GrundlÄggende variabelsammenhänge

GrundlÄggende variabelsammenhänge for C-niveau i stx 2016 Karsten Juul

LineÄr sammenhäng og regler for ligevägt 1. Regler om ligevägt... 1 2. Eksempler med regler for ligevägt... 2 3. OplÄg om lineäre sammenhänge... 3 4. Ligning for lineär sammenhäng... 3 5. Graf for lineär sammenhäng... 4 6. Bestem y når vi kender x... 4 7. Bestem x når vi kender y... 5 8. LineÄr väkst... 5 9. Skriv ligning ud fra beskrivelse af lineär väkst... 6 10. Skriv hvad a og b i lineär sammenhäng fortäller... 6 11. Find ligning ud fra lineär graf... 7 12. Tegn graf ud fra lineär ligning... 7 13. Bestem b i y = a x + b ud fra a og Çt punkt... 8 14. Bestem a i y = a x + b ud fra b og Çt punkt... 8 15. Bestem a og b i y = a x + b ud fra to punkter... 8 16. Bestem lineär sammenhäng ud fra to punkter givet ved tekst... 8 17. Bestem skäringspunkt mellem to grafer... 8 18. HvornÅr bliver A billigst?... 9 19. LineÄr regression... 9 20. Hvorfor skal alle tal i tabel bruges?... 10 21. Regression, Årstal... 10 Eksponentiel sammenhäng og procent 22. Procenter på en ny måde... 11 23. VÄkstrate... 12 24. OplÄg til ramme 25... 12 25. Ligning for eksponentiel sammenhäng... 12 26. Eksponentiel väkst... 13 27. Skriv ligning ud fra beskrivelse af eksponentiel väkst... 13 28. Skriv hvad a og b i y = b a x fortäller... 14 29. Grafer for y = b a x... 15 30. Udregn x eller y i y = b a x i tekstopgave... 15 31. Udregn a og b i y = b a x ud fra to oplysninger i tekstopgave... 16 32. Eksponentiel regression... 16 33. Hvad er fordoblingskonstant og halveringskonstant... 17 34. AflÄs fordoblingskonstant og halveringskonstant på graf... 17 35. Skriv hvad fordoblings- og halveringskonstant fortäller... 18 36. Udregn y-värdier med fordoblingskonstant eller halveringskonstant... 18 37. Udregn T 2 og T 0,5 når vi kender ligningen y = b a x... 18 38. Renteformlen... 19 PotenssammenhÄng 39. Ligning for potenssammenhäng... 20 40. Udregn x eller y i y = b x a i tekstopgave... 20 41. PotensvÄkst... 20 42. Bestem procentändring for potenssammenhäng... 21 43. Graf for potenssammenhäng... 21 44. Udregn a og b i y = b x a ud fra to oplysninger... 21 45. Potensregression... 21 46. Proportionale variable... 22 47. Omvendt proportionale variable... 23 48. Opgave hvor variable fra virkeligheden er omvendt proportionale... 23 Beviser 49. Nogle regler for potenser... 24 50. Bevis for hvad a og b i y = a x + b fortäller... 24 51. Bevis for hvad a og b i y = b a x fortäller... 24 52. Bevis for reglen om potensväkst... 24 Dette häfte er en fortsättelse af VariabelsammenhÄnge generelt for matematik pç C-niveau i stx og hf som kan downloades fra http://mat1.dk/noter.htm. GrundlÄggende variabelsammenhänge for C-niveau i stx Å 2016 Karsten Juul 7/5-2017 Nyeste version af dette häfte kan downloades fra http://mat1.dk/noter.htm. HÄftet mç benyttes i undervisningen hvis läreren med det samme sender en e-mail til kj@mat1.dk som oplyser at dette häfte benyttes og oplyser hold, niveau, lärer og skole.

LineÄr sammenhäng og regler for ligevägt 1. Regler om ligevägt. 1a. LigevÄgt bevares når vi träkker 2 fra begge sider En grçn klods vejer x kg. En gul klods vejer 1 kg. VÄgten viser at x + 2 = 5 TrÄkker 2 fra begge sider x + 2 2 = 5 2 VÄgten viser at x = 3 1b. LigevÄgt bevares IKKE når vi träkker 2 fra venstre side En grçn klods vejer x kg. En gul klods vejer 1 kg. VÄgten viser at x + 2 = 5 TrÄkker 2 fra venstre side x + 2 2 = 5 FEJL! VÄgten viser at der IKKE gälder x = 5 1c. LigevÄgt bevares når vi dividerer begge sider med 2 En grçn klods vejer x kg. En gul klods vejer 1 kg. VÄgten viser at 2x = 6 Dividerer begge sider med 2 2x = 6 2 2 VÄgten viser at x = 3 1d. Det skal väre hele siden der divideres En grçn klods vejer x kg. En gul klods vejer 1 kg. VÄgten viser at 2x + 2 = 6 Ikke hele venstre side divideres 2x + 2 = 6 2 2 FEJL! VÄgten viser at der IKKE gälder x + 2 = 3 Korrekte omskrivninger: 2x 2 TrÄkker 2 fra begge sider 2x 4 Dividerer begge sider med 2 2x 4 2 2 x 2 6 1e. Regler om ligevägt 1f. Vi må lägge samme tal til begge sider af lighedstegnet. 1g. Vi må träkke samme tal fra begge sider af lighedstegnet. 1h. Vi må gange begge sider af lighedstegnet med samme tal hvis dette tal ikke er nul. 1i. Vi må dividere begge sider af lighedstegnet med samme tal hvis dette tal ikke er nul. Reglerne ovenfor er skrevet meget kort. PÇ näste side forklarer vi grundigt hvad reglerne om ligevägt gçr ud pç. Vi kan träne reglerne om ligevägt ved at bruge dem til at lése ligninger. SÑ nytter det ikke at du léser ligningerne ved hjälp af andre regler, da det er reglerne om ligevägt der er formñlet med Évelserne. Reglerne om ligevägt er en vigtig del af pensum. GrundlÄggende variabelsammenhänge for C-niveau i stx 1 2016 Karsten Juul

2. Eksempler med regler for ligevägt. I denne ramme går det ud på at få x til at stå alene ved at bruge regler om ligevägt. 2a. x + 8 = 12 Der er lagt 8 til x. Det modsatte er at träkke 8 fra. x + 8 8 = 12 8 Derfor träkker vi 8 fra begge sider. x = 4 2b. x + 5 = 14 Der er lagt 5 til x. Det modsatte er at träkke 5 fra. x + 5 5 = 14 5 Derfor träkker vi 5 fra begge sider. x = 19 2c. x 6 = 9 Der er trukket 6 fra x. Det modsatte er at lägge 6 til. x 6 + 6 = 9 + 6 Derfor lägger vi 6 til begge sider. x = 15 2d. 4 x = 3 Der er lagt 4 til x (minus står ikke foran 4). Det modsatte er at träkke 4 fra. 4 x 4 = 3 4 Derfor träkker vi 4 fra begge sider. x = 1 I 2k står hvordan vi fjerner minus så x står alene. 2e. 7 + x = 2 Der er trukket 7 fra x. Det modsatte er at lägge 7 til. 7 + x + 7 = 2 + 7 Derfor lägger vi 7 til begge sider. x = 9 2f. 24 = 3 x Der er trukket 3 fra x. Det modsatte er at lägge 3 til. 24 + 3 = 3 x + 3 Derfor lägger vi 3 til begge sider. 27 = x I 2k står hvordan vi fjerner minus så x står alene. 2g. Nogle regler om brçker 4x 4 kan omskrives til x fordi der står gange mellem 4 og x. x ( 5) 5 kan omskrives til x fordi der står gange. x 5 5 og 3 x 3 kan ikke omskrives til x fordi der ikke står gange. 2h. 3x = 12 x er ganget med 3. Det modsatte er at dividere med 3. 3x 12 = 3 3 Derfor dividerer vi begge sider med 3. x = 4 PÅ venstre side kan 3 forkortes väk fordi der står gange mellem 3 og x. 2i. 2 = x 5 x er ganget med 5. Det modsatte er at dividere med 5. 2 x 5 = 5 5 Derfor dividerer vi begge sider med 5. 0,4 = x PÅ hñjre side kan 5 forkortes väk fordi der står gange mellem x og 5. 2j. 8x = 1 x er ganget med 8. Det modsatte er at dividere med 8. 8x 1 = 8 8 Derfor dividerer vi begge sider med 8. x = 0,125 PÅ venstre side kan 8 forkortes väk fordi der står gange mellem 8 og x. 2k. x = 9 x ( 1) = 9 ( 1) Vi ganger begge sider med 1. x = 9 Fordi minus gange minus er plus. 2l. Samle led af samme type 9x + 5 +7x 9x og 7x er samme type. = 2x + 5 NÅr vi fra syv x'er träkker ni x'er, får vi minus to x'er. 15 4 + 8x 1 + x 15 og 4 og 1 er samme type. 8x og x er samme type. = 10 + 9x Fra 15 träkker vi 4 og 1 og får 10. Otte x'er plus Çt x er ni x'er. 2m. 6x = 2 +10x 6x 10x = 2 +10x 10x 4x = 2 4x 2 4 4 x = 0,5 I disse udregninger har vi brugt mellemregninger til at vise hvilke regler for ligevägt vi har brugt. GrundlÄggende variabelsammenhänge for C-niveau i stx 2 2016 Karsten Juul

