Symmetriske matricer Preben Alsholm 17. november 008 1 Symmetriske matricer 1.1 Definitioner Definitioner En kvadratisk matrix A = a ij kaldes symmetrisk, hvis aij = a ji for alle i og j. Altså hvis A T = A. En kvadratisk matrix A kaldes positiv definit, hvis x T Ax > 0 for alle vektorer x 6= 0. Det sædvanlige skalarprodukt mellem vektorerne x, y R n er givet ved hx, yi = x y = x 1 y 1 + x y + + x n y n Når x og y opfattes som søjlevektorer har vi hx, yi = x T y = y T x. Den euklidiske norm af vektoren x er kxk = kxk = p q hx, xi = x1 + x + + x n. En kvadratisk matrix Q kaldes ortogonal, hvis Q T Q = I. 1. Cauchy-Schwarz ulighed Cauchy-Schwarz ulighed Der gælder: hx, yi = hy, xi, hx + z, yi = hx, yi + hz, yi, hsx, yi = s hx, yi, når s R. Cauchy-Schwarz ulighed: jhx, yij kxk kyk. Bevis. kx + syk = hsx + y, sx + yi = s hx, xi + s hx, yi + hy, yi = s kxk + s hx, yi + kyk. Dette polynomium i s er åbenbart ikke-negativ for alle s R. Diskriminanten er derfor ikke-positiv: 4 hx, yi uligheden. 4 kxk kyk 0. Heraf 1
1. Ortogonalsystem lineært uafhængigt Ortogonalsystem lineært uafhængigt Sætning 8.15. Hvis v 1, v,..., v p er indbyrdes ortogonale egentlige vektorer i R n, så er de lineært uafhængige. Bevis. Antag c 1 v 1 + c v + + c p v p = 0. Så fås for ethvert j: 0 = c 1 v 1 + c v + + c p v p, v j = c 1 v1, v j + c v, v j + + cp vp, v j = c j vj, v j = cj vj Men v j > 0, så cj = 0. Dette gælder for alle j = 1,..., p. 1.4 Gram-Schmidt s ortogonaliseringsmetode Gram-Schmidt s ortogonaliseringsmetode Lad u 1, u,..., u p være lineært uafhængige vektorer i R n. Vi bestemmer p ortogonale enhedsvektorer v 1, v,..., v p så span v 1, v,..., v p = span u 1, u,..., u p. Sæt v 1 = u 1 ku 1 k. Så har vi span(v 1) = span(u 1 ). Sæt w = u hu, v 1 i v 1 og dernæst v = w kw k. Så har vi span(v 1, v ) = span(u 1, u ) og hv, v 1 i = 0. Sæt w = u hu, v 1 i v 1 hu, v i v og dernæst v = w kw k. Så har vi span(v 1, v, v ) = span(u 1, u, u ) og hv, v 1 i = hv, v i = 0. Fortsæt således. Eksempel 1 i Maple-worksheet. 1.5 Ortogonale matricer Ortogonale matricer Som sagt: En kvadratisk matrix Q kaldes ortogonal, hvis Q T Q = I. Udsagnet Q T Q = I udtrykker, at søjlerne i Q er indbyrdes ortogonale enhedsvektorer. En matrix Q er ortogonal, hvis og kun hvis den er regulær med invers Q 1 = Q T. Produktet af to ortogonale matricer Q 1 og Q er en ortogonal matrix. Bevis. (Q 1 Q ) T Q 1 Q = Q T QT 1 Q 1Q = Q T IQ = Q T Q = I.
En ortogonal matrix Q opfylder også QQ T = I. Bevis. Følger af at Q T = Q 1 og QQ 1 = I. Rækkerne i en ortogonal matrix er altså også indbyrdes ortogonale enhedsvektorer! 1.6 Egenværdier for symmetriske matricer I Egenværdier for symmetriske matricer I Lad A være en reel og symmetrisk n n-matrix. Så er rødderne i karakterpolynomiet reelle. Bevis. Lad λ C være rod i karakterpolynomiet og lad v C n opfylde Av = λv og v 6= 0. Lad v = [x 1, x,..., x n ] T og v = [x 1, x,..., x n ] T (kompleks konjugation). Så fås v T Av = v T λv = λv T v = λ (x 1 x 1 + x x + + x n x n ) = λ jx 1 j + jx j + + jx n j Venstre side er reel, da v T Av = v T Av = (Av) T v = v T Av Derfor er også λ jx 1 j + jx j + + jx n j reel. Da jx 1 j + jx j + + jx n j er reel og positiv, er λ reel. 1.7 Egenværdier for symmetriske matricer II Egenværdier for symmetriske matricer II Egenvektorer hørende til forskellige egenværdier for en reel symmetrisk matrix er ortogonale. Bevis. Hvis Av 1 = λ 1 v 1 og Av = λ v, så fås λ hv, v 1 i = λ v T v 1 = (Av ) T v 1 = v T Av 1 = λ 1 v T v 1 = λ 1 hv, v 1 i Altså (λ λ 1 ) hv, v 1 i = 0. Men λ λ 1 6= 0, så hv, v 1 i = 0.
1.8 Spektralsætningen for symmetriske matricer Spektralsætningen for symmetriske matricer Lad A være en reel og symmetrisk n n-matrix. Så findes der en ortonormal basis for R n bestående af egenvektorer for A. A kan dermed diagonaliseres vha. en ortogonal matrix Q, altså Q T AQ = Λ = diag (λ 1, λ,..., λ n ) Bevis. I det tilfælde, at alle egenværdier er forskellige, følger resultatet af de foregående resultater. Det generelle tilfælde, hvor den algebraiske multiplicitet af en egenværdi λ kan være større end 1, behandles i beviset for Sætning 8.. Vi springer det over. Navnet spektralsætningen kommer fra betegnelsen spektrum for mængden af egenværdier. 1.9 Positiv definit matrix Positiv definit matrix Lad A være en reel og symmetrisk n n-matrix. Så er A positiv definit hvis og kun hvis alle egenværdier er positive. Bevis. Lad Q være en diagonaliserende ortogonal matrix. Så gælder Q T AQ = Λ = diag (λ 1, λ,..., λ n ) og QΛQ T = A. Så med w = Q T u fås u T Au = u T QΛQ T u = w T Λw = λ 1 w 1 + λ w + + λ n w n. Hvis alle egenværdierne er positive, er dette positivt, når u 6= 0, idet da også w 6= 0. Hvis omvendt λ 1 w 1 + λ w + + λ nw n > 0 for alle u 6= 0 (altså dermed for alle w 6= 0) må alle egenværdier være positive. 1.10 Kvadratisk form I Kvadratisk form I Et udtryk af formen K (x 1, x,..., x n ) = n j j=1 i=1 k ij x i x j hvor x = (x 1, x,..., x n ) R n, kaldes en kvadratisk form. Navnet indikerer, at hvert led har total grad. Udtrykket er et homogent polynomium i x 1, x,..., x n af grad. 4
Eksempel. K (x 1, x ) = x 1 + 4x 1x + 7x. Eksempel. K (x 1, x, x ) = 4x 1 x 1 x + 6x x + 8x + 11x. Eksempel 4. K (x 1, x, x, x 4 ) = 4x 1 x 1 x + 6x x + 8x + 11x 8x 4 x 1 1.11 Kvadratisk form II Kvadratisk form II En kvadratisk form K (x 1, x,..., x n ) = K (x) kan skrives entydigt på formen K (x) = x T Ax hvor A er en symmetrisk n n-matrix. A er givet ved A = a ij hvor aii = k ii og a ij = a ji = 1 k ij for i < j. Eksempel : A =. Eksempel : A = 4 4 1 0 1 8 5. Eksempel 4: A = 6 1 8 0 7 7 0 11 4 1 0 4 4 0 11 0 5. 4 0 0 0 1.1 Kvadratisk form III Kvadratisk form III En kvadratisk form K (x 1, x,..., x n ) = K (x) kan vha. en ortogonal substitution x = Qy skrives på formen K (x) = ek (y) = λ 1 y 1 + λ y + + λ ny n Bevis. Lad A være symmetrisk og K (x) = x T Ax. Lad Q være en diagonaliserende ortogonal matrix: Q T AQ = Λ = diag (λ 1, λ,..., λ n ). Så fås, når x = Qy at Eksempel : A = K (x) = x T Ax = (Qy) T AQy = y T Q T AQy = y T Λy = λ 1 y 1 + λ y + + λ ny n 7. Egenværdier 5 p. Positiv definit. Lettere at finde sporet og determinanten: det A = 17 og spor A = 10, så begge egenværdier er positive. 5
1.1 Kvadratisk form IV Kvadratisk form IV Eksempel : A = Positiv definit. 4 1 8 4 1 0 0 11 5. Egenværdier ca..68, 6.44, 1, 89. Determinanten findes til 05 og sporet er, men dette er ikke nok til en konklusion. 4 1 0 4 Eksempel 4: A = 6 1 8 0 7 4 0 11 0 5. Egenværdier ca..50, 5.57, 7.04, 1.89. 4 0 0 0 Indefinit. 164, så der er både negative og positive egen- Determinanten findes til værdier: A er indefinit. 6