Oversigt [S] 8.5, 8.6, 8.7, 8.0 Nøgleord og begreber Seks berømte potensrækker Potensrække Konvergensrdius Differentition og integrtion f potensrækker Tylor og McLurin rækker August 00, opgve 4 Den geometriske række og eksponentilrækken [S] 8.7 Tylor... Den geometriske række For lle tl x med x < gælder Eksponentilrækken For lle tl x R gælder x = x x x... e x = x! x! x!... Clculus - 006 Uge 48. - Clculus - 006 Uge 48. - Cosinus og Sinus rækkerne Logritme- og Arctn rækkerne Cosinusrækken For lle tl x R gælder Sinusrækken For lle tl x R gælder cos x = x! x4 4! sin x = x x! x5 5! Logritmerækken For lle tl x med 0 < x gælder ln x = (x ) (x ) Arctn rækken For lle x med x gælder (x ) Arctn x = x x x5 5 (En syvende berømt række er binomilrækken, [S] 8.8.) Clculus - 006 Uge 48. - Clculus - 006 Uge 48. - 4 En potensrække Logritmerækken En potensrække med centrum i er et udtryk f form c 0 c (x ) c (x ) c (x )... c n erne kldes rækkens koefficienter. Skrives også Logritmerækken ln x = (x ) (x ) (x ) er en potensrække med centrum i =. Koefficienterne er c 0 = 0, c =, c =, c =,... Bemærk c 0 (x ) 0 = c 0, d (x ) 0 =. Clculus - 006 Uge 48. - 5 Clculus - 006 Uge 48. - 6 Eksponentilrækken Konvergens Eksponentilrækken Sætning For en potensrœkke med centrum i e x = x! x! x!... er en potensrække med centrum i = 0. Koefficienterne er c 0 =, c = /!, c = /!, c = /!,... er der netop muligheder (i) Konvergerer kun for x = (ii) Konvergerer for lle x (iii) Der findes et tl R > 0 så rœkken er konvergent for x < R og divergent for x > R Clculus - 006 Uge 48. - 7 Clculus - 006 Uge 48. - 8
Konvergens Konvergens f logritmerækken For en potensrække er konvergensrdius (i) R = 0 (ii) R = (iii) R > 0 Konvergensrdius skiller konvergens og divergens. ( R, R) er konvergensintervllet. Sommetider er det ene, begge, endepunkter med i konvergensintervllet. Logritmerækken ln x = (x ) (x ) (x ) hr centrum i =, konvergensrdius R er = : rækken er konvergent for 0 < x <, divergent for x < 0 og for x >. Logritmerækken er konvergent i højre endepunkt, ln = 4.... Clculus - 006 Uge 48. - 9 Clculus - 006 Uge 48. - 0 Ledvis differentition [S] 8.6 Representtions of functions... Sætning Hvis en potensrœkke hr konvergensrdius R > 0, så er sumfunktionen differentibel i konvergensintervllet, og hr fledet f givet ved ledvis differentition. Bemærk Den ledvis differentierede række hr smme konvergensrdius som den oprindelige række. Ledvis integrtion [S] 8.6 Representtions of functions... Sætning Hvis en potensrœkke hr konvergensrdius R > 0, så kn en stmfunktion til sumfunktionen ngives ved ledvis stmfunktion-dnnelse. Bemærk Den ledvis integrerede række hr smme konvergensrdius som den oprindelige række. Clculus - 006 Uge 48. - Clculus - 006 Uge 48. - Bestemt integrtion [S] 8.6 Representtions of functions... Bemærkning Også bestemt integrtion kn udføres ledvis i konvergensintervllet, b f(x) dx = b c 0 dx b c x dx b (forudst t og b tilhører konvergensintervllet). c x dx... Ledvis diff. og int., igen [S] 8.6 Representtions of functions... Sætning (i) f (x) = n n= (ii) f(x) dx = C c n (x )n n Clculus - 006 Uge 48. - Clculus - 006 Uge 48. - 4 Geometrisk række [S] 8.6 Representtions of functions... 5 Differentier den geometriske række x = x x x... = ( x) = x x... = (n ) Konvergensrdius er, centrum er 0, rækken er konvergent for < x <, divergent for x >. I konvergensintervllet fremstiller rækken /( x). Geometrisk række [S] 8.6 Representtions of functions... 6 Integrerer den geometriske række x = x x x... = ln( x) = x x x x4 4... = n= Konvergensrdius er, centrum er 0, rækken er konvergent for < x <, divergent for x >. n Clculus - 006 Uge 48. - 5 Clculus - 006 Uge 48. - 6