3. OplÄg om lineäre sammenhänge Vi kñber en 12 mm hñj plante som vokser 4 mm hver dag. Vi kan tänke os til fñgende: Efter 1 dag er hñjden 12 4 mm Efter 2 dage er hñjden 12 4 2 mm Efter 10 dage er hñjden 12 4 10 mm Efter x dage er hñjden 12 4 x mm Der gälder altså at når y er hñjden (i mm), er y 4 x 12 Ligningen for denne sammenhäng er altså af typen y a x b I koordinatsystemet har vi tegnet en prik der viser at 0 dage efter kñbet er hñjden 12 mm, en prik der viser at 1 dag senere er planten 4 mm hñjere, en prik der viser at efter endnu en dag er planten igen blevet 4 mm hñjere, osv. Da stigningen er den samme hver dag, kommer punkterne til at ligge på en ret linje. Derfor kalder man en sammenhäng lineär når stigningen hele tiden er den samme. NÅr stigningen hele tiden er den samme, må ligningen for sammenhängen väre af typen y a x b hvor a er det vi skal lägge til värdien af y hver gang vi gñr värdien af x Çn enhed stñrre. For sammenhängen y 3x 5 skal vi lägge 3 til y hver gang vi gñr x Çn enhed stñrre. AltsÅ bliver y-värdierne stñrre og stñrre, så sammenhängen er voksende. For sammenhängen y 2x 8 skal vi lägge 2 til y hver gang vi gñr x Çn enhed stñrre. AltsÅ bliver y-värdierne mindre og mindre, så sammenhängen er aftagende. 4. Ligning for lineär sammenhäng 4a. Regel: En sammenhäng mellem to variable x og y er lineär hvis den har en ligning af typen y = a x + b hvor a, b og x kan väre alle tal. Tallet a som står foran x kaldes häldningskoefficienten. Den lineäre sammenhäng er voksende hvis a er positiv. er aftagende hvis a er negativ. 4b. Eksempel: Hvis a = 5 og b = 2 er y = 5 x + ( 2) dvs. y = 5x 2 4c. Eksempel: Hvis a = 1 og b = 0,25 er y = 1 x + 0,25 dvs. y = x + 0,25 GrundlÄggende variabelsammenhänge for C-niveau i stx 3 2016 Karsten Juul

5. Graf for lineär sammenhäng 5a. Regel: Grafen for en lineär sammenhäng er en ret linje. 5b. Opgave: Tegn grafen for sammenhängen y 0,5x 0, 7 Metode 1: Da grafen er en ret linje, behñver vi kun udregne to punkter for at kunne tegne den. De to punkter skal ligge langt fra hinanden for at få stor nñjagtighed. Se figur. Punkt med x = 4. Vi får punktets y ved at indsätte 4 for x i 0,5x + 0,7: NÅr x 4 er y 0,5 4 0,7 2,7 Punkt med x = 3. Vi får punktets y ved at indsätte 3 for x i 0,5x + 0,7: NÅr x 3 er y 0,5 ( 3) 0,7 0,8 Vi tegner den rette linje gennem punkterne ( 3, 0,8) og ( 4, 2,7). Metode 2: Vi taster forskriften f ( x) 0,5 x 0, 7 på Nspire på en grafside og får grafen til hñjre. Vi kan afläse denne graf nñjagtigt ved at afsätte et punkt på grafen og Ändre en af punktets koordinater. 6. Bestem y når vi kender x 6a. Opgave: Nogle skiver findes i forskellige stñrrelser. NÅr y er diameter, målt i mm, og x er tykkelse, målt i mm, er y 3x 5. Metode: Hvad er diameteren når tykkelsen er 2 mm? SpÑrgsmÅlet kan oversättes til Hvad er y når x er 2? Vi indsätter 2 for x i y 3x 5 og får y 3 2 5 Vi udregner hñjresiden og får y 11 Konklusion: En skives diameter er 11mm når dens tykkelse er 2 mm Da der i opgave stçr at y er diameter og x er tykkelse. I opgave stçr at y er tykkelse. 6b. Opgave: Billedet viser grafen for sammenhängen y 3x 5. Udregn y-koordinaten til det grafpunkt som har x-koordinat 2. Metode: NÅr x 2 er y 3 2 5 11 Konklusion: Grafpunkt med x-koordinat 2 har y-koordinat 11. GrundlÄggende variabelsammenhänge for C-niveau i stx 4 2016 Karsten Juul

7. Bestem x når vi kender y 7a. Opgave: Nogle skiver findes i forskellige stñrrelser. NÅr y er diameter, målt i mm, og x er tykkelse, målt i mm, er y 3x 5. Hvad er tykkelsen når diameteren er 17 mm? Metode: SpÑrgsmÅlet kan oversättes til Hvad er x når y er 17? Da der i opgave stçr at y er tykkelse og x er diameter. Vi indsätter 17 for y i y 3x 5 og får 17 3x 5 12 3x Vi har trukket 5 fra begge sider (se 1g). 12 3x Vi har divideret begge sider med 3 (se 1i). 3 3 4 x Vi har udregnet venstre side. Vi har forkortet héjre side (se 2g). I opgave stçr at x er tykkelse. Konklusion: NÅr skivens tykkelse er 4 mm, så er dens tykkelse er 17 mm 7b. Opgave: Billedet viser grafen for sammenhängen Metode: y 3x 5 Udregn x-koordinaten til det grafpunkt som har y-koordinat 17. Vi skal finde et tal x så 17 3x 5 Det skal fremgç hvordan du finder lésningen. Vi lñser denne ligning mht. x og får x 4. Konklusion: Grafpunkt med y-koordinat 17 har x-koordinat 4. 8. LineÄr väkst. 8a. Reglen for lineär väkst (reglen for hvad a i en lineär sammenhäng y = a x + b fortäller): Hver gang vi gñr x Çn enhed stñrre, bliver der lagt a til värdien af y. 8b. Reglen for hvad b i lineär sammenhäng y = a x + b fortäller: NÅr x er 0, er y lig b. 8c. Af 6b og 6a får vi: PÅ grafen for y = 0,3x+0,9 ligger punkterne (-1, 0,6), (0, 0,9), (1, 1,2), (2, 1,5) osv. Den skrå sorte linje er graf for funktionen y = 0,3x +0,9. Figuren viser at der lägges 0,3 til y-koordinaten (sñjlehñjden) når x bliver 1 stñrre. 0,6 + 0,3 y 0,9 + 0,3 1,2 + 0,3 1,5 0,3x +0,9 +1 +1 +1 x : 1 0 1 2 x y : 0,6 0,9 1,2 1,5 0,3x+0,9 +0,3 +0,3 +0,3 8d. Hvis vi afläser punkterne (0,7), (1,11), (2,15), (3,19) på en lineär graf, kan vi af 8a og 8b slutte at y = 4x+7. GrundlÄggende variabelsammenhänge for C-niveau i stx 5 2016 Karsten Juul

