Notat om porteføljemodeller

Notat om porteføljemodeller Svend Jakobsen 1 Insttut for fnanserng Handelshøjskolen Århus 15. februar 2004 1 mndre modfkatoner af Mkkel Svenstrup

1 INDLEDNING 1 1 Indlednng Dette notat ndeholder en opsummerng af nogle vgtge resultater om porteføljeoptmerng og CAPM-modellen. Hertl kommer en kort oversgt over APT-modellen. Resultaterne er plukket fra Roll (1977), Ross (1977), Levy (1983) samt Sharpe (1970, 1991). 2 Notaton De fleste resultater det følgende opstlles med matrksnotaton, jf. Roll (1977). V forudsætter n forskellge aktver. X (n 1) vektor af porteføljevægte x,hvorx angver formueandelen nvesteret det te aktv. Negatve andele angver et kort salg af det pågældende aktv. R -(n 1) vektor af afkast ( r ), hvor elementet r angver afkastet for det te aktv. I det følgende er R en n-dmensonal stokastsk varabel med kendt fordelng. r p X 0 R - det samlede (stokastske) afkast for porteføljen, rp = P n =1 x r R (n 1) vektor af forventede afkast (r ), hvor r angver det forventede afkast for det te aktv. r p X 0 R - forventet afkast for porteføljen. C (n n) varans-kovaransmatrce, hvor elementet c j angver kovaransen mellem afkastet for det te og det j te aktv. Dagonalelementet c angver varansen på det te aktv. σ 2 p - porteføljens varans σ 2 p = X 0 CX = P n =1 P n j=1 x x j c j S (n 1) sumvektor af 1-taller. Indføres af hensyn tl matrksnotatonen. Bbetngelse om fuld nvesterng blver X 0 S =1 P x =1 Med ovenstående notaton kan v desuden skrve kovaransen mellem to porteføljer, X p og X q som Cov( r p, r q )=X 0 pcx q.

3 MARKOWITZ-MODELLEN 2 3 Markowtz-modellen En standardantagelse beslutnngsteor under uskkerhed er, at nvestor kan vurdere sn nytte U( r p ), ved enhvert fremtdgt afkastnveau, og at nvestor foretager det valg, som maksmerer den forventede nytte, E[U( r p )]. Den centrale forenklng Markowtz s porteføljemodel er, at nvestors nytte kun afhænger af mddelværd og varans (sprednng) afkastfordelngen. Som vst Tobn(1958) kan denne antagelse enten forsvares ved a) at afkastene er normalfordelte eller ved b) at nvestors nyttefunkton er en kvadratsk funkton af formuen. Med den ovenfor defnerede notaton fås U( r p )=U(r p,σ 2 p), U 0 1 > 0, U 0 2 < 0 hvor fortegnene på de partelle afledte, U1 0 U 2 0, angver at nvestor foretrækker højere forventet afkast for fastholdt rsko og lavere rsko for fastholdt afkast. I et hyppgt anvendt specaltlfælde med en lneær sammenhæng mellem forventet afkast og varans fås: U(r p,σ 2 p)=r p σ2 p τ hvorved so-nyttekurver, dvs. kombnatoner af r p og σ p med samme nytte, fndes ved U(r p,σ 2 p)= konstant r p = konstant + σ2 p τ Parameteren τ angver nvestors subjektve trade-off mellem afkast og rsko, dvs. nvestors rskotolerance. I ovenstående formulerng svarer en relatv lav værd for τ tl en relatv rskoavers nvestor. Forskellge grader af rskoaverson leder tl forskellge optmale porteføljevalg. Mængden af samtlge afkast-rsko kombnatoner, som kan opnås ved sammensætnng af de n aktver kaldes afkast-rsko området.de porteføljer,som mnmerer σ 2 p for et gvet r p, sges at lgge på den krtske rand. Porteføljen med den lavest opnåelge varans kaldes mnmum varans porteføljen (MVP). De porteføljer, som maksmerer r p for et gvet σ p, sges at lgge på deneff-

4 DEN KRITISKE RAND MED KORT SALG 3 r p r p var var Fgur 1: cente rand. En ratonel nvestor vl med ovenstående forudsætnnger vælge porteføljer på den effcente rand. 4 Den krtske rand med kort salg Hvs der kke er restrktoner på kort salg kan der opstlles eksplctte udtryk for den krtske rand og de bagvedlggende porteføljeandele. For detaljer angående udlednngen af de følgende resultater henvses tl Roll(1977). Den krtske rand kan fndes ved at løse følgende optmerngsproblem for forskellge værder af r p : Optmerngsproblem mnmer σ 2 p = X 0 CX m.h.t. X under bbetngelserne: a) X 0 R = r p - gvet afkastnveau b) X 0 S = 1 - fuld nvesterng Lagrangefunktonen Ovenstående optmerngsproblem under bbetngelser kan ved hjælp af Lagrange multplkator metoden omformuleres tl følgende ubegrænsede problem

