Institut for Matematiske Fag arhus Universitet STTISTIK(2003-ordning) Jens Ledet Jensen Jørgen Granfeldt 2. februar 2006 Meddelelse 2 Forelæsningerne i uge 5 (30.1 5.2) Ved forelæsningen mandag den 30. januar gav Frank Dabelstein en generel orientering om EDB-systemet. Derefter blev der blev givet en introduktion til faget baseret på en omtale af Example 1.1 i Statistics with pplications in Biology and Geology (SBG). Ved forelæsningerne den 1. og 3. februar 6. 8. og 10. februar afsluttes kapitlerne 1, 2 og 3 4 i BPT. Desuden omtales dele af ppendix og B. Resumeer af forelæsningerne i sandsynlighedsregning er vedhæftet denne og de følgende meddelelser. Forelæsningerne i uge 6 (6.2 12.2) Gennemgangen af BPT fortsættes. Vi afslutter Kapitel 4 og når sikkert et godt stykke ind i Kapitel 5. Øvelserne i uge 5 (30.1 5.2) Ved øvelserne uddelte Frank Dabelstein og Michael K. Sørensen brugernavne til EDB-systemet. Resten af tiden vil blive brugt på det udleverede program for disse øvelser. Øvelserne i uge 6 (6.2 12.2) Først regnes opgaverne 1, 2, 3, 42, 10 og 14 i Opgaver i sandsynlighedsregning. Disse opgaver blev udleveret ved forelæsningen onsdag den 1. februar. Eventuelt resterende tid bruges til EDB. Øvelserne i uge 7 (13.2 19.2) Opgaverne 4, 5, 6, 8, 11, 12 (den del der vedrører de stokastiske variable R og Z), 13 samt første spørgsmål i opgave 15. Udleveret: (1.2) Opgaver i sandsynlighedsregning (dateret 31. januar 2006) Et link findes også på kursushjemmesiden. 1
fleveringsopgaver (uge 7) Opgave 7 (uge 8) Den del af opgave 12 der vedrører de stokastiske variable S og Y. Det frivilligt at aflevere disse opgaver. Vi opfordrer jer dog kraftigt til at gøre det for at opnå træning i at formulere opgavebesvarelser. Hver hold bedes aftale tidspunkt for aflevering af opgaver med instruktoren. Meddelelser som denne udleveres hver uge ved forelæsningen om fredagen. De kan desuden findes via kursushjemmesiden: http://www.imf.au.dk/kurser/statistik-2003ord/f06/ Ugens StatiStikpille: Der eksisterer 3 slags løgn; løgn, forbandet løgn og statistik. Mark Twain 2
Resume Uendelige rækker ppendix B side 131 Hvis a 1,a 2,...,a n,... er en uendelig følge af reelle tal kaldes en uendelig række. a n = a 1 + a 2 + +a n + Rækkens n te led: a n Rækkens n te afsnitssum: s n = a 1 + a 2 + +a n Hvis s n s, når n, er rækken er konvergent med sum s, hvilket vi kort skriver ellers kaldes rækken divergent. s = a n, (Undertiden har man - som i to af eksemplerne nedenfor - en følge startende i 0, a 0,a 1,a 2,..., a n,... Rækken n=0 a n er da konvergent med sum s, hvis s n+1 s, når n, hvor s n+1 = a 0 + a 1 + a 2 + +a n.) Rækken a n siges at være absolut konvergent, hvis rækken af absolutte (numeriske) værdier a n er konvergent. Der gælder, at a n konvergent det vil sige, at absolut konvergens medfører konvergens. a n konvergent, Regneregler for konvergente rækker side 133 R.1
Eksempler Table B.1 side 134 Række Sum Formel i ( i ) n a n b i n, i N, a,b R (a+b) i (B.3) n=0 i q n, q R and q 1 n=0 i 1,i 2,...,i k i 1 +i 2 + +i k =i i=0 n=0 n=0 ( α i 1 q i+1 1 q (B.4) ( i i 1...i k ) x i 1 1 x i 2 2 x i k k, (x 1 + x 2 + +x k ) i (B.6) i N, (x 1,...,x k ) R k ) x i, α, x R and x < 1 (1+x) α (B.8) x n, x R and x < 1 1 1 x (B.9) x n n!, x R ex (B.10) x n, x R and x < 1 ln(1 x) (B.11) n ( 1) n 1 1 n n ln(2) divergent (B.12) (B.13) R.2
Mængder Section.1 side 123 Hvis og E er to mængder, så er en delmængde (subset) af E, kort E, hvis alle elementer i også er elementer i E, dvs. e e E. Hvis E, er komplementær mængden (complementary set) af (indenfor E) mængden C = {e E e / }. Hvis og B er delmængder af E, er foreningsmængden (union) af og B mængden B = {e E e eller e B}, fællesmængden (intersection) af og B er mængden B = {e E e og e B} og mængde differensen (set difference) mellem og B er mængden \B = {e e / B} = B C. B C B B B B \B R.3
