Geometri, (E-opgaver 9b & 9c) Indhold GEOMETRI, (E-OPGAVER 9B)... 1 Arealet af en er ½ højde grundlinje... 1 Vinkelsummen i en er altid 180... 1 Ensvinklede er... 1 Retvinklede er... Sinus,... FORMLER... 3 EKSEMPLER... 3 Areal af... 3 Vinkelsum i en... 3 Ens- vinklede er... 3 Ret- vinklet... Pytha- goras, Sinus,... FLERE EKSEMPLER PÅ ANVENDELSE AF FORMLERNE... 5 Arealet af en er ½ højde grundlinje (hvor grundlinjen er siden vinkelret på højden) Arealet = ½h a a = ½h b b = ½h c c Bemærk h a er ikke indtegnet Vinkelsummen i en er altid 180 Ensvinklede er Hvis er er ensvinklede, så er den ene en forstørrelse af den anden. Sidelængderne i den sidste er lig sidelængderne i den første ganget med en faktor, forstørrelsesfaktoren. Den kaldes så skalafaktoren. Hvis skalafaktoren er 1, så er erne lige store. Hvis skalafaktoren er mellem 0 1, så er der faktisk tale om en formindskelse. Hvis man kender længden på tilsvarende sider i de er, så kan skalafaktoren beregnes. PeterSoerensen.dk : Matematik C, hf, interaktivt v.6.9. Opdateret 9/-13 side 1 / 5
Nedenfor ses ensvinklede er. Der gælder: skalafaktoren = 6 / (Kaldes så forstørrelsesfaktoren) 6 Retvinklede er Hvis den ene vinkel i en er 90, så kaldes en retvinklet. En ret vinkel markeres ofte med et lille kvadrat. Siden over for den rette vinkel kaldes hypotenusen. De andre sider kaldes kateter. Sinus, Hvis man kender sider i en retvinklet, kan man beregne de spidse vinkler ved at benytte Sinus, på lommeregneren, forkortet: Sin, Cos Tan. Til enhver spids vinkel er knyttet et tal vi kalder Sinus til vinklen. Også til er knyttet et tal til enhver spids vinkel der gælder: Sinus til en spids vinkel i en retvinklet er modstående katete divideret med hypotenusen. til en spids vinkel i en retvinklet er hosliggende katete divideret med hypotenusen til en spids vinkel i en retvinklet er modstående katete divideret med hosliggende katete. PeterSoerensen.dk : Matematik C, hf, interaktivt v.6.9. Opdateret 9/-13 side / 5
Lad os betragte en retvinklet : Sammenhængen mellem sider vinkler kan udtrykkes således: modstående Sin v = katete / hypotenusen hosliggende Cos v = katete / hypotenusen modstående Tan v = katete / hosliggende katete Når man kender Sin, Cos eller Tan til en vinkel kan selve vinklen findes ved hjælp af ArcSin, ArcCos eller ArcTan, som på de fleste lommeregnere betegnes med sin -1, som fås ved først at taste nd eller INV derefter Sin. Bstaver Formler Eksempler Areal af T er areal, h a er højden på a, h b er højden på b h c er højden på c T = Areal = ½ højde grundlinje A h g T = ½ h g A g h T= 0,5 a h a = 0,5ab Sin C T= 0,5 b h b = 0,5bc Sin A T= 0,5 c h c = 0,5ca Sin B Herons formel: T= hvor T = ½ 10 15 = 75 75 h 15 10 75 g 15 10 T =0,5 9 Sin(30 ) Vinkelsum i en Ensvinklede er Vinkelsummen i en er 180 v + u + w = 180 k = skalafaktor = forstørrelsesfaktor b 1 = k b u =180-70 - 80 k = = 1,5 b 1 = 1,5 = 6 c = = 8 PeterSoerensen.dk : Matematik C, hf, interaktivt v.6.9. Opdateret 9/-13 side 3 / 5
Symboler m.m. Formler Eksempler Pythagoras Kvadratet på hypotenusen er lig summen af kateternes kvadrat. Pythagoras hyp = hosl.k² + modst² 5² = ² + 3² Retvinklet Forkortelser: hyp: Hypotenusen hyp hosl. k mod st 5 5 3 3 5 3 Pythagoras, hosl.k: Hosliggende katete modst: Modstående katete Sinus Sin( mod st hyp Sinus Sinus, Sin -1, Cos -1 1 Tan på lommeregner svarer til ArcSin, ArcCos ArcTan i Calculator.dk i RegneRobot. Også i regneark benyttes ArcSin, ArcCos ArcTan; men her angives vinkler i radianer i stedet for grader. Radianetal = gradtal * pi() / 180 Gradtal = radiantal * 180 / pi() Modst = hyp Sin( hosl. k Cos( hyp Modst = 5 Sin(37 )= 3 3 hyp 5 Sin (37) fx: 0,5 =Sin(30 * pi() / 180) 30 =ArcSin(0,5) * 180 / pi() I regneark Excel kan man konvertere med funktionerne grader radianer. hosl. k hyp Cos( hosl. k hyp Cos( Sin( Tan( Cos( hosl 5Cos(37) hyp 5 Cos (37) Fx 0,5 =Sin(radianer(30)) 30 =Grader(ArcSin(0,5)) Modst = hosl Tan( Tan(= ¾ v=tan -1 ( 3 /)=37 v=arctan ( 3 /)=37 Modst = Tan(37 ) = 3 -+ 3 hosl Tan (37) PeterSoerensen.dk : Matematik C, hf, interaktivt v.6.9. Opdateret 9/-13 side / 5
Flere eksempler på anvendelse af formlerne Sin(30 )= b / 8 Dvs b = 8 Sin(30 ) = 8 0,5 = Tan(A)= / = 0,5 Dvs Vinkel A = 6,6 (Benyt Tan -1 eller ArcTan) T = 0,5 9 Sin(30 ) = 0,5 9 0,5 = 9 PeterSoerensen.dk : Matematik C, hf, interaktivt v.6.9. Opdateret 9/-13 side 5 / 5