4 DEN KRITISKE RAND MED KORT SALG 4 mnmer L = X 0 CX λ 1 (X 0 R r p ) λ 2 (X 0 S 1) m.h.t. X 1. ordens betngelserne a) L X =2CX λ 1R λ 2 S =0 b) L λ 1 = r p X 0 R =0 c) L λ 2 =1 X 0 S =0 1. ordensbetngelserne udgør et sæt af (n + 2) lneære lgnnger med n +2 varable. Forudsættes, at kovaransmatrcen C er postv defnt 1,såer2. ordensbetngelsen for mnmum opfyldt. Kovaransmatrcen er herved også nvertbel, og som vst Roll(1977) kan 1. ordensbetngelserne løses m.h.t. X: (1) X = C 1 h R S A 1 " r p 1 hvor (2 2) matrcen A er defneret ved: h A = R S 0 C 1 h R S " a b b c og konstanterne a, b og c er korte symboler for udtrykkene a = R 0 C 1 R, b = R 0 C 1 S, c = S 0 C 1 S Den nverse A-matrce kan som bekendt beregnes som A 1 = " 1 ac b 2 c b b a Lgnng (1) vser, at der er en lneær sammenhæng mellem afkastet r p og porteføljevægtene. Det leder tl følgende resultat: 1 En yderlgere nødvendg antagelse er, at mndst 2 aktver har forskellgt forventet afkast. Hvs kke, reduceres afkast-rsko området tl en vandret lne.

4 DEN KRITISKE RAND MED KORT SALG 5 Enhver effcent portefølje lgger på kombnatonslnen mellem to andre effcente porteføljer. Har man først dentfceret to porteføljer kan alle andre effcente porteføljer dannes ved at fordele nvesterngen mellem de to. Dette kaldes separatonseller two-fund -egenskaben. Lgnng (1) gver et drekte udtryk for porteføljevægtene enhver portefølje på den krtske rand, som funkton af det gvne afkastkrav r p. Varansen af en portefølje på denkrtskerandkanfndes fra σ 2 p = X 0 CX,hvorX er gvet ved (1). Regnes ldt på dette, fndes følgende smple udtryk for varansen af en portefølje på den krtske rand: h (2) σ 2 p = r p 1 A 1 " r p 1 =(a 2br p + crp)/(ac 2 b 2 ) Det ses, at der er en smpel kvadratsk sammenhæng mellem r p og σ 2 p,dvs. at den krtske rand er en parabel, som funkton af afkastet. Som specaltlfælde af ovenstående gælder, at mnmum varans porteføljen har varans, σ 2 0 =1/c, forventet afkast r 0 = b/c og porteføljevægte X 0 = C 1 S/c. 4.1 Eksempel 1 I udlednngen af de ovenstående resultater forudsættes, at kovaransmatrcen er postv defnt. En kovaransmatrce vl altd være postv semdefnt, dvs. at varansen X 0 CX 0 for enhvert valg af porteføljevægte X. Antagelsen om (streng) postv defnthed ndebærer, at der altd gælder X 0 CX > 0. Denne stramnng udelukker bl.a. rskofre aktver, samt at to porteføljer kan være perfekt postvt eller perfekt negatvt korrelerede. Som følgende uskyldgt udseende eksempel vser, er det kke enhver kombnaton af varanser og korrelatoner, som er tlladt en kovaransmatrce. Akte Forv. afkast Std.afv. 1 12% 2% 2 13% 3% 3 10% 1%

4 DEN KRITISKE RAND MED KORT SALG 6 Opstlles kovaransmatrcen fås: ρ 12 =0, 75, ρ 13 =0, 25, ρ 23 = 0, 7 4 4, 5 0, 5 C = 4, 5 9 2, 1 0, 5 2, 1 1 Beregnes determnanten af C fås det(c) = 13, 59, dvs. at determnanten er negatv, hvlket vser, at matrcen kke er postv defnt. 4.2 Eksempel 2 Sættes ρ 23 =0detforegående eksempel fås en acceptabel kovaransmatrks, som kan vses at være postv defnt. I dette eksempel llustreres beregnngen af den krtske rand: Kovaransmatrcen C er gvet ved 4 4, 5 0, 5 C = 4, 5 9 0 0, 5 0 1 Den nverse kovaransmatrks C 1 blver: 0, 66667 0, 33333 0, 33333 C 1 = 0, 33333 0, 27777 0, 16667 0, 33333 0, 16667 1, 16667 Den centrale A-matrks kan beregnes tl: A = " 118, 9444 11, 4444 11, 4444 1, 11111 Lgnngen for den krtske rand, dvs. σ 2 p som funkton af et gvet afkastkrav r p blver, jf. lgnng 2

