Lineær Algebra, 2014 12. kursusgang Lisbeth Fajstrup Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet LinAlg November 2014
Om miniprojekt 2 Kirchoffs love. Opstil lineære ligningssystemer og løs dem. 0-1-matricer. Systematisk information om grafer/netværk (som i Dagens anvendelse kursusgang 9): Flyforbindelser. Skemalægning. 0-1-matrix A med a ij = 1 hvis studerende i vil følge kursus j. A er m n (m studerende, n kurser). C = A T A har c ij = antal studerende, som vil have både kursus i og j. MatLab - m-filer.
Underrum - generaliserede linjer og planer Definition En delmængde U R n er et underrum, hvis 0 U Hvis u og v er i U, så er u + v i U. (U er lukket under vektoraddition) Hvis u er i U og c er et reelt tal, så er cu i U. (U er lukket under skalarmultiplikation) Konsekvens: Hvis u 1,..., u k er i U, så er Span(u 1,..., u k ) i U. Et underrum er lukket under linearkombination
Eksempler {0} er et underrum af R n R n er er underrum af R n Underrum i R 3 : {0}, Linjer gennem origo. Planer gennem origo. R 3 Hvis S R er en endelig delmængde og S (S er ikke tom), så er Span(S) et underrum af R n
Nulrum Null(A) Definition Nulrummet Null A for en m n matrix A er løsningsmængden til Ax = 0 Null A er et underrum af R n (Sætning 4.2) Definition Nulrummet Null T for en lineær afbildning T : R n R m er løsningsmængden til T x = 0 Hvis A er standardmatricen for T, så er Null T = Null A.
Søjlerum Col(A) Definition Søjlerummet Col A for en m n matrix A er mængden af linearkombinationer af søjlevektorer i A. Col A= {Ax x R n } For en lineær afbildning T : R n R m med standardmatirx A, er Billedrummet for T (Range T ) lig med ColA. (Sætning 2.8) Rækkerum Rækkerummet Row A for en m n matrix A er spændet af A s rækkevektorer. Row A er et underrum af R n
Frembringere Definition En mængde S = {w 1,..., w k } frembringer underrummet V, hvis V = Span(S) Frembringere for ColA Pivotsøjlerne i A frembringer ColA. Argument: Søjlekorrespondenceprincippet. Frembringere for Null A Hvis R er den reducerede Echelonform for A, så er Null A = Null R. Frembringere for Null R findes ved løsning af Rx = 0. Antal frembringere = Antal frie variable.
Basis for et underrum Definition En endelig delmængde S af et underrum V er en basis for V, hvis S frembringer V, i.e. V = Span(S) S er lineært uafhængig Eksempel For en m n matrix A er pivotsøjlerne en basis for søjlerummet ColA
Vigtigt eksempel: Basis for Null(A) Betragt en m n-matrix A. En basis for Null(A) findes ved at opskrive løsningen til den homogene ligning Ax = 0 på vektorform: c 1 b 1 + c 2 b 2 + c k b k, hvor systemet først er reduceret ned til reduceret trappeform. B = {b 1, b 2,..., b k } udgør så en basis for Null(A). Bemærk: basen indeholder præcis nullity(a) vektorer. [Husk: nullity(a) er antal ikke-pivot søjler i A. Antal frie variable.] Sætning: Basis for Col(A) Lad A være en m n-matrix. Pivot søjlerne i A udgør en basis for Col(A).
Udtynding Sætning 4.3 Hvis S udspænder V, kan S udtyndes (reduceres) til en basis for V Metode/begrundelse: Opstil matricen C = [w 1... w k ] (søjlevektorer er elementerne i S) V = ColC pivotsøjlerne i C er en basis for V
Udvidelse Sætning 4.4 En lineært uafhængig delmængde af et underrum V R n S V kan udvides til en basis for V ved tilføjelse af vektorer. Konsekvens: Ethvert underrum undtagen V = {0} har en basis.
