1 Oligopoler (kapitel 27)

1 Oligopoler (kapitel 27) 1. Vi har set på to vigtige markedsformer: (a) Fuldkommen konkurrence. Alle virksomheder pristagere - en rimelig antagelse i situation mange små konkurrenter. (b) Monopol. Kun én virksomhed som egenhændigt bestemmer prisen. 2. Vi ser nu på oligopoler: (a) - To virksomheder (duopol) eller ere. (b) - Modellerer den strategisk interaction mellem virksomhederne.

2 Oligopolmodeller 1. To vigtige faktorer: (a) Modellen: En præcis beskrivelse formen for strategiske interaktion mellem virksomhederne. (Forbrugere spiller her altid en passiv role som pristagere.). (b) Ligevægtsbegreb: Hvornår udgør output/priser en tilstand som ingen vil afvige fra? (c) Det viser sig at analysens resultat afhænger meget af underliggende model. i. En svaghed: Ofte svært at nde den helt "rigtige" model. ii. En styrke: Viser at præcision i analysen er vigtig - og viser at vi kan ændre på udfald af konkurrence ved at lave (små) justeringer i konkurrencevilkår.

2. Antagelser: (a) Vi ser på duopol-modeller: To virksomheder. (b) Virksomheder producerer identisk produkt.

3 4 modeller 1. Price-leader: (a) Virksomhed 1 sætter pris. (b) Virksomhed 2 tager derefter samme pris. 2. Quantity-leader: (a) Virksomhed 1 fastsætter eget output. (b) Virksomhed 2 observerer dette og fastsætter derefter eget output. 3. Simultan fastsættelse af pris: (a) Begge virksomheder fastsætter pris simultant (b) - derefter køber alle forbrugere hos virksomheden med lavest pris.

4. Simultan fastsættelse af output: (a) Begge virksomheder fastsætter output simultant (b) - markedsprisen tilpasser sig efter samlet udbud.

4 Stackelberg-modellen 1. Leader-follower model hvor output er strategisk variabel. 2. Spillet: (a) Virksomhed 1 (leader) fastsætter eget output y 1. (b) Virksomhed 2 (follower) observerer y 1 og fastsætter derefter y 2 : (c) Markedspris givet ved invers efterspørgselsfunktion og samlet output: p = p(y 1 + y 2 ):

3. Fortolkning: Vi kan fortolke spillet som at y i erne faktisk er kapaciteter (hvor kapacitet og ikke produktion koster)- og at virksomhederne givet en kostbar kapacitet derefter naturlig sætter prisen så at hele kapaciteten benyttes. 4. Man kan vise i detaljer (i et kursus i Industriøkonomi) at et sådant kapacitets-pris spil faktisk i sidste ende giver det samme som et Stackelberg-spil. 5. Hvilket output er optimalt for leader? (a) Afhænger af followers reaktion! (b) Naturligt at antage at follower pro tmaksimerer. 6. Follower s problem: max y 2 p(y 1 + y 2 )y 2 c 2 (y 2 ):

Førsteordensbetingelse: p(y 1 + y 2 ) + @p(y 1 + y 2 ) @y 2 y 2 = c 0 2 (y 2): MR 2 = MC 2 7. Nb: Afhænger af y 1!. 8. Lad y 2 = f 2 (y 1 ) være optimalt output for follower givet y 1. 9. Kaldes reaktionsfunktionen.

10. Eksempel: Linær invers efterspørgsel og nul omkostninger: p(y 1 + y 2 ) = a b(y 1 + y 2 ); c 2 (y 2 ) = 0: Followers pro t: 2 (y 1 ; y 2 ) = [a b(y 1 + y 2 )]y 2 = ay 2 by 1 y 2 by 2 2 : Så ay 2 by 1 y 2 by 2 2 = 2; giver a b y 2 2 by 2 = y 1 : Isopro tlinjer jf Figur 27.1: Pro t voksende mod venstre for follower: Optimal reaktion på y 2 ndes hvor isopro tkurve er lodret!

27.01

Giver os reaktionskurven. Reaktionsfunktionen algebraisk: og Så Hvilket giver MR 2 = @ ay 2 by 1 y 2 by2 2 @y 2 = a by 1 2by 2 : MC 2 = 0: MR 2 = MC 2 a by 1 2by 2 = 0: y 2 = a by 1 : 2b Dvs reaktionsfunktion er ret linje (jf Figur 27.1).

11. Leaders problem: under bibetingelse: Substitution: max y 1 p(y 1 + y 2 )y 1 c 1 (y 1 ); y 2 = f 2 (y 1 ): max y 1 p(y 1 + f 2 (y 1 ))y 1 c 1 (y 1 ): 12. Eksempel: Lineær efterspørgsel igen. Vi havde og 1 (y 1 ; y 2 ) = p(y 1 + y 2 )y 1 = [a b(y 1 + y 2 )] y 1 ; f 2 (y 1 ) = y 2 = a by 1 ; 2b så leaders pro t er: 1 = a b(y 1 + a by 1 2b ) y 1 ;

reduceres til Så Vi har da 1 = a 2 y 1 MR 1 = a 2 b 2 y2 1 : by 1 : a 2 MR 1 = MC 1 by 1 = 0; y 1 = a 2b : Så y 2 = f(y 1 ) Branches samlede output: = a by 1 2b = a b a 2b 2b = a 4b : y 1 + y 2 = a 2b + a 4b = 3a 4b :

27.02 13. Figur 27.2: Illustrerer (Stackelberg-) Ligevægt, og såkaldt Cournot-ligevægt (kommer til senere)

5 Leader-follower model hvor pris er strategisk variabel 1. Spillet: (a) Leader (virksomhed 1) fastsætter pris p. (b) Follower (virksomhed 2) observerer p og sælger derefter så meget denne vil til pris p (sålænge markedsefterspørgsel kan bære det). i. Kan evt tænke på at follower sælger til p, hvor er ubetydeligt lille - derfor rimelig at antage at markedsefterspørgsel først dækkes af follower. (c) Leader dækker derefter den resterende del af efterspørgsel. 2. Vi løser igen baglæns:

3. Followers problem: max y 2 py 2 c 2 (y 2 ); for given p. Velkendt førsteordensbetingelse: MR 2 = MC 2 p = c 0 2 (y 2): Bestemmer en udbudskurve for follower: S(p): 4. Leaders problem: Ved pris p da er leaders residualefterspørgsel: R(p) = D(p) S(p): Så 1 (p) = pr(p) c 1 (R(p)): 5. Pointe: Leader løser monopolistens problem mht residualefterspørgsel R(p) istedet for mht D(p) som sædvanligt.

6. Figur 27.3: Lineær efterspørgsel og lineær residualefterspørgsel: (a) p ligevægtspris (b) y L (c) y T leaders output samlet output (nb: trykfejl i gur). (d) y T y L followers output.

27.03

1. Eksempel: Lineær efterspørgsel, lineære hhv kvadratiske omkostninger. D(p) = a bp: c 1 (y 1 ) = cy 1 : c 2 (y 2 ) = y2 2 2 : Vi har MR 2 = MC 2 p = y 2 ; Så: S(p) = p: Leaders residualefterspørgsel: R(p) = D(p) S(p) = a bp p = a (b + 1)p:

Da vi har omkostninger som funktion af y 1 vil vi nu løse leaders problem som funktion af y 1. y 1 = a (b + 1)p; giver Invers Residualefterspørgsel: p = a b + 1 1 b + 1 y 1: Så (husk: marginal revenue har samme skæring m. vertikal akse og dobbelt hældning): MR 1 = Sæt MR 1 =MC 1 : a b + 1 Løs for y 1 : a b + 1 2 b + 1 y 1: MR 1 = MC 2 2 b + 1 y 1 = c: y1 a c(b + 1) = : 2 -heraf ndes p og y2 nemt.

6 Cournot-modellen 1. Spillet: De to virksomheder fastsætter simultant output y 1 hhv y 2. 2. Markedspris derefter givet ved invers efterspørgselsfunktion: p = p(y 1 + y 2 ): 3. Når y 1 skal fastsættes da er y 2 ikke kendt, og vice versa. 4. De nition af ligevægt: Et par af outputs (y 1 ; y 2 ) så at: og y 1 er optimalt givet y 2 ; y 2 er optimalt givet y 1 :

5. Dvs: y 1 = f 1(y 2 ) y 2 = f 2(y 1 ): 6. Med andre ord: Ingen rmaer kan forbedre output givet det andet rmas output. 7. Sådan ligevægt kaldes Nash-ligevægt i spilteori. 8. En Nashligevægt i en Cournot-model kaldes ofte Cournot- Nash ligevægt. 9. Bemærk: Det ligger i de nitionen at en en sådan ligevægt er nærsynet af natur: 10. Hver virksomheds output er optimal givet at konkurrent fastholder sit output,

(a) -men rimeligt at antage konkurrenten fastholder sit output når du afviger??? 11. -nej, måske ikke, men - i mangel af mere tilfredsstillende ligevægtsbegret er man ofte alligevel interesserede i Nash-ligevægt.

