Mtemtisk formelsmling st A-niveu mj 08
Denne udgve f Mtemtisk formelsmling st A-niveu er udgivet f Undervisningsministeriet og gjort tilgængelig på uvm.dk. Formelsmlingen er udrejdet i et smrejde mellem Mtemtiklærerforeningen og Undervisningsministeriet, Styrelsen for Undervisning og Kvlitet, mj 08 Kopiering til ndet end personlig rug må kun ske efter ftle med Copy-Dn. ISBN: 978-87-603-366-4 Forfttere: Gert Schomcker, Jesper Bng-Jensen, Bodil Bruun og Jørgen Dejgrd
Forord: Mtemtisk formelsmling st A er udrejdet til rug for eksminnderne ved den skriftlige prøve og i undervisningen på st i mtemtik på A-niveu. Formelsmlingen indeholder de emner, der forekommer i læreplnen for mtemtik på A-niveu på st inden for åde kernestof og supplerende stof. For overlikkets skyld er medtget formler for rel og rumfng f en række elementærgeometriske figurer. Endvidere indeholder formelsmlingen en liste over mtemtiske stndrdsymoler. Hensigten hermed er dels t give eleverne et hurtigt overlik, dels t idrge til, t undervisere og forfttere f undervisningsmteriler kn nvende ensrtet nottion, symolsprog og terminologi. Listen over mtemtiske stndrdsymoler går derfor ud over kernestoffet, men holder sig dog inden for det mtemtiske univers i gymnsiet og på hf. En række f formlerne i formelsmlingen er kun nvendelige under visse forudsætninger (f t nævneren i en røk er forskellig fr 0). Sådnne forudsætninger er f hensyn til overskueligheden ikke eksplicit nævnt. Figurerne er medtget som illustrtion til formlerne, og den enkelte figur nskueliggør ofte ét lndt flere mulige tilfælde. Betydningen f de størrelser, der indgår i formlerne, er ikke ltid forklret, men vil dog være det i tilfælde, hvor etydningen ikke følger umiddelrt f skik og rug i den mtemtiske littertur. Birte Iversen Undervisningsministeriet, Styrelsen for Undervisning og Kvlitet, Kontor for Prøver, Eksmen og Test Mj 08 3
Indhold Procent- og rentesregning 5 Indekstl 5 Proportionlitet 6 Brøkregler 6 Kvdrtsætninger 7 Potensregneregler 7 Ensvinklede treknter 8 Retvinklet treknt 8 Vilkårlig treknt 9 Vektorer i plnen 0 Linjer, cirkler og prler 3 Lineære funktioner 6 Andengrdspolynomier 7 Logritmefunktioner 8 Eksponentielt voksende funktioner 9 Eksponentielt ftgende funktioner 0 Potensfunktioner Trigonometriske funktioner Differentilregning 4 Afledede funktioner 5 Stmfunktion 6 Regneregler for integrtion 7 Arel og rumfung 8 Differentilligninger 9 Vektorfunktioner 3 Funktioner f to vrile 3 Grupperede oservtioner 35 Ugrupperede oservtioner 36 Lineær regression 38 Komintorik 39 Sndsynlighedsregning 40 Binomilfordelingen 4 Normlfordelingen 43 Pscls treknt 45 Multipliktionstel 46 Arel og omkreds, rumfng og overflde 47 Mtemtiske stndrdsymoler 48 Stikordsregister 54 4
Procent- og rentesregning Begyndelsesværdi B Slutværdi S () S B ( r) S Vækstrte r () r B Procentvis ændring p (3) p% = r 00% Kpitlformel Strtkpitl K 0 Rente p% pr. termin Kpitl K efter n terminer (4) K = K 0 ( + r) n, hvor p r 00 Annuitetsopspring Terminsindetling Rentefod r Antl indetlinger n Kpitl A efter sidste indetling (5) ( + r) n - A= r Annuitetslån Hovedstol G Rentefod r Antl terminsydelser n Terminsydelse y (6) r y = G - ( + r ) - n Indekstl Værdi B S Indekstl I B I S S (7) I IS = I S B S = B B I B 5
Proportionlitet () og y er proportionle Proportionlitetsfktor k () y = k () (8) y = k y k = y= k (9) y = k y = k og y er omvendt proportionle () Brøkregler (0) = c c c () = c () c = c (3) c d d = c (4) c c = d d 6
