Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 14, 15 Nøgleord og begreber Separable ligninger 1. ordens lineær ligning August 2002, opgave 7 Rovdyr-Byttedyr system 1. ordens lineært system Opgave Calculus 2-2005 Uge 48.2-1
Separabel ligning [S] 7.3 Separable equations Definition En 1. ordens differentialligning 1 dy dx = g(x)f(y) kaldes separabel. Calculus 2-2005 Uge 48.2-2
Separabel ligning [S] 7.3 Separable equations Definition En 1. ordens differentialligning 1 dy dx = g(x)f(y) kaldes separabel. Løsning Integration 2 dy f(y) = g(x)dx Fastlægger løsninger optil en konstant. Calculus 2-2005 Uge 48.2-2
1. ordens lineær ligning [LA] 14 Lineær differentialligning Definition 1 Den lineœre 1. ordens differentialligning er dy dx = a(x)y + b(x) En partikulær løsning er en differentiabel funktion y(x) som opfylder y (x) = a(x)y(x) + b(x) Den fuldstœndige løsning er en angivelse af alle løsninger. Ligningen dy = a(x)y kaldes homogen og er den homogene dx part af den inhomogene, b 0, ligning ovenfor. Calculus 2-2005 Uge 48.2-3
Superposition [LA] 14 Lineær differentialligning Sætning 22 Hvis z 1 (x),z 2 (x) er løsninger til den homogene lineœre differentialligning dy dx = a(x)y så er enhver linearkombination også en løsning. z(x) = C 1 z 1 (x) + C 2 z 2 (x) Calculus 2-2005 Uge 48.2-4
Superposition [LA] 14 Lineær differentialligning Sætning 22 - fortsat Hvis z 0 (x) er en løsning til den inhomogene lineœre differentialligning dy dx = a(x)y + b(x) så er enhver løsning af formen y(x) = z(x) + z 0 (x) hvor z(x) er en løsning til den homogene part af systemet. Calculus 2-2005 Uge 48.2-5
1. ordens lineær ligning [LA] 14 Lineær differentialligning Sætning 23 Den lineœre ligning med konstante koefficienter dy dx = ay + b har fuldstœndig løsning givet ved a = 0: y(x) = C + bx a 0: hvor C er arbitrœr. y(x) = Ce ax b a Calculus 2-2005 Uge 48.2-6
1. ordens lineær ligning [LA] 14 Lineær differentialligning Sætning 24 Den homogene lineœre ligning har fuldstœndig løsning dy dx = a(x)y y(x) = Ce A(x) hvor C er arbitrœr og A(x) = a(x) dx Calculus 2-2005 Uge 48.2-7
1. ordens lineær ligning [LA] 14 Lineær differentialligning Sætning 24 - Bevis er separabel med løsninger dy y = dy dx = a(x)y a(x)dx ln y = A(x) + K y(x) = Ce A(x) Calculus 2-2005 Uge 48.2-8
1. ordens lineær ligning [LA] 14 Lineær differentialligning Sætning 25 Den generelle lineœre ligning dy dx = a(x)y + b(x) har fuldstœndig løsning y(x) = Ce A(x) + B(x)e A(x) hvor C er arbitrœr og A(x) = a(x) dx, B(x) = e A(x) b(x)dx Calculus 2-2005 Uge 48.2-9
1. ordens lineær ligning [LA] 14 Lineær differentialligning Sætning 23, 25 - Bevis z(x) = e A(x) y(x) opfylder ligningen som integreres til og forlænges til dz dx = e A(x) b(x) z(x) = B(x) + C y(x) = Ce A(x) + B(x)e A(x) Calculus 2-2005 Uge 48.2-10