7 Cournot-modellen: Lineær efterspørgsel. 1. Set på eksempel med p(y 1 + y 2 ) = a b(y 1 + y 2 ): Reaktionsfunktioner: 2. Se Figur 27.4! c i (y i ) = 0 y 2 = f 2 (y 1 ) = a by 1 ; 2b y 1 = f 1 (y 2 ) = a by 2 : 2b 3. (y1 ; y 2 ) er Cournotligevægt hvis: y2 = a by 1; 2b y1 = a by 2: 2b

4. Løs to ligninger med to ubekendte vha substitution: Løs mht y 2 : ) y 2 = a by 1 2b = a b a by 2 2b 2b y 2 = a 3b : y 1 = a 3b : : Dvs: y 1 + y 2 = 2a 3b : 5. Cournot-Nash ligevægten har den pæne egenskab at den opstår som følge af at begger rmaer gradvis tilpasser sig konkurrentens output. (a) Nb: un under visse forudsætninger om modellen, f.eks. ved lineær efterspørgsel og konstante marginalomkostninger.

27.04 8 Bertrand-modellen 1. Spillet: De to virksomheder fastsætter simultant pris for eget produkt p 1 hhv p 2. 2. Antagelser

(a) Antag at begge rmaer producerer til konstante marginalomkostninger c (ens for begge rmaer). (b) Antag at alle forbrugere køber hos rma med lavest pris. (hvis samme pris da deles efterspørgsel mellem rmaer) (c) Vi er igen interesseret i Nash-ligevægt: Et sæt at priser (p 1 ; p 2 ) så at og p 1 er optimal givet p 2 ; p 2 er optimal givet p 1 : 3. En Nashligevægt i en Bertrand-model kaldes ofte Bertrand-Nash ligevægt. 4. Påstand: Der ndes kun én Bertrand-Nashligevægt: p 1 = p 2 = c.

5. Hvorfor? (a) Antag at p i > c i ligevægt. (b) Hvis rma j har valgt optimalt da opnås pro t ved at vælge en p j så at c < p j < p i ; (c) NB: Kan ikke være optimalt for rma j at vælge p j = p i da pro t da tilnærmelsesvist kan fordobles ved at sætte pris en anelse ned. (d) Men da kan p i ikke være optimalt givet p j! rma i kunne da få positiv pro t ved at vælge c < p i < p j : (e) Vi har modbevist at man kan have p i > c i Bertrand-Nash ligevægt - da det gælder for begge i er der kun muligheden p 1 = p 2 = c tilbage. Oplagt Nashligevægt (hvorfor?)

6. Konsekvenser: (a) Nulpro t i ligevægt for begge rmaer. (b) Output i ligevægt svarer til situation med fuldkommen konkurrence.

9 Karteller 1. Kartel: Firmaer laver aftale om fastsætte output således at samlet pro t maximeres. 2. Output reduceres iforhold til Cournot-Nash ligevægt. 3. Det mest kendte af alle karteller: OPEC. 4. Kartellets problem: max y 1 ;y 2 p(y 1 + y 2 )(y 1 + y 2 ) c 1 (y 1 ) c 2 (y 2 ): Førsteordensbetingelser: p 0 (y 1 + y 2 )(y 1 + y 2 ) + p(y 1 + y 2 ) = c 0 1 (y 2): p 0 (y 1 + y 2 )(y 1 + y 2 ) + p(y 1 + y 2 ) = c 0 2 (y 2): I optimum: MC 1 (y 1 ) = MC 2 (y 2 ):

27.05 5. 2 problemer for kartel: (a) Betingelsen for maximering af samlet pro t (MC 1 (y 1 ) = MC 2 (y 2 )) sikrer ikke nødvendigvis at pro t deles lige. (b) Kartelmedlemmerne har incitament til ensidigt at øge output.