Kvdrtsætninger (5) (6) (7) ( ) + = + + ( ) - = + - ( + )( - ) = - Potensregneregler r s r s (8) = + (9) r s = r-s (0) ( ) r s = r s () ( ) r = r r () r æö ç = çè ø r r 0 (3) = (4) (5) (6) (7) r s - r = r - = r = r = r s (8) = (9) = (30) = 7
Ensvinklede treknter B c A C B (3) c = = = k c A c C (3) c = k = k = k c Retvinklet treknt B c A C Pythgors sætning (33) c = + cosinus (34) cos( A) = c sinus (35) sin( A) = c tngens (36) tn( A) = 8
Vilkårlig treknt h B A g C Trekntens vinkelsum (37) A+ B+ C = 80 Trekntens rel T (38) T = h g B c A C cosinusreltion (39) sinusreltion (40) c = + - C cos( ) = = c sin( A) sin( B) sin( C) Trekntens rel T (4) T = sin( C) 9
Vektorer i plnen () j j i i () Koordintsættet for vektor, hvor i = j = (4) æ ö = ç + =ç ç i j çè ø () sin( v) e v cos( v) () Enhedsvektor (43) æcos( v) ö e =ç ç ç çèsin( v) ø Enhedsvektor e ensrettet med (44) e = Længden f vektor (45) æ ö = ç = + çè ø k Multipliktion f vektor med tllet k (46) k æ ö æ k ö = k = ç k è ø çè ø 0
Summen f to vektorer (47) + æ ö æ ö æ + ö = + = ç è ø çè ø èç + ø Differensen mellem to vektorer (48) - æ ö æ ö æ - ö = - = ç è ø çè ø çè - ø () A (, y) B (, y) () Koordintsættet for vektor AB =ç çè ø æ ö ç ç (49) AB æ - ö =ç ç ç y y çè - ø v æ ö =ç ç ç çè ø Sklrproduktet (prikproduktet) f og (50) = + (5) = cos( v) (5) cos( v) = Ortogonle vektorer (53) = 0 ^ Kvdrtet på en vektor (54) = =
Projektionen f på (55) Længden f projektionen (56) () + = = ˆ - ç è ø = æ ö = æ ç ö çè ø () Tværvektoren til (57) æ ö æ - ö = = çè ø è ç ø = æ ç ö è ø v Determinnten for vektorprret (, ) = æ ç ö è ø (58) det(, ) = = - = (59) det(, ) = sin( v) Prllelle vektorer (60) det(, ) = 0 Arelet f det prllelogrm, som udspændes f og (6) A = det(, )
Linjer, cirkler og prler Q(0, ) Ligning for linjen l gennem Q(0, ) med hældningskoefficient Hældningskoefficient (stigningstl) for linjen l gennem A(, y ) og B(, y ) () v A (, y) l B (, y) () (6) y= + y- y (63) = - Skæring med y-ksen (64) = y- Ligning for linjen l gennem A(, y ) med hældningskoefficient Hældningsvinklen v er vinklen fr førsteksen til l regnet med fortegn (65) y= ( - ) + y (66) = tn( v) () n r P0( 0, y0) l Ligning for linjen l gennem P med normlvektor 0 n æ ö = ç çè ø Prmeterfremstilling for linjen l gennem P 0 med r retningsvektor r = æ ö ç çèr ø () (67) ( - 0) + ( y- y0) = 0 (68) æö æ ö æ 0 r ö = + t èç y ø çy çr è ø è ø 0 3
Afstnd AB mellem to punkter A(, y ) og B(, y ) () (69) AB = ( - ) + ( y - y ) A (, y) M B (, y) () Midtpunkt M for linjestykke AB (70) M æ, + + ç çè ø () P (, y) l () Afstnd dist(p,l) fr punktet P (, y ) til linjen l med ligningen y= + Afstnd dist(p,l) fr punktet P (, y ) til linjen l med ligningen + y+ c= 0 () (7) (7) + -y dist( Pl, ) = + + y+ c dist( Pl, ) = + C (,) r () Ligning for cirkel med centrum i C (, ) og rdius r (73) ( - ) + ( y - ) = r 4
() =h S S () Thk (,) Ligning for prel med symmetrikse prllel med ndenksen (74) y= + + c = - + ( h) k Toppunkt T (75) æ dö T( h, k) T - - = ç,, çè 4 ø hvor 4 d = - c Skæringspunkter S og S førsteksen med æ (76) d ö æ,0, d ö S - - - + S,0 ç è ø èç ø 5
Lineære funktioner () () Førstegrdspolynomium, lineær funktion f (77) f ( ) = + () f y y Hældningskoefficienten (stigningstllet) ud fr to punkter på grfen (, y ) og (, y ) () (78) y - y = - Skæring med y-ksen (79) = y- 6
Andengrdspolynomier () p () T Andengrdspolynomium p med nulpunkter (rødder) og (80) p ( ) = + + c = ( - ) ( - ) -- d - + d Nulpunkter (rødder) (8) =, =, hvor d = -4c æ dö Toppunkt T (8) T - - ç, çè 4 ø 7
