Brug og Misbrug af logiske tegn Frank Nasser 20. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er en arkiveret udgave af dokumentet som muligvis ikke er den nyeste tilgængelige.
Indhold 1 Introduktion 1 1.1 Hvad er logik?...................... 2 2 Logiske symboler 2 2.1 Implikationstegn.................... 2 2.2 Konjunktioner og negationer.............. 3 2.3 Eksistens og Alkvantorer............... 3 3 Logiske spilleregler 3 3.1 Negation af sammensatte udsagn........... 3 3.2 Negation af kvantorer.................. 3 4 Hyppigt misbrug 3 4.1 Og og Eller..................... 4 4.2 Implikationspile i beviser............... 5 4.3 Implikationspile i ligningsløsning.......... 5 5 Geometrisk Logik 5 5.1 Et udsagns sandhedsmængde............ 6 6 Aksiomer og matematik 7
Resumé I dette dokument ser vi lidt på matematikkens logiske fundament med fokus på hvordan man kan (og ikke kan) bruge nogle af de logiske symboler. Her slutter MatBog.dk Figur 1: På dette sted løb jeg desværre tør for fritid. Derfor er dette dokument ikke færdigt. Hvis du køber et abonnement (eller får din lærer eller skole til at gøre det), så kan jeg tillade mig at tage lidt mere fri til at skrive på MatBog, og så vil disse huller blive lappet meget hurtigere! 1 Introduktion Vi er på vej ud i noget af en gråzone. Logik er nemlig ikke det samme som matematik! Hvis man påstår at matematik handler om logik, side 1
svarer det nogenlunde til at påstå at det at køre bil handler om at forstå hvorfor benzinen antænder inde i motorens cylindre. Forudsætninger For at få udbytte af dette dokument, bør du have en hel del erfaring med at forstå og selv formulere matematiske udsagn 1. Det er også en god ide at du har nogenlunde styr på basal bevisførelse 2. For at få maksimalt udbytte af afsnit 5 bør du også have styr på analytisk plangeometri. 1.1 Hvad er logik? Logik er en mystisk videnskab. Den handler om såkaldte udsagn som enten kan være sande eller falske. Men sjovt nok handler det ikke så meget om at afgøre hvorvidt udsagnene er sande eller falske (det tager matematikken sig af). Derimod handler det om hvordan man kan sammensætte udsagn (uanset om de er sande eller falske) til mere komplicerede udsagn, og om hvordan man kan formulere sammenhænge mellem forskellige udsagn (f.eks. at et udsagn kun kan være sandt hvis et andet også er det). 2 Logiske symboler 2.1 Implikationstegn Eksempel 1 Et af de bedste eksempler på (korrekt) brug af implikationstegn er definitionen af hvornår en funktion kaldes voksende. 1 Læs (eller gense) en introduktion til udtryk og udsagn her 2 Du kan læse en basal introduktion til sætninger og beviser her side 2
En funktion, f, kaldes voksende hvis der for alle elementpar x 1 og x 2 i dens definitionsmængde gælder: x 1 < x 2 f(x 1 ) = f(x 2 ) 2.2 Konjunktioner og negationer 2.3 Eksistens og Alkvantorer Når vores udsagn handler om objekter af en eller anden art 3 så er der to typer udsagn som forekommer så ofte at man har indført et par symboler til at bygge dem. Det drejer sig om eksistensudsagn og generaliserende udsagn: Eksistensudsagn Eksistensudsagn er (som navnet antyder) udsagn som påstår at der eksisterer et eller flere objekter med en bestemt egenskab. 3 Logiske spilleregler 3.1 Negation af sammensatte udsagn 3.2 Negation af kvantorer 4 Hyppigt misbrug Her har jeg samlet nogle skræmmeeksempler på hvordan de logiske tegn ikke skal bruges. Alle eksemplerne er hentet fra det virkelige liv. Så læs dem, grin af dem, og prøv at undgå at gentage dem. 3 Objekterne kunne være så forskellige ting som f.eks. tal, vektorer, funktioner, biler, kæledyr eller grøntsager. side 3