4 DEN KRITISKE RAND MED KORT SALG 7 σ 2 p = 100, 3594 19, 3125 r p +0, 9375 r 2 p Ved at ndsætte tallene (1) og reducere udtrykket fås 0, 3125 X = 0, 125 0, 4375 r p + 3, 21875 1, 1875 5, 40625 Vareres på afkastkravetr p gennemløbes samtlge effcente porteføljesammensætnnger. Bemærk, at andelen, som skal placeres det te aktv, er en lneær funkton af r p. h Indsættes r p =12, 5% ovenstående formler fås X 0 = 0, 6875 0, 375 0, 0625 og tlhørende sprednng σ p =2, 33%. Mnmum varans porteføljen har varans σ 2 0 =0, 9ogforventetafkastr h 0 = b/c =11, 44444/1, 11111 = 10, 30. Porteføljevægtene er X 0 = 0, 0 0, 1 0, 9 dvs. 10% aktv 2 og 90% aktv 3., 4.3 Udlednng af udtrykket (1) for porteføljevægte Under antagelse af at C er nvertbel, kan v løse 1. ordensbetngelsen a): (3) X = 1 2 C 1 h R S " λ 1 λ 2 Frab)ogc)fås h R S 0 X = " r p 1 Ved ndsættelse af udtrykket (3) for X fås " r p 1 = 1 h 2 R S 0 C 1 h R S " λ 1 λ 2 12 A " λ 1 λ 2

5 OPTIMALT PORTEFØLJEVALG 8 Dette udtryk løses " λ 1 λ 2 =2A 1 " r p 1 og resultatet fndes ved ndsættelse (3). 4.4 Udlednng af udtryk (2) for varans Ved ndsættelse af (1) udtrykket σ 2 p = X 0 CX fås ved gentagen benyttelse af transponerngsreglen (AB) 0 = B 0 A 0 at σ 2 p = X 0 CX h = r p 1 h = r p 1 h = r p 1 ³ C 1 h R µ h R A 1 " S r p 1 S A 1 0 CC 1 h R 0 C 1 h R S S A 1 0 A 1 " A 1 " r p 1 r p 1 5 Optmalt porteføljevalg V har nu løst problemet med at fnde den krtske rand. På næsten samme måde kan v fnde det optmale valg for en gven nvestor. Antag, at nvestor maxmerer den lnære nyttefunkton U(r p,σ 2 p) = r p σ 2 p/τ under bbetngelsen X 0 S = 1. Parameteren τ angver nvestors rskotolerance. Lagrangefunktonen blver max L = X 0 R 1 τ X0 CX λ(x 0 S 1) mht. X 1. ordens betngelserne er a) L X = R 2 τ CX λs =0 b) L λ = X0 S 1=0

6 BETA OG OPTIMALITET 9 a) løses for X, hvlketgver (4) X = τ 2 C 1 h R S " 1 λ Multplceres (4) fra venstre med S 0 fås 1= τ 2 h b c 0 " 1 λ = τ (b cλ) 2 Lgnngen kan løses for λ som funkton af nvestors rskotolerance. Løsnngen blver Indsættes udtrykket for λ (4)fås λ = b c 2 τc X = 1 2c C 1 h R S " τc 2 τb dvs. at der er en lneær sammenhæng mellem rskotolerance og valg af portefølje. Alternatvt kunne man gange (4) fra venstre med R 0 og løse for afkastkravet som en funkton af rskotolerancen r p = τ 2c A + b c Det fundne afkastkrav kan nu anvendes som vst ovenfor tl at fnde porteføljevægte og varans. 6 Beta og optmaltet Investorernes rskotolerance er kke drekte observerbar og derfor kan det være nteressant at karaktersere nvestorernes optmaltetsbetngelse ud fra