Frembringende mængder for R n For en endelig delmængde S R n gælder Hvis S frembringer R n, så er der mindst n vektorer i S Hvis S er lineært uafhængig, så er der højst n vektorer i S Hvis S er en basis for R n, så er der præcis n vektorer i S Argument: Opstil n k matricen A med vektorerne fra C som søjler. Se på ligningssystemet Ax = b
Dimension og rang Definition : Dimension af underrum Dimensionen af et underrum H {0} af R n er antallet af vektorer i en vilkårlig basis for H. Dimensionen af H benævnes dim(h). Desuden er dim({0}) = 0. Giver det mening? Ja, for vi har Sætning 4.5 Lad V være et underrum af R n og V {0}. To vilkårlige baser for V indeholder da samme antal elementer.
Frembringende mængder for R n For en endelig delmængde S R n gælder Hvis S frembringer R n, så er der mindst n vektorer i S Hvis S er lineært uafhængig, så er der højst n vektorer i S Hvis S er en basis for R n, så er der præcis n vektorer i S Argument: Opstil n k matricen A med vektorerne fra C som søjler. Se på ligningssystemet Ax = b
Sætning 4.6 En lineært uafhængig delmængde af et underrum med dimension k har højst k elementer. M.a.o.: En delmængde med mere end k elementer er lineært afhængig.
Opgaver Afsnit 4.1 Find en udspændende mængde for et underrum. 1, 5, 9. Er en vektor i nulrummet for en given matrix. 11, 15 Er en given vektor i søjlerummet for en given matrix. 19,21 Find en udspændende mængde for nulrummet af en matrix. 27, 29 Test din forståelse af underrum, nulrum, søjlerum. 43-62. Vis, at en mængde ikke er et underrum. 81, Vis, at en mængde er et underrum. 89 Nulrum for en lineær afbildning er et underrum. 96. Afsnit 4.2. Find en basis for nulrum og søjlerum for en matrix. 1, 3, 5. Find en basis for billedrummet og nulrummet for en lineær transformation 9, Afsnit 4.1 Find en udspændende mængde for søjlerummet for en matrix. Med et foreskrevet antal elementer. 67, 69. Nyt stof. Afsnit 4.2 opgave 17
Intuition: Sætn. 4.6: Der er højst plads til k lineært uafhængige vektorer i V, så en mængde med k lineært uafhængige vektorer vil udspænde. Desuden skal der mindst bruges k vektorer til at udspænde V. Hvis der er præcis k, må de være lineært uafhængige. Er S en basis for V? Definitionen siger Er S indeholdt i V Er V = span(s)? Er S lineært uafhængig? S er en basis, hvis alle svar er ja. Sætning 4.7 Hvis dim(v ) = k og S V har k vektorer. Så er S en basis, hvis mindst en af de to betingelser gælder S er lineært uafhængig Span(S) = V
Række, søjle og nulrum Definition: Rang af en matrix Rangen af en m n-matrix A er defineret som rank(a) := dim(col(a)) = #pivot søjler i A. Sætning om matricers rang Lad A være en m n-matrix. Da gælder, rank(a) + dim(null(a)) = n. Rækkerum Row(A) = Span(Rækkerne i A) = Span(Ikke-nul-Rækkerne i den reducerede trappeform R) dim(row)(a) = #pivot søjler i A. = dim(col A)
Række, søjle og nulrum Definition: Rang af en matrix Rangen af en m n-matrix A er defineret som rank(a) := dim(col(a)) = #pivot søjler i A. Sætning om matricers rang Lad A være en m n-matrix. Da gælder, rank(a) + dim(null(a)) = n. Rækkerum Row(A) = Span(Rækkerne i A) = Span(Ikke-nul-Rækkerne i den reducerede trappeform R) dim(row)(a) = #pivot søjler i A. = dim(col A)
Række, søjle og nulrum Definition: Rang af en matrix Rangen af en m n-matrix A er defineret som rank(a) := dim(col(a)) = #pivot søjler i A. Sætning om matricers rang Lad A være en m n-matrix. Da gælder, rank(a) + dim(null(a)) = n. Rækkerum Row(A) = Span(Rækkerne i A) = Span(Ikke-nul-Rækkerne i den reducerede trappeform R) dim(row)(a) = #pivot søjler i A. = dim(col A)