1. ordens lineær ligning [LA] 14 Lineær differentialligning Metode dy = a(x)y + b(x) dx 1. Bestem en stamfunktion A(x) = a(x) dx 2. Bestem en stamfunktion B(x) = e A(x) b(x)dx 3. Skriv løsningen y(x) = Ce A(x) + B(x)e A(x) Calculus 2-2005 Uge 48.2-11
Opgave Matematik Alfa 1, August 2002 Opgave 1 Angiv den fuldstændige løsning til differentialligningen y + 2y = xe 2x + 3 Angiv endvidere den partikulære løsning y(x), der opfylder y(0) = 2. Calculus 2-2005 Uge 48.2-12
Opgave Matematik Alfa 1, August 2002 Opgave 1 Angiv den fuldstændige løsning til differentialligningen y + 2y = xe 2x + 3 Angiv endvidere den partikulære løsning y(x), der opfylder y(0) = 2. Løsning giver y = 2y + (xe 2x + 3) a(x) = 2,b(x) = xe 2x + 3 Calculus 2-2005 Uge 48.2-12
Opgave Matematik Alfa 1, August 2002 Opgave 1 - fortsat A(x) = a(x)dx = 2dx = 2x B(x) = e A(x) b(x)dx = e 2x (xe 2x + 3)dx Som giver = 1 2 x2 + 3 2 e2x Calculus 2-2005 Uge 48.2-13
Opgave Matematik Alfa 1, August 2002 Opgave 1 - fortsat fuldstændig løsning y(x) = Ce A(x) + B(x)e A(x) = Ce 2x + ( 1 2 x2 + 3 2 e2x )e 2x = Ce 2x + 1 2 x2 e 2x + 3 2 Calculus 2-2005 Uge 48.2-14
Opgave Matematik Alfa 1, August 2002 Opgave 1 - fortsat I den partikulære løsning bestemmes C ved y(0) = 2. y(0) = Ce 0 + 3 2 = 2 C = 2 3 2 = 1 2 Calculus 2-2005 Uge 48.2-15
Opgave Matematik Alfa 1, August 2002 Opgave 1 - fortsat I den partikulære løsning bestemmes C ved y(0) = 2. y(0) = Ce 0 + 3 2 = 2 I alt er løsningen C = 2 3 2 = 1 2 y(x) = 1 2 e 2x + 1 2 x2 e 2x + 3 2 = 1 2 (1 + x2 )e 2x + 3 2 Calculus 2-2005 Uge 48.2-15
Rovdyr-byttedyr [S] 7.6 Predator-prey systems Lotka-Volterra ligningerne 1 dr dt dw dt = kr arw = rw + brw er et system af koplede differentialligninger, der beskriver en udviklingen i en bestand af rovdyr W(t) (ulve) og byttedyr R(t) (harer) med tiden t. Calculus 2-2005 Uge 48.2-16
Rovdyr-byttedyr [S] 7.6 Predator-prey systems Lotka-Volterra ligningerne 1 dr dt dw dt = kr arw = rw + brw er et system af koplede differentialligninger, der beskriver en udviklingen i en bestand af rovdyr W(t) (ulve) og byttedyr R(t) (harer) med tiden t. Det er ikke muligt at løse disse analytisk (ved udtryk i elementære funktioner af t). Calculus 2-2005 Uge 48.2-16
Lineært system Definition 1 Ved et lineœrt differentialligningssystem (2 ligninger) med konstante koefficienter forstås dy 1 dx = a 11 y 1 + a 12 y 2 + b 1 dy 2 dx = a 21 y 1 + a 22 y 2 + b 2 Calculus 2-2005 Uge 48.2-17
Lineært system Definition 1 Ved et lineœrt differentialligningssystem (2 ligninger) med konstante koefficienter forstås dy 1 dx = a 11 y 1 + a 12 y 2 + b 1 dy 2 dx = a 21 y 1 + a 22 y 2 + b 2 En løsning er differentiable funktioner x y 1 (x),x y 2 (x) som indsat opfylder lignningerne. Calculus 2-2005 Uge 48.2-17