Logritmefunktioner () e ln ( ) () Grfen for den nturlige logritmefunktion (83) ln( ) - for 0 (84) ln( ) for () log( ) 0 () (85) y= ln( ) = e y (86) ln(e) = (87) ln( ) = ln( ) + ln( ) (88) æö lnç = ln( ) -ln( ) çè ø (89) r ln( ) = r ln( ) Grfen for logritmefunktionen med grundtl 0 (90) log( ) - for 0 (9) log( ) for (9) y= log( ) = 0 y (93) log(0) = (94) log( ) = log( ) + log( ) æö (95) logç = log( ) -log( ) çè ø r (96) log( ) = r log( ) 8
Eksponentielt voksende funktioner () f () Grfen for en eksponentielt voksende funktion f > vækstrten r > 0 k > 0 (97) f( ) = = ( + r) k = e, hvor k= ln( ) (98) f( ) for Fremskrivningsfktoren ud fr to punkter på grfen (, y ) og (, y ) (99) f( ) 0 for (00) - y æ y ö = = y ç y çè ø - Skæring med y-ksen (0) y = () y = y y T () Fordolingskonstnten T (0) T = - log() ln() ln() (03) T = log( ) = ln( ) = k 9
Eksponentielt ftgende funktioner () () Grfen for en eksponentielt ftgende funktion f 0< < vækstrten r < 0 k < 0 Fremskrivningsfktoren ud fr to punkter på grfen (, y ) og (, y ) (04) f ( ) = = ( + r) k = e, hvor k = ln( ) (05) f( ) 0 for (06) f( ) for (07) - y æ y ö = = y ç y çè ø - Skæring med y-ksen (08) y = () y y T y = () Hlveringskonstnten T (09) T = - (0) ( ) log ln( ) ln( ) T = log( ) = ln( ) = k 0
Potensfunktioner Potensfunktion () f ( ) = () > = 0 < < < 0 () Grfer for f ( ) Bestemmelse f tllet ud fr to punkter på grfen (, y) og (, y ) Når gnges med tllet r, så gnges f ( ) med tllet r y () y (3) = log( y) -log( y) ln( y) -ln( y) = = log( )-log( ) ln( )-ln( ) (4) + r = ( + r) y Når gnges med tllet k, så gnges f ( ) med tllet k (5) f ( k ) = k f ( )
Trigonometriske funktioner () v () Grdtl v omst til rdintl (6) v = π rdin 360 Rdintl omst til grdtl v (7) v = 360 grder π () sin( ) cos( ) () Definition f cos() og sin() (8) cos ( ) + sin ( ) = () Grfen for cosinus () (9) cos( + π) = cos( ) (0) cos( - ) = cos( ) () cos(π - ) =- cos( ) () Grfen for sinus () () sin( + π) = sin( ) (3) sin( - ) =- sin( ) (4) sin(π - ) = sin( )
tn( ) () () Definition f tngens (5) sin( ) tn( ) = cos( ) Udvlgte funktionsværdier (6) grder 0 30 45 60 90 rdintl 0 sin 0 cos tn 0 6 3 3 3 4 3 3 0 3 - Hrmonisk svingning f (7) f () t = A sin( t+ ) + d () d A f t t T () Grf for hrmonisk svingning f med mplitude A og periode (svingningstid) T (8) T t t π = - = 3
Differentilregning Differentilkvotienten f ( 0 ) for funktionen f i tllet 0 (9) f( ) - f( 0 ) f ( 0 ) = lim 0 - f ( 0 + h) - f( 0) = lim h0 h 0 () f ( ) 0 P t f 0 () Ligning for tngenten t til grfen for f i P( 0, f ( 0)) (30) y= f ( 0) ( - 0) + f ( 0) eller y = +, hvor = f ( 0 ) og = y0-0 Regneregler for differentition (3) ( k f ( )) = k f ( ) (3) ( f ( ) + g( )) = f ) + g ( ) (33) ( f ( ) - g( )) = f ) - g ( ) (34) ( f ( ) g( )) = f ) g( ) + f ( ) g ( ) (35) ( f ( + ) ) = f ( + ) (36) ( f ( g( )) = f ( g( )) g ( ) 4
Afledede funktioner Funktion Afledet funktion y f( ) ( ) d y = f = = ( f( )) d d Lineær funktion (37) + Logritmefunktion (39) ln( ) (38) k 0 = - Eksponentilfunktioner (40) e (4) e k e k e k (4) ln( ) Potensfunktioner (43) (44) = (45) - = - =- = - - Trigonometriske funktioner (46) cos( ) sin( ) (47) sin( ) cos( ) 5
Stmfunktion Funktion Stmfunktion ò f ( ) f ( ) d Konstnt funktion (48) Logritmefunktion (49) ln( ) ln( ) - Eksponentilfunktioner (50) e e (5) e k e k k (5) ln( ) Potensfunktioner (53) + - (54) = ln (55) = + 3 = 3 3 Trigonometriske funktioner (56) cos( ) sin( ) (57) sin( ) cos( ) 6
