1 Potensfunktioner og dobbeltlogaritmisk papir OBS: til skriftlig eksamen skal du kun kunne aflæse på en graf, der allerede er indtegnet på dobbeltlogaritmisk papir. Du kan ikke komme ud for at skulle tegne graferne selv. Til mundtlig eksamen skal du kunne fortælle om brugen af dobbeltlogaritmisk papir. I I-Bogen kan du se, hvordan grafen for en potensfunktion ser ud, når vi tegner den i et ganske almindeligt koordinatsystem. Graferne krummer. