen givet ved G = { (g, t) g G0, t T }. I dette tilfælde er G det semidirekte produkt af G 0 og T. På denne måde, er det muligt at forstå en abstrakt tapetgruppe, ved at splitte G op i to kendte grupper. Disse tapetgrupper, hvor t g = 0, kaldes af denne årsag splitgrupper. Da der er 13 forskellige punktgrupper, er der mulighed for at danne op til 13 forskellige splitgrupper, og der kan let findes eksempler som viser at alle disse 13 splitgrupper eksisterer [Mor07]. De fire tapetgrupper, som ikke er splitgrupper, fremkommer ved en dybere undersøgelse af om der findes flere tapetgrupper, som ikke er isomorfe til de første 13. Ved en sådan undersøgelse, kan det vises, at til tre ud af de 13 punktgrupper findes der flere ikke-isomorfe tapetgrupper tilknyttet, disse tre punktgrupper er D 1,p, D 4 og D 2,p. De to punktgrupper D 1,p og D 4 er hver tilknyttet to tapetgrupper, da der er mulighed for også at danne en tapetgruppe, som indeholder en glidespejling. Til punktgruppen D 2,p findes der til gengæld tre forskellige tapetgrupper, som skyldes, at man kan lave et mønster med to lineært uafhængige glidespejlinger. Grunden til, at denne ekstra glidespejling ikke findes for D 4 er, at en anden mulig glidespejlingsakse vil fremkomme som en rotation, og derfor være lineært afhængig af den oprindelige glidespejlingsakse. Dette giver de i alt 17 forskellige tapetgrupper op til isomorfi. Med denne viden er det muligt at karakterisere ethvert tapetmønster til at være én af de 17 tapetgrupper opskrevet i tabellen, men det er også muligt at skabe et tapetmønster ud fra kendskab til beskrivelsen af tapetgruppens elementer. 39

Anvendelse 8 I det følgende vil der komme to eksempler, hvor teorien fra de forrige afsnit bliver brugt. I første eksempel karakteriseres et givent tapetmønster ved at bestemme, hvilken tapetgruppe der er tale om. I det andet eksempel tages der udgangspunkt i en tapetgruppe og derudfra vises det, hvordan man kan danne et tapetmønster. Der vil dog først komme en kort beskrivelse af hvad en primitiv celle og et fundamentalt område er. 8.1 Den primitive celle og det fundamentale område Det mindste område, som kan frembringe tapetmønsteret udelukkende vha. translationer, kaldes den primitive celle. Ofte vil det letteste valg af primitiv celle være parallelogrammet udspændt af t 1 og t 2, men der findes uendeligt mange valg af primitive celler, som dog alle har samme areal svarende til arealet af parallelogrammet. Der findes ofte områder inden for den primitive celle, som ikke er entydigt bestemt, men som gentager mønsteret. Et område uden gentagelser i mønsteret kaldes fundamental området. Hvor den primitive celle kunne danne hele tapetmønsteret udelukkende vha. translationsundergruppen, kan det fundamentale område danne hele mønsteret vha. alle fire isometrier. 8.2 Karakterisering af et tapetmønster I dette eksempel undersøges symmetrierne i Eshers tapetmønster på Figur 8.1, på baggrund af den foregående teori. Dette gøres med henblik på, at bestemme hvilken tapetgruppe det tilhører. Det ses umiddelbart på figuren, at den indeholder translationer frembragt af t 1 og t 2. Da t 1 og t 2 er vinkelrette på hinanden og af forskellig længde, må gitteret være primitivt, og det første symbol i navnet på tapetgruppen er et p, jf. Kapitel 7. Desuden er det fra figuren klart, at der ikke er rotationer indeholdt. Dette begrænser os til, at punktgruppen for den søgte tapetgruppe, enten må være C 1 eller D 1, da netop disse to punktgrupper er de eneste der udelukkende indeholder den trivielle rotation. Da mønstret blot indeholder den trivielle rotation får vi 1 på plads nummer to i navnet på tapetgruppen jf. Kapitel 7. Ved at betragte Figur 8.1 nærmere ses det ud fra heltalsbasen, at der findes glidespejlingsakser vinkelret på t 1. Dette betyder at vores næste betegnelse i navnet bliver et g. Afstanden mellem glidespejlingsakserne er 1 2 t 1, jf. Korollar 4.11. Da der ikke findes yderligere spejlinger eller glidespejlinger, bliver den sidste 40

Gruppe G3-110 8. Anvendelse notation i navnet tallet 1, jf. Kapitel 7. Dette giver afslutningsvist, at tapetgruppen er p1g1 for mønstret. G kan derfor skrives ud fra tre frembringere G = (I, t 1 ), (I, t 2 ), ([ ] ) 1 0, 1 0 1 2 t 2. Da mønstret hverken indeholder spejlinger eller rotationer, findes der ingen fikspunkter. Der er en gentagelse af fundamentalområdet indenfor den primitive celle, da den primitive celle indeholder to fisk og to heste. Det fundamentale område kan derfor skrives som halvdelen af den primitive celle, kun indeholdende én fisk og én hest, hvor isometrien der beskriver gentagelsen er en glidespejling. t 2 t 1 Figur 8.1. Tapetmønster med tapetgruppe p1g1. [Tit] En anden mulighed for at bestemme tapetgruppen er at tage udgangspunkt i listen over tapetgrupper i tabel 7.1. Da vi ved et hurtigt kig på figuren ved, at der findes glidespejlinger vinkelret på t 1, kan vi hurtigt begrænse os til kun at undersøge tre tapetgrupper, nemlig p1g1, p2gg og p4g1. Disse tre er de eneste ud af de 17 mulige, der indeholder disse glidespejlingsakser. Da vi desuden hurtigt kan udelukke rotationer udover den trivielle, er vi færdige, da den eneste mulighed da bliver tapetgruppen p1g1. Gruppen p2gg indeholder rotationer af højeste orden to, altså rotationer omkring et fikspunkt med en vinkel på 180, mens gruppen p4g1 har rotationer med vinklen 90. Altså kan vi, da vi på baggrund af vores teori ved, at der netop findes 17 tapetgrupper i planen, ud fra tabel 7.1 analysere et tapetmønster og finde frem til den tilhørende tapetgruppe. 41

8.3 Konstruktion af et tapetmønster Aalborg Universitet 8.3 Konstruktion af et tapetmønster Vi har vist, hvordan man kan analysere et billede, og derved bestemme tapetgruppen. Vi viser nu, hvordan man kan konstruere et mønster, givet en tapetgruppe. Vi vælger at kigge på tapetgruppen p31m. Denne tapetgruppe har punktgruppen D 3,s som er repræsenteret ved [ ] [ ] 0 1 1 1,. 1 1 0 1 Tapetgruppen p31m er en splitgruppe, hvorfor alle elementer kan skrives på formen (A, b), hvor A G 0 og b T, jf. afsnit 7.1. Lad b = n 1 t 1 + n 2 t 2, hvor n 1, n 2 Z. Det undersøges først, hvordan spejlingsakserne skal ligge. Betragt spejlingsaksen, noteret med k langs t 2, som danner en vinkel på 120 med x-aksen, se Figur 8.2. k t 2 2t 1 + t 2 O t 1 Figur 8.2. Ikke-triviel spejlingsakse, markeret med rødt. Hvis et element (A, b), hvor b 0 skal være en spejling, så skal det gælde at b k jf. korrolar 4.11. På Figur 8.2 ses det, at en af disse vektorer i translationsgitteret der opfylder dette er 2t 1 + t 2. Spejlingsaksen for elementet (A, b) skal således, jf. Korollar 4.11, være parallel med k forskudt med vektoren 1 2 (2t 1+t 2 ). Det giver præcis spejlingsaksen markeret med rødt på Figur 8.2. Ved symmetri kan vi således gentage spejlingsakserne, hvor de er nødvendige. Det undersøges nu, hvor fikspunkterne for rotationerne i tapetgruppen ligger. Betragt vektoren x. Så ønsker vi at løse ligningssystemet Ax + b = x, hvor A er rotationsmatricen for D 3,s og b en translationsvektor. Vi opnår således, at Ax + b = x x = (I 2 A) 1 b. Vi løser systemet og får, at [ ] 1 [ ] [ ] [ ] [ ] 1 1 n 1 x = = 1 2 1 n 2 1 = 3 n 1 1 3 n 2 1 1 2 n 2 3 1 1 n 2 3 n 1 + 1 3 n. 2 For at finde det første fikspunkt, indsætter vi koefficienterne n 1 = 1 og n 2 = 0 og får fikspunktet ( 2 3, 1 3 ). Det svarer til at bevæge sig 2 3 t 1 langs t 1 og derefter 1 3 t 2 parallelt med vektoren t 2, se Figur 8.3. Fikspunktet ( 2 3, 1 3 ) t 2 O t 1 Figur 8.3. Fikspunkt i D 3,s. 42