Regneregler for integrtion Uestemt integrl (58) ò f ( ) d= F( ) + k, hvor F( ) er en stmfunktion til f ( ) ò ò (59) k f ( ) d= k f ( ) d ò ò ò (60) ( f ( ) + g( )) d= f ( ) d+ g( ) d ò ò ò (6) ( f ( ) - g( )) d= f ( ) d- g( ) d Integrtion ved sustitution ò ò, hvor t= g( ) (6) f ( g( )) g ( ) d = f ( t) dt ò f ( ) d= F( ) = F( ) -F( ), Bestemt integrl (63) [ ] hvor F( ) er en stmfunktion til f ( ) c (64) f ( ) d= f( ) d+ f( ) d ò ò ò c (65) k f( ) d= k f( ) d ò ò (66) ( f ( ) + g( )) d= f ( ) d+ g( ) d ò ò ò ò ò ò (67) ( f ( ) - g( )) d= f ( ) d- g( ) d Integrtion ved sustitution ò g( ) (68) f( g( )) g ( ) d= f() t dt= [ F() t ] ò g( ) = Fg ( ( ))-Fg ( ( )), hvor F ( ) er en stmfunktion til f( ) g( ) g( ) 7
Arel og rumfng () f () Arelet A f det mrkerede område () f (69) A = ò f ( ) d g () Arelet A f det mrkerede område () f ò (70) A = ( f ( ) -g( )) d () Kurvelængden L f den mrkerede del f grfen (7) L= ò + f ( ) d () f () Rumfnget V f omdrejningslegemet (7) π ( ) V f d = ò 8
() f g () Rumfng V f hult omdrejningslegeme (73) π ò ( ( ) ( ) ) V = f -g d Differentilligninger Ligning Løsning (74) y = h( ) y = ò h ( ) d (75) y = h() g() y dy = h( ) d g( y) ò ò (76) y = k y y= c e k - (77) y = - y y= + c e (78) y = y ( - y) y = + - c e (79) y = y ( M- y) M y = + c e -M (80) y + () y= () -A( ) A( ) -A( ) y= e ò ( ) e d+ c e, hvor A() er stmfunktion til () 9
Linjeelement (8) ( 0, y0, y 0) Hældningsfelt, Linjeelementer (8) () () Løsningskurve (83) () P 0 () 30
Vektorfunktioner () st () () Vektorfunktion med koordintfunktioner () t og yt () (84) æ() t ö st () =ç ç ç çèyt () ø Hstighedsfunktion (85) v() t = s () t Accelertionsfunktion (86) t () = v () t = s () t Prmeterfremstilling for nekurven, (t) og y(t) er koordintfunktioner () (87) æ() t ö OP =ç ç ç çèyt () ø v P0 () Retningsvektor v for tngenten i punktet P 0 svrende til prmeterværdien t 0 (88) æ ( t0 ) ö vt ( 0) = s ( t0) =ç ç ç èy ( t ) ø 0 Prmeterfremstilling for den rette linje l gennem P0( 0, y 0) ær ö med retningsvektor r = ç r çè ø (89) æt () ö æ ö æ 0 r ö = + t yt () y r èç ø èç ø èç ø 0 3
() C (,) r () Prmeterfremstillingen for en cirkel med centrum C (, ) og rdius r (90) æ() t ö æö ær cos() t ö = + çèy () t ø çè ø çèr sin() t ø Funktioner f to vrile z f y Grfen for en funktion f to vrile z f (9) z= f(, y) y h g Snitkurve for f i henholdsvis -retningen og y-retningen (9) z= g( ) = f(, y), hvor y holdes fst (lå kurve) z= h( y) = f(, y), hvor holdes fst (rød kurve) 3
z f k y f(, y) k Niveukurve for f i y-pln (93) f ( y, ) = k De prtielle fledede f (, ) f ymht. og y (94) f (, y) = ( f ( y, )) (, ) f y y = ( f ( y, )) y Grdienten for f (95) f ( y, ) = æf ( y, ) ö ç çèf y ( y, ) ø Tngentplnen z i punktet P (, y, z ) 0 0 0 0 (96) z= z0 + p ( - 0) + q ( y- y0), hvor p= f (, y ) og q= f y ( 0, y0) 0 0 33
Sttionært punkt P (, y, z ) for f 0 0 0 0 æö 0 (97) f( 0, y0) = 0 = ç çè0 ø f (, ) 0 0 y0 = og f (, ) y 0 y0 = 0 Arten f sttionære punkter for f, hvor r= f (, ) 0 y0 s= f (, y ) = f (, y ) og y t= f y 0 0 y 0 0 (, ) yy 0 0 z P 0 y f Q 0 Loklt mksimum i P (, y, z ) 0 0 0 0 Loklt minimum i Q (, y, z ) 0 0 0 0 (98) r t- s > 0 og r < 0 (99) r t- s > 0 og r > 0 z f P 0 y Sddelpunkt i P0( 0, y0, z 0) (00) r t- s < 0 Arten uestemt (0) r t s - = 0 34
Grupperede oservtioner 0% % 30 0 0 Histogrm (0) Arelet f en lok svrer til intervllets frekvens Histogrm med ens intervllængder (03) Højden f en lok svrer til intervllets frekvens % Kumuleret frekvens 00 75 50 5 Q m Q 3 Sumkurve (04) Q : nedre kvrtil, 5% -frktilen m : medin, 50% -frktilen Q 3 : øvre kvrtil, 75% -frktilen % Kumuleret frekvens 00 80 p 60 40 0 : p% -frktilen p p 35