8e. For y = 3x+5 gälder: Hvis vi 10 gange gñr x en stñrre, vil der 10 gange blive lagt 3 til y, så: Hver gang vi gñr x 10 enheder stñrre, bliver der lagt 30 til värdien af y. Dvs. på grafen ligger punkterne ( 10, 25), (0,5), (10,35), (20,65) osv. +10 +10 +10 3 10 = 30 x : 10 0 10 20 x y : 25 5 35 65 3x+5 +30 +30 +30 9. Skriv ligning ud fra beskrivelse af lineär väkst 9a. Opgave Vi skal betale 10 kr. for at starte på et spil, og vi skal betale 0,50 kr. pr. minut vi spiller. (voksende) Skriv ligning vi kan bruge til at udregne pris for at spille når vi kender antal minutter vi spiller. Svar Antal kr. stiger med samme antal hvert minut, så der er en lineär sammenhäng y = a x + b. hvor y = antal kr. og x = antal minutter. Der står: NÅr antal minutter bliver Çn stñrre, bliver antal kr. 0,50 stñrre dvs. når x bliver Çn stñrre, bliver y 0,50 stñrre så når x bliver Çn stñrre, bliver der til y lagt 0,50. Derfor: a = 0,50 ifälge reglen om hvad a fortåller (regel 8a) Der står: NÅr antal minutter er 0 er antal kr. lig 10 dvs. når x er 0, er y lig 10 Derfor: b = 10 ifälge reglen om hvad b fortåller (regel 8b).y = 0,50 x + 10. hvor y = antal kr. og x = antal minutter 9b. Opgave Ved fremstilling af blå väske bruges grñn väske fra beholder. BlÅ väske opsamles i et kar. (aftagende) NÅr blå väskehñjde er 0 cm, er grñn väskehñjde 120 cm. NÅr blå väskehñjde bliver 1 cm stñrre, bliver grñn väskehñjde 2,4 cm mindre. Skriv ligning vi kan bruge til at udregne blå väskehñjde når vi kender grñn väskehñjde. Svar GrÑn väskehñjde falder samme antal enheder hver gang blå stiger 1 enhed, så der er en lineär sammenhäng y = a x + b, hvor y = grçn väskehçjde og x = blå väskehçjde. Der står: NÅr blå väskehçjde bliver Çn stñrre, bliver grçn väskehçjde 2,4 mindre, dvs. når x bliver Çn stñrre, bliver y 2,4 mindre så når x bliver Çn stñrre, bliver der til y lagt 2,4. Derfor: a = 2,4 ifälge reglen om hvad a fortåller (regel 8a) Der står: NÅr blå väskehçjde er 0 er grçn väskehçjde lig 120, dvs. når x er 0, er y lig 120 Derfor: b = 120 ifälge reglen om hvad b fortåller (regel 8b).y = 2,4 x + 120. hvor y = grñn väskehñjde i cm og x = blå väskehñjde i cm 10. Skriv hvad a og b i lineär sammenhäng fortäller 10a. Opgave For en forening er det aftalt at (voksende) y 15 x 22 hvor x er antal År efter 2014 og y er antal medlemmer. Hvad fortäller tallene 15 og 22 om antal medlemmer? Svar Af reglerne for hvad a og b i y ax b fortäller, får vi: Hver gang vi gñr antal År x Çn stñrre, bliver der lagt 15 til antal medlemmer y. NÅr antal År x er 0, er antal medlemmer y lig 80. Dvs.: 15 : Hvert År bliver antal medlemmer 15 stñrre. 22: I 2014 er antal medlemmer 22. GrundlÄggende variabelsammenhänge for C-niveau i stx 6 2016 Karsten Juul

10b. Opgave For en cirkel på et elektronisk billede kan radius udregnes ved hjälp af formlen (aftagende) y 2 x 80 hvor x er temperaturen i C og y er radius i mm. Hvad fortäller tallene 2 og 80 om radius? Svar Af reglerne for hvad a og b i y ax b fortäller, får vi: Hver gang vi gñr temperaturen x Çn grad stñrre, bliver der lagt 2 til radius y. NÅr temperaturen x er 0, er radius y lig 80. Dvs.: 2 : Radius bliver 2 mm mindre for hver grad temperaturen stiger. 80: Radius er 80 mm ved 0 C 11. Find ligning ud fra lineär graf Grafen til viser sammenhängen mellem to variable x og y. PÅ grafen ser vi: NÅr x 0 er y 1, 5. Hver gang vi gñr x 1 enhed stñrre, så bliver y 2 enheder stñrre. Dette betyder ifñlge reglerne for hvad a og b i y ax b fortäller, at: Figuren viser grafen for sammenhängen y 2x 1,5 2 2 2 1 2 1 Denne metode kan vi kun bruge når tallene er simple. I andre tifälde må vi afläse to punkter på grafen og udregne a og b ud fra disse. 1,5 0 1 1 12. Tegn graf ud fra lineär ligning SammenhÄngen y 0,5 x 2 er af typen y ax b med a = 0,5 og b = 2. NÅr x 0 er y 2. PÅ figur 1 har vi brugt dette til at tegne et punkt på grafen. Hver gang vi gñr x en enhed stñrre, skal lägge 0,5 til y. PÅ figur 2 har vi brugt dette til at tegne endnu et punkt. Vi gentager dette og får punkterne på figur 3. Ud fra disse punkter kan vi tegne grafen. Hvis tallene ikke er simple, tegner vi grafen ved en af metoderne fra ramme 5. Figur 1 Figur 2 Figur 3 0,5 1 0,5 1 GrundlÄggende variabelsammenhänge for C-niveau i stx 7 2016 Karsten Juul

13. Bestem b i y = ax+b ud fra a og Ñt punkt. Opgave Punktet ( 4, 35) ligger på grafen for sammenhängen y = 8 x +b. Find tallet b. Svar NÅr vi indsätter 4 for x i 8 x +b, så skal vi få y som er 35, dvs. 35 = 8 4 +b. Vi skal finde ud af hvad b skal väre for at dette gälder, så vi lñser denne ligning mht. b og får b 3. 14. Bestem a i y = ax+b ud fra b og Ñt punkt. Opgave Punktet ( 5, 8) ligger på grafen for sammenhängen y = a x +18. Find tallet a. Svar NÅr vi indsätter 5 for x i a x +18, så skal vi få y som er 8, dvs. 8 = a 5 +18. Vi skal finde ud af hvad a skal väre for at dette gälder, så vi lñser denne ligning mht. a og får a 2. 15. Bestem a og b i y = ax+b ud fra to punkter. Opgave Punkterne ( 7, 1) og (8, 4) ligger på grafen for sammenhängen y = a x + b. Find tallene a og b. Svar NÅr vi indsätter 7 og 8 for x i a x + b, så skal vi få 1 og 4, dvs. 1 a ( 7) b og 4 a 8 b Nspire lñser ligningssystemet mht. a og b og får a 0, 2 og b 2, 4. 16. Bestem lineär sammenhäng ud fra to punkter givet ved tekst. Opgave Der er en lineär sammenhäng mellem temperatur x (målt i C) og overskud y (målt i mio. kr.). NÅr temperaturen er 3 C, er overskuddet 12 mio. kr. NÅr temperaturen er 5 C, er overskuddet 28 mio. kr. Skriv en ligning der viser sammenhängen mellem temperatur og overskud. Svar Da sammenhängen er lineär, har den en ligning af typen y = a x + b. NÅr temperatur x er 3 og 5, er overskud y lig 12 og 28, dvs. 12 = a ( 3) + b og 28 = a 5 + b Nspire lñser dette ligningssystem mht. a og b og får a = 2 og b = 18. Ligning y 2x 18 viser sammenhäng mellem temperatur x i C og overskud y i mio. kr. 17. Bestem skäringspunkt mellem to grafer. Opgave: Metode 1: Metode 2: Find koordinatsättet til skäringspunktet mellem graferne for de to sammenhänge y = 1,2 x 7,4 og y = 0,6 x + 2,8. Vi skal finde et tal x så de to udtryk 1,2 x 7,4 og 0,6 x + 2,8 giver samme y-koordinat. Nspire lñser ligningen 1,2x 7,4 = 0,6x + 2,8 mht. x og får x = 17. SkÄringspunktet er ( 17,13). Vi taster 1,2x 7,4 og 0,6x + 2,8 og får Nspire til at tegne de to grafer. Vi Ändrer udsnit af koordinatsystem så vi kan se skäringspunkt. Vi får Nspire til at finde skäringspunkt. SkÄringspunktet er ( 17,13). IndsÄtter vi x = 17 i 1,2 x 7,4 og 0,6 x + 2,8, sç giver det samme y. GrundlÄggende variabelsammenhänge for C-niveau i stx 8 2016 Karsten Juul

18. HvornÅr bliver A billigst? Opgave: To forretninger A og B starter samtidigt salget af en vare. NÅr x = dage efter salgets start og y = varens pris i kr. gälder: A: y = 3,5 x + 2239 og B: y = 2 x + 1888 HvornÅr bliver A billigst? Svar: Vi bestemmer fñrst x så de to udtryk 3,5 x + 2239 og 2 x + 1888 giver samme pris. Nspire lñser ligningen 3,5 x + 2239 = 2 x + 1888 mht. x og får x = 234. Til hñjre for skäringspunktet ligger den blå A-graf underst, så Efter dag 234 er A billigst. 19. LineÄr regression. 19 a. Opgave Vi har målt längde og bredde for nogle plader: längde i cm 11,5 12,5 13,5 14,5 15,5 bredde i cm 5,1 5,3 5,9 6,1 6,6 Der gälder med god tilnärmelse y = ax+b hvor y er bredde i cm, hvor x er längde målt i cm. Find tallene a og b. Svar PÅ Nspire kan besvarelsen se sådan ud: Brugsanvisning Skal väre samme navn. Del siden op i to. VÄlg Lister og Regneark i hñjre vindue. NÅr du har tastet tabellen, så flyt markñr til tomt felt. VÄlg i värktñjsmenu: Statistik / Statistiske beregninger / LineÄr regression (mx+b)... SÅ fremkommer et vindue vi udfylder sådan: I et matematikfelt i notevinduet taster vi f(x) (hvis vi har tastet f her ). Tryk på enter for at få resultatet. Skal välges. IKKE tastes. De grñnne längde-tal Ñverst i besvarelsen har jeg kopieret fra tabellen ved at gñre sådan: I et matematikfelt skrev jeg längde og trykkede på enter. I en kopi af resultatet tilfñjede jeg nogle mellemrum. Tildsvarende med de grñnne bredde-tal. GrundlÄggende variabelsammenhänge for C-niveau i stx 9 2016 Karsten Juul

20. Hvorfor skal alle tal i tabel bruges? Tabel: x: 1 3 5 7 y: 2 3 6 9 De fire punkter i tabellen er vist som rñde prikker. Hvis vi bruger alle punkter til at bestemme lineär graf, så får vi den fuldt optrukne linje. Hvis vi kun bruger de to fñrste punkter, så får vi den punkterede linje som passer dårligere med tabellen. 21. Regression, Årstal. Opgave Tabellen viser antallet af boliger i et bestemt område. Antallet af boliger kan med god tilnärmelse beskrives ved en ligning af typen antallet af boliger, og x er antal År efter 1998. Find tallene a og b. Örstal 1998 2000 2002 2004 2006 2008 Antal boliger 133 170 186 218 232 247 Svar PÅ Nspire kan besvarelsen se sådan ud: y ax b hvor y er Vi taster IKKE Årstal da x ikke er Årstallet! Se brugsanvisning i ramme 19. GrundlÄggende variabelsammenhänge for C-niveau i stx 10 2016 Karsten Juul

Eksponentiel sammenhäng 22. Procenter på en ny måde. og procent 22a. T er 34 % af 600 T = 34 % af 600 34 = 600 Ü 0,34 da 34% = 100 = 204 = 0,34 Du plejer nok at udregne 34 % ved at dividere med 100 og gange med 34. I nogle opgavetyper dur denne metode ikke. Du er nñdt til at vänne dig til at gange med 0,34 for at udregne 34 %. 22b. S er 34 % stçrre end 600 S = 134 % af 600 da 100 % + 34 % = 134 % 134 = 600 Ü 1,34 da 134 % = = 1,34 100 = 804 22c. R er 34 % mindre end 600 R = 66 % af 600 da 100 % 34% = 66 % 66 = 600 Ü 0,66 da 66% = 100 = 396 = 0,66 NÅr du udregner det der er 34% stñrre end et tal, så plejer du nok at udregne 34 % af tallet og lägge til tallet. I nogle opgavetyper dur denne metode ikke. Du er nñdt til at vänne dig til at gange med 1,34 for at udregne det der er 34 % stñrre. NÅr du udregner det der er 34% mindre end et tal, så plejer du nok at udregne 34 % af tallet og träkke fra tallet. I nogle opgavetyper dur denne metode ikke. Du er nñdt til at vänne dig til at gange med 0,66 for at udregne det der er 34 % mindre. 22d. Hvor mange procent er 52 af 126? 52 126 0,412698 41,2698 41,3% 52 er 41,3 % af 126. 22e. Oversigt over grundläggende procentregning y 0,30 y 0,30 y y y 1 y 1,30 y y 0,70 0,30 0,70 1 y 0,30 A B A B A B B er 30% af A B er 30% stçrre end A B er 30% mindre end A B er 130% af A B er 70% af A 470 141 0,30 141 er 30% af 470 470 141 GrundlÄggende variabelsammenhänge for C-niveau i stx 11 2016 Karsten Juul

23. VÄkstrate. 23a. Hvad er väkstrate? SÄtningen den Årlige väkstrate er 18% betyder stigningen er 18 % hvert Årt SÄtningen den månedlige väkstrate er 3 % betyder stigningen er 3 % hver måned 23b. Eksempel Der gälder Antal ansatte skal stige med en Årlig väkstrate på 10 %. Dvs. Antal ansatte skal stige 10 % hvert År. 100 % 45% 145 % 145 1,45 I År er antal ansatte 820 100 Om 1 År er antal ansatte 820 1,45 1189 Om 2 År er antal ansatte 820 1,45 1,45 1724 6 Om 6 År er antal ansatte 820 1,45 7621 Om x År er antal ansatte 820 1,45 x 820 1,45 x 1,45 1,45 2 1,45 Antal ansatte 1189 820 1,45 1,45 1724 1,45 2500 År 24. OplÄg til ramme 25. Antal ansatte y skal stige 10 % hvert År. 100 % 10 % 110 % 110 1, 10 100 I År er antal ansatte y = 1000 Om 1 År er antal ansatte y = 1000 1,10 1100 Om 2 År er antal ansatte y = 1000 1,10 1,10 1210 16 Om 16 År er antal ansatte y = 1000 1,10 4595 Om x År er antal ansatte y = 1000 1,10 x Denne ligning viser sammenhängen mellem y og x. Vi ser at ligningen er af typen y = b a x 25. Ligning for eksponentiel sammenhäng En sammenhäng er eksponentiel hvis den har en ligning af typen y = b a x a og b skal väre positive tal. Alle tal kan indsättes for x. 1,10 1,10 Uanset hvilket tal vi indsätter for x, så bliver resultatet y et positivt tal. 2 1,10 GrundlÄggende variabelsammenhänge for C-niveau i stx 12 2016 Karsten Juul

