OM KAPITLET I dette kapitel om funktioner og sammenhænge skal eleverne beskrive forskellige sammenhænge ved hjælp af matematik. Det er primært sammenhænge fra virkeligheden, eleverne arbejder med, fx sammenhængen mellem antal biografbilletter og pris, men de skal også arbejde med sammenhænge, der kun beskrives matematisk, og hvor der ikke er nogen reference til virkeligheden. I den første del præsenteres eleverne for fire forskellige måder at beskrive matematiske sammenhænge på: en sproglig beskrivelse en ligning en tabel en graf I arbejdet med de fire forskellige repræsentationer bygges der videre på den viden om tabeller, ligninger og grafer, som eleverne har opnået på mellemtrinnet. Derefter er der fokus på begrebet funktion. egrebet knyttes til sammenhænge - en sammenhæng mellem to talmængder, hvor der hører netop én y-værdi til hver x- værdi. I den sammenhæng skal eleverne også for første gang arbejde med funktioner, der ikke er lineære. I den næste del præsenteres forskriften for en lineær funktion og herunder også en ligefrem proportionalitet. Eleverne skal arbejde med den generelle form, som forskriften for lineære funktioner kan skrives på. I den sammenhæng skal eleverne ligeledes arbejde med grafer for lineære funktioner. Den sidste del af kapitlet handler om sammenhængen mellem valuta og valutakurs. I opgaver, hvor der skal tegnes, er der ofte frit valg mht. valg af tegneredskaber og hjælpemidler. Tilsvarende er nogle af figurerne her udført som håndtegning, mens andre er udført ved brug af et digitalt værktøj. Valgene i facitlisten er ikke nødvendigvis en anbefaling af det mest fornuftige valg i den givne opgave blot en illustration af, at begge muligheder ofte er til stede. ELEVFORUDSÆTNINGER Eleverne har på mellemtrinnet arbejdet med matematiske sammenhænge bl.a. i forbindelse med sammenhængen mellem funktionsmaskinens kode og den tilhørende grafs udseende. Eleverne har i MULTI 6 arbejdet med funktionsbegrebet, og er i den sammenhæng præsenteret for lineære funktioner og begrebet forskrift. De har ikke arbejdet med den generelle form, som forskriften for en lineær funktion kan skrives på. Eleverne har på mellemtrinnet arbejdet med funktioner i digitale værktøjer. Eleverne har i MULTI på mellemtrinnet arbejdet med: at beskrive hvordan funktionsmaskiner og grafer viser sammenhænge at finde sammenhænge mellem funktionsmaskinens kode og den tilhørende grafs udseende at tegne grafer, som viser forskellige slags sammenhænge, bl.a. vha. digitale værktøjer at beskrive og forklare sammenhænge vha. tabeller og grafer at finde stigningstallet for en lineær funktion at undersøge, hvordan grafer for lineære funktioner og funktionsforskrifter passer sammen. Kapitlets tema, Walkathon, tager udgangspunkt i støtteprogrammet Walk for Life, hvor Walkathon er et gåarrangement, som afholdes forskellige steder. For hver kilometer deltagerne går doneres 1 til et støtteprojekt. Eleverne skal arbejde med forskellige matematiske sammenhænge i relation til det beskrevne projekt. En del opgaver i dette kapitel er formuleret, så der er flere mulige facit, da resultatet på forskellig måde afhænger af elevernes valg. Til disse opgaver anføres eksempelvis Elevernes egne svar eller Elevernes egne forklaringer. I disse tilfælde gives der ofte eksempler på mulige svar.
ELEVMÅL FOR KAPITLET HUSKELISTE Målet er, at eleverne: kan forklare og beskrive sammenhænge og forandringer i matematik ved hjælp af en sproglig beskrivelse, en funktionsforskrift, en tabel og en graf kan anvende digitale værktøjer til tegning af grafer kan bruge deres viden om funktioner til at løse problemer fra hverdagen. PRINTARK A5 yt graf U6 Tegn grafer E2 egreber og fagord Funktioner og sammenhænge mm-papir MATERIALER Kamera eller telefon med kamera Sakse Karton Lim DIGITALE VÆRKTØJER Geometriprogram Evt. regneark FAGLIGE EGREER FÆLLES MÅL I kapitlet arbejdes med følgende centrale fagord og begreber: På MULTIs hjemmeside er der en oversigt over, hvilke Fælles Mål der er sat op for arbejdet med kapitlet. Funktion Funktionsforskrift Funktionsforskrift for lineære funktioner Afhængig og uafhængig variabel Stigningstal Ligefrem proportionalitet Definitionsmængde Værdimængde Valuta og valutakurs.
FAITLISTE OG UDDYENDE VEJLEDNING OPGAVE 1 A Elevernes egne eksempler. Sammenhængen kan fx beskrives med funktionsforskriften y = 4 x, hvor x er antal elever, og y er antal stoleben. Tabel: MÅL OG FAGLIGT INDHOLD Kapitlet indledes med, at eleverne bliver introduceret til emnet om funktioner og sammenhænge. På de to sider bliver eleverne introduceret til kapitlets elevmål, fagord og begreber. I de efterfølgende opgaver og i aktiviteten arbejder eleverne med opgaver, der skal aktivere deres forhåndsviden om emnet. Graf: Antal elever Antal stoleben 16 64 20 80 24 96 I introteksten gives en kort beskrivelse af, hvad emnet handler om. Herefter præsenteres eleverne for kapitlets tre elevmål samt fagord og begreber. Eleverne kan enten parvis eller i mindre grupper tale om, hvilke af de nævnte fagord og begreber de allerede kender og beskrive betydningen af dem. I den sammenhæng kan de ligeledes tale om, hvilke digitale værktøjer de tidligere har anvendt i forbindelse med fx tegning af grafer. Eleverne kan fortsætte med at arbejde sammen parvis, når de løser opgaverne på opslaget. Det giver dem mulighed for at tale om, hvordan de løser opgaverne. På den måde kan de få aktiveret deres forhåndsviden. MATERIALER Evt. et digitalt værktøj PRINTARK A5 yt graf mm-papir D E Der skal lægges 4 4 = 16 til antallet af stoleben, så funktionsforskriften nu er y = 4x + 16. Grafen vil skære y-aksen i punktet (0, 16) og være parallel med grafen i spørgsmål. Eleverne finder andre sammenhænge på billedet. Eleverne kan evt. opfordres til at løse opgaven med et digitalt værktøj. De kan efterfølgende tale om, hvilket værktøj de har brugt. Der vil sikkert være nogle elever, der har brugt regneark og nogle, der har brugt et geometriprogram, der indeholder et funktionstegneprogram, fx GeoGebra. Tag evt. en klassesamtale om fordele og ulemper ved at løse opgaven med og uden et digitalt værktøj.
OPGAVE 2 A Til 25 pastasalater bruges 500 gram pasta. Til 37 pastasalater bruges 740 gram pasta. Af 775 gram pasta kan der laves 38 pastasalater (og så er der 15 gram pasta i overskud). Når opgaven løses ved aflæsning på grafen, må man regne med lidt afvigelse fra disse resultater. Spørg evt. til, hvorfor grafen starter i punktet (0, 0), og hvorfor den er vist med punkter og ikke som en sammenhængende linje. Det kan være en god idé at tale om, hvornår man viser en sammenhæng som punkter i et koordinatsystem, og hvornår man bruger en sammenhængende linje. OPGAVE 3 A Elevernes egne opgaver med en ny ingrediens. OPGAVE 4 A Herunder er tegnet en ny graf over 7. q s forbrug: OPGAVE 5 A Elevernes egne beskrivelser. 7. q kan fx have besluttet, at de vil sælge pastasalater ud fra det antal gram, den enkelte elev ønsker at købe - ligesom bland-selv-slik. Graferne kan vise sammenhængen mellem antal gram (x-aksen) og pris i kr. (y-aksen). - Før inddelingen af akserne skal det besluttes, hvor mange gram klassen regner med, at en elev højst køber, og hvor meget pastasalaten skal koste pr. gram. Vi antager, at en elev højst køber 300 gram, og at 1 gram koster 0,1 kr., dvs. 100 gram pastasalat koster 10 kr. Den anden graf kan vise sammenhængen mellem antal gram pasta og samlet pris, hvis der fx tages 4 kr. for den plasticbeholder som pastasalaten serveres i. Dermed starter grafen i punktet (0, 4). Det er væsentligt, at disse er beskrivelser af lineære sammenhænge. Vær ligeledes opmærksom på, at begge grafer er en sammenhængende linje - og ikke vist med punkter. Den nye graf er parallelforskudt med 200 lodret (i y- aksens retning). Årsagen til, at den nye graf ændrer udseende, er, at den viser en anden sammenhæng end den oprindelige graf. Den oprindelige viser sammenhængen mellem det antal pastasalater, der fremstilles (x) og det antal gram pasta, der bruges (y). Denne graf er stadig rigtig, men den nye graf viser sammenhængen mellem det antal pastasalater, der sælges (x) og det antal gram pasta, der bruges (y). Grafen starter nu i punktet (0, 200) fordi der skal fremstilles 10 pastasalater til ledelsen også selv om der evt. ingen salater sælges. AKTIVITET: YT GRAF Eleverne beskriver og tegner graferne på aktivitetsarket. I arbejdet med aktiviteten får eleverne brug for at beskrive, hvilke sammenhænge der er tale om. Eleverne kan enten arbejde med aktiviteten på mm-papir eller i et digitalt værktøj. emærk, at alle graferne er grafer for lineære funktioner, og at disse dermed kan beskrives som grafen for en lineær funktion, der går gennem punkterne (x 1, y 1) og (x 2, y 2). Ud fra en sådan beskrivelse kan graferne tegnes.
Ligningen kan give et eksakt svar, da det er muligt at beregne enhver funktionsværdi. Ulempen er, at ligningen ikke umiddelbart giver et overblik over funktionens forløb - medmindre man allerede har et godt kendskab til funktionstypen. Der vil være elever, der finder denne sammenhæng for abstrakt. MÅL OG FAGLIGT INDHOLD Eleverne bliver præsenteret for fire forskellige måder at beskrive matematiske sammenhænge på: en sproglig beskrivelse en ligning en tabel en graf. I de efterfølgende opgaver arbejder eleverne med opgaver, hvor de skal anvende de fire måder at beskrive på, og de skal bl.a. argumentere for, hvilken beskrivelse der er mest hensigtsmæssig at anvende i forskellige situationer. Fra en tabel kan man finde funktionsværdierne uden at skulle beregne eller aflæse. Det kan være en god måde at beskrive en sammenhæng på, men man skal dog være opmærksom på, at det kun er et begrænset antal funktionsværdier der er angivet. Hvis det er en sammenhængende og ikke en punktvis funktion, som sammenhængen beskriver, så fortæller tabellen alene ikke noget om, hvilken generel sammenhæng der er mellem de variable. Som regel vil en tabel dog sjældent stå alene, hvorfor en tolkning af tabellen vil foregå i relation til andre oplysninger, så det er muligt at tolke tabellen rigtigt. En graf giver et godt og hurtigt overblik over en funktions forløb, og man kan i princippet aflæse uendeligt mange funktionsværdier. Men der er tale om et begrænset interval, og nøjagtigheden af aflæsningen kan ligeledes være begrænset. FAITLISTE OG UDDYENDE VEJLEDNING TEORI: MATEMATISKE SAMMENHÆNGE Eksemplet i teoriboksen tager udgangspunkt i en situation fra hverdagen - et omrejsende tivoli kommer til byen, og Melik køber billetter, så han kan prøve forlystelserne. Efterfølgende beskrives på fire forskellige måder sammenhængen mellem antal købte billetter og prisen. Eleverne kan parvis forklare de fire beskrevne sammenhænge for hinanden. De kan ligeledes diskutere, hvilke muligheder og begrænsninger de fire repræsentationsformer har, og om der evt. er en af dem, de foretrækker. Der kan være forskel på, hvilken type repræsentationsform den enkelte elev foretrækker. En sproglig beskrivelse kan især være en fordel, når funktionen er hentet fra virkeligheden. Eleverne kan sætte deres egne ord på en given sammenhæng, men de får ikke umiddelbart svar på, hvad den samlede pris er for et bestemt antal billetter. Opgave 6-9 knytter sig til eksemplet fra teoriboksen. OPGAVE 6 A Elevernes egne forslag. Eleverne kan eksempelvis bruge en graf eller en tabel. Elevernes egne forslag. Eleverne kan eksempelvis bruge en graf. Elevernes egne forslag. En sproglig beskrivelse vil være det bedste til almindelig forklaring, men netop til matematiklæreren kan alle fire muligheder anvendes. OPGAVE 7 A Elevernes egne forklaringer. OPGAVE 8 A En sproglig beskrivelse kan eksempelvis være: Det koster 40 kr. for entré og 18 kr. pr. billet hos Tivoli Ilovit.
En tabel kan eksempelvis udformes på følgende måde: Antal billetter, x Pris i kr., y 0 40 1 58 2 76 3 94 eskrivelsen nederst i midten ( En landmand ) hører til grafen til venstre. Eleven forslår en ligning og en tabel. Tabellen øverst til højre hører til ligningen Antal billeder = 27 antal engangskameraer. Eleven foreslår en sproglig beskrivelse og en graf. D Ligning: Pris i kr. = 18 kr. antal billetter + 40 kr. En graf kan eksempelvis udformes på følgende måde. emærk, at grafen er en punktgraf, da det ikke er muligt at købe halve billetter. OPGAVE 11 A Der går 7,5 timer. 6 venner (og så har de brugt 485 kr.). 5 engangskameraer. D Erling bruger 9 L brændstof om ugen. OPGAVE 12 A D E Grafen viser, hvor mange ha landmanden mangler at høste, når han har høstet et antal timer. Jo længere tid han høster, desto mindre mangler han. Der er forskel på, hvor mange km en bil kører på literen alt efter, om man fx kører i byen eller på motorvej. Antallet af venner har indflydelse på prisen pr. person, da gebyret altid er det samme. Det er nok urealistisk, at man bruger 500 engangskameraer. Eleverne diskuterer rimelige definitions- og værdimængder for de fire funktioner. OPGAVE 9 A Elevernes egne undersøgelser af stigning og fald i billetpriser og entréprisen. Stiger eller falder entréprisen, skærer grafen y-aksen i en højere eller lavere y-værdi. Stiger eller falder billetprisen, bliver hældningstallet større eller mindre, hvilket ses ved, at grafen bliver mere eller mindre stejl. Eleverne bliver først på næste opslag præsenteret for begreberne definitionsmængde og værdimængde, men det kan være relevant og en fin overgang til næste opslag, at bede dem om at forholde sig til, hvorvidt der er x- og y- værdier, som ikke kan anvendes - og hvorfor de i givet fald ikke kan anvendes. OPGAVE 10 A eskrivelsen øverst til venstre ( Kasper og ) hører til tabellen nederst til højre. Eleven foreslår en ligning og en graf. Ligningen km = antal liter brændstof 15 km/l hører til den øverste graf. Eleven forslår en sproglig beskrivelse og en tabel.
OPGAVE 13 MÅL OG FAGLIGT INDHOLD På dette opslag bliver der sat fokus på begrebet funktion og sammenhængen mellem to talmængder. Eleverne møder ligeledes sammenhænge, der ikke kan beskrives som lineære funktioner. A D E Der er 12 stykker tyggegummi i en pakke. Man kan selv vælge, hvor mange pakker man vil købe, men antallet af tyggegummistykker afhænger af antallet af pakker. På tegningen udgår der netop én pil fra hver tal i venstre mængde (definitionsmængden), dvs. til enhver x-værdi svarer netop én y-værdi, og det er, hvad der kendetegner en funktionssammenhæng. x kan ikke være negativ og x skal være et helt tal. Det er naturligvis ikke muligt at købe et negativt antal pakker, og det kan heller ikke lade sig gøre at købe fx 2,5 pakke tyggegummi. Grafen er egentlig en punktgraf (grafen til venstre), men ofte vil man alligevel tillade sig at tegne den som en sammenhængende graf (grafen til højre): Det er en god idé at starte med at arbejde fælles med indholdet i teoriboksen og sammen få sat ord på, hvad de mange nye fagord og begreber betyder. I de efterfølgende opgaver på opslaget kan eleverne fx arbejde parvis, så de i arbejdet med opgaverne får anvendt de nye begreber. Lad eleverne anvende digitale værktøjer, hvor de finder det relevant. MATERIALER Evt. et digitalt værktøj. FAITLISTE OG UDDYENDE VEJLEDNING TEORI: FUNKTIONER Funktionsbegrebet er ikke et nyt begreb for eleverne, da de i MULTI 6 har arbejdet med det. egreberne uafhængig variabel og afhængig variabel samt definitionsmængde og værdimængde er nye for eleverne. Netop på grund af de mange nye begreber kan det være en god idé med en fælles gennemgang af teoriboksens indhold. Udgangspunktet for denne klassesamtale kan fx være eksemplet med sammenhængen mellem antallet af tyggegummipakker og det samlede antal tyggegummistykker, hvor det vil være oplagt at arbejde med spørgsmålene i opgave 13. OPGAVE 14 For alle tre funktioner gælder, at definitionsmængden er N 0 de naturlige tal samt tallet 0 (nul). Graferne er derfor punktgrafer, men ofte vil man tegne dem helt eller delvist sammenhængende og lade det være underforstået, at man fx ikke kan uddele en halv avis eller tale om mælkeydelsen for 1,37 køer. Vi ser for hver af de tre funktioner på spørgsmålene A - D. Jordbær A Jordbærrene sælges i bakker á 500 g. Det er antallet af bakker, man køber, der er den uafhængige variable x. Den samlede pris er så den afhængige variable y. Definitionsmængden er N 0. Værdimængden er {p N 0 p = 12n n N 0} = {0, 12, 24, 36, 48, }.
D Grafen er egentlig en punktgraf her tegnet sammenhængende: FUNKTIONER OG SAMMENHÆNGE Mælk A Den uafhængige variable x er antallet af malkekøer, landmanden ejer. Variablen y er det antal liter mælk, han får om dagen. Definitionsmængden er N 0. Værdimængden er {p N 0 p = 23n n N 0} = {0, 23, 46, 69, 92, }. D Grafen er egentlig en punktgraf her tegnet sammenhængende: Aviser A Den uafhængige variable x er antallet af aviser, Jens uddeler. Variablen y er det beløb, han får for det. Definitionsmængden er N 0. Værdimængden afhænger af, hvordan teksten Hver gang han har uddelt ti aviser, har han tjent 5 kr. tolkes. Her er mulighed for en diskussion med klassen (eller i grupperne). etyder det, at - Jens får 50 øre pr. avis fx 14 kr. hvis han uddeler 28 aviser? - Jens kun får 5 kr. hvis han har uddelt 10 aviser, 10 kr. hvis han har uddelt 20 osv., så han får 10 kr. for at uddele 28 aviser? Her er valgt den sidste tolkning. I så fald er værdimængden {p N 0 p = 5n n N 0} = {0, 5, 10, 15, 20, }. D Grafen er en punktgraf her tegnet delvis sammenhængende. Grafen er nemlig også graf for en såkaldt trappefunktion, som er konstant i visse intervaller (af længden 10) og derefter springer med 5: OPGAVE 15 A Den blå cirkel og den grønne lodrette linje er ikke grafer for funktioner. Der er flere y-værdier til samme x- værdi. OPGAVE 16 A Areal af trekant: Den uafhængige variable x er trekantens højde. Den kan antage alle positive, reelle tal som værdi. Ligeledes kan ethvert positivt, reelt tal optræde som y- værdi (areal). Vinkelsum i polygon: Den uafhængige variable x er antallet af vinkler i en polygon. Den kan som værdi have alle naturlige tal 3. Som y- værdi (polygonens vinkelsum) kan optræde ethvert tal på formen p 180, hvor p er et naturligt tal. Elevernes egne beskrivelser af sammenhængene med egne ord. Elevernes egne undersøgelser af sammenhængen mellem omkreds og radius i en cirkel (O = 2πr).
Det er nyt for eleverne at beskrive lineære funktioner med den generelle funktionsforskrift f(x) = ax + b. Det vil for nogle elever være meget abstrakt, hvorfor det vil være hensigtsmæssigt, hvis de forskellige begreber og fagord fx forklares i relation til en sammenhæng fra virkeligheden. Der kan fx tages udgangspunkt i en sammenhæng, eleverne allerede er bekendt med, nemlig sammenhængen mellem antal tyggegummipakker og det samlede antal tyggegummi, der kan beskrives med funktionsforskriften: y = 12x. Tal fx om, hvorfor x og y er variable, og hvad det betyder, at de er variable. Hvad er konstanten a i den viste sammenhæng? Hvorfor skrives konstanten b ikke i denne funktion? Tal om andre lineære sammenhænge, hvor konstanten b er med. Det kan fx være taxakørsel, hvor der både er et startgebyr og en pris pr. kørt km eller et mobilabonnement med en fast abonnementspris og pris pr. sms, der sendes. MÅL OG FAGLIGT INDHOLD På dette opslag bliver eleverne introduceret til den generelle funktionsforskrift for lineære funktioner, f(x) = ax + b. De skal i de efterfølgende opgaver arbejde med selv at skrive og beskrive funktionsforskrifter ud fra forskellige sproglige beskrivelser samt grafer. Derudover skal eleverne undersøge, hvilken betydning konstanterne a og b i funktionsforskriften har for den tilhørende grafs udseende. MATERIALER Et digitalt værktøj. PRINTARK U6 Tegn grafer. FAITLISTE OG UDDYENDE VEJLEDNING TEORI: FUNKTIONSFORSKRIFT FOR DEN LINEÆRE FUNKTION Eleverne er i MULTI 6 blevet præsenteret for begreberne lineære funktioner, forskrifter og stigningstal. De har ligeledes arbejdet med og undersøgt lineære funktioners grafer, set på forskelle og ligheder mellem graferne for lineære funktioner og koderne for funktionsmaskinerne, der passer til. De har også arbejdet med stigningstallet og har en viden om, at stigningstallet fortæller, hvor meget en funktions y-værdi stiger eller falder, hver gang x-værdien vokser med 1. Enten under eller efter gennemgangen af teoriboksens indhold, kan det være en god idé at lade eleverne undersøge i et digitalt værktøj, hvordan de kan tegne grafer ud fra funktionsforskrifter. Er der fx forskel på, om der skrives y = og f(x) =. Eleverne kan dels spare en masse tid ved at anvende et digitalt værktøj til tegning af grafer, og dels bliver de grafiske afbildninger mere præcise. OPGAVE 17 A Seniorbilletter: f(x) = 75x ørnebilletter: f(x) = 60x OPGAVE 18 A f(x) = 60x + 5 f(x) = 75x + 5 OPGAVE 19 A f(x) = 70x + 10 f(x) = 65x + 5 Til punkt A. Tabel: Antal billetter 1 2 3 4 5 Pris i kr. 80 150 220 290 360 Graf (punktgraf her tegnet sammenhængende)
Til punkt. Tabel: Antal billetter 1 2 3 4 5 Pris i kr. 50 115 180 245 310 Graf (punktgraf her tegnet sammenhængende): stigende og går opad mod højre. Hvis a er et positivt tal tæt på 0, er grafen for funktionen stigende og går opad mod højre, men stigningen er mindre og grafen er derfor mindre stejl. Hvis a er et negativt tal, er grafen for funktionen faldende og går nedad mod højre. DEL 3 Individuelle elevformuleringer. Tallet bestemmer linjens hældning. Hvis man fra et punkt på linjen går 1 enhed til højre, fortæller a, hvor meget man skal gå op (hvis a > 0) eller ned (hvis a < 0) for at komme til et nyt punkt på linjen. OPGAVE 20 A Til regneforskriften y = x + 2 hører den gule graf. Til regneforskriften y = 2 hører den blå graf. Til regneforskriften y = 0,25x 1,5 hører den grønne graf. D Til regneforskriften y = 2x hører den sorte graf. UNDERSØGELSE: LINEÆRE FUNKTIONER Da det er vigtigt, at den enkelte elev får styrket sin hjælpemiddelkompetence anbefales det, at eleverne arbejder individuelt med enkelte dele i undersøgelsen. Afslutningsvis kan eleverne parvis eller i mindre grupper diskutere deres besvarelse og, hvordan de har brugt det digitale værktøj. emærk, at begrebet stigningstal/hældningstal præsenteres i løbet af undersøgelsen. Da eleverne kender begrebet fra MULTI 6, vil det formegentlig være let at forstå for de fleste elever. I undersøgelsen kan der med fordel anvendes et digitalt værktøj, eksempelvis GeoGebra, hvorved eleverne kan oprette skydere og dermed visualisere, hvilken betydning værdien af a og b har for grafernes udseende. DEL 1 A E Til højre er alle graferne indtegnet i samme koordinatsystem. DEL 2 A Hvis a er et stort positivt tal, er grafen for funktionen DEL 4 A Til højre er alle graferne indtegnet i samme koordinatsystem. DEL 5 A Hvis b er et positivt tal, skærer grafen y- aksen i en positiv værdi, dvs. over x-aksen. Skæringspunktets andenkoordinat er positivt. Hvis b er et negativt tal, skærer grafen y-aksen i en negativ værdi, dvs. under x-aksen. Skæringspunktets andenkoordinat er negativt. DEL 6 A D Til højre er alle graferne indtegnet i samme koordinatsystem. DEL 7 A Hvis a er 0, er grafen en vandret linje, dvs. parallel med x-aksen. Hvis b er 0, går grafen igennem punktet (0, 0). DEL 8 A Individuelle elevskitser. Individuelle eksempler.
Svaret på sidstnævnte spørgsmål kunne fx være, at der i te-butikken, Tekoppen, også sælges dåser til at opbevare te i. Hvis en dåse koster 50 kr., så kan sammenhængen mellem pris og antal gram te inklusiv en dåse beskrives med funktionsforskriften: f(x) = 0,35x +50. MÅL OG FAGLIGT INDHOLD På dette opslag bliver eleverne i forlængelse af arbejdet med den lineære funktions forskrift introduceret til ligefrem proportionalitet. I de efterfølgende opgaver arbejder de med lineære funktioner i forskellige sammenhænge. I lighed med forrige opslag vil det også her være hensigtsmæssigt, hvis eleverne har mulighed for at arbejde i et digitalt værktøj, når de finder det relevant i de enkelte opgaver. OPGAVE 21 A En kop espresso koster 20 kr. f(x) = 20x Hvis antallet af kopper kaffe ganges med et tal k, ganges også den samlede pris med k. Eller med andre ord: Funktionen er en lineær funktion, hvor grafen skærer i punktet (0, 0). Altså er det en ligefrem proportionalitet. OPGAVE 22 A f(x) = 750x f(x) = 750x + 500 Funktionen f(x) = 750x er en ligefrem proportionalitet. OPGAVE 23 A E Herunder er alle graferne indtegnet i samme koordinatsystem: MATERIALER Evt. et digitalt værktøj. FAITLISTE OG UDDYENDE VEJLEDNING TEORI: LIGEFREM PROPORTIONALITET Eleverne kan parvis tale om indholdet i teoriboksen og definitionen af ligefrem proportionalitet. De kan enten selv finde på tre spørgsmål hver, der kan stilles til indholdet i teoriboksen, eller de kan blive bedt om at reflektere over følgende spørgsmål: Hvorfor vil grafen for en ligefrem proportional funktion altid gå gennem punktet (0, 0)? Hvordan kan man se på forskriften for en ligefrem proportionel sammenhæng, at grafen altid vil gå gennem punktet (0, 0)? Giv eksempler på andre sammenhænge, der kan beskrives med ligefrem proportionalitet. eskriv med udgangspunkt i te-eksemplet en sammenhæng, der ikke er ligefrem proportionel, og skriv funktionsforskriften, der beskriver den nye sammenhæng Funktionerne hørende til graf, og D er ligefrem proportionaliteter.
OPGAVE 24 A Svaret af hænger af, om alle elever altid har det samme antal bøger med i klassen. Det går vi ud fra, og så er dette en ligefrem proportionalitet. Den lineære funktions graf går ikke gennem (0, 0) altså er dette ikke en ligefrem proportionalitet. Dette er en ligefrem proportionalitet. D Alder og skostørrelse hænger (med lidt god vilje!) sammen i en funktionssammenhæng for den enkelte person men ikke generelt. Og det er ikke en ligefrem proportionalitet. E Det er en tabel for funktionen y = 5x altså en ligefrem proportionalitet. F Dette er ikke en ligefrem proportionalitet. OPGAVE 27 A D Herunder er alle graferne for funktionerne indtegnet i samme koordinatsystem: OPGAVE 25 A Elevdiskussion. Individuelle elevforklaringer. Metoden virker, fordi hældningstallet bestemmer linjens hældning. Hvis man fra et punkt på linjen går 1 enhed til højre, fortæller a, hvor meget man skal gå op (hvis a > 0) eller ned (hvis a < 0) for at komme til et nyt punkt på linjen. OPGAVE 26 A Funktionsforskriften for den blå graf er: f(x) = x 1 Funktionsforskriften for den gule graf er: f(x) = 2x + 13 Funktionsforskriften for den grønne graf er: f(x) = 4x 4 Funktionsforskriften for den lilla graf er: f(x) = x
MÅL OG FAGLIGT INDHOLD På dette opslag arbejder eleverne fortsat med lineære funktioner. De skal finde funktionsforskriften ud fra funktionens graf, og de skal kunne tegne grafen ud fra to funktionsværdier (to punkter grafen går igennem). D Funktionsforskriften er f(x) = x + 2 E Funktionsforskriften er f(x) = 3,5x 5,5 Eleverne kan med fordel løse en række af opgaverne med et digitalt værktøj. MATERIALER Evt. et digitalt værktøj. FAITLISTE OG UDDYENDE VEJLEDNING TEORI: TEGN GRAFER Teoriboksen kan fx gennemgås ved at eleverne parvis læser teksten igennem, og derefter arbejder med opgave 28. Efterfølgende kan der tages en fælles samtale i klassen om, hvordan opgaven er løst. Opgaven kan løses med eller uden et digitalt værktøj. OPGAVE 28 A Funktionsforskriften er f(x) = x 1 Funktionsforskriften er f(x) = x + 5 Funktionsforskriften er f(x) = 0,25x + 6,5
OPGAVE 29 A Herunder er koordinatsystemet og grafen indtegnet: Jacob skal spille mere end 300 minutter om måneden, før det kan betale sig at være medlem af Game Station. Hvis Jacob starter med at indbetale 100 kr., viser den blå graf, hvor mange penge der er tilbage som funktion af antal spillede minutter. Hvis Jacob afregner efter at han har spillet, viser den røde graf, hvor meget han skylder som funktion af antal spillede minutter. OPGAVE 31 A f(x) = 45x + 85 Grafen for f er den røde graf i koordinatsystemet herunder: Den variable x kan ikke være negativ. Da x er antallet af samtaleminutter på en måned, kan x heller ikke være større end 44.640 (antallet af minutter i en måned med 31 dage). Der er ganske vist en naturlig begrænsning på x, som er langt mindre end 44.640, men den er ikke lige til at fastlægge. Den månedlige abonnementspris er 40 kr. D Det koster 50 øre pr. minut at tale i telefon efter dette abonnement. E f(x) = 0,5x + 40 F Rebecca kan tale i 220 minutter (3 timer og 40 minutter). OPGAVE 30 A Herunder er koordinatsystemet og grafen indtegnet: I koordinatsystemet er også indtegnet grafer fra opgave 32 og 33. OPGAVE 32 A Se opgave 31, punkt. Hvis man vil købe billet til mere end 1 film, kan det betale sig for Mathilde at melde sig ind Kinoklub ity. OPGAVE 33 A Se opgave 31, punkt. Hvis man vil købe billet til mere end 1 film, kan det betale sig for de fire venner at melde sig ind i Kinoklub ity. OPGAVE 34 A Individuelle elevsvar. Individuelle elevtegninger.
Der kan ligeledes tages en fælles snak om, hvordan man kan vise sammenhængen mellem to valuter med en lineær funktion. OPGAVE 35 MÅL OG FAGLIGT INDHOLD Eleverne skal på dette opslag dels arbejde med hvordan man omregner mellem forskellige valutaer, og dels tegne grafer, der viser sammenhængen mellem prisen for to forskellige valutaer. Efterfølgende skal eleverne arbejde med teorien gennem færdighedsprægede og problemløsningsprægede opgaver. Det kan være en fordel, hvis eleverne kan anvende et digitalt værktøj i arbejdet med nogle af opgaverne på siden. Ligeledes kan det være hensigtsmæssigt, hvis de kan tjekke den dagsaktuelle kurs. MATERIALER Evt. et digitalt værktøj. A Hvis kursen er over 100, er en enhed af den udenlandske valuta mere værd end en dansk krone. Hvis kursen er under 100, er en enhed af den udenlandske valuta mindre værd end en dansk krone. EUR, USD og GP er mere værd end den danske krone. SEK, JPY og ZAR er mindre værd en den danske krone. EUR, USD og SEK er blevet billigere, GP, JPY og ZAR er blevet dyrere. D Undersøgelse af valutakurser på nettet. OPGAVE 36 A Jonas betalte 5777,30 kr. Den 5. februar 2015 kostede 100 USD 6503,60 kr. For 1 DKK kunne man den 5. februar 2015 få 18,08 JPY. D Elevundersøgelse. OPGAVE 37 FAITLISTE OG UDDYENDE VEJLEDNING TEORI: VALUTA OG VALUTAKURS Eleverne har tidligere arbejdet med valuta og valutakurser i MULTI 5, men nogle elever vil finde det svært at omregne fra fx danske kroner til euro og omvendt og kan finde abstraktionsniveauet højt i nogle af opgaverne. Det anbefales derfor, at eleverne først læser teoriboksen igennem alene. Derefter kan de parvis arbejde med følgende opgaver, hvor de enten bruger skemaet med valutakurser i teoriboksen eller finder dagens valutakurser på nettet: Hvor mange danske kroner koster 100 euro? Hvor mange danske kroner koster 150 britiske pund? Hvor meget koster 100 danske kroner i svenske kroner? Hvor meget koster 750 danske kroner i amerikanske dollars? Hvor meget koster 150 britiske pund i svenske kroner? A Turen koster 4384,38 DKK. Turen koster 5552,66 SEK og 674,15 USD. Tabel. Her som skærmdump fra et regneark. Drøft evt. med klassen, hvorfor regneudtrykket i celle 2 ser ud, som det gør.
Graf. Her er sammenhængen valgt til antal DKK som funktion af antal ZAR. Den omvendte funktion ville også være et rigtigt svar. OPGAVE 40 A Kurserne fremgår af nedenstående skærmdump fra et regneark. Drøft eventuelt med klassen, hvorfor regneudtrykket i celle 5 ser ud, som det gør. D For 3500 ZAR får man 1992,90 DKK. (eregnet. Ved aflæsning kan svaret ikke gives med denne nøjagtighed. Et godt bud vil da være ca. 2000 DKK.) Svarene afhænger af nationalbankens kurser, som eleverne finder på internettet. Svarene afhænger af resultaterne i punkt. OPGAVE 38 A anken både sælger og køber valuta til forskellige kurser, jf. punkt. Når man skal købe valuta af banken eller sælge valuta til banken, skal den tjene på det. Derfor er købsprisen (den pris kunden betaler) højere end salgsprisen (den pris banken betaler). Som det kan ses af nedenstående skærmdump fra et regneark, er det Frøslev-Mollerup Sparekasse, der giver den bedste pris for de 160 Euro. Drøft eventuelt med klassen, hvorfor regneudtrykket i celle 4 ser ud, som det gør. D Svarene fremgår af regnearket fra punkt. OPGAVE 39 A E Svarene afhænger af de aktuelle valutakurser.
Af tabellen herunder fremgår det, hvor mange penge der bliver indsamlet ved de forskellige afstande: Antal km 30.000 10.000 50.000 Indsamlede kroner 225.000 75.000 375.000 25 millioner kroner svarer til 3 333 333,33 km. MÅL OG FAGLIGT INDHOLD På dette opslag skal eleverne på den første side arbejde med temaet Walkathon, og på den anden side skal de arbejde med evaluering af kapitlet. MATERIALER Evt. et digitalt værktøj PRINTARK E3 egreber og fagord - Funktioner og sammenhænge FAITLISTE OG UDDYENDE VEJLEDNING TEMA: WALKATHON Som optakt til arbejdet med temaet kan eleverne læse mere om projektet Walkathon på internettet. DEL 1 A Funktionsforskriften er f(x) = 7,5x Grafen er den røde graf herunder: DEL 2 A f(x) = 3,75x + 500 000 Grafen er tegnet i DEL 1, punkt A. Skæringspunktet viser, hvornår den første model begynder at indbringe flere penge end den anden. Det sker ved 3 333 333,33 km. DEL 3 A Den første model. Individuelle elevundersøgelser. Som en udvidelse af temaet kan eleverne selv komme med forslag til, hvordan et støtteprogram a la Walkathon kan se ud. De kan udarbejde en præsentation, hvor de forklarer og beskriver ved hjælp af grafer, tabeller m.m., hvordan de vil foreslå et støtteprogram kunne se ud. Kravet kunne fx være, at der skulle indgå noget med en eller og anden form for motion, at støtteprogrammet skulle være målrettet en bred målgruppe, og der mindst skal kunne indsamles 1 000 000 kr. EVALUERING Eleverne skal på denne side evaluere de mål, fagord og begreber, de har arbejdet med gennem kapitlet. DEL 1 A E Elevaktivitet. Eleverne forklarer betydningen af de begreber, de har lært om. DEL 2 A Elevaktivitet. Eleverne viser eksempler og skriver deres egen forståelse af de begreber, de har lært om. DEL 3 A Sammenhængen er en funktion. Sammenhængen er ikke en funktion. Sammenhængen er en funktion. D Sammenhængen er en funktion, hvis man antager, at der anvendes samme mængde hårshampoo ved hver hårvask.
E F G H Sammenhængen er en funktion. Sammenhængen er ikke en funktion. Sammenhængen er ikke en funktion. Sammenhængen er en funktion. FUNKTIONER OG SAMMENHÆNGE DEL 4 A E Individuelle elevsvar, som afhænger af, hvilken sammenhæng de vælger. DEL 5 A Individuelle elevforklaringer. Eleverne kan eksempelvis opstille funktioner for de tre tilbud og indtegne dem i et koordinatsystem. Funktionerne er: ILLIGFOTO: y = 0,8x + 37 ANGFOTO: y = 1,15x SUPER ILLEDER: 65, for 0 < xx 75 yy = 1,3(xx 75) + 65, for xx > 75 Prisen ved de tre tilbud er: ILLIGFOTO: 157 kr. ANGFOTO: 172,5 kr. SUPER ILLEDER: 162,5 kr.
OPGAVE 3 A Ligningerne A og F udtrykker ligefremme proportionale sammenhænge. Ligningerne og E er ikke funktionsforskrifter. OPGAVE 4 A f(x) = 2x f(x) = x + 4 f(x) = 2x 8 MÅL OG FAGLIGT INDHOLD På dette opslag skal eleverne arbejder med færdighedsopgaver på to niveauer. Opgaverne handler om kapitlets emne. MATERIALER Evt. et digitalt værktøj. FAITLISTE OG UDDYENDE VEJLEDNING TRÆN 1 FÆRDIGHEDER OPGAVE 1 A Passer til den gule graf. Passer til den sorte graf. Passer til den lilla graf. D Passer til den grønne graf. E Passer til den blå graf. OPGAVE 2 A F I koordinatsystemet herunder er graferne for funktionerne indtegnet: Mange funktionsforskrifter er mulige fx den simpleste: y = punktets andenkoordinat. Herover er angivet lidt andre muligheder. OPGAVE 5 A Flere svar er mulige. Det væsentligste er, at hældningskoefficienterne her er de samme som dem, eleven har valgt i opgave 4. OPGAVE 6 A Grafen a hører til funktionsforskriften y = x 3. Grafen b hører til funktionsforskriften y = 1,5x + 2,5. Grafen c hører til funktionsforskriften y = 1. Grafen d hører til funktionsforskriften y = 0,5x 2. Skæringspunktet mellem b og c: (1, 1). Skæringspunktet mellem a og d: (2, 1). OPGAVE 7 A 2 kg pærer koster 40 kr. 0,5 kg pærer koster 10 kr. For 45 kr. kan man købe 2,25 kg pærer. D For 20 kr. kan man købe 1 kg pærer. E Antallet af kg (x) kan i princippet have alle værdier i intervallet [ 0 ; [. Selvfølgelig er der en praktisk overgrænse men den kender vi ikke. TRÆN 2 FÆRDIGHEDER OPGAVE 1 A D Til højre er punkterne afsat og graferne tegnet i samme koordinatsystem.