Ugrupperede oservtioner Prikdigrm (05) Oservtionerne fst på en tllinje min (06) min: mindste oservtion m (07) m: største oservtion Vritionsredde (08) m - min Q m Q 3 (09) m: medin (midterste oservtion, når ntllet f oservtioner er ulige, ellers tllet midt mellem de to midterste oservtioner) (0) Q : nedre kvrtil (medinen for den nederste hlvdel f oservtionerne) () Q 3 : øvre kvrtil (medinen for den øverste hlvdel f oservtionerne) Kvrtilredde () Q3- Q min Q m Q 3 m (3) Boksplot, kssedigrm (oksens højde er uden etydning) Kvrtilsæt (4) ( Q, m, Q 3) Udvidet kvrtilsæt (5) ( min, Q, m, Q3, m ) 36
Outlier (6) Oservtion, der ligger mere end hlvnden kvrtilredde under nedre kvrtil eller mere end hlvnden kvrtilredde over øvre kvrtil Middeltl for oservtionssættet,,..., n + +... + n (7) = n Spredning f en stikprøve,,..., n fr en popultion (8) = n å i= s = ( - ) i n- ( - ) + + ( -) n- n Venstreskæv fordeling (9) Middeltl mindre end medinen < m Ikke-skæv fordeling (0) Middeltl lig med medinen = m Højreskæv fordeling () Middeltl større end medinen > m 37
Lineær regression Tel med oserverede dt () 3 n y y y y 3 y n Regressionslinje (3) Bedste rette linje, grf for f ( ) = + Punktplot og edste rette linje (4) () f Residul (5) Forskel mellem oserveret y-værdi og tilsvrende y-værdi i model Residultel (6) () oserverede dtpunkter modelpunkter n Residul r= y- f( ) r = y- f( ) rn = yn- f( n) Residulplot (7) () r r 3 r n r 3 n () Residulspredning (8) s = r + r +... + r n n - 38
Komintorik Multipliktionsprincip Antl mulige måder t vælge åde ét element fr N og et element fr M, hvor N estår f n elementer og M estår f m elementer Additionsprincip Antl mulige måder t vælge enten ét element fr N eller ét element fr M, hvor N estår f n elementer og M estår f m elementer (9) nm (30) n+ m Fkultet (3) n! = n ( n-) ( n-) Permuttioner Antl muligheder for udvælgelse f r elementer lndt n elementer, når rækkefølgen hr etydning (3) n! Pnr (, ) = ( n - r)! Komintioner Antl muligheder for udvælgelse f r elementer lndt n elementer, når rækkefølgen ikke hr etydning (33) n! K( n, r) = r!( n- r)! 39
Sndsynlighedsregning Sndsynlighedsfelt med udfldsrum U og sndsynligheder p (34) ( U, p ) Udfldsrum U med n udfld (35) Mængden f lle udfld { u, u,, u n } Summen f lle sndsynligheder (36) p+ p + p3 +... + p n = Sndsynlighedstel (37) Udfld u u u 3 u n Sndsynlighed p p p 3 pn Hændelse A med k udfld fr U (38) Mængde f k udfld fr U Sndsynlighed for hændelse A (39) Summen f de k udflds sndsynligheder Symmetrisk sndsynlighedsfelt Alle sndsynligheder er lige store Sndsynlighed for udvælgelse f et element fr A (40) p= p = p3=... = pn = n (4) k ntl gunstige PA ( ) = = n ntl mulige Sndsynlighed ved komintion f ufhængige hændelser A og B Sndsynlighed ved komintion f hændelser A og B, som ikke hr noget fælles udfld (4) P(åde Aog B) = P( A) P( B) (43) PA ( eller B) = PA ( ) + PB ( ) 40
Sndsynlighedsfordelingstel for en stokstisk vriel X (44) i 3 PX ( = i ) p p p 3 n pn Søjledigrm. Højde f søjle svrer til sndsynlighed f udfld (45) () 3... n () Middelværdi f en stokstisk vriel X (46) n m = EX ( ) = PX ( = ) å i= 3 3 i = p + p + p + + p i n n Vrins f en stokstisk vriel X Spredning f en stokstisk vriel X n å (47) Vr( X ) = ( -m) P( X = ) (48) s= s ( X) = Vr( X) i i i= ( m) ( n m) = - p + + - p n Binomilfordeling Binomilfordelt stokstisk vriel X med ntlsprmeter n og sndsynlighedsprmeter p Binomilkoefficient Knr (, ) (50) (49) X np (, ) ænö n! Knr (, ) = = çèr ø r! n- r! (5) Knr (, ) = Knn (, - r) ( ) Sndsynlighedsfunktion for inomilfordelt stokstisk vriel X (5) P( X = r) = K( n, r) p ( - p) - Middelværdi m (53) m = n p Spredning s (54) s = n p ( - p) r n r 4