Lineært system Definition 1 - matrixform For 2 2-matricen A = (a ij ), koefficientmatricen, og 2-søjlerne b = (b i ), y(x) = (y i (x)) skrives differentialligningssystem dy dx = Ay + b Calculus 2-2005 Uge 48.2-18
Lineært system Definition 1 - matrixform For 2 2-matricen A = (a ij ), koefficientmatricen, og 2-søjlerne b = (b i ), y(x) = (y i (x)) skrives differentialligningssystem dy dx = Ay + b eller ( ) dy1 dx dy 2 dx = ( ) ( a 11 a 12 a 21 a 22 y 1 y 2 ) + ( b 1 b 2 ) Calculus 2-2005 Uge 48.2-18
Lineært system Definition 1 - matrixform For 2 2-matricen A = (a ij ), koefficientmatricen, og 2-søjlerne b = (b i ), y(x) = (y i (x)) skrives differentialligningssystem dy dx = Ay + b eller ( ) dy1 dx dy 2 dx En løsning skrives = ( ) ( a 11 a 12 a 21 a 22 x y(x) = y 1 y 2 ) ( ) y 1 (x) y 2 (x) + ( b 1 b 2 ) Calculus 2-2005 Uge 48.2-18
Lineært system Notation 2 Givet 2 2-matricen A = (a ij ) og 2-søjlerne b = (b i ), y(x) = (y i (x)) kaldes systemet dy dx = Ay homogent og er den homogene part af det inhomogene, b 0, system dy dx = Ay + b Calculus 2-2005 Uge 48.2-19
Superposition Sætning 26 Betragt 2 2-matricen A = (a ij ) og 2-søjlen y(x) = (y i (x)). Hvis z 1 (x),z 2 (x) er løsninger til det homogene lineœre differentialligningssystem så er enhver linearkombination også en løsning. dy dx = Ay z(x) = C 1 z 1 (x) + C 2 z 2 (x) Calculus 2-2005 Uge 48.2-20
Superposition Sætning 26 - fortsat Betragt yderligere 2-søjlen b. Hvis z 0 (x) er en løsninger til det inhomogene lineœre differentialligningssystem så er enhver løsning af formen dy dx = Ay + b y(x) = z(x) + z 0 (x) hvor z(x) er en løsning til den homogene part af systemet. Calculus 2-2005 Uge 48.2-21
Lineært system Eksempel 1 Systemet y 1 = λ 1y 1 y 2 = λ 2 y 2 har diagonalmatricen Λ = ( ) λ 1 0 0 λ 2 som koefficientmatrix. e 1,e 2 er egenvektorer og basis for R 2. Calculus 2-2005 Uge 48.2-22
Lineært system Eksempel 1 - fortsat Fra Særning 1.3 fås den fuldstændige løsning y 1 (x) = C 1 e λ 1x, y 2 (x) = C 2 e λ 2x på vektorform giver dette ( ) ( ) ( y 1 (x) C 1 e λ 1x y(x) = = = C y 2 (x) C 2 e λ 2x 1 eller udtrykt ved egenvektorerne e λ 1x 0 ) + C 2 ( 0 e λ 2x ) y(x) = C 1 e λ 1x e 1 + C 2 e λ 2x e 2 Calculus 2-2005 Uge 48.2-23
Lineært system Sætning 27 Betragt 2 2-matricen A = (a ij ) og 2-søjlen y(x) = (y i (x)) samt det homogene lineœre differentialligningssystem dy dx = Ay Hvis u er en egenvektor for A med egenvœrdi λ, så er løsninger, hvor C er arbitrær. y(x) = Ce λx u Calculus 2-2005 Uge 48.2-24
Lineært system Sætning 28 Betragt 2 2-matricen A = (a ij ) og 2-søjlerne b = (b i ), y(x) = (y i (x)) samt det lineœre differentialligningssystem dy dx = Ay + b En konstant funktion y(x) = v er en løsning, hvis Av = b. Hvis yderligere u er en egenvektor for A med egenvœrdi λ, så er løsninger, hvor C er arbitrær. y(x) = Ce λx u + v Calculus 2-2005 Uge 48.2-25
