1. Den ikke-kommutative verden 1.1. Lidt historie. Historien begynder samtidig med det tyvende århundrede, med opdagelse af de sære egenskaber af mikrokosmos såsom spektra af atomer og molekyler, fotoelektrisk effekt, superledende materialer og mange andre. Mens de ligger allesammen inden for fysikens domæne, var der et rent matematisk fenomen som viste sig til at ligge bagved dem allesammen - ikke-kommuterende variable. Som basis for kvantemekanik blev det formuleret af Heisenberg i ligningen [p, q] = pq qp =, hvor p er momentum, q er beligenhed af en partikel og er en universal konstant - Plack konstanten. Rent matematisk fandtes der Schrödinger modelen for de relationer giver ved p = d, q = multiplikation med x, dx hvor d dx og x virker på et rum af C (R) differentiable funktioner af x. der fandtes også en diskret model, hvor p og q er givet ved to uændelige matricer. En konklusion fra de ovenstående er, at de naturlige algebra som optræder ved beskrivelse af natur er ikke kommutative, som n n matricer M n (C) eller algebra af begrænsede operatorer B(H) på et Hilbert rum H. Den umiddelbare næste trin er at se på dens delalgebra, af tekniske grunde afsluttet m.h.t. operator norm og, endnu mere vigtigt, under konjugering T T. De algebra som vi ender med kaldes for C*-algebra. Den simpleste eksempel er givet med komplekse tal C, hvor topologi er givet ved absolut værdi, z z, og konjugering ved den komplekse konjugering z z = z. Den (meget)lidt mere avanserede eksempel er M n (C), hvor adjungering er den sædvenlige transponeret konjugeret": a = {a ij } i,j=1,...,n {a ji } i,j=1,...,n = a Det er det samme som B(H), hvor H = C n er endeligt dimensional. Den første ikke endelig dimensional eksempel (ud over B(H)) er algebra K(H) af alle kompakte operatorer på et uendelig dimensional Hilbert rum H, dvs alle dem, som kan approksimeres (i norm) med dem med endelig rang (dvs. dem som lever på et endelig dimensional underrum). Den er vigtig nok til at blive kaldt den elementære C*-algebra. Ud over M n (C), B(H), og K(H), lad os tage et eksempel til. Den såkaldte ikkekommutative torus T θ, er en C*-algebra genereret af to unitære operatorer på et Hilbert rum, U og V, som opfylder relationen UV = exp 2πiθV U med en ikke-rational θ R. Den beskriver et elektron som bevæger sig på en todimensionel gitter i tværettet magnetisk felt. da vi vil bruge den som eksempel igen og igen, lad os skrive ned nogle af dens eganskaber. Theorem 1.1. T θ er simpel, dvs. givet en vilkårlig C*-algebra A, en kontinuert *-homomorphi Φ : T θ A er injektiv. Here *-homomorfi betyder at Φ er linear og opfylder Φ(ab) = Φ(a)Φ(b), Φ(a ) = (Φ(a)). T θ har entydig (normaliseret) spor, dvs. en linear afbilding τ : T θ C 1
2 som opfylder τ(1) = 1 og τ(ab) = τ(ba). Givet en unitær representation af T θ, dvs en *-homomorfi Φ : T θ B(H), dens billedmængde Φ(T θ ) indeholder aldrig nogle ikke nul kompakte operatorer på H. Inden vi fortsætter, lad os klare den kommutative tilfælde. (spektralsætningen for begrænsede operatorer): Theorem 1.2. En kommutativ C*-algebra med enhed er isomorf med algebra af kontinuerlige funktioner på et kompakt Hausdorff rum. Baseret på ovenstående resultat plejer man at sige at C*-algebra den beskriver et ikke-kommutativ topologisk rum. Der er nogle ting som mangler. En partial liste er: 1. Ikke Hausdorff topologiske rum, som optræder meget tit i naturen. den hurtigste eksempel er R/Q, som er ikke Hausdorff, faktisk de eneste kontinuerte funktioner på R som er invariante under alle translation med rationale tal er konstante. 2. Topologiske invarianter - som (ko)homologi grupper, som er normalt defineret ved at studere kombinatorik af den måde et topologisk rum kan bygges sammen af enkle elementer som f. eks. flerdimensionale kuber [0, 1] n. Den problem som opstår here er meget enkelt. En kontinuert afbilding φ : [0, 1] n X kan gengives ved at se på den tilsvarende afbilding (*-homomorfi) på niveau af funktioner C(X) f f φ C([0, 1] n ). Så, for eksempel, et punkt x X kan gengives ved at give et *-homomorfi f f(x) C Men da T θ er simpel, har den ingen *-homomorfier ind i C, dvs. den har ingen punkter! 1.2. Geometri. Hvordan opstår den i den ikke-kommutative verden? Ideen er meget enkelt, og vi vil gennemgår et eksempel. Lad X = {P, Q} være et topunktsmængde med diskret topologi. En kontinuert funktion på X er givet med et par tal, (f(p ), f(q)). Vi vil representere C(X) på to-dimensional Hilbert rum C 2 med følgende *-homomorfi: f Lad D være den følgende matrice: Bemærk at [D, f] = Df fd = l(f(p ) f(q)) Dermed ( f(p ) 0 0 f(q) ( 0 l l 0 ). ( 0 1 1 0 ) ). l 1 = sup{ f(p ) f(q) [D, f] 1}. og [D, f] = l f(p ) f(q).
3 Vi kan bruge dette som en definition! Givet algebra A representeret på Hilbert rum H, og et operator (selfadjungeret) D på H, vi kan definere følgende afstandsbegræb. For to kontinuerte lineare funktionaler φ i : A C som er normaliseret, dvs. φ i (1) = 1, og positive, dvs. φ i (a a) 0 for alle a A, afstand mellem φ 1 ogφ 2 er givet ved d(φ 1, φ 2 ) = sup{ φ 1 (a) φ 2 (a) [D, a] 1}. Sådan et tripel (A, H, D) kaldes en spektral trippel. I vores topunktsmængde eksempel, punktet P giver et linear funktional φ P : f f(p ), tilsvarende Q, og vi har d(φ P, φ Q ) = l 1. Vi har konstrueret et metrik på X som giver den diameter l 1. Men nu kan vi stille og rolig udvide den til et metrik på M 2 (C) ved at bruge den samme formel! Inden vi begynder at drage nogle konklusioner, lad os tænke lidt om algebra som M N ()C. Hvis vi vil akceptere (som man tit gør i algebra), at M N (C) er bestemt ved dens representationer, så er der ikke meget forskel mellem C og M N (C). alle representationer af C er af formen af konstante matricer C λ λi k = λ 0... 0 0 0 λ... 0 0... 0 0... λ 0 0 0... 0 λ på C k, mens alle representationer af M N (C) er af formen af blokdiagonaler a 0... 0 0 0 a... 0 0 M N (C) a... 0 0... a 0 0 0... 0 a på (C N ) k. Mand siger at de to algebra er em Morita ækvivalente. Det betyder, at det er ikke meget forskel mellem to punkter som er identificeret, dvs. X/ = {P, Q}/{P = Q} og to kryds to matricer M 2 (C). Men, som vi har set ovenfoe, det er næmt at give M 2 (C) en metrik, mens X/ er en etpunktsmængde, og dermed har ingen struktur. Det vi har lavet ovenover er lidt af en leg. Men lad os komme tilbage til den sære kvotientrummet R/Q. den har ingen ikke konstante kontinuerte funktioner, lige som vores etpunkts mængde X/. Men, lige som vi har kunnet erstatte X/ med en Morita ækvivalent algebra M 2 (C), kan vi erstatte vores intuitiv forståelse af kvotienten R/Q med en pænt C*-algebra som har følgende elementer: som analog af diagonale matricer de kontinuerte funktioner på R; som analog af de ikke diagonale matriceenheder translationer med rationale tal. Here hedder konstruktionen krydsprodukt Q C 0 (R). ideen er, at Q C 0 (R) består af (nogle af) summer af formen c q λ(q) q Q
4 hvor c q er kontinuerte funktioner på R og, for en vilkårlig funktion f på R og q Q gælder følgende kommutationsrelation: (λ q fλ q )(x) = f(x q). Det er vigtig at bemærke her, at i analogi med endelige matricer, kan vi næmt konstruere naturlig forekommende tripler af formen (Q C 0 (R), H, D), og, lidt poppet op, eksemplen optræder i forbindelse mede talteori. 1.3. Topologiske invarianter. Triplene (A, H, D) kan gives en ækvivalens relation, så at ækvivalenslasser danner en abelsk gruppe gruppe af homotopi invarianter af A, dens K-homologi K 1 (A). Det bliver lidt for teknisk at komme ind på hvad der forstås med homotopi, men i den abelske tilfælde, med A = C(X) for st kompakt Hausdorff rum X, K 1 (X) er invariant under kontinuerte deformationer af X. det er nok påsin plads at bemærke, at den blev først konstrueret for de ikke-kommutative algebra. En anden topologisk invariant er givet med ækvivalensklasser af projektioner. En projektion er en element p A som opfylder p 2 = p = p. Hvert gang A representeres som et konkret algebra af operatorer på et Hilbert rum, en projektion bliver representeret som et ortogonal projektion på et underrum. To projektioner p og q kaldes ækvivalente, hvis der findes to elementer u og v af A so at p = uv og q = vu. Vi vil betegne dette med [p] = [q]. For eksempel, to orthogonale projektioner på endelig dimensionale underrum af et givet Hilbert rum H er ækvivalente i K(H) netop hvis dimmensioner af deres billedrum er ens. Igen, ud af ækvivalensklasser af projektioner dannes et abelsk gruppe, K 0 (A), den lige K-kohomologi gruppe af A. Den viser sig at være en af de vigtigste invarinter af A, allerede i den kommutative tilfælde. 1.4. Indekssætninger. En god eksempel er fœlgende. Lad D = a(x) d dx + b(x) være en differential operator på R og lad D = d dxa(x) + b(x). Vi er intereseret i løsninger af ligninger af formen Df = g. Under enkle betingelser på funktioner a og b, fœlgende to underrum af kvadratisk integrable funktioner på R er endelig dimensionale: KerD = {f Df = 0}; CokerD = KerD. Den mest oplagte spørgsmål er: Find dim(kerd) dim(cokerd) vel at mærke uden at finde den eksplicite løsning af Df = g! Den (hele) tal, som står påden venstre, side kaldes for indeks af D, og svaret kaldes for em indeks sætningen. Svaret er givet i Atiyah-Singer Indeks Sætningen. Da dens formulering kræver forarbejde, vil den udelades her. Den kaldes ofte for en af de vigtigste resultater i den tyvende århundredets matematik.
Lad os dog omformulere den lidt. Først, givet et Hilbert rum H og et endelig dimensional underrum V lad p betegne den ortogonale projektion på V. da gælder dimv = T rp, hvor T r er den sædvenlige spor - dvs. summen af diagonale elementer af matricen som udtrykker p i en (ortonormal) basis. Lad p og q være projektioner på henholdsvis KerD og CokerD givet som ovenfor. Da de er endelig dimensionale sidder de begge i K(L 2 (R), kompakte operatorer påhilbert rum af kvadratisk integrable funktioner på R. Det betyder at Vi kan nu skrive [p] [q] K 0 (K(L 2 (R)). IndeksD = T r(p) T r(q) og tænke på den lighed som beregning af værdi af gruppehomomorfi på en konkret element af K 0. T r : K 0 (K(L 2 (R)) Z R 1.5. Hvad forsker jeg i. Den korteste svar. Givet konkrete naturlig forekommende algebra A, hvad er (1) Hvad er K 0 (A). (2) Hvad kan bruges som φ i homomorfier φ : K 0 (A) R (3) Hvad bliver værdier af φ på naturlig forekommende elementer af K 0 (A). Den lidt længere besvarelse. De φ er som kan erstatte den anmindelige spor af en matrice kaldes cykliske kocykler. De er giver ved multilineare afbildinger med følgende to egenskaber: (1) Cyklicitet (2) Kocykel egenskab: φ : A A... A C φ(a 0,... a n ) = ( 1) n+1 φ(a n, a 0,..., a n 1 ). φ(a 0 a 1, a 2,... a n+1 ) φ(a 0, a 1 a 2,..., a n+1 )±...+( 1) n+1 φ(a n+1 a 0, a 2,... a n ) = 0. De danner et vektorrum som kaldes for cyklisk kohomologi af A og betegnes med HC (A). Deres værdier på projektionsklasser er givet ved < φ, [p] >= φ(p, p,..., p). I modsætning til K-teori, er HC beregnelig ved homologiske metoder, og i de fleste geometriske situationer eller anvendelser til matematisk fysik dukker op nogle naturlige cykliske kocykler som beskriver interesante størrelser. De algebra som er af interesse opstår i følgende situationer (Pseudo)differentiale operatorer. De har forbindelse til både indeks af differentiale operatorer men også geometri af mangfoldigheder. Formale deformationer af kommutative algebra. En eksempel er givet ved algebraen genereret af størrelser (p, q, ) med relation [p, q] = som vi begyndte med, men hvor betragtes som en variabel istedet for fast tal. Det er deformationen af algebra af funktioner i to kommuterende variable (p 0, q 0 ). De opstår i differential geometri og fysik. 5
6 Fourier integrale operatorer. De kan tænkes som løsninger af evolutionsligningen, dvs, givet et differential operator D, t f + Df = g = f(t) = Φ t (f). den slags Φ t har et geometrisk beskrivelse som involverer Fourier Transform - derfor navnet Fourier integrale operatorer. Riemann-Roch sætning for D-moduler. Vi skal nok lade være at komme ind på hvad det egentlig betyder, lad os bare sige at det giver os mulighed for at løse indeks problem for algebraiske ligninger (i modsætning til differentiale ligninger som ovenover. Sidst, med ikke mindst, konkrete C*-algebra som bruges i forskellige sammenhænge - representationsteori af grupper...