Symmetriske og ortogonale matricer Uge 6 Preben Alsholm Efterår 2010 1 Symmetriske og ortogonale matricer 1.1 Skalarprodukt og Cauchy-Schwarz ulighed Skalarprodukt og Cauchy-Schwarz ulighed Det sædvanlige skalarprodukt mellem vektorerne x, y R n er givet ved x, y = x y = x 1 y 1 + x 2 y 2 + + x n y n Når x og y opfattes som søjlevektorer har vi x, y = x T y = y T x. Den euklidiske norm af vektoren x er x = x 2 = x, x = x1 2 + x2 2 + + x2 n. Der gælder: x, y = y, x, x + z, y = x, y + z, y, sx, y = s x, y, når s R. Cauchy-Schwarz ulighed: x, y x y. Bevis. x + sy 2 = sx + y, sx + y = s 2 x, x + 2s x, y + y, y = s 2 x 2 + 2s x, y + y 2. Dette polynomium i s er åbenbart ikke-negativ for alle s R. Diskriminanten er derfor ikke-positiv: 4 x, y 2 4 x 2 y 2 0. Heraf uligheden. 1.2 Ortogonalsystem lineært uafhængigt Ortogonalsystem lineært uafhængigt Sætning 8.15. Hvis v 1, v 2,..., v p er indbyrdes ortogonale egentlige vektorer i R n, så er de lineært uafhængige. Bevis. Antag c 1 v 1 + c 2 v 2 + + c p v p = 0. Så fås for ethvert j: 0 = c 1 v 1 + c 2 v 2 + + c p v p, v j = c 1 v1, v j + c2 v2, v j + + cp vp, v j = c j vj, v j = cj vj 2 Men vj 2 > 0, så cj = 0. Dette gælder for alle j = 1,..., p. 1
1.3 Gram-Schmidt s ortogonaliseringsmetode Gram-Schmidt s ortogonaliseringsmetode Lad u 1, u 2,..., u p være lineært uafhængige vektorer i R n. Vi bestemmer p ortogonale enhedsvektorer v 1, v 2,..., v p så span ( ) v 1, v 2,..., v p = span ( ) u 1, u 2,..., u p. Sæt v 1 = u 1 u 1. Så har vi span(v 1) = span(u 1 ). Sæt w 2 = u 2 u 2, v 1 v 1 og dernæst v 2 = w 2 w 2. Så har vi span(v 1, v 2 ) = span(u 1, u 2 ) og v 2, v 1 = 0. Sæt w 3 = u 3 u 3, v 1 v 1 u 3, v 2 v 2 og dernæst v 3 = w 3 w 3. Så har vi span(v 1, v 2, v 3 ) = span(u 1, u 2, u 3 ) og v 3, v 1 = v 3, v 2 = 0. Fortsæt således. Eksempel 1 i Maple-worksheet. 1.4 Ortogonale matricer Ortogonale matricer En kvadratisk matrix Q kaldes ortogonal, hvis Q T Q = I. Udsagnet Q T Q = I udtrykker, at søjlerne i Q er indbyrdes ortogonale enhedsvektorer. En matrix Q er ortogonal, hvis og kun hvis den er regulær med invers Q 1 = Q T. Produktet af to ortogonale matricer Q 1 og Q 2 er en ortogonal matrix. Bevis. (Q 1 Q 2 ) T Q 1 Q 2 = Q T 2 QT 1 Q 1Q 2 = Q T 2 IQ 2 = Q T 2 Q 2 = I. En ortogonal matrix Q opfylder også QQ T = I. Bevis. Følger af at Q T = Q 1 og QQ 1 = I. Rækkerne i en ortogonal matrix er altså også indbyrdes ortogonale enhedsvektorer! 1.5 Egenværdier for symmetriske matricer I Egenværdier for symmetriske matricer I En kvadratisk matrix A = [ a ij kaldes symmetrisk, hvis aij = a ji for alle i og j. Altså hvis A T = A. Lad A være en reel og symmetrisk n n-matrix. Så er rødderne i karakterpolynomiet reelle. 2
Bevis. Lad λ C være rod i karakterpolynomiet og lad v C n opfylde Av = λv og v = 0. Lad v = [x 1, x 2,..., x n T og v = [x 1, x 2,..., x n T (kompleks konjugation). Så fås v T Av = v T λv = λv T v = λ (x 1 x 1 + x 2 x 2 + + x n x n ) = λ ( x 1 2 + x 2 2 + + x n 2) Venstre side er reel, da v T Av = v T Av = (Av) T v = v T Av ( Derfor er også λ x 1 2 + x 2 2 + + x n 2) reel. Da x 1 2 + x 2 2 + + x n 2 er reel og positiv, er λ reel. 1.6 Egenværdier for symmetriske matricer II Egenværdier for symmetriske matricer II Egenvektorer hørende til forskellige egenværdier for en reel symmetrisk matrix er ortogonale. Bevis. Hvis Av 1 = λ 1 v 1 og Av 2 = λ 2 v 2, så fås λ 2 v 2, v 1 = λ 2 v2 T v 1 = (Av 2 ) T v 1 = v2 T Av 1 = λ 1 v2 T v 1 = λ 1 v 2, v 1 Altså (λ 2 λ 1 ) v 2, v 1 = 0. Men λ 2 λ 1 = 0, så v 2, v 1 = 0. 1.7 Spektralsætningen for symmetriske matricer Spektralsætningen for symmetriske matricer Lad A være en reel og symmetrisk n n-matrix. Så findes der en ortonormal basis for R n bestående af egenvektorer for A. A kan dermed diagonaliseres vha. en ortogonal matrix Q, altså Q T AQ = Λ = diag (λ 1, λ 2,..., λ n ) Bevis. I det tilfælde, at alle egenværdier er forskellige, følger resultatet af de foregående resultater. Det generelle tilfælde, hvor den algebraiske multiplicitet af en egenværdi λ kan være større end 1, behandles i beviset for Sætning 8.33. Vi springer det over. Navnet spektralsætningen kommer fra betegnelsen spektrum for mængden af egenværdier. 3
1.8 Positiv definit matrix Positiv definit matrix En kvadratisk matrix A kaldes positiv definit, hvis x T Ax > 0 for alle vektorer x = 0. Lad A være en reel og symmetrisk n n-matrix. Så er A positiv definit hvis og kun hvis alle egenværdier er positive. Bevis. Lad Q være en diagonaliserende ortogonal matrix. Så gælder Q T AQ = Λ = diag (λ 1, λ 2,..., λ n ) og QΛQ T = A. Så med w = Q T u fås u T Au = u T QΛQ T u = w T Λw = λ 1 w 2 1 + λ 2w 2 2 + + λ n w 2 n. Hvis alle egenværdierne er positive, er dette positivt, når u = 0, idet da også w = 0. Hvis omvendt λ 1 w 2 1 + λ 2w 2 2 + + λ nw 2 n > 0 for alle u = 0 (altså dermed for alle w = 0) må alle egenværdier være positive. 1.9 Kvadratisk form I Kvadratisk form I Et udtryk af formen K (x 1, x 2,..., x n ) = n j j=1 i=1 k ij x i x j hvor x = (x 1, x 2,..., x n ) R n, kaldes en kvadratisk form. Navnet indikerer, at hvert led har total grad 2. Udtrykket er et homogent polynomium i x 1, x 2,..., x n af grad 2. Eksempel 2. K (x 1, x 2 ) = 3x 2 1 + 4x 1x 2 + 7x 2 2. Eksempel 3. K (x 1, x 2, x 3 ) = 4x 2 1 2x 1x 2 + 6x 2 x 3 + 8x 2 2 + 11x2 3. Eksempel 4. K (x 1, x 2, x 3, x 4 ) = 4x 2 1 2x 1x 2 + 6x 2 x 3 + 8x 2 2 + 11x2 3 8x 4x 1 1.10 Kvadratisk form II Kvadratisk form II En kvadratisk form K (x 1, x 2,..., x n ) = K (x) kan skrives entydigt på formen K (x) = x T Ax hvor A er en symmetrisk n n-matrix. A er givet ved A = [ a ij hvor aii = k ii og a ij = a ji = 1 2 k ij for i < j. 4
Eksempel 2: A =. Eksempel 4: A = [ 3 2 2 7 1.11 Kvadratisk form III Kvadratisk form III 4 1 0 4 1 8 3 0 0 3 11 0 4 0 0 0. Eksempel 3: A =. 1 8 3 4 1 0 0 3 11 En kvadratisk form K (x 1, x 2,..., x n ) = K (x) kan vha. en ortogonal substitution x = Qy skrives på formen K (x) = K (y) = λ 1 y 2 1 + λ 2y 2 2 + + λ ny 2 n Bevis. Lad A være symmetrisk og K (x) = x T Ax. Lad Q være en diagonaliserende ortogonal matrix: Q T AQ = Λ = diag (λ 1, λ 2,..., λ n ). Så fås, når x = Qy at Eksempel 2: A = K (x) = x T Ax = (Qy) T AQy = y T Q T AQy = y T Λy = λ 1 y 2 1 + λ 2y 2 2 + + λ ny 2 n [ 3 2 2 7. Egenværdier 5 ± 2 2. Positiv definit. Lettere at finde sporet og determinanten: det A = 17 og spor A = 10, så begge egenværdier er positive. 1.12 Kvadratisk form IV Kvadratisk form IV Eksempel 3: A = Positiv definit. 1 8 3 4 1 0 0 3 11. Egenværdier ca. 3.68, 6.44, 12, 89. Determinanten findes til 305 og sporet er 23, men dette er ikke nok til en konklusion. 4 1 0 4 Eksempel 4: A = 1 8 3 0 0 3 11 0. Egenværdier ca. 2.50, 5.57, 7.04, 12.89. 4 0 0 0 Indefinit. Determinanten findes til 1264, så der er både negative og positive egenværdier: A er indefinit. 5