26. Eksponentiel väkst. 26a. Reglen for eksponentiel väkst (reglen for hvad a i eksponentiel sammenhäng y = b a x fortäller): Hver gang vi gñr x Çn enhed stñrre, bliver värdien af y ganget med a. 26b. Reglen for hvad b i en eksponentiel sammenhäng y = b a x fortäller: NÅr x er 0, er y lig b. 26c. Af 28b og 28a får vi: PÅ grafen for y = 24 1,5 x ligger punkterne ( 1,16), (0,24), (1,36), (2,54) osv. Den sorte kurve er graf for funktionen y = 24 1,5 x. Figuren viser at y-koordinaten (sñjlehñjden) ganges med 1,5 når x bliver 1 stñrre. y 54 24 1,5 x 16 1,5 24 1,5 36 1,5 +1 +1 +1 x : 1 0 1 2 x y : 16 24 36 54 1,5 1,5 1,5 26d. Hvis vi afläser punkterne (0,2), (1,6), (2,18) på en eksponentiel graf, kan vi af 26a og 26b slutte at y = 2 3 x. 24 1,5 x 26e. For y = 5,8 1,043 x gälder: Hvis vi 8 gange gñr x Çn enhed stñrre, vil y 8 gange blive ganget med 1,043, så: Hver gang vi gñr x 8 enheder stñrre, bliver y ganget med 1,043 8 = 1,40047. +8 +8 +8 1,043 8 = 1,400 x : 8 0 8 16 x y : 4,14 5,8 8,12 11,37 5,8 1,043 x 1,4 1,4 1,4 27. Skriv ligning ud fra beskrivelse af eksponentiel väkst. 27a. Opgave Kl. 9 er der 275 celler, og hver time bliver antal celler 20 % stñrre. (voksende) Skriv en ligning vi kan bruge til at udregne antallet af celler når vi kender tidspunktet. Svar Antallet stiger med samme procent hver time, så der er en eksponentiel sammenhäng y = b a x hvor y = antal celler og x = antal timer efter kl. 9. Der står: NÅr antal timer bliver Çn stñrre, bliver antal celler 20 % stñrre dvs. når x bliver Çn stñrre, bliver y 20 % stñrre så når x bliver Çn stñrre, bliver y ganget med 1,20 Derfor: a = 1,20 ifälge reglen om hvad a fortåller (regel 26a) Der står: NÅr klokken er 9 er antal celler lig 275 dvs. når x er 0, er y lig 275 Derfor: b = 275 ifälge reglen om hvad b fortåller (regel 26b).y = 275 1,20 x. hvor y = antal celler og x = antal timer efter kl. 9 GrundlÄggende variabelsammenhänge for C-niveau i stx 13 2016 Karsten Juul

27b. Opgave Den 1. maj er afgiften 860 kr. Afgiften nedsättes med 2,5 % pr. uge (aftagende) Svar Skriv en ligning vi kan bruge til at udregne afgiften når vi kender tidspunktet. Afgiften falder med samme procent hver uge, så der er en eksponentiel sammenhäng y = b a x hvor y = afgiften i kr. og x = antal uger efter 1.maj. Der står: NÅr antal uger bliver Çn stñrre, bliver afgiften 2,5 % mindre dvs. når x bliver Çn stñrre, bliver y 2,5 % mindre så når x bliver Çn stñrre, bliver y ganget med 0,975 Derfor: a = 0,975 ifälge reglen om hvad a fortåller (regel 26a) Der står: Den 1. maj er afgiften lig 860 kr. dvs. når x er 0, er y lig 860 Derfor: b = 860 ifälge reglen om hvad b fortåller (regel 26b).y = 860 0,975 x. hvor y = afgiften i kr. og x = antal uger efter 1. maj 28. Skriv hvad a og b i y = b a x fortäller. 28a. Opgave Om en figur på skärmen gälder at y 300 1, 072 (voksende) x = temperaturen og y = arealet i cm 2 Hvad fortäller tallene 300 og 1,072 om figuren? Svar Ligningen er af typen y = b a x. x hvor NÅr x bliver Çn enhed stñrre, bliver y ganget med a ifälge reglen om hvad a fortåller (regel 26a) Dvs. NÅr temperaturen bliver Çn grad hñjere, bliver arealet ganget med 1,072. SÇ NÅr temperaturen bliver Çn grad hñjere, bliver arealet 7,2% stñrre. Dette er hvad tallet 1,072 fortäller om figuren. De 7,2% blev udregnet sådan: Start: 100 % 100 % 1,072 = 107,2 % 107,2 % 100% = 7,2 % NÅr x er 0, er y lig b. ifälge reglen om hvad b fortåller (regel 26b) Dvs. NÅr temperaturen er 0 grader, er arealet 300 cm 2. Dette er hvad tallet 300 fortäller om figuren. 28b. Opgave Antallet af dyr Ändres sådan at y 270 0, 90 hvor (aftagende) x = antal dage efter 1. juni og y = antal dyr Hvad fortäller tallene 270 og 0,90 om antallet af dyr? Svar Ligningen er af typen y = b a x. NÅr x bliver Çn enhed stñrre, bliver y ganget med a ifälge reglen om hvad a fortåller (regel 26a) Dvs. NÅr antal dage bliver Çn stñrre, bliver antal dyr ganget med 0,90. SÇ NÅr antal dage bliver Çn stñrre, bliver antal dyr 10% mindre. Dvs. Hver dag bliver antallet af dyr 10% mindre. Dette er hvad tallet 0,90 fortäller om antallet af dyr. De 10% blev udregnet sådan: Start: 100% 100% 0,90 = 90 % 90% 100 % = 10% NÅr x er 0, er y lig b. ifälge reglen om hvad b fortåller (regel 26b) Dvs. NÅr antal dage er 0, er antal dyr 270. Dvs. Den 1. juni er antallet af dyr 270. Dette er hvad tallet 270 fortäller om figuren. x GrundlÄggende variabelsammenhänge for C-niveau i stx 14 2016 Karsten Juul

29. Grafer for y = b a x. 29a. Eksempel Vi vil undersñge grafen for y = 2 0,4 x. Ligningen er af typen y = b a x. NÅr x = 0 er y = 2 regel for hvad b fortåller Vi afsätter dette som et kryds på figuren. NÅr x = 1 er y = 2 0,4 = 0,8 regel for hvad a fortåller Vi afsätter dette som et kryds på figuren. NÅr x = 2 er y = 0,8 0,4 = 0,32 regel for hvad a fortåller Hver gang vi gñr x Çn stñrre, skal vi gange y med 0,4, så y bliver aldrig 0, men kan komme så tät det skal väre på 0. NÅr vi gñr x Çn mindre, så skal vi dividere y med 0,4 så når x = 1 er y = 2:0,4 = 5 regel for hvad a fortåller Hver gang vi gñr x Çn mindre, bliver y stñrre. y kan blive så stor det skal väre. Figuren viser grafen for en eksponentiel sammenhäng y = b a x. 29b. Opgave Hvad er y når x er 2? Svar Vi finder det punkt på grafen hvor x er 2. Vi afläser at for dette punkt er y lig 2,8. Denne afläsning er vist på figuren. NÅr x er 2, er y = 2,8.. 29c. Opgave Hvad er x når y er 2,8? Svar Vi finder det punkt på grafen hvor y er 2,8. Vi afläser at for dette punkt er x lig 2. Denne afläsning er vist på figuren. NÅr y er 2,8, er x = 2.. 30. Udregn x eller y i y = b a x i tekstopgave. 30a. Opgave For nogle dyr gälder y = 0,3 1,2 x. (bestem y) hvor y er vägten, målt i gram, og x er alderen, målt i uger. Hvad er vägten af et dyr hvis alder er 13 uger? Svar y = 0,3 1,2 x y = 0,3 1,2 13 x er alderen, og alderen er 13 y = 3,2098 udregnet af Nspire vägten er y, og y er 3,2098 Et dyr hvis alder er 13 uger, har vägten.3,2 gram.. 30b. Opgave For nogle dyr gälder y = 0,3 1,2 x. (bestem x) hvor y er vägten, målt i gram, og x er alderen, målt i uger. Hvilken alder har et dyr hvis vägt er 6,7 gram? Svar y = 0,3 1,2 x 6,7 = 0,3 1,2 x y er vägten, og vägten er 6,7 Nspire lñser ligningen mht. x og får x = 17,0363 alderen er x, og x er 17,0363 Et dyr hvis vägt er 6,7 gram, har alderen.17 uger.. GrundlÄggende variabelsammenhänge for C-niveau i stx 15 2016 Karsten Juul