Gruppe G3-110 8. Anvendelse På Figur 8.4 har vi udnyttet spejlingsaksen på 120 med x-aksen, og opnået endnu et fikspunkt. Der er nu fundet to fikspunkter indenfor et område svarende til den primitive celle, og da der ikke kan frembringes flere, med hverken rotationer eller spejlinger, kan det derudfra ses, at det fundamentale område må svare til det skraverede på Figur 8.4. Hele mønstret kan derfor frembringes ud fra dette, som svarer til blot 1 6 af den primitive celle. Fundamentalområde t 2 t 2 O t 1 O t 1 Figur 8.4. Fikspunkter og fundamentalområde. Figur 8.5. Mønster dannet i fundamentalområdet. På Figur 8.5 har vi tegnet en lille figur i fundamentalområdet, som senere skal danne hele mønstret. Der ses ikke på farverne, da de ikke ændrer tapetgruppen, de er kun tilføjet for synets skyld. På Figur 8.6 er mønstret i fundamentalområdet roteret med 120. t 2 t 2 O t 1 O t 1 Figur 8.6. Mønster roteret 120. Figur 8.7. Mønster roteret og spejlet. På Figur 8.7 er mønstret, i det fundamentale område, blevet roteret 120 og 240 hvorefter det er spejlet i aksen med en vinkel på 120 i forhold til x-aksen, indenfor den primitive celle. Det ses også, at den primitive celle er blevet roteret hhv. 120 og 240. På Figur 8.8 er figur 8.7 blevet spejlet i spejlingsaksen langs x-aksen. t 2 t 1 Figur 8.8. Mønster med hjælpelinjer. 43

8.3 Konstruktion af et tapetmønster Aalborg Universitet Til sidst fremkommer mønstret på Figur 8.9, som et udsnit af et uendeligt tapetmønster. Det ses tydeligt, at der eksisterer spejlingsakser med 0, 60 og 120 i forhold til x-aksen og rotationer på 0, 120 og 240. Figur 8.9. Udsnit af et tapetmønster for p31m. 44