En logritmerække [S] 8.6 Representtions of functions... 6 - fortst ln( x) = x x x x4 4... for < x < ln( ( z)) = ( z) ln z = (z ) (z ) ( z) (z ) (substituer z for x; gælder for 0 < z ). ( z)... Arctn rækken [S] 8.6 Representtions of functions... 7 For x < er x <, så for sådnne x fås ved substitution i den geometriske række Integreres ledvis fås x = x x 4 x 6... Arctn(x) = x x x5 5 Clculus - 006 Uge 48. - 7 Clculus - 006 Uge 48. - 8 Gentgen differentition Gentgen differentition Udregning c 0 c x c x c x c 4 x 4... f (x) = c c x c x 4c 4 x... Udregning - fortst Indsættes x = 0, fås f(0) = c 0, f (0) = c, f (0) = c, f (0) = c, f (x) = c c x 4 c 4 x... f (x) = c 4 c 4 x... f (4) (x) = 4 c 4 5 4 c 5 x... generelt f (4) (0) = 4 c 4,... f (n) (0) = n (n )... c n f (n) (0) = c n Clculus - 006 Uge 48. - 9 Clculus - 006 Uge 48. - 0 Gentgen differentition McLurin Udregning - fortst Observtion f (n) (0) = c n c 0 c x c x c x... c n = f (n) (0) kn skrives f(0) f (0)x f (0)! x f (0) x...! f (n) (0) Clculus - 006 Uge 48. - Clculus - 006 Uge 48. - Tylor-udvikling, centrum Koefficienter Observtion c 0 c (x ) c (x ) c (x )... kn skrives f()f ()(x ) f ()! (x ) f () (x )...! f (n) () (x ) n ( Tylor-rækken for f med centrum i, Tylor-udviklingen f f ud fr ) 5 Sætning Hvis en potensrœkke med centrum i hr konvergensrdius R > 0, så hr sumfunktionen koefficienter c n = f (n) () Clculus - 006 Uge 48. - Clculus - 006 Uge 48. - 4
Tylorrække Eksponentilrækken som Mclurin række [S] 8.7 Tylor... En vilkårlig ofte differentibel funktion f(x) hr Tylorrække om 6 og Mclurinrække, = 0, f (n) () (x ) n For e x er f (n) (x) = e x for lle n. Så er f (n) (0) = e 0 = for lle n, så Mclurin rækken for e x er e x = xn 7 f (n) (0) Clculus - 006 Uge 48. - 5 Clculus - 006 Uge 48. - 6 Sinusrække som Mclurin række [S] 8.7 Tylor... 4 For sin x er sin x = cos x og cos x = sin x. Så Mclurin rækken er f(0) = 0, f (0) =, f (0) = 0, f (0) =, f 4 (0) = 0 0,, 0,, 0,, 0,, 0,, 0,, 0,,... 5 sin x = x x! x5 5! x7 7!... Cosinusrække som Mclurin række [S] 8.7 Tylor... 5 For cos x, f(0) =, f (0) = 0, f (0) =, f (0) = 0,... Mclurin rækken er, 0,, 0,, 0,, 0,, 0,,... cos x = x! x4 4! Denne rækkeudvikling kn også udledes ved t differentiere sin x = x x! x5 5! Clculus - 006 Uge 48. - 7 Clculus - 006 Uge 48. - 8 Guss fejlintegrl Guss fejlintegrl 8 Substitueres x for x i eksponentilrækken, fås (for lle x). e x = x! x4! x6... e x = ( ) n 8 - fortst For e x dx (med f(0) = 0) er en rækkeudvikling med centrum i 0 e x dx = e x dx = ( ) n ( ) n (n ) xn Clculus - 006 Uge 48. - 9 Clculus - 006 Uge 48. - 0 Guss fejlintegrl (fortst) 8 - fortst 0 e x dx = x x! x5 5! x7 7! x9 9 4! ] e x dx = [x x! x5 5! x7 7! x9 9 4! 0 =! 5! 7! 9 4! Sum f de nførte led, Opgve Mtemtik Alf, August 00 Opgve 4 Angiv en potensrække i x, der for x 0 fremstiller funktionen Angiv også grænseværdien cos(x ) x 4 lim f(x). x 0 0.747487... snd værdi 0.74684... Clculus - 006 Uge 48. - Clculus - 006 Uge 48. -
Opgve Mtemtik Alf, August 00 Opgve 4 - Løsning cos x = x! x4 4! cos(x ) = ( x4! x8 4! x...) 6! Opgve Mtemtik Alf, August 00 Opgve 4 - Løsning fortst Dermed er ( ) n n= (n)! x4(n ) =! 4! x4 6! x8 8! x Divideres ledvis med x 4 fås = x4! x8 4! x... 6!! x4 4! x8 6!... Det følger, t lim x 0 Clculus - 006 Uge 48. - Clculus - 006 Uge 48. - 4