31. Udregn a og b i y = b a x ud fra to oplysninger i tekstopgave. Opgave En plantes vägt kan med god tilnärmelse beskrives med en funktion af typen y = b a x hvor y er vägt i kg, og x er År efter udplantning. Efter 2 År er vägten 1,60 kg. Efter 5 År er vägten 4,10 kg. Udregn a og b. Svar Der står: Efter 2 År er vägten 1,60 kg. Efter 5 År er vägten 4,10 kg. Dvs. NÅr x = 2 er y = 1,60. NÅr x =5 er y = 4,10. SÅ 1,60 = b a 2 og 4,10 = b a 5 Nspire lñser dette ligningssystemet og får a = 1,36843 1,368 og b = 0,854432 0,854. mht. a og b.a = 1,368. og.b = 0,854.. 32. Eksponentiel regression. Opgave Tabellen viser antallet af indbyggere i et område i perioden 2000-2005. Udviklingen kan med god tilnärmelse beskrives med en funktion af typen f ( x) b a x hvor f (x) er antallet af indbyggere (målt i tusinder), og x er antal År efter 2000. Find a og b. Örstal 2000 2001 2002 2003 2004 2005 Antal (i tusinder) 8,5 8,8 9,1 9,4 9,8 10,2 Svar PÅ Nspire kan besvarelsen se sådan ud: Vi taster IKKE Årstal da x ikke er Årstallet! Brugsanvisning Del siden op i to. VÄlg Lister og Regneark i hñjre vindue. NÅr du har tastet tabellen, så flyt markñr til tomt felt. VÄlg i värktñjsmenu: Statistik / Statistiske beregninger / Eksponentiel regression... SÅ fremkommer et vindue vi udfylder sådan: Skal väre samme navn. I et matematikfelt i notevinduet taster vi f(x) (hvis vi har tastet f her ). Tryk på enter for at få resultatet. Skal välges. IKKE tastes. GrundlÄggende variabelsammenhänge for C-niveau i stx 16 2016 Karsten Juul

33. Hvad er fordoblingskonstant og halveringskonstant. 33a. Eksempel Tabellen viser hvordan hñjden af en plante er vokset eksponentielt. Antal uger efter kñb: 0 1 2 3 4 5 6 HÑjde i cm: 12 15 19 24 30 38 48 I tabellen ser vi: 1 uge efter kñbet er hñjden 15 cm. 3 uger senere er hñjden 30 cm, som er det dobbelte af 15 cm. 2 uger efter kñbet er hñjden 19 cm. 3 uger senere er hñjden 38 cm, som er det dobbelte af 19 cm. Uanset hvornår vi starter, så vil der gå 3 uger fñr hñjden er fordoblet. Man siger at hñjdens fordoblingskonstant er 3 uger. 33b En eksponentielt voksende sammenhäng har en fordoblingskonstant T 2. NÅr x bliver T 2 enheder stñrre, så bliver y fordoblet. 33c En eksponentielt aftagende sammenhäng har en halveringskonstant T 0,5. NÅr x bliver T 0,5 enheder stñrre, så bliver y halveret. 34. AflÄs fordoblingskonstant og halveringskonstant på graf. Opgave (halvering) Figuren viser grafen for en eksponentielt aftagende sammenhäng. Hvad er halveringskonstanten for denne sammenhäng? Svar Resultatet bliver det samme uanset hvilken x-värdi vi starter med. Vi kan f.eks. starte med x 1: NÅr x = 1 er y = 3,1 (se figur) 3,1 Det halve af 3,1 er 1, 55. 2 NÅr y = 1,55 er x = 3,7 (se figur) For at halvere y skal vi altså Ñge x med 3,7 1 = 2,7 så halveringskonstanten er.2,7.. BemÄrkning (fordobling) Hvis funktionen er eksponentielt voksende, kan fordoblingskonstanten afläses på nästen samme måde: Vi finder to grafpunkter hvor y-koordinaten til det ene er 2 gange y-koordinaten til det andet. Forskellen på de to punkters x-koordinater er fordoblingskonstanten. GrundlÄggende variabelsammenhänge for C-niveau i stx 17 2016 Karsten Juul

35. Skriv hvad fordoblings- og halveringskonstant fortäller. 35a. Opgave Den 1. maj var der 261 syge. Antallet af syge kan med tilnärmelse beskrives ved en eksponentiel sammenhäng y = b a x hvor x er antal dage efter 1. maj og y er antal syge. Svar I avisen står at fordoblingskonstanten er 9. Hvad fortäller dette om antallet af syge? At fordoblingskonstanten er 9 betyder: NÅr x bliver 9 enheder stñrre, så bliver y fordoblet. Dvs: NÅr antal dage bliver 9 stñrre, så bliver antal syge fordoblet. SÅ: Antal syge fordobles på 9 dage. 35b. Opgave Den 1. maj var der 261 syge. Antallet af syge kan med tilnärmelse beskrives ved en eksponentiel sammenhäng y = b a x hvor x er antal dage efter 1. maj og y er antal syge. Svar I avisen står at halveringskonstanten er 9. Hvad fortäller dette om antallet af syge? At halveringskonstanten er 9 betyder: NÅr x bliver 9 enheder stñrre, så bliver y halveret. Dvs: NÅr antal dage bliver 9 stñrre, så bliver antal syge halveret. SÅ: Antal syge halveres på 9 dage. NÇr x er tiden, kan vi sige fordoblingstid i stedet for fordoblingskonstant. NÇr x er tiden, kan vi sige halveringstid i stedet for halveringskonstant. 36. Udregn y-värdier med fordoblingskonstant eller halveringskonstant. 36a. Opgave For en eksponentiel sammenhäng y = b a x er T 2 = 3. GÑr direkte brug af dette til at udfylde de tomme felter. Svar +3 +3 +3 x 2 1 4 7 y 3,5 7 14 28 2 2 2 36b. Opgave For en eksponentiel sammenhäng y = b a x er T 0,5 = 1,6. GÑr direkte brug af dette til at udfylde de tomme felter. Svar +1,6 +1,6 +1,6 x 3,2 4,8 6,4 8 y 12 6 3 1,5 0,5 0,5 0,5 37. Udregn T 2 og T 0,5 når vi kender ligningen y = b a x. 37a. Opgave Bestem T 2 for sammenhängen y = 5 1,3 x. x 1 y 7 x 4,8 y 6 Svar NÅr x = 0 er y = 5, så når x = 0+T 2 = T 2 er y = 2 5, dvs. 2 5 = 5 1,3 T2. Nspire lñser ligningen 2 5 = 5 1,3 T2 mht. T 2 og får T 2 = 2,64193 2,6. 37b. Opgave Bestem T 0,5 for sammenhängen y = 7 0,86 x. Svar NÅr x = 0 er y = 7, så når x = 0+T 0,5 = T 0,5 er y = 0,5 7, dvs. 0,5 7 = 7 0,86 T0,5. Nspire lñser ligningen 0,5 7 = 7 0,86 T0,5 mht. T 0,5 og får T 0,5 = 4,59577 4,6. GrundlÄggende variabelsammenhänge for C-niveau i stx 18 2016 Karsten Juul

38. Renteformlen 38a. Hvorfor gälder renteformlen? Vi sätter 34 000 kr. i banken til en fast Årlig rente r = 5,8% = 0,058 så hvert År stiger belñbet til 100% + 5,8% = 105,8% af hvad det var Året fñr Dvs. hvert År ganges belñbet med 1,058 = 1+r da 105,8% = 105,8:100 = 1,058 BelÑbene på kontoen kan vi beregne sådan: Start: 34000 Efter 1 År: 34000 1,058 Efter 2 År: 34000 1,058 1,058 Efter 6 År: Dette kan vi skrive kortere ved hjälp af potens: 34000 1,058 1,058 1,058 1,058 1,058 1,058 Efter 6 År: 34000 1,058 6 = 47686,22 Man bruger ofte fñlgende symboler: K = K 0 (1+r) n hvor n = 6 er antallet af terminer. r = 5,8% = 0,058 er den procent der tilskrives i rente hver termin. K 0 = 34000 er startkapitalen. K = 47686,22 er kapitalen efter 6 terminer. 38b. Renteformlen K = K 0 (1+r) n hvor n er antallet af terminer. r er den procent der tilskrives i rente hver termin. K 0 er startkapitalen. K er kapitalen efter n terminer. 38c. Fire opgavetyper I renteformlen kan hvert af tallene n, r, K 0 og K väre ukendt. Det ukendte af disse tal kan vi udregne når vi kender de tre andre. Dvs, der er fire typer opgaver med renteformlen. Hvis K er ukendt, skal vi udregne ligningens hñjreside. Ellers skal vi lñse ligningen. 38d. Opgave Vi sätter 34 000 kr. i banken til en fast Årlig rente på 5,8 %. Efter hvor mange År er belñbet vokset til 70 000 kr.? BelÑbet 34000 1,058 skal ganges med 1,058 for at få det belñb der er 5,8% stñrre. En termin er den tid der går mellem to rentetilskrivninger. I dette eksempel er en termin lig et År. Svar Vi bruger renteformlen K = K 0 (1+r) n hvor Antal terminer n = det tal vi skal bestemme Renteprocent r = 5,8% = 0,058 Startkapital K 0 = 34 000 Kapital efter n terminer K = 70 000 Vi indsätter disse tal i renteformlen: 70 000 = 34 000 (1+0,058) n Nspire lñser denne ligning mht. n og får n = 12,8083 13 Efter.13 År. er belñbet vokset til ca. 70 000 kr. 38e. BelÇbet på kontoen vokser eksponentielt Hvis vi sätter 34 000 kr. i banken til en fast Årlig rente på 5,8%, så fñlger af renteformlen at kapitalen K efter n År er K = 34 000 1,058 n Denne sammenhäng er eksponentiel, dvs. af typen y = b a x, vi har blot brugt K og n i stedet for y og x, så belñbet på kontoen vokser eksponentielt. GrundlÄggende variabelsammenhänge for C-niveau i stx 19 2016 Karsten Juul

39. Ligning for potenssammenhäng PotenssammenhÄng 39a. En sammenhäng er en potenssammenhäng hvis den har en ligning af typen y = b x a b skal väre et positivt tal. a behñver ikke väre positiv. Vi må kun sätte positive tal ind for x. Tallet a er eksponenten i ligningen y = b x a. 40. Udregn x eller y i y = b x a i tekstopgave. 40a. Opgave For nogle dyr gälder y = 1,3 x 2,6. (bestem y) hvor y er vägten, målt i gram, og x er längden, målt i cm. Hvad er vägten af et dyr hvis längde er 2,4 cm? Svar y = 1,3 x 2,6 y = 1,3 2,4 2,6 x er längden, og längden er 2,4 y = 12,6617 udregnet af Nspire vägten er y, og y er 12,6617 13 Et dyr hvis längde er 2,4 cm, har vägten.13 gram.. 40b. Opgave For nogle dyr gälder y = 1,3 x 2,6. (bestem x) hvor y er vägten, målt i gram, og x er längden, målt i cm. Hvilken längde har et dyr hvis vägt er 6,7 gram? Svar y = 1,3 x 2,6 5 = 1,3 x 2,6 y er vägten, og vägten er 5 Nspire lñser ligningen mht. x og får x = 1,67889 längden er x, og x er 1,67889 1,7 Et dyr hvis vägt er 5 gram, har längden.1,7 cm.. 41. PotensvÄkst. 41a. Reglen for potensväkst: Om en potenssammenhäng y = b x a gälder for et positivt tal k: NÅr x bliver ganget med k, så bliver y ganget med k a. 41b. Eksempel y = 1,2 x 0,7 NÅr x ganges med 1,25, så ganges y med 1,25 0,7 = 1,17. NÅr x ganges med 2, så ganges y med 2 0,7 = 1,62. 1,25 1,25 2 x : 1,14 1,43 1,79 3,80 7,60 y : 1,32 1,54 1,80 3,06 4,96 1,25 0,7 1,25 0,7 2 0,7 GrundlÄggende variabelsammenhänge for C-niveau i stx 20 2016 Karsten Juul

42. Bestem procentändring for potenssammenhäng. Opgave Et dyr vokser sådan at y = 2,7 x 1,6 hvor y er vägten i gram, og x er längden i cm. NÅr längden er blevet 40 % stñrre, hvor mange procent stñrre er vägten så blevet? Svar At x bliver 40 % stñrre, er det samme som at x bliver ganget med 1,40. ( 100 % + 40 % = 140 % = 140:100 = 1,40 ) NÅr x bliver ganget med 1,40, så bliver y ganget med 1,40 1,6 = 1,71319 1,71 ifälge reglen om potensvåkst (ramme 42) At y bliver ganget med 1,71, er det samme som at y bliver 71 % stñrre. ( 100% 1,71 = 171%. 171 % 100 % = 71 % ) NÅr längden er blevet 40 % stñrre, er vägten blevet 71 % stñrre. 43. Graf for potenssammenhäng. For en potenssammenhäng y = b x a gälder: Hvis en potenssammenhäng er aftagende (dvs. eksponenten a er negativ), så ligner grafen p. Hvis en potenssammenhäng er voksende (dvs. eksponenten a er positiv), så ligner grafen m eller n. Hvis eksponenten a er 1, så er grafen dog en ret linje og ligner derfor ikke m eller n. m n p 44. Udregn a og b i y = b x a ud fra to oplysninger. Opgave Punkterne (4, 6) og (16, 12) ligger på grafen for sammenhängen y = b x a. Bestem a og b. Svar NÅr vi indsätter 4 og 16 for x i y = b x a, så skal vi få 6 og 12, dvs. 6 = b 4 a og 12 = b 16 a Nspire lñser dette ligningssystem mht. a og b og får.a = 0,5 og b = 3.. 45. Potensregression. 45 a. Opgave De målte tal i tabellen viser for et bestemt dyr sammenhängen mellem alder og längde. Alder i dñgn 10 15 20 30 40 50 LÄngde i mm 43 60 74 105 132 155 SammenhÄngen kan med god tilnärmelse beskrives med en funktion af typen hvor y er längde (målt i mm), og x er alder (målt i dñgn). Bestem a og b. y b x a GrundlÄggende variabelsammenhänge for C-niveau i stx 21 2016 Karsten Juul

Svar PÅ Nspire kan besvarelsen se sådan ud: Brugsanvisning Del siden op i to. VÄlg Lister og Regneark i hñjre vindue. NÅr du har tastet tabellen, så flyt markñr til tomt felt. VÄlg i värktñjsmenu: Statistik / Statistiske beregninger / Potensregression... SÅ fremkommer et vindue vi udfylder sådan: Skal väre samme navn. I et matematikfelt i notevinduet taster vi f(x) (hvis vi har tastet f her ). Tryk på enter for at få resultatet. Skal välges. IKKE tastes. 45 b. Hvis potensfunktionen er aftagende, skriver Nspire en brñk: Dette skal du selv skrive om til formen a b x. Husk at tilfçje et minus foran eksponenten: 46. Proportionale variable. 46a. Om to variable x og y siger vi at y er proportional med x hvis y = k x og k er det samme tal for alle värdier af x. 46b. Opgave De to variable x og y er proportionale. Tabellen viser nogle sammenhñrende värdier af x og y. Hvad er y når x er 10? Hvad er x når y er 15? Svar Udregne k : Da x og y er proportionale, er der et tal k så (1) y = k x. I tabellen ser vi at når x = 24 er y = 18. Dette indsätter vi i (1): 18 = k 24 Denne ligning lñser vi mht. k og får 0,75 = k Dette tal indsätter vi i (1) og får ligningen for sammenhängen mellem x og y: (2) y = 0,75 x Udregne y : For at finde y når x er 10, sätter vi x til 10 i (2): y = 0,75 10 Heraf får vi y = 7,5 så y er 7,5 når x er 10 Udregne x : For at finde x når y er 15, sätter vi y til 15 i (2): 15 = 0,75 x Vi lñser denne ligning mht. x og får 20 = x så x er 20 når y er 15 x 24 36 92 y 18 27 69 I opgaven stçr ikke at vi skal udregne k. Vi skal selv vide at vi skal udregne k férst. Vi kan lése ligningen ved at dividere begge sider med 24 eller ved at bruge solve. Vi kan lése ligningen ved at dividere begge sider med 0,75 eller ved at bruge solve. GrundlÄggende variabelsammenhänge for C-niveau i stx 22 2016 Karsten Juul