Historiske aspekter 9 Dette kapitel er baseret på [Rø11]. Geometriske mønstre undersøges ofte ved deres symmetriske egenskaber. På denne måde forbindes geometri og algebra på en elegant måde, da mængden af symmetriske operationer på en figur eller et mønster, danner en gruppe. Islamiske mønstre, set som uendelige mønstre, kan klassificeres til at tilhøre en af de 17 tapetgrupper. Hvis man udelukkende ser på islamiske mønstre i perioden fra år 900-1500 efter Kristus, findes der ingen indikationer for, at man på den tid, var klar over, at der kun findes disse 17 tapetgrupper i planen. På den anden side, er der tilgengæld store indikationer på, at stort set alle de 17 forskellige mønstre kan findes i perioden nævnt ovenfor. Spørgsmålet står nu tilbage om, hvorvidt alle 17 mønstre rent faktisk kan findes. Paladset Alhambra, udenfor Granada i Sydspanien, blev bygget over en periode på mere end 100 år, startende fra det 13. århundrede. Under denne tid, var den mauriske kultur dominerende i dette område. Gradvist blev maurerne drevet ud af de kristne, og Alhambra var dermed den sidste mauriske fæstning. Størstedelen af de mauriske konstruktioner blev ødelagt, men Alhambra er bevaret. Moskéen i Alhambra blev taget i brug af de kristne, kort tid efter maurerne havde forladt paladset, men selvom denne fik et kristent præg blev flere af de islamiske mønstre dog bevaret. Edith Müller var, i sin PhD-afhandling fra 1944, den første til at identificere 11 ud af de 17 tapetgrupper i Alhambras dekorative mønstre. Flere matematikere har senere hævdet, at alle 17 tapetgrupper kan findes i Alhambra. Eksempelvis skrev matematikeren George E. Martin i hans bog Transformation Geometry, at all of the seventeen groups were implicitly known to the Moors in the decoration of the Alhambra [Rø11]. En lignende udtalelse blev fremsagt af matematikeren Hermann Weyl i hans klassiske værk Symmetry, hvor han skriver: Examples for all 17 groups of symmetry are found among the decorative patterns of antiquity [Rø11]. Disse udtalelser var fremsagt uden egentlig dokumentation for, at alle 17 grupper faktisk var repræsenteret, og derfor påbegyndte matematikeren Branko Grünbaum en grundig undersøgelse af mønstrene i Alhambra. Dette resulterede i en artikel hvor forfatterne hævdede at have identificeret 13 ud af de 17 grupper. Yderligere hævdede de også, at de sidste fire ikke kan findes i Alhambra. Disse fire grupper er p1g1, p211, p2gg og p3m1. Grünbaums påstand om, at der kun var 13 tapetgrupper i Alhambra, resulterede i en øget interesse for at finde alle 17 tapetgrupper i Alhambra. Især blev interessen stor blandt spanske matematikere, og som et resultat heraf har de to matematikere Maria Francisca Blanco Blanco og Ana Lúcia Nogueira de Camargo Harris skrevet en artikel, hvor de modsiger Grünbaums påstand om, at de alle 17 grupper 45

Aalborg Universitet findes i Alhambra, se [BCH11]. Deres bud på, hvor disse fire typer kan findes i Alhambra, præsenteres i Appendiks A. De fire grupper fremkommer ved at benytte følgende algoritme. Figur 9.1. Algoritme til at klassificere tapetgrupper. Om alle de 17 tapetgrupper forekommer i Alhambra, er der stadig ikke enighed om. Dette skyldes bl.a. diskussionen om at medtage farver eller ej, i tapetmønstre. Trods det ser vi altså, at Maria Francisca Blanco Blanco og Ana Lúcia Nogueira stringent, har forsøgt at vise påstanden. Det er ikke nødvendigvis et spørgsmål, af vigtig karakter, om alle disse 17 grupper rent faktisk er repræsenteret i Alhambra. Diskussionen viser dog, at matematisk teori og det at anvende det er to vidt forskellige ting. Teorien bag alle disse grupper er meget præcist og konkret defineret, og oplysningerne omkring en enkelt gruppe kan sammenfattes meget kort og præcist ved hjælp af symbolerne i tabel 7.1. 46