6 BETA OG OPTIMALITET 10 den observerbare sammenhæng mellem afkastet på enkeltaktver og afkastet på deres optmale portefølje. Betragt det optmale porteføljevalgsproblem fra sdste afsnt. Hvs 1. ordens betngelse a) ganges gennem med X 0 fås ved ndsættelse af b) at r p λ σ 2 p = 2 τ hvor r p X 0 R angver det forventede afkast af portefølje X og σ 2 p X 0 CX dens varans. Det j te element vektoren CX angver kovaransen mellem det j te aktv og porteføljen X. Kovaransen delt med den samlede varans kaldes aktvernes beta, β p, forhold tl porteføljen, dvs β p CX σ p Efter ndsættelse af udtrykket for rskopræmen kan a) omskrves tl følgende lgnngssystem: (5) R λs =(r p λ)β p V vl omtale forskellen mellem R og λ som aktvernes merafkast over λ. For det j te aktv får v r j λ β jp = r p λ Venstresden kan fortolkes som et rskojusteret merafkast for det enkelte aktv. I en porteføljesammenhæng er det kke aktvets ndvduelle rsko, men dermod aktvets kovarans med den samlede portefølje, som er afgørende for nvestors opfattelse af aktvets rsko. For at vælge en optmal sammensat portefølje skal nvestor naturlgt nok skre, at beholdnngen af hvert enkelt aktv er valgt således, at det rskojusterede merafkast er lg med porteføljens gennemsntlge merafkast. Hvs det rskojusterede merafkast for aktv j lgger over gennemsnttet, kan nvestor øge porteføljens afkast med samme totale rsko ved at øge sn beholdnng af aktv j og omvendt.

7 KONSTRUKTIONAFNUL-BETAPORTEFØLJE 11 Endelg kan v konkludere, at hvs der økonomen fndes et aktv eller en portefølje af aktver, X z, som er ukorreleret med nvestors optmale portefølje, dvs har et beta på 0,såmå λ være lg med afkastet på denne portefølje, r z,dvs.atvkanskrve(5)som (6) R r z =(r p r z )β p Lgnng (6) er den ndvduelle udgave af 2-faktor CAPM modellens securty market lne. Lgnngen følger drekte af, at nvestorerne vælger en effcent portefølje. Hvs v antager, at alle har homogene forventnnger, dvs. samme R og C, og formuevægter samtlge nvestorers 1. ordens betngelser, så opnår v en aggregeret optmaltetsbetngelse analog tl (6). Antager v herudover, at økonomen er lgevægt, dvs. at summen af nvestorernes ønskede porteføljesammensætnnger svarer tl markedsporteføljen, såfås CAPM-modellens SML-lne. Se også dskussonen af Sharpe nedenfor. 7 Konstrukton af nul-beta portefølje Som vst Roll(1977) kan det altd lade sg gøre, at tage en effcent portefølje, X p og konstruere en ny effcent portefølje, X z,hvskovaransmedx p er lg med nul, dvs. X 0 pcx z =0. Ifølge lgnng (1) kan v udtrykke X p og X z som lnearkombnatoner af deres tlhørende afkast r p og r z. Indsættes dsse udtryk fås h XpCX 0 z =0 r p 1 A 1 " r z 1 =0 Ved brug af udtrykket for den nverse A-matrks fås følgende udtryk for r z : X 0 pcx z =0 r z = r pb a cr p b Det ses,at for alle effcente porteføljer p, på nær den globale mnmum varans portefølje (r p = b/c), kan der fndes en anden portefølje, z, somkke er korreleret med p.

8 BEREGNING AF EFFICIENT RAND UDEN KORT SALG 12 8 Beregnng af effcentrandudenkortsalg Optmerngsproblemet foregående afsnt kan umddelbart udvdes med lneære restrktoner af formen: KX = B, hvor K er en (k n) matrks af koeffcenter og B er en (k 1) vektor. F.eks. kunne nvestor kræve, at to eller flere aktver købes et fast ndbyrdes forhold. De ønskede restrktoner ndføjes Lagrangefunktonen og de nye 1. ordensbetngelser løses på analog vs. Er der dermod mnmum- eller maksmumbegrænsnnger på andelen et eller flere aktver, kan der kke opstlles et eksplct udtryk for den effcente rand. I stedet må problemet løses med numerske metoder. For en udførlg gennemgang se Sharpe (1970). Optmerngsproblem mnmer σ 2 p = X 0 CX m.h.t. X under bbetngelserne: a) X 0 R = r p - gvet afkastnveau b) X 0 S = 1 - fuld nvesterng c) X mn X X max hvor X mn og X max angver en (n 1) vektor af h.h.v. nedre og øvre begrænsnnger. 8.1 Løsnngsprocedure Optmerngsproblemet ndeholder ulghedsbegrænsnnger. Drekte brug af Kuhn-Tuckers sætnng er dog kke nødvendg, da problemet har en smpel struktur, med lneære bbetngelser og med en postv defnt kvadratsk form som krterefunkton. I stedet anvendes den såkaldte crtcal lne algortme, som oprndelg blev udvklet af Markowtz.