47. Omvendt proportionale variable. 47a. Om to variable x og y siger vi at y er omvendt proportional med x hvis y = k x og k er det samme tal for alle värdier af x. 47b. Opgave De to variable x og y er omvendt proportionale. Hvad skal der stå på de tomme pladser i tabellen? Svar Udregne k : Da x og y er omvendt proportionale, er der et tal k så (1) y k. x I tabellen ser vi at når x =12 er y = 6. Dette indsätter vi i (1): y 9 6 6 k 12 Vi lñser denne ligning mht. k og får 72 = k Dette tal indsätter vi i (1) og får ligningen for sammenhängen mellem x og y: (2) y 72 x Udregne y : For at finde y når x er 36, sätter vi x til 36 i (2): y 72 36 Heraf får vi y = 2 så y er.2. når x er 36 Udregne x : For at finde x når y er 9, sätter vi y til 9 i (2): 72 9 x Vi lñser denne ligning mht. x og får x = 8 så x er.8. når y er 9 48. Opgave hvor variable fra virkeligheden er omvendt proportionale. Opgave PÅ en skärm er et rektangel som vi kan Ändre ved at träkke med musen. HÑjde og bredde er omvendt proportionale. HÑjden er 2,5 når bredden er 8. Hvad er hñjden når bredden er 3,2? Svar Vi kalder hñjden for h og bredden for b. Udregne k : Da h er omvendt proportional med b, findes et tal k så h k b Da h 2, 5 når b 8 må 2,5 k 8 Vi ganger begge sider med 8 og får k 20, dvs. (1) h 20 b Udregne h : Vi sätter b 3, 2 i (1): h 20 3,2 Heraf får vi h 6, 25 så hñjden er.6,25. når bredden er 3,2. x 12 36 I opgaven stçr ikke at vi skal udregne k. Vi skal selv vide at vi skal udregne k férst. Vi kan lése ligningen ved at gange begge sider med 12 eller ved at bruge solve. Vi kan lése ligningen ved férst at gange begge sider med x og derefter at dividere begge sider med 9, eller ved at bruge solve. GrundlÄggende variabelsammenhänge for C-niveau i stx 23 2016 Karsten Juul

Beviser 49. Nogle regler om potenser Regler 49a. a r a s = a r+s 49b. (a b) r = a r b r 49c. a 0 = 1 49d. a 1 = a Eksempler 49e. 5 4 x+1 = 5 4 x 4 1 = 5 4 x 4 = 20 4 x 49f. (2x) 3 = 2 3 x 3 = 8x 3 49g. 7 x 0 = 7 1 = 7 50. Bevis for hvad a og b i y = ax+b fortäller. SÄtning For en lineär sammenhäng y ax b gälder: Bevis for 50a 50a. NÅr vi lägger 1 til x, så lägges a til y. 50b. NÅr x=0, er y=b. +1 x : t t+1 a x+b : a t+b a (t+1)+b = a t+a 1 + b Vi ganger a ind i parentes. = a t+a + b a gange 1 er a. FÑrste x kalder vi t. Andet x er 1 stñrre. FÑrste y får vi ved at indsätte t for x i a x+b og andet y får vi ved at indsätte t+1 for x i a x+b = a t+b + a Dette er fñrste y plus a, så 50a er bevist! Bevis for 50b Om y ax b gälder: NÅr x=0 er y = a 0+b = 0+b = b, så 50b er bevist! 51. Bevis for hvad a og b i y = ba x fortäller. SÄtning Bevis for 51a Bevis for 51b For en eksponentiel sammenhäng y b a gälder: 51a. NÅr vi lägger 1 til x, så ganges y med a. 51b. NÅr x=0, er y=b. +1 x : t t+1 b a x : b a t b a t+1 Om x = b a t a 1 IfÑlge potensreglen a r+s = a r a s. = b a t a IfÑlge potensreglen a 1 = a. x FÑrste x kalder vi t. Andet x er 1 stñrre. FÑrste y får vi ved at indsätte t for x i b a x og andet y får vi ved at indsätte t+1 for x i b a x Dette er fñrste y gange a, så 51a er bevist! y b a gälder: NÅr x=0 er y = b a 0 = b 1 = b, så 51b er bevist! 52. Bevis for reglen om potensväkst. SÄtning Bevis Om en potenssammenhäng a y b x gälder for et positivt tal k: 51a. NÅr x bliver ganget med k, så ganges y med k a. k x : t t k b x a : b t a b (t k) a FÑrste x kalder vi t. Andet x er k gange fñrste. FÑrste y får vi ved at indsätte t for x i b x a og andet y får vi ved at indsätte t k for x i b x a. = b t a k a IfÑlge potensreglen (a b) r = a r b r. Dette er fñrste y gange k a, så 51a er bevist! GrundlÄggende variabelsammenhänge for C-niveau i stx 24 2016 Karsten Juul

A a fortäller, eksponentiel...13, 14 a fortäller, lineär...5, 6 a ud fra b og et punkt, lineär...8 a ud fra to oplysninger, eksponentiel...16 a ud fra to oplysninger, lineär...8 a ud fra to punkter, lineär...8 a ud fra to punkter, potenssammenhäng...21 B b fortäller, eksponentiel...13, 14 b fortäller, lineär...5, 6 b ud fra a og et punkt, lineär...8 b ud fra to oplysninger, eksponentiel...16 b ud fra to oplysninger, lineär...8 b ud fra to punkter, potenssammenhäng...21 bestem x...5, 15, 20 bestem y...4, 15, 20 bevis...24 billigst...9 E eksponentiel graf...15 eksponentiel regression...16 eksponentiel sammenhäng...12 eksponentiel väkst...13, 24 eksponentiel, a fortäller...13, 14 eksponentiel, a ud fra to oplysninger...16 eksponentiel, b fortäller...13, 14 eksponentiel, b ud fra to oplysninger...16 eksponentiel, bestem ligning...13, 16 F fordoblingskonstant...17, 18 fordoblingskonstant, afläs...17 fordoblingskonstant, udregn...18 G graf...4, 5, 7, 15, 21 graf, afläs...15 graf, eksponentiel sammenhäng...15 graf, lineär sammenhäng...4 graf, potenssammenhäng...21 H halveringskonstant...17, 18 halveringskonstant, afläs...17 halveringskonstant, udregn...18 L ligevägt, regler...1 ligning for eksponentiel sammenhäng...12, 13, 16 ligning for lineär sammenhäng...3, 6, 7, 8 ligning for potenssammenhäng...20 ligning ud fra lineär graf... 7 ligning ud fra to punkter, potenssammenhäng... 21 lineär graf ud fra ligning... 7 lineär regression... 9 lineär sammenhäng, graf... 4 lineär sammenhäng, ligning... 3 lineär väkst... 5, 24 lineär, a fortäller... 5, 6 lineär, a ud fra b og et punkt... 8 lineär, b fortäller... 5, 6 lineär, b ud fra a og et punkt... 8 lineär, bestem ligning... 6, 7, 8 lineär, lñse ligning... 1, 2 lñse ligning... 1, 2 M mindst af to... 9 O omvendt proportional... 23 P potens, a ud fra to punkter... 21 potensregler... 24 potensregression... 21 potenssammenhäng... 20, 21 potenssammenhäng, graf... 21 potenssammenhäng, ligning... 21 potenssammenhäng, procentändring... 20, 21, 24 potensväkst... 20, 24 procent... 11, 12, 13, 21 procentändring... 11 procentändring, potenssammenhäng... 20, 21 proportional... 22 R regression... 10 regression, eksponentiel... 16 regression, lineär... 9 regression, potens... 21 regression, Årstal... 10 renteformlen... 19 S skäringspunkt... 8 stñrst af to... 9 V väkstrate... 12 X x-koordinat, udregn... 5 Y y-koordinat, udregn... 4