Konklusion 10 Formålet med dette projekt har været at undersøge, hvordan de i alt 17 tapetgrupper op til isomorfi kan fremkomme. For at få en forståelse for teorien bag tapetgrupper, har det været nødvendigt at tage udgangspunkt i generelle gruppeteoretiske resultater og teori om matrixgrupper, særligt den specielle lineære gruppe, den ortogonale gruppe og den specielle ortogonale gruppe. Her viste vi, at den specielle ortogonale gruppe udelukkende indeholder rotationer hvor imens den ortogonale gruppe fraregnet den specielle ortogonale gruppe består af spejlinger. Efterfølgende blev det netop vist, at rotationer og spejlinger er centrale for symmetrier i planen. Desuden blev de øvrige planisometrier, translationer og glidespejlinger, behandlet. Denne teori, sammen med teori omkring punktgrupper og gittertyper, dannede baggrund for at komme frem til de i alt 17 tapetgrupper, som et mønster kan tilhøre. Vi har fundet ud af, at symmetrier i planen består af de fire isometrier; translationer, rotationer, spejlinger og glidespejlinger. For uendelige mønstre kan alle isometrierne forekommer, mens der for endelige mønstre kun indgår rotationer og spejlinger i symmetrigruppen. Mængden af symmetrier der virker på mønstret, kaldes mønstrets tapetgruppe. Punktgruppen for en tapetgruppe består af rotationsmatricer eller rotations- og spejlingsmatricer. Et væsentligt resultat i projektet siger, at punktgruppen er isomorf til en af de ti grupper, i Sætning 6.6 - den krystallografiske restriktion. Dette ledte os videre til at kigge på gittertyper. Vi fandt frem til, at der findes fem gittertyper: parallelogram gitter, kvadratisk gitter, rektangulært gitter, hexagonalt gitter og rombegitter. Det viste sig, at punktgrupperne virker på gitrene. Vi kom frem til, at tre af de ti grupper, fra den krystallografiske restriktion, virker på to forskellige måder på det samme gitter. Dette gav os i alt 13 ikke konjugerede punktgrupper. Der blev redegjort for klassifikationen af tapetgrupper og konklusionen blev, at der i alt kun findes 17 forskellige tapetgrupper op til isomorfi. Nogle af disse tapetgrupper har vi afslutningsvist anvendt, og vist hvorledes det er muligt at identificere en tapetgruppe ud fra et givet mønster. Derudover har vi konstrueret et mønster ud fra en velkendt tapetgruppe. Historisk set er symmetrierne for de 17 tapetgrupper blevet anvendt lang tid før man vidste, at disse var de eneste mulige i planen. Eksempelvis blev paladset Alhambra udsmykket med dekorationer, indeholdende symmetrier. Endnu er der ikke enighed omkring eksistensen af alle de 17 tapetgrupper i Alhambra. 47

Perspektivering 11 Dette projekt har beskæftiget sig med teorien bag tapetgrupper, til brug af karakterisering og skabelse af tapetmønstre. Det er ikke blevet bevist, at der kun findes 17 tapetgrupper, men i et videre arbejde med dette emne, ville et bevis for denne påstand være en naturlig forlængelse. Dette ville bl.a. involvere analysen af de punktgrupper, som kan skrives som splitgrupper, samt hvilke vektorer, t g, der er mulige at vælge. Der er i hele projektet blevet set bort fra farver, selvom disse ofte indgår i tapetmønstre. Et videre arbejde med emnet, og forlængelse af dette projekt, kunne netop tage hensyn til farver i et givet mønster. I sådan et tilfælde vil to ens figurer, i hver deres farve, fremstå som to forskellige figurer. Som illustration kan inddrages Eshers tapetmønster fra Figur 11.1. t 2 t 1 Figur 11.1. Tapetmønster med tapetgruppe p1g1. [Tit] I behandlingen af dette tapetmønster i nærværende projekt er der, i translationer og glidespejlinger, ikke taget højde for om en hvid hest blev translateret eller glidespejlet til en hvid eller en sort hest, og tilsvarende for fiskene. Tages der derimod højde for farverne, altså en translation fører en hvid hest til en anden hvid hest, ændres størrelsen på den ene basisvektor. Vektoren t 1 bliver da dobbelt så lang som i analysen af mønstret i dette projekt. Gittertypen forbliver den samme, altså er første notation i navnet på tapetgruppen stadig et p. Rotationer opstår stadig ikke og derfor bliver vores p igen efterfulgt af et 1-tal. Vi ser på mønstret, at der stadig opstår glidespejlinger vinkelret på x-aksen, og at der 48