8 BEREGNING AF EFFICIENT RAND UDEN KORT SALG 13 L' L' L' optmal vªrd optmal vªrd optmal vªrd x mn x max x mn x nede x nde x oppe x = x mn,l0 > 0 x mn x x max, L 0 =0 x = x max, L 0 < 0 I den optmale løsnng må status for hver enkelt porteføljeandel være enten nede, dvs. atvarablenstøderpå sn nedre grænse, nde, dvs. at restrktonerne kke bnder eller oppe, dvs.atandelenkkekanøges.hvertafde tre tlfælde lægger en restrkton på denafledede af Langrangefunktonen: Er varablen f.eks. på sn nedre grænse optmum, må denafledede af Lagrangefunktonen være postv, dvs. at en yderlgere nedsættelse af andelen vlle sænke porteføljens samlede varans. Havde L 0 omvendt været negatv kunne varansen nedsættes ved at øge andelen x,hvlketermodstrdmed optmaltet. Antag, at v for en gven værd af r p gætter status for hver enkelt element X. Varable, som antages at være nede, gver anlednng tl lgnngen x = x mn. Varable, som er oppe, gver lgnngen x = x max og endelg vl varable, som er nde, gve anlednng tl en normal 1.ordens betngelse L 0 = 0. Lgnngerne vl kunne løses analogt med (1) ovenfor, hvorved v får fastlagt værden af de varable, som er nde, for den gvne værd af r p.tl sdst kontrolleres, om L 0 > 0forx nede og L 0 < 0forx oppe. Er alle krav opfyldt, er der tale om den optmale løsnng for det gvne afkastkrav r p. Har man fundet én løsnng, kan man analogt med lgnng (1) forrge afsnt opskrve den optmale løsnng som en lneær funkton af afkastkravet r p og fnde en helt nterval af løsnnger ved at varere r p. De nye løsnnger er optmale, så længe status kke ændres for nogle af de ndgående varable. Markowtz s crtcal lne algortme kan skematsk beskrves som følger: x max x mn x max a) Start med at beregne x ernes status svarende tl det hø jest opnåelge afkastkrav. Er f.eks. alle andele begrænsede tl at lgge mellem 0 og 1 ndebærer det blot, at aktvet med det hø jeste forventede afkast udnævnes tl at være oppe, og resten tl at være nede. I mere komplekse stuatoner kan startstatus fndes ved lneær programmerng. b1) Opstl ovennævnte lgnngssystem svarende tl nuværende status. b2) Løs x for de varable, som er nde og L 0 for resten, som funkton

9 SHARPE S ENKELTINDEKSMODEL 14 af r p. Beregn for hver varabel x den krtske værd af r p,dvs.den værd, som får varablens status tl at skfte. Kald den største krtske værd for rp max. V har nu fundet samtlge effcente porteføljer med et afkastkrav r max p. c) Hvs hele den effcente rand er fundet, stoppes algortmen. Hvs kke, skftes status på varablen med den højeste krtske værd, og punkterne b1) og b2) gentages med den ændrede status. Den smple struktur på optmerngsproblemet skrer, at algortmen vrker, dvs. at samtlge effcente porteføljer gennemløbes systematsk. Bemærk desuden, at hvs der for et nterval af r p gælder, at alle varable er nde, så gælder 1.ordensbetngelserne svarende tl stuatonen uden kort salg,dvs.at de to effcente rande falder sammen dette nterval. 9 Sharpe s enkeltndeksmodel For at anvende Markowtz-modellen skal nvestor have kendskab tl a) det forventede afkast for alle aktver og b) den fulde kovaransmatrce. I det generelle tlfælde vl kovaransmatrcen ndeholde n(n+1)/2 parametre. For en problem med blot 100 aktver skal nvestor således estmere mere end 5000 parametre. I prakss er det derfor nødvendgt at antage, at kovaransen mellem de enkelte aktver har en forsmplet struktur. En sådan model blev publceret Sharpe(1963). Sharpes model kan opstlles som følger r = α + β r M + E ( ) = 0 Cov(, j ) = 0 for 6= j hvor r angver det stokastske afkast på det te aktv og r M angver afkast på et ndeks, f.eks. markedsportefø ljen. er resdualet, dvs. den del af det te aktvs afkast, som kke kan forklares ved svngnnger markedet. Sharpe postulerer først og fremmest en lneær regressonslgnng mellem afkastet på det te aktv og afkastet på markedet. Det centrale karakterstkum ved Sharpes model er, at resdualet sammenhængen er ukorreleret på tværs af de enkelte aktver, dvs. at markedsndekset fanger al kovarans mellem to aktver. Herved får kovaransmatrcen en stærkt forenklet struktur og estmatonsproblemet reduceres tl at bestemme de 3 n parametre α,