Sttistisk usikkerhed i stikprøver Antl elementer i stikprøven n 95% konfidensintervl for popultionens sndsynlighedsprmeter p estimeret ud fr stikprøvendelen ˆp Normlfordelingspproksimtion til inomilfordelt stokstisk vriel X med middelværdi m = n p og spredning s = n p ( - p) (55) (56) é ˆ ( ˆ) ˆ ( ˆ) pˆ p p ; pˆ p p ù - - - + n n êë úû Eceptionelle udfld 3 3 normle udfld () Eceptionelle udfld 3 3 68,7% 95,45% 99,73% () 4
Normlfordelingen Stndrdnormlfordelt stokstisk vriel X (57) X N(0,) Middelværdi (58) m = EX ( ) = 0 Spredning (59) s= s( X ) = Tæthedsfunktion (60) () φ( ) = e π () - F () () Fordelingsfunktion (6) ( ) φ( ) d Sndsynligheden for, t X er større end eller lig med Sndsynligheden for, t X er større end eller lig med og mindre end eller lig med F =ò - (6) F ( X ³ ) = -F( ) (63) F ( X ) =F( ) -F( ) Normlfordelt stokstisk vriel X med middelværdi m og spredning s () f (64) X N( ms, ) () F m () m Fordelingsfunktion (65) F( ) æ - = ö ç çè ø () Tæthedsfunktion (66) f( ) = e π s æ- m ö - ç çè s ø 43
() f Sndsynligheden for, t X er mindre end eller lig med Sndsynligheden for, t X er større end eller lig med Sndsynligheden for, t X er større end eller lig med og mindre end eller lig med () (67) P( X ) f ( ) d =ò - æ - ö PX ( ) m =F ç çè s ø (68) PX ( ³ ) = - PX ( ) æ - ö PX ( ) m ³ = -F ç çè s ø (69) P ( X ) = PX ( ) - PX ( ) æ- ö æ- ö P ( X ) m =F -F m ç ç è s ø è s ø Frktilplot QQ-plot (70) y Φ 0 44
Pscls treknt (7) K(0,0) K(,0) K(,) K(,0) K(,) K(,) K(3,0) K(3,) K(3,) K(3,3) K(4,0) K(4,) K(4,) K(4,3) K(4,4) K(5,0) K(5,) K(5,) K(5,3) K(5,4) K(5,5) K(6,0) K(6,) K(6,) K(6,3) K(6,4) K(6,5) K(6,6) K(7,0) K(7,) K(7,) K(7,3) K(7,4) K(7,5) K(7,6) K(7,7) K(8,0) K(8,) K(8,) K(8,3) K(8,4) K(8,5) K(8,6) K(8,7) K(8,8) 3 3 4 6 4 5 0 0 5 6 5 0 5 6 7 35 35 7 8 8 56 70 56 8 8 45
Multipliktionstel (7) 3 4 5 6 7 8 9 0 3 4 5 6 7 8 9 0 3 4 5 6 7 8 9 0 3 4 5 6 7 8 9 0 4 6 8 0 4 6 8 0 4 6 8 30 3 34 36 38 40 3 3 6 9 5 8 4 7 30 33 36 39 4 45 48 5 54 57 60 4 4 8 6 0 4 8 3 36 40 44 48 5 56 60 64 68 7 76 80 5 5 0 5 0 5 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 00 6 6 8 4 30 36 4 48 54 60 66 7 78 84 90 96 0 08 4 0 7 7 4 8 35 4 49 56 63 70 77 84 9 98 05 9 6 33 40 8 8 6 4 3 40 48 56 64 7 80 88 96 04 0 8 36 44 5 60 9 9 8 7 36 45 54 63 7 8 90 99 08 7 6 35 44 53 6 7 80 0 0 0 30 40 50 60 70 80 90 00 0 0 30 40 50 60 70 80 90 00 33 44 55 66 77 88 99 0 3 43 54 65 76 87 98 09 0 4 36 48 60 7 84 96 08 0 3 44 56 68 80 9 04 6 8 40 3 3 6 39 5 65 78 9 04 7 30 43 56 69 8 95 08 34 47 60 4 4 8 4 56 70 84 98 6 40 54 68 8 96 0 4 38 5 66 80 5 5 30 45 60 75 90 05 0 35 50 65 80 95 0 5 40 55 70 85 300 6 6 3 48 64 80 96 8 44 60 76 9 08 4 40 56 7 88 304 30 7 7 34 5 68 85 0 9 36 53 70 87 04 38 55 7 89 306 33 340 8 8 36 54 7 90 08 6 44 6 80 98 6 34 5 70 88 306 34 34 360 9 9 38 57 76 95 4 33 5 7 90 09 8 47 66 85 304 33 34 36 380 0 0 40 60 80 00 0 40 60 80 00 0 40 60 80 300 30 340 360 380 400 Røde tl: Kvdrttl 46