10 Karteller: Lineær efterspørgsel 1. Antag: (a) Nul omkostninger: c i (y i ) = 0 (b) Lineær invers efterspørgselkurve: p(y 1 + y 2 ) = a b(y 1 + y 2 ): 2. Kartelpro t: (y 1 ; y 2 ) = [a b(y 1 + y 2 )][y 1 + y 2 ] = a(y 1 + y 2 ) b(y 1 + y 2 ) 2 : 3. Førstordensbetingelser: @(y 1 ; y 2 ) @y 1 = a 2b(y 1 + y 2 ) = 0; @(y 1 ; y 2 ) @y 2 = a 2b(y 1 + y 2 ) = 0:

4. Hvis symmetrisk output vælges y 1 = y 2 = y _, da: dvs: a 2b(2y _) = 0; y _ = a 4b : Samlet output: y 1 = y 2 = 2y _ = a 2b = monopol output. 5. Firma 1 s incitament til at afvige: (a) Karteloutput: (b) Kartelpro t: y 1 = a 4b 1 = p(y 1 + y 2 )y 1 = [a b(y1 + y 2 )] y 1 = a = 1 8 a 2 b : b( a 4b + a 4b ) a 4b

(c) Husk reaktionsfunktion: y 1 = f 1 (y 2 ) = a by 2 : 2b Indsæt y2 = 4b a : (d) Afvigerpro t: y1 a = a b 4b a 2b 3a = 4 2b : = 3a 8b : a 1 = p(ya 1 + y 2 )ya 1 = a b( 3a 8b + a 4b ) = a = 9 a 2 64 b : > 1 = 1 8 b( 3a 8b + a 4b ) a 2 b : 3a 8b 3a 8b

(e) Konklusion: Karteller fundamentalt ustabile, hvis der ikke ndes en måde at afsløre og stra e afvigere på.

11 Uendeligt gentagne Cournot-spil (kursorisk) 1. Hvis rmaer mødes i Cournot-spil gentagne gange da kan man "stra e" afvigere i senere perioder. 2. Intuition: (a) Tænk på at markedet eksister i al uendelighed - eller (mere realistisk) den sidste periode er ikke kendt med sikkerhed. (b) Start med at samarbejde om at dele monopoloutput. (c) Hvis en af rmaerne snyder i en enkelt periode, da vælges Cournot-Nash ligevægt i alle efterfølgende perioder. (d) Derved kan rmaer afskrækkes fra at afvige i først omgang.

(e) POINTE 1: Når et marked forventes at eksistere over længere tid, og hvis rmaerne ikke er for utålmodige mht til den øjeblikkelige pro t, da kan karteller være stabile. (f) POINTE 2: Karteller kan opretholdes uden "juridisk bindende" aftaler 3. Kræver lidt fancy spilteori (gentagne spil og ligevægte deri) for en præcis analyse.

12 To eksempler 1. "Vi matcher enhver pris" (a) Kan være udtryk for skarp konkurrence -noget i retning af Bertrand-Nash ligevægt. (b)...eller kan være et udtryk for at rma ønsker hurtigt at kunne opdage konkurrenter afvige fra kartelpriser! 2. Frivillige eksport-begrænsninger: (a) I 80 erne aftalte den japanske bilindustri frivillige exportbegrænsninger. (b) Amerikanske myndigheder skulle overvåge kartel. (c) Reduceret output for japanske biler på amerikansk marked førte til højere priser og højere pro t.

(d) De facto blev output reduceret i retning af karteloutput, (e)...med amerikanske myndigheder til at overvåge at salgskvoter blev overholdt! (f) Ville formentlig have være mere hensigsmæssigt (set fra amerikansk vinkel) at indføre en toldafgift, der kunne have reducere importen (g) Hvorfor? (h) Samme dæmpende e ekt på salget af japanske biler - og i stedet for øget pro t i japansk bilbranche ville det have givet toldindtægter til amerikansk statskasse.

13 Sammenligning af output i forskellige modeller: 1. Antag lineær model: (a) Nul omkostninger: c i (y i ) = 0 (b) Lineær invers efterspørgselskurve: p(y 1 + y 2 ) = a b(y 1 + y 2 ): Bertrand-Nash Stackelberg Cournot-Nash Kartel y1 y 2 y 1 + y 2 p 1 2 1 + 2 a a a b 0 0 0 0 2b a 2b a 3b a 4b 2b a 4b a 3b a 4b 3a 1 4b 4 a 1 8 a2 b 2a 1 3b 3 a a 2 9b a 1 2b 2 a a 2 8b 1 16 a2 b a 2 9b a 2 8b 3 16 a2 b 2 9 a2 b 1 4 a2 b