9 SHARPE S ENKELTINDEKSMODEL 15 β og σ 2 ( ), samt mddelværd og sprednng på markedsndekset. Desuden forenkles beregnngen af porteføljens varans dramatsk. Varans på enkelt aktv: σ 2 ( R )=β 2 σ 2 (r M )+σ 2 ( ) Det ses, at varansen er opdelt en systematsk og en usystematsk del. Denne opdelng er kke nteressant sg selv, da v kan foretage opdelngen uanset kovaransmatrcens udseende. Det specelle ved Sharpes model er det forsmplede udtryk for varansen af en porteføljen: Varans på portefølje: β p = nx x β =1 σ 2 p(r p )=β 2 pσ 2 (r M )+ nx x 2 σ 2 ( ) Alle øvrge led varansberegnngen falder væk, det x x j Cov(, j )=0pr. antagelse. Kovarans mellem to aktver kan fndes ved: =1 Cov( r, r j )=β β j σ 2 (r M ) dvs. al kovarans skyldes markedet. Det er vgtgt, at lægge mærke tl, at Sharpe s enkeltndeksmodel kke lægger nogle restrktoner på det forventede afkast: E[ r ]=α + β E[ r M ] Samme β kan medføre forskellgt nveau for forventet afkast. Der er altså kke tale om en lgevægtsmodel for sammenhængen mellem forventet afkast og rsko modsætnng tl CAPM og APT-modellen.

10 MULTIINDEKSMODELLER 16 10 Multndeksmodeller Sharpes model kan generalseres tl flere ndeks eller faktorer: KX er = α + β kfk e + k=1 med den forenklende antagelse, at Cov(, j )=0for 6= j. e F k er en faktor, som beskrver afkaststrukturen på markedet. Varans på portefølje under multndeksmodellen σ 2 p = KX ³ β 2 kp Fk σ2 e + k=1 nx x 2 σ 2 ( ) Som det gjaldt for Sharpes enkeltndeksmodel lægger multndeksmodellen heller kke nogle restrktoner på det forventede afkast og der er derfor kke tale om en lgevægtsmodel for sammenhængen mellem faktorfølsomheder og forventet afkast. En sådan relaton opstlles dermod APT-modellen af Ross, jf. nedenfor. =1 11 Udlednng af CAPM I det følgende gves et kort referat af udlednngen af CAPM-modellen Sharpe(1991). Notatonen er omtrent som Sharpe s artkel. V betragter K nvestorer og defnerer E k = P X k E og C k = P P j X kx jk C j som henholdsvs forventet afkast og varans for den k te nvestors portefølje. E er forventet afkast for det te aktv og C j er kovaransen mellem det te og det j te aktv. Nytten for den k te nvestor er U k = E k C k /τ k. τ k angver den k te nvestors rskotolerance. Jo højere værd af τ k, jo mndre vægter nvestor rsko relatvt tl afkast. 11.1 Optmaltet for den k te nvestor Investors optmale porteføljevalg leder tl følgende Lagrangefunkton:

11 UDLEDNING AF CAPM 17 L k = E k C k /τ k + λ fk (1 X X k ) hvor λ fk er Lagrange-multplkatoren på fuld nvesterngsbbetngelsen. 1. ordens betngelsen blver: L X =0 E 2C k τ k = λ fk hvor C k = P j X jkc j er kovaransen mellem det te aktv og nvestors samlede portefølje. Fortolkes betngelsen ses, at hver enkelt nvestor sørger for, at afkastet ved at øge andelen af det te aktv mnus nyttetabet, grundet det te aktvs bdrag tl porteføljens varans, er konstant for alle aktver. Jo større kovarans mellem det te aktv og nvestors effcente portefølje, jo større skal afkastet være. Jo større rskotolerance τ m, jo mndre betyder det te aktvs kovarans relatvt tl afkastet. 11.2 Aggregerng over samtlge nvestorer Betragtes det aggregerede resultat af samtlge nvestorers valg, skal man naturlgvs først og fremmest skre, at budgetbetngelsen er overholdt. I prakss vl det ske som en teratv proces, hvor en overefterspørgsel efter et aktv drver prsen op, hvorved dets forventede afkast falder, hvlket mndsker efterspørgslen og vce versa. CAPM følger en hæderkronet økonomsk tradton med at antage markedslgevægt, dvs. at v ser på stuatonen efter at denne tlpasnng er overstået. Aggregeret set vl der således være lgevægt mellem udbud og efterspørgsel og dermed postve nettobeholdnnger af alle aktver. Antag, at den k te nvestors formue er W k. Tages et formuevægtet gennemsnt af samtlge 1.ordensbetngelser fås (7) E 2 C m = λ fm τ m hvor τ m = P k W kτ k er samfundets formuevægtede rskotolerance og λ fm er et tlsvarende vægtet udtryk for samfundets margnalnytte af penge. Bemærk, at C m er det te aktvs kovarans med markedsporteføljen m. Indføres formlen β m C m /C m fås E = λ fm + 2C m τ m β m