Arel og omkreds, rumfng og overflde f geometriske figurer Treknt h højde g grundlinje A rel A = h g Prllelogrm h højde h g grundlinje A rel Ah g Trpez B h A g C g h h højde, prllelle sider A rel A = h + ( ) Cirkel r r rdius A rel A = π r O omkreds O= π r Kugle r r O V rdius overflde rumfng O= 4π r 4 3 π V = r 3 Cylinder h r r h højde r grundflderdius O krum overflde O= πr h V rumfng V = π r h Kegle h s r h højde s sidelinje r grundflderdius O krum overflde Oπr s V rumfng 3 π 47
Generliseret cylinder h G h h s G højde omkreds f grundflden grundflden O krum overflde s h V rumfng V = h G overflde = s h+ G Mtemtiske stndrdsymoler Symol Betydning Eksempler, emærkninger m.v..,.,.,. mængde på listeform {- 5,0,3,0 },{,4,6,... },{...,-,0,,... } mængden f nturlige tl,,3,... mængden f hele tl...,,,0,,,... mængden f rtionle tl tl, der kn skrives p q, p, q mængden f reelle tl tilhører / er element i [ ; ] lukket intervl [ ;3 ] = { Î 3} ] ; ] hlvåent intervl ] ;3 ] = { Î < 3} [ ; [ hlvåent intervl [ ;3 [ = { Î < 3} ] ; [ åent intervl ] ;3 [ = { Î < < 3} er en ægte delmængde f {,,3} Ì N fællesmængde A B A B Foreningsmængde A B A B \ mængdedifferens A \ B A B A komplementærmængde U \ A U A 48
Symol Betydning Eksempler, emærkninger m.v. Ø den tomme mængde disjunkte mængder A B Ø A B mængdeprodukt [- 0;0] - [ 0;0] og i etydningen åde og (konjunktion) eller i etydningen og/eller (disjunktion) medfører, hvis så (impliktion) ensetydende, hvis og kun hvis (iimpliktion) n i... n i n! f ( ) n fkultet, n udråstegn funktionsværdi f ved funktionen f Dm( f ) definitionsmængden for f Vm( f ) værdimængden for f y 5 5 4 = = = 4 =- = 4 i i 3 4 n!... n for n 0! = f( ) = +, så er f (4) = 3. log( ) ln( ) e logritmefunktionen med grundtl 0 den nturlige logritmefunktion den nturlige eksponentilfunktion eksponentilfunktionen med grundtl, 0 potensfunktion numerisk (solut) værdi f y log( ) 0 y y ln( ) e e y etegnes også ep() eksponentilfunktion eller en eksponentiel udvikling kldes undertiden for en kldes undertiden for en potensfunktion eller en potensudvikling 3 3, 7 7 etegnes også s() 49
Symol Betydning Eksempler, emærkninger m.v. sin( ) cos( ) tn( ) - sin ( y) - cos ( y) - tn ( y) lim f ( ) 0 lim f ( ) sinus cosinus tngens omvendt funktion til sinus omvendt funktion til cosinus omvendt funktion til tngens grænseværdien f f ( ) for gående mod 0 grænseværdien f f () for gående mod f () går mod for gående mod 0 f () går mod for gående mod 3 sin( ) tn( ) = cos( ) - sin ( y) = sin( ) = y - sin (0,5) = 30 - sin etegnes også Arcsin - cos ( y) = cos( ) = y - cos (0,5) = 60 - cos etegnes også Arccos - tn ( y) = tn( ) = y - tn () = 45 - tn etegnes også Arctn lim + = lim 0 f ( ) + for 3 for 0 f ( ) e - 0for for -tilvækst 0 y, f y f, funktionstilvækst for y f ( ) yf f() f( ) 0 differenskvotient for y f ( ) f ) differentilkvotienten for 0 y f ( ) i 0 0 0 y f f ( ) f ( 0 ) 0 f( ) - f( 0 ) f ) = lim - 0 f y = lim = lim 0 0 50
Symol Betydning Eksempler, emærkninger m.v. d f fledet funktion f y f ( ) etegnes f ( ), y, ( f( )), d ( n) f den n te fledede funktion f AB AB AB AB y f ( ) linjestykket AB længden f linjestykket AB cirkeluen AB længden f cirkeluen AB, AB vektor, AB længden f vektoren tværvektor f () ( ) skrives ofte f ( ), y d y eller d etegnelsen â kn også nvendes sklrprodukt, prikprodukt etegnelsen enyttes også determinnten for vektor- etegnelsen det(, ) enyttes prret (, ) også l^ m læses også er vinkelret på l og m er ortogonle A vinkel A A 0 eller A= 0 ABD vinkel B i treknt ABD B C A D (, ) vinklen v mellem og, hvor 0v 80 v 5