Lineært system Sætning 29 Betragt 2 2-matricen A = (a ij ) og 2-søjlen y(x) = (y i (x)) samt det homogene lineœre differentialligningssystem Hvis dy dx = Ay y 0 = C 1 u 1 + C 2 u 2 er en linearkombination af egenvektorer for A, med egenvœrdier λ 1,λ 2, Au j = λ j u j, så er y(x) = C 1 e λ 1x u 1 + C 2 e λ 2x u 2 en løsning, der opfylder y(0) = y 0. Calculus 2-2005 Uge 48.2-26
Lineært system Sætning 30 Betragt 2 2-matricen A = (a ij ) og 2-søjlen y(x) = (y i (x)) samt det homogene lineœre differentialligningssystem dy dx = Ay Hvis matricen U med søjler u 1,u 2 diagonaliserer A med egenvœrdier λ 1,λ 2, Au j = λ j u j, så er den fuldstændige løsning givet ved y(x) = C 1 e λ 1x u 1 + C 2 e λ 2x u 2 hvor C 1,C 2 er arbitrœre. Calculus 2-2005 Uge 48.2-27
Lineært system Sætning 31 Betragt 2 2-matricen A = (a ij ) og 2-søjlerne b = (b i ), y(x) = (y i (x)) samt det lineœre differentialligningssystem dy dx = Ay + b En konstant funktion y(x) = v er en løsning, hvis Av = b. Hvis matricen U med søjler u 1,u 2 diagonaliserer A med egenvœrdier λ 1,λ 2, Au j = λ j u j, så er den fuldstændige løsning givet ved y(x) = C 1 e λ 1x u 1 + C 2 e λ 2x u 2 + v hvor C 1,C 2 er arbitrœre. Calculus 2-2005 Uge 48.2-28
Opgave Opgave 1 Betragt differentialligningssystemet y 1 = y 1 + y 2 y 2 = 8y 1 y 2 Det oplyses, at vektoren u = (1, 2) er en egenvektor for matricen A = ( ) 1 1 8 1 Angiv den løsning y(x) = (y 1 (x),y 2 (x)) der opfylder y(0) = u, altså (y 1 (0),y 2 (0)) = (1, 2). Calculus 2-2005 Uge 48.2-29
Opgave Opgave 1 - fortsat Egenværdien λ = 3 fås af udregningen ( ) ( ) 1 1 1 Au = = 8 1 2 ( ) 3 6 = 3u I følge [LA] Sætning 27 er ( ) y(x) = Ce 3x 1 2 løsninger for alle valg af C. Calculus 2-2005 Uge 48.2-30
Opgave Opgave 1 - fortsat ( ) y(x) = Ce 3x 1 2 som opfylder (y 1 (0),y 2 (0)) = C(1, 2) = (1, 2) fås for C = 1. Den ønskede løsning skrevet ud y 1 (x) = e 3x y 2 (x) = 2e 3x Calculus 2-2005 Uge 48.2-31
Opgave Opgave 2 Angiv den fuldstændige løsning til differentialligningssystemet y 1 = y 1 + 2y 2 8 y 2 = 2y 1 + y 2 7 Calculus 2-2005 Uge 48.2-32
Opgave Opgave 2 Angiv den fuldstændige løsning til differentialligningssystemet y 1 = y 1 + 2y 2 8 y 2 = 2y 1 + y 2 7 Løsning Koefficientmatricen er A = ( ) 1 2 2 1 Calculus 2-2005 Uge 48.2-32
Opgave Opgave 2 - fortsat Egenværdierne findes som rødder i det karakteristiske polynomium A λi 2 = 1 λ 2 2 1 λ = λ 2 2λ 3 Calculus 2-2005 Uge 48.2-33
Opgave Opgave 2 - fortsat Egenværdierne findes som rødder i det karakteristiske polynomium A λi 2 = 1 λ 2 2 1 λ = λ 2 2λ 3 Egenværdier λ 1 = 1, λ 2 = 3 Calculus 2-2005 Uge 48.2-33