12 LIDT OM APT-MODELLEN 18 dvs. en lneær sammenhæng mellem E og β m. Formel (7) gælder også for markedsporteføljen med β mm =1,dvs. (8) E m λ fm C m = 2 τ m Indsættes (8) (7) fås Securty Market Lne (SML): SML : E = λ fm +(E m λ fm )β For aktver med β jm =0fås E j = λ fm,dvs.λ fm er markedets afkastkrav tl et aktv med β m = 0. Er der et rskofrt aktv økonomen er λ fm lg med den rskofr rente. 11.3 Markedsporteføljen er effcent SML Antag først at SML er opfyldt. For en nvestor med τ k = τ m er 1.ordens betngelserne opfyldt for ethvert aktv økonomen, dvs. at markedsporteføljen lgger på den effcente rand, beregnet på bass af de objektve forventede afkast og kovaranser. Omvendt gælder tlsvarende, at effcens af markedsporteføljen medfører SML. Dvs. at SML og effcens af markedsporteføljen er ækvvalente udsagn. 12 Ldt om APT-modellen CAPM-modellen antager, at alle nvestorer vælger effcente portefø ljer på samme effcente rand, og udleder herudfra SML-lnen E(er ) R f =(E(er M ) R f )β der angver, at lgevægt vl prserne tlpasse sg, så det forventede merafkast på det te aktv forhold tl den rskofr rente er lg med det forventede merafkast på markedsporteføljen ganget med aktvets β forhold tl markedsporteføljen. Som vst af Roll(1977, 1978) har CAPM-modellen store emprske problemer, ford modellens prsstruktur afhænger af en kkeobserverbar markedsportefølje.

12 LIDT OM APT-MODELLEN 19 Arbtrage Prcng Theory-modellen,APT,somførstblevforeslået af Ross (1976), antager stedet, at markedsdeltagerne er enge om følgende lneære statstske model for markedets afkaststruktur: KX (9) er = a + b kfk e + e for =1,...n k=1 hvor a er et aktvtspecfkt afkastnveau, F k, k =1,...,K er faktorer, som er fælles for alle aktver, og er et aktvspecfkt fejlled med mddelværd nul og korrelaton lg nul overfor de øvrge aktver. For nemheds skyld forudsættes faktorerne normeret, så E( F k ) = 0, hvorefter afkastnveauet a svarer tl aktvets gennemsntlge afkast. Lgnng (9) kan således omskrves tl (10) er = E(er )+ KX b kfk e + e for =1,...,n. k=1 Lgnng (10) vser, at aktvets afkast på vrkes af de enkelte faktorers afkast va vægtene b k plus noget usystematsk støj, men lgnngen ndeholder kke nogen udsagn om størrelsen af det forventede afkast set relatvt tl andre aktver. For at fået så dant udsagn ndrager APT-modellen et arbtrageargument. APT-modellen demonstrerer, at hvs markedsdeltagerne har mulghed for at danne såvel korte som lange postoner uden transaktonsomkostnnger, så vl arbtragen markedet skre, at det forventede merafkast på det te aktv blver en sum af markedets merafkastkrav tl hver af de K faktor, ganget med hver enkelt faktors ndflydelse på afkastet af aktv. Forudsætnng for rskofr portefølje Som følge af den lneære multfaktor-struktur kan varansen af en portefølje beregnes som: (11) σ 2 (r p )= X k b 2 pk σ2 ( e F k )+σ 2 ( p ) Betragt nu en portefølje, som opfylder (12) b pk = KX x b k =0 k=1 for alle k, dvs, at den samlede portefølje er ufølsom overfor ændrnger hver enkelt af de k faktorer, og (13) σ 2 ( p )= NX x 2 σ 2 (e ) 0. =1