OPGAVE 2 A Individuelle elevsvar. Eleverne tegner parallelle linjer med graferne i opgave 1 og skriver de tilhørende funktionsforskrifter. OPGAVE 3 A a: y = 0,75x + 0,5 b: y = 1,75x + 2,5 c: x = 2 d: y = 0,5x 2 Det fælles skæringspunkt er (2, 1). Der er flere y-værdier til same x-værdi. OPGAVE 4 A y = 5x y = 0,5x y = x D f(x) = 13,8x + 24 E f(x) = 0,5x OPGAVE 5 A Trinnummer: 1 Tal: 3 Trinnummer: 2 Tal: 5 Trinnummer: 3 Tal: 7 Trinnummer: 4 Tal: 9 Trinnummer: 5 Tal: 11 Trinnummer: 6 Tal: 13 Trinnummer: 7 Tal: 15 f(x) = 2x + 1 Grafen er i virkeligheden en punktgraf her tegnet sammenhængende: OPGAVE 6 A Trinnummer: 1 Tal: 1,3 Trinnummer: 2 Tal: 2,5 Trinnummer: 3 Tal: 2,9 Trinnummer: 4 Tal: 3,7 Trinnummer: 5 Tal: 4,5 Trinnummer: 6 Tal: 5,3 Trinnummer: 7 Tal: 6,1 f(x) = 0,8x + 0,5 Trinnummer: 15 Tal: 12,5. D Herunder angives tabeller, funktionsforskrifter og tal nr. 15 for de to talfølger. Graferne tegnes ikke, da de er nemme at genkende efter funktionsforskrifterne. Talfølgen: 2, 0, 2, 4, : Trinnummer: 1 Tal: 2 Trinnummer: 2 Tal: 0 Trinnummer: 3 Tal: 2 Trinnummer: 4 Tal: 4 Trinnummer: 5 Tal: 6 Trinnummer: 6 Tal: 8 Trinnummer: 7 Tal: 10 Funktionsforskrift: f(x) = 2x 4 Trinnummer: 15 Tal 26. Talfølgen: 15, 10, 5, 0, : Trinnummer: 1 Tal: 15 Trinnummer: 2 Tal: 10 Trinnummer: 3 Tal: 5 Trinnummer: 4 Tal: 0 Trinnummer: 5 Tal: 5 Trinnummer: 6 Tal: 10 Trinnummer: 7 Tal: 15 Funktionsforskrift: f(x) = 5x + 20 Trinnummer: 15 Tal 55. OPGAVE 7 A D Individuelle elevbeskrivelser. D Trinnummer: 25 Tal: 51 Trinnummer: 40 Tal: 81
MÅL OG FAGLIGT INDHOLD På dette opslag skal eleverne arbejder med problemløsningsopgaver på to niveauer. Opgaverne handler om kapitlets emne. MATERIALER Evt. et digitalt værktøj. FAITLISTE OG UDDYENDE VEJLEDNING TRÆN 1 PROLEMLØSNING OPGAVE 1 A Da x og y er sidelængder i et rektangel med omkredsen 20 cm gælder, at 2x + 2y = 20. Ved division med 2 i denne ligning fås x + y = 10, og ved isolering af y fås y = 10 x. Funktionens definitionsmængde er det åbne interval ]0; 10[. Til højre er grafen for funktionen indtegnet. OPGAVE 2 A Sidelængde: 1 Omkreds: 4 Sidelængde: 2 Omkreds: 8 Sidelængde: 3 Omkreds: 12 Sidelængde: 4 Omkreds: 16 Sidelængde: 5 Omkreds: 20 Sidelængde: 10 Omkreds: 40 Til højre er en linje, der viser sammenhængen mellem kvadratets sidelængde og omkreds, indtegnet i et koordinatsystem. Funktionsforskriften er f(x) = 4x. D Sidelængde: 1, Areal: 1 Sidelængde: 2, Areal: 4 Sidelængde: 3, Areal: 9 Sidelængde: 4, Areal: 16 Sidelængde: 5, Areal: 25 Sidelængde: 10, Areal: 100 Funktionsforskriften er f(x) = x 2 OPGAVE 3 A Svarene afhænger af de aktuelle kurser på britiske pund og amerikanske dollars, som eleverne finder på internettet. OPGAVE 4 A Odense: f(x) = 36,44x og Kerteminde: h(x) = 52,87x, hvor x er antallet af forbrugte kubikmeter vand, og f(x) hhv. h(x) er prisen i kroner. Til højre er graferne indtegnet i et koordinatsystem. Akserne kan tilpasses, så de er lettere for eleverne at aflæse, hvis der anvendes et digitalt værktøj. D ianca bruger 43,8 m 3 vand om året til brusebade. E iancas bade koster 1596,07 kr. om året. F Hvis familien flyttede til Kerteminde, ville iancas bade koste 2315,71 kr. årligt. G Hvert brusebad ville i Kerteminde koste 1,97 kr. Punkt E, F og G er beregnet. Ved aflæsning må man forvente en mindre nøjagtighed og en vis afvigelse fra ovenstående resultater.
TRÆN 2 PROLEMLØSNING E Spillehallen: f(x) = 30x OPGAVE 1 A Davids gennemsnitshastighed er 14,22 km/t. Herunder er tegnet en graf, der viser sammenhængen mellem afstanden i km og tiden i minutter. F Spillehallen er kun billigst ved køb af 1 eller 2 spil. OPGAVE 3 Mindste x-værdi: 0. Største x-værdi: 42,195. D David skal i gennemsnit løbe 15,82 km/t. E Det er ikke realistisk. Det er umuligt at holde præcis det samme tempo gennem 42,195 km. A At køre en km koster 0,55 kr. f(x) = 0,55x + 5740, hvor x er det kørte antal km, og f(x) er den samlede biludgift. Herunder er grafen indtegnet i et koordinatsystem: OPGAVE 2 A Netgame: f(x) = 20x + 30 Gameworld: f(x) = 10x + 60 Herunder er de to grafer indtegnet i samme koordinatsystem. Graferne er egentlig punktgrafer, men tegnes her sammenhængende. D E F 10 000 km: 11 240 kr. 18 000 km: 15 640 kr. 25 000 km: 19 490 kr. Hvis familien har råd til at bruge 1000 kr./måned til brændstof, kan den bruge 12.000 kr./år. Vi skal derfor på y-aksen finde tallet 17.740 (12.000 + 5740) og aflæse den tilsvarende x-værdi på grafen. Det giver ca. 22.000 km (beregnet: 21.818,2 km). Hvis prisen på diesel er 12,5 kr./l, kan familien køre 1600 km pr. måned for 1000 kr. D Når han køber 3 spil så er prisen nemlig den samme hos de to forhandlere. Netgame er billigst, hvis man køber 1 eller 2 spil. Gameworld er billigst, hvis man købere mere end 3 spil.