Jeg har gjort mig stor umage for at skrive alle de forkerte anvendelser med rødt. 4.1 Og og Eller En meget populær fejl er at tro at tegnene og helt kan erstatte ordene og og eller i enhver sammenhæng. Eksempel 2 Ligningen (x + 1) 2 = 16 har to løsninger. Den ene løsning er x = 3, og den anden er x = 5. Dette kan formuleres som at løsningerne til ligningen er x = 2 og x = 5. Men det er ikke korrekt at fomulere dette som x = 2 x = 5 (Forkert!) Dette udsagn er nemlig bare en ren umulighed. Hvis man påstår at det er løsningen til ligningen, så påstår man at løsningen består af reelle tal, x, som både er lig med 2 og lig med 5, og sådan nogle tal findes ikke. Eksempel 3 Der er også nogen som kan finde på at sige at løsningerne til ligningen: (x + 1) 2 = 16 er 2 og 5. Dette er korrekt, men det er ikke korrekt at skrive det som at løsningerne er: 2 5 (Forkert!) side 4
(Eftersom 2 og 5 ikke er udsagn er det komplet meningsløst at sætte tegnet imellem dem.) Eksempel 4 Lidt i samme ånd som det sidste eksempel kunne man fristes til at sige at x er 2 eller 5 ved at skrive: x = 2 5 (Forkert!) Men det er også forkert, fordi 5 ikke er et udsagn, og derfor giver det ikke mening at sætte tegnet foran. Den eneste korrekte måde at skrive løsningerne til ligningen op på er naturligvis: x = 3 x = 5 4.2 Implikationspile i beviser 4.3 Implikationspile i ligningsløsning Et andet sted hvor implikationspile ikke hører hjemme er ved løsning af ligninger. Det kan være fristende (og endda korrekt) at sige om et reelt tal, x, at: 7x + 1 = 22 x = 3 5 Geometrisk Logik Analytisk plangeometri er et smukt eksempel på hvordan man i matematik kan tænke på en såkaldt dualitet: Det fænomen at man har side 5
to verdener som er perfekte spejlbilleder af hinanden. Hvor ethvert objekt, ethvert problem, enhver løsning i den ene verden har et spejlbillede i den anden verden. I den analytiske geometri består de to verdener af de geometriske figurer der fremkommer som delmængder af det todimensionelle koordinatsystem (altså: linjer, cirkler, parabler, hyperbler og den slags), mens den anden verden består af ligninger med 2 ukendte. Fordelen ved en såkaldt dualitet er naturligvis at man hjælper sin hjerne til at håndtere de abstrakte objekter ved at man kan tænke på det samme objekt på forskellige måder. Der er en lignende dualitet imellem verdenen af logiske udsagn og en anden verden: Nemlig den verden som består af abstrakte mængder. 5.1 Et udsagns sandhedsmængde Nu bliver det lidt hippe-agtigt, for vi skal indføre noget meget, meget abstrakt. Som sagt handler logik om udsagn og sammenhænge imellem udsagn. Men logik er i bund og grund ligeglad med hvilke udsagn der er sande, og hvilke der er falske. Lad os nu forestille os at der ikke kun findes en eneste virkelighed. Lad os forestille os at der findes helt ufatteligt mange virkeligheder. Faktisk, lad os forestille os at uanset hvilket udsagn man finder på, hvis blot det har en teoretisk chance 4 for at være både sandt og falsk, så findes der både virkeligheder hvori dette udsagn er sandt og virkeligheder hvori dette udsagn er falskt. Lad os tage et eksempel: Jeg, Frank Nasser, er bager. Og lad os forestille os at alle disse virkeligheder tilsammen udgør en mængde. 4 Undtagelsen for dette er de såkalde tautologier og modstrider. Den vender vi lige straks tilbage til. side 6
6 Aksiomer og matematik De fleste af eksemplerne i dette dokument handler om matematiske objekter og udsagn. side 7