12 LIDT OM APT-MODELLEN 20 Med andre ord er den usystematske rsko porteføljen er omtrent lg nul. Det er let at se, at (12) kan opfyldes, hvs der blot er flere (lneært uafhængge) aktver end der er faktorer. (13) kan opfyldes, hvs porteføljen er fordelt på så mange forskellge aktver, at den usystematske rsko er bortdversfceret. 12.1 Arbtrageargumentet Fra lgnng (11) ses, at enhver portefølje, som opfylder (12) og (13) vl have en rsko på nul, dvs. at den gver et skkert afkast over peroden. Hvs der kke skal opstå ubegrænsede arbtragemulgheder markedet, må der gælde, at en sådan rskofr portefølje har et forventet afkast svarende tl den rskofre rente, dvs: NX (14) E( r p ) R f = x (E(er ) R f )=0 =1 Matematsk kan det vses 2, at lgnng (14) er opfyldt for enhver rskofr portefølje, hvs og kun hvs der for hver af de K faktorer ekssterer et λ k 6=0 således, at: (15) E( R KX ) R f = λ k b k k=1 Lgnng (15) er APT-modellens pendant tl CAPM-modellens SML-lne. Lgnngen udtrykker, at arbtragelgevægt afhænger det forventede merafkast og dermed ndrekte aktvets spotprs udelukkende af aktvets følsomhed b k overfor de enkelte faktorer. Værden λ k kan fortolkes som det ekstra forventede afkast markedet kræver, hvs aktvets følsomhed overfor den k te faktor øges med een enhed. Afslutnngsvs en løs analog. Lgnng (9) vser, at alle aktver kan opfattes som en kurv sammensat af K forskellge varer plus/mnus ldt støj. Det er de samme K faktorer, som ndgår alle aktver og b k angver blot hvor mange 2 Det matematske bevs bygger på detsåkaldte Farka s lemma, som er et centralt resultat ndenfor lneær algebra. Stort set alle arbtrageargumenter ndenfor fnanserng anvender Farka s lemma en eller anden form.

13 LITTERATUR 21 enheder af den k te faktor, som ndgår aktv. Selv om der er utallge kurve, så er der reelt kun K forskellge varer på markedet. Arbtrageargumentet vser det meget ntutve, at lgevægt vl markedet kræve samme forventede merafkast λ k per enhed af den k te faktor uanset hvlket aktv faktoren ndgår 3. 13 Ltteratur Levy, H., The Captal Asset Prcng Model: Theory and Emprcsm,, The Economc Journal, (March 1983). Roll, R., A Crtque of the Asset Prcng Theory s Tests: Part I: On the Past and Potental Testablty of the Theory, Journal of Fnancal Economcs, (March 1977). Ross, S.A., The Arbtrage Theory of Captal Asset Prcng, Journal of Economc Theory, (December 1976) Ross, S.A., The Captal Asset Prcng Model (CAPM), Short Sale Restrctons and Related Issues, Journal of Fnance, (March 1977) Sharpe, W.F., A Smplfed Model for Portfolo Analyss, Management Scence, Vol. 9, pp. 277-293. Også publceret Lore & Brealey (Eds.): Modern Developments n Investment Management. New York: Praeger Publshers, 1972. Sharpe, W.F., Portfolo Theory and Captal Markets, McGraw-Hll, 1970. Sharpe, W.F., Captal Asset Prces Wth and Wthout Negatve Holdngs, The Journal of Fnance, Vol 46, no.2, June 1991. Tobn, J., Lqudty Preference as a Behavour Toward Rsk, Revew of Economc Studes, February 1958, 65-86. Også publceret Lore & Savage, op.ct. 3 Et helt tlsvarende arbtrageargument lgger bag udlednngen af en nulkuponrentestruktur et oblgatonsmarked. Her er faktorerne nulkuponoblgatoner svarende tl de forskellge betalngstdspunkter og arbtrageargumentet leder frem tl, at prsen på enhver oblgaton er en vægtet sum af de enkelte betalnger ganget med prsen på en nulkuponoblgaton svarende tl betalngstdspunktet.

A APPENDIKS 22 A Appendks A.1 Vectordfferentaton Lad f (x) væreenfunktonafn-vektoren x. Gradenten af f mht tl x defneres som f = f µ f x =,..., f. x 1 x n Den afledte af en lneær form a 0 x er (a 0 x) x = a. A.2 Matrx Dfferentaton Den afledte af en kvadratsk form x 0 Ax er (x 0 Ax) x = A + A 0 x, 2 (x 0 Ax) x x 0 = A + A 0. Dvs. hvs matrcen A er symmetrsk (hvlket jo gælder for kovarans- og korrelatonsmatrcer), så ser det genkendelgt ud (x 0 Ax) x (x 0 Ax) x = 2Ax, = 2A.