Hvis 1, 2..., n,... er en følge af delmængder af E, kaldes mængden n i = 1 n = {e E e i for mindst et i = 1...,n} i=1 en endelig foreningsmængde (finite union) and mængden n i = 1 n = {e E e i for alle i = 1...,n} i=1 en endelig fællesmængde (finite intersection), mens mængderne og i = {e E e i for mindst et i = 1,2,...,} i=1 i = {e E e i for alle i = 1,2,...} i=1 kaldes henholdsvis en uendelig foreningsmængde (infinite union) og en uendelig fællesmængde (infinite intersection). Den tomme mængde (empty set) /0 har ingen elementer. Denne mængde er en delmængde af alle andre mængder. To delmængder og B af E siges at være disjunkte (disjoint), hvis de ikke har fælles elementer, dvs. hvis B = /0, og elementerne i en følge af delmængder, 1, 2,..., n,..., siges at være indbyrdes disjunkte (mutually disjoint) hvis i j = /0, hvis i j, i, j = 1,2,... Endelig, hvis { n } is an voksende følge (increasing sequence) af delmængder, dvs. 1 2... n..., og = n, skriver vi n og, tilsvarende, hvis { n } er en aftagende følge (decreasing sequence), dvs. 1 2... n..., og = n, skriver vi n. Eksempler Example.1 side 125 Intervaller i R R.4
Samling af delmængder Section.2 side 126 P(E) betegner alle delmængder af E. Dvs. hvis er en delmængde af E, E, så er et element i P(E), P(E). Specielt, da E selv er en delmængde af E, E E, og den tomme mændge /0 er en delmængde af E, /0 E, gælder der at E P(E) og /0 P(E). Desuden, hvis e er et element i E, e E, så er mængden {e} bestående af e alene en delmængde af E, {e} E, så {e} P(E). E ( ) P E e { e} E R.5
Eksempler Example.4 side 127 Borel mængder i R Hvis E er de reele tal R, kaldes den mindste samling F af delmængder af R, som indeholder alle lukkede intervaller i R og som opfylder de to betingelser: F C F n F, n = 1,2,... n F and n F, ( ) P E C [ a, b] F 1 2 3 n n n Borel delmængderne i R. De er karakteriseret ved, at hvis F så er det muligt af beregne længden af som = dx. Borel delmængderne F siges at være lukket (closed) under dannelse af komplementær mængde og dannelse af uendelig foreningsmængde og uendelig fællesmængde. Den sidste af de to betingelser medfører, at samlingen af Borel mængder F er lukket under dannelse af endelig foreningsmængde og fællesmængde, dvs. n F, n = 1,...,i i n F and i n F. Endelig er den tomme mængde /0 og and mængden R selv elementer af F. Borelmængderne i R k defineres på tilsvarende måde. R.6
Sandsynlighedsrum (E,F,P) (Probability space, Chapter 2 side 3) E E: udfaldsrum (sample space) e E: udfald (outcome) E: hændelse (event) e F: den samling af delmængder af E, som vi vil beregne sandsynligheder for. Hvis P(E) betegner alle delmængder af E er F P(E). P ( E) F skal opfylde: 1) F C F 2) Hvis n F, n = 1,2,..., så skal C [ a, b] 1 2 3 n F n F og n F n n (F er lukket under uendelig foreningsmængde og fællesmængde) Vi viste: a) E F b) /0 F c) Hvis n F, n = 1,...,i, er i n F og i n F Vi betragter kun følgende tilfælde: E F endelig mængde P(E) tællelig mængde P(E) Borel mængde i R k Borel delmængder af E (F er lukket under endelig foreningsmængde og fællesmængde) R.7
P: sandsynlighedsmål (probability measure) er en afbildning fra F ind i intervallet [0,1] som opfylder: 1) P(E) = 1 P : F [0,1] P() (sandsynligheden for ) 2) Hvis n F, n = 1,2,..., er en uendelig følge af parvis disjunkte mængder, det vil sige j k = /0, j k, så er Vi viste: a) P(/0) = 0 P( n ) = P( n ) (uendelig række) b) Hvis n F, n = 1,,...,i, er en endelig følge af parvis disjunkte mængder, det vil sige j k = /0, j k, så er P( i n ) = i P( n ) (endelig sum) R.8
Eksempler Example 2.1 side 4 E: endelig mængde F: P(E), alle delmængder af E P: uniforme sandsynlighedsmål på E, P() = # #E = antal elementer i antal elementer i E E Example 2.2 side 5 E: Borel delmængde af R, så længden af E, E, er endelig F: Borel delmængderne af E. Sæt for F = 1dx (længden af ) P: uniforme sandsynlighedsmål på E, P() = længden af = E længden af E [ [ ] E ] R.9
Flere egenskaber ved P Chapter 3 side 7 B \B P(\B)=P() P(B) C C P( )= 1 P() B B B P( B)=P()+P(B) P( B) P( B)=P()+P(B) hvis B= Desuden gælder der: P er voksende B P() P(B) P er kontinuert n = n = n P( n ) P() n P( n ) P() Eksempler Example 3.1 side 9 Example 3.2 side 9 R.10