Symol Betydning Eksempler, emærkninger m.v. vinklen fr til 5 45 retvinklet treknt hypotenuse v modstående ktete til v hosliggende ktete til v midtnormlen n for linjestykket AB A n B B h højden fr B på siden eller dens forlængelse c h A C B m medinen fr B på siden c m A C B vb vinkelhlveringslinjen for vinkel B c v B A C 5
Symol Betydning Eksempler, emærkninger m.v. B treknt ABC s omskrevne cirkel A C B treknt ABC s indskrevne cirkel A v C C 53
Stikordsregister A ccelertionsfunktion 3 E eksponentiel funktion dditionsprincip 39 - ftgende 0 fledet funktion 5, 5 - voksende 9 fstnd mellem enhedsvektor 0 - punkt og linje 4 ensvinklede treknter 8 - to punkter 4 eceptionelle udfld 4 mplitude 3 ndengrdspolynomium 7 F fkultet 39, 49 nnuitetslån 5 fordolingskonstnt 9 nnuitetsopspring 5 fordelingsfunktion 43 rel fremskrivningsfktor 9, 0 - cirkel 47 førstegrdspolynomium 6 - generliseret cylinder 48 - prllelogrm 47 G generliseret cylinder 48 - trpez 47 grdient 33 - treknt 47 grdtl grupperede oservtioner 35 B nekurven 3 grænseværdi 50 edste rette linje 38 egyndelsesværdi 5 H hlveringskonstnt 0 estemt integrl 7 hrmonisk svingning 3 inomilfordeling 3 hstighedsfunktion 3 inomilkoefficient 3 histogrm 35 oksplot 36, 37 hult omdrejningslegeme 9 røkregler 6 hældningskoefficient 3, 6 hældningsvinklen 3 C cirkel 47 hændelse 40 cirklens ligning 4 højde 47, 5 cosinus 8, 50 højreskæv 37 cosinusreltion 9 cylinder 47 I ikke-skæv 37 indekstl 5 D determinnt indskreven cirkel 53 differensen mellem integrtion 7 differenskvotient 50 differentilkvotient 4, 50 differentilligninger 9 54
K kpitlformel 5 O omkreds, cirkel 47 kegle 47 omskreven cirkel 53 komintioner 39 omvendt proportionlitet 3 konfidensintervl 4 ortogonl, vinkelret 39 koordintsæt ortogonle linjer 4 kugle 47 ortogonle vektorer kurvelængde 8 outlier 37 kvdrtsætninger 7 overflde kvrtil 35, 36, 37 - cylinder 47 kvrtilredde 36 - generliseret cylinder 48 kvrtilsæt 36 - kegle 47 - kugle 47 L lineær funktion 6 lineær regression 8 P p% -frktil 35 linjens ligning 3 prel 5 logritmefunktioner 8 prllelle vektorer loklt mksimum 34 prllelogrm 47 loklt minimum 34 Pscls treknt 45 længde f vektor 0 permuttioner 39 løsningkurve 30 potensfunktioner potensregneregler 7 M medin (sttistik) 36, 37 prikdigrm 36 medin (treknt) 5 prikprodukt, 5 middeltl 37 procent-procent tilvækst middelværdi 4 procentregning 5 midtnorml 5 projektionen midtpunkt 4 proportionlitet 6 multipliktion f vektor 0 punktplot 38 multipliktionsprincip 39 multipliktionstel 46 Q QQ-plot 44 N nedre kvrtil 35 R rdintl niveukurve 33 regneregler for differentition 4 normle udfld 4 regneregler for integrtion 7 normlfordeling 43 regression, lineær 38 normlvektor 3 regressionslinje 38 nulpunkter 7 residul 38 residulplot 38 residulspredning 38 retningsvektor 3 55
retvinklet treknt 8, 5 V vrins 4 rod, rødder 7 vritionsredde 36 rumfng f vektorer i plnen 0 - cylinder 47 venstreskæv fordeling 37 - generliseret cylinder 48 vilkårlig treknt 9 - kegle 47 vinkelhlveringslinje 5 - kugle 47 vinkelret, ortogonl 5 vinkelsum i treknt 9 S sddelpunkt 34 vinkler 5, 5 sndsynlighed 40, 4 vækstrte 5, 9, 0 sinus 8, 50 sinusreltion 9 Ø øvre kvrtil 35 skæringspunkt m. førsteksen 5 sklfktor 8 sklrprodukt, 39 spredning 37, 4 sttistisk usikkerhed 4 stokstisk vriel 4, 4 sum f vektorer sumkurve 35 symoler 48 symmetrisk sndsynlighedsfelt 40 søjledigrm 4 T tngens 8, 50 tngent til grf 4 toppunkt 5, 7 trpez 47 trigonometriske funktioner, 3 tværvektor tæthedsfunktion 43 U ufhængige hændelser 30 uestemt integrl 7 udfldsrum 40 udvidet kvrtilsæt 36 ugrupperede oservtioner 36 56