Gruppe G3-110 11. Perspektivering hverken findes spejlingsakser eller glidespejlingsakser med en anden vinkel med x-aksen. Altså er tapetgruppen stadig p1g1. Dog er der en væsentlig forskel fra analysen uden hensyntagen til farver. Kun hver anden glidespejlingsakse fra analysen i dette projekt, kan benyttes i mønstret, der tager hensyn til farverne. Dette giver en klar sammenhæng fra projektets analyse, hvor der var 1 2 t 1 mellem hver glidespejlingsakse. Da t 1 i den nye måde at se mønstret på er blevet dobbelt så lang som tidligere, svarer det til, at det kun er hver anden af de første glidespejlingsakser der nu er mulige, for at det opfylder, at afstanden mellem hver glidespejlingsakse er 1 2 t 1. Altså kan det afsluttende bemærkes, at tapetgruppen for mønstret ikke ændres, selvom man ikke medtager farverne i analysen. Dog vil et andet eksempel illustrere, at dette ikke altid er tilfældet. Ses der på Figur 11.2 med hensyn til farver, findes der både en lodret og en vandret glidespejlingsakse. Figur 11.2. Tapetmønster med farver. Disse akser er, uden hensyn til farver, spejlingsakser, og tapetgruppen ændres da. Ved tilfældet hvor akserne er glidespejlingsakser er tapetgruppen p2gg, da der både er akser vinkelret på x-aksen og akser parallelt hermed. Derimod bliver tapetgruppen ændret til p2mm, når der ikke ses på farverne. Altså kan analysen omkringer farver i et tapetmønster have stor betydning for tapetgruppen, hvorfor dette kunne være et interessant emne at arbejde videre med. Projektet har behandlet mønstre i planen. Der findes tilsvarende teori for mønstre i tre dimensioner, hvorfor dette kunne være interessant at arbejde videre med. Teorien blev faktisk først fastlagt i tre dimensioner, hvor man ønskede at finde symmetrier i objekter som krystaller, deraf navnet krystallografi. 49

Bibliografi [Arm88] M.A. Armstrong. Groups and symmetry. Springer-Verlag, 1988. [BCH11] Maria Francisca Blanco og Ana Lúcia Nogueria de Camargo Harris. 2011. url: http://www.mi.sanu.ac.rs/vismath/blanco2011mart/bl.pdf. [Lau12] Niels Lauritzen. Concrete Abstract Alge. 7. udg. ISBN 978-0-521-53410-9. Cambridge, 2012. [Mor07] [Rø11] [Tit] Patrick J. Morandi. Symmetry Groups: The Classification of Wallpaper Patterns. 2007. url: http://sierra.nmsu.edu/morandi/oldwebpages/ Math526Spring2007/Math526text2007-01-10.pdf. Frode Rønning. 2011. url: http://people.exeter.ac.uk/pernest/pome24/ ronning%20_geometry_and_islamic_patterns.pdf. Titalus. url: http://www.titalus.com/art/hum113/surrealism/escher1.jpg. 51

Mønstre fra Alhambra A Gruppen p1g1: Figur A.1. Et mønster med tapetgruppe p1g1 fra Alhambra. Figur A.2. Undersøgelse af mønstret.

Aalborg Universitet Gruppen p211: Figur A.3. Et mønster med tapetgruppe p211 fra Alhambra. Figur A.4. Undersøgelse af mønstret. 54

Gruppe G3-110 A. Mønstre fra Alhambra Gruppen p2gg: Figur A.5. Et mønster med tapetgruppe p2gg fra Alhambra. Figur A.6. Undersøgelse af mønstret. 55

Aalborg Universitet Gruppen p3m1: Figur A.7. Et mønster med tapetgruppe p3m1 fra Alhambra. Figur A.8. Undersøgelse af mønstret. 56