Opgave Opgave 2 - fortsat Egenvektorer hørende til egenværdien 1: A + I = ( ) 2 2 2 2 ( ) 1 1 0 0 giver egenvektorer ( x 1 x 2 ) = ( x 2 x 2 ) = x 2 ( ) 1 1 Calculus 2-2005 Uge 48.2-34
Opgave Opgave 2 - fortsat Egenvektorer hørende til egenværdien 3: ( ) 2 2 A 3I = 2 2 ( ) 1 1 0 0 giver egenvektorer ( x 1 x 2 ) = ( x 2 x 2 ) = x 2 ( ) 1 1 Calculus 2-2005 Uge 48.2-35
Opgave Opgave 2 - fortsat Den fuldstændige løsning til den homogene part y 1 = y 1 + 2y 2 y 2 = 2y 1 + y 2 er i følge [LA] Sætning 30 ( y(x) = C 1 e x 1 1 ) + C 2 e 3x ( ) 1 1 Skrevet ud y 1 (x) = C 1 e x + C 2 e 3x y 2 (x) = C 1 e x + C 2 e 3x Calculus 2-2005 Uge 48.2-36
Opgave Opgave 2 - fortsat En konstant løsning y(x) = v = (v 1,v 2 ) skal opfylde 0 = v 1 + 2v 2 8 0 = 2v 1 + v 2 7 Calculus 2-2005 Uge 48.2-37
Opgave Opgave 2 - fortsat En konstant løsning y(x) = v = (v 1,v 2 ) skal opfylde 0 = v 1 + 2v 2 8 0 = 2v 1 + v 2 7 Løsning Dette løses v = ( ) 2 3 Calculus 2-2005 Uge 48.2-37
Opgave Opgave 2 - fortsat Den fuldstændige løsning til systemet er i følge [LA] Sætning 31 ( y(x) = C 1 e x 1 1 y 1 = y 1 + 2y 2 8 y 2 = 2y 1 + y 2 7 ) + C 2 e 3x ( ) 1 1 + ( ) 2 3 Skrevet ud y 1 (x) = C 1 e x + C 2 e 3x + 2 y 2 (x) = C 1 e x + C 2 e 3x + 3 Calculus 2-2005 Uge 48.2-38
Ingen egenværdier Eksempel 2 Betragt det lineære system y 1 = y 1 y 2 y 2 = y 1 + y 2 Calculus 2-2005 Uge 48.2-39
Ingen egenværdier Eksempel 2 Betragt det lineære system y 1 = y 1 y 2 y 2 = y 1 + y 2 Koefficientmatricen A = ( ) 1 1 1 1 har karakteristisk polynomium λ 2 2λ + 2 med diskriminant 4 og dermed ingen egenværdier. Calculus 2-2005 Uge 48.2-39
Ingen egenværdier Eksempel 2 - Løsning Ved brug af komplekse tal findes løsningen ved metoden med egenvektorer ( ) ( ) y(x) = C 1 e x cos x + C 2 e x sin x sinx cosx Calculus 2-2005 Uge 48.2-40
Ingen egenværdier Eksempel 2 - Løsning Ved brug af komplekse tal findes løsningen ved metoden med egenvektorer ( ) ( ) y(x) = C 1 e x cos x + C 2 e x sin x sinx cosx Skrevet ud y 1 (x) = C 1 e x cosx C 2 e x sinx y 2 (x) = C 1 e x sin x + C 2 e x cosx Calculus 2-2005 Uge 48.2-40
1 egenværdi Eksempel 3 Betragt det lineære system y 1 = 3y 1 + y 2 y 2 = 3y 2 Calculus 2-2005 Uge 48.2-41
1 egenværdi Eksempel 3 Betragt det lineære system y 1 = 3y 1 + y 2 y 2 = 3y 2 Koefficientmatricen A = ( ) 3 1 0 3 har egenværdi 3 og egenrum E 3 = span(e 1 ). Calculus 2-2005 Uge 48.2-41
1 egenværdi Eksempel 3 - Løsning Løsningen bestemmes ved metoden med egenvektorer ( ) ( ) y(x) = C 1 e 3x 1 + C 2 e 3x x 0 1 Calculus 2-2005 Uge 48.2-42
1 egenværdi Eksempel 3 - Løsning Løsningen bestemmes ved metoden med egenvektorer ( ) ( ) y(x) = C 1 e 3x 1 + C 2 e 3x x 0 1 Skrevet ud Gør prøve! y 1 (x) = C 1 e 3x + C 2 e 3x x y 2 (x) = C 2 e 3x Calculus 2-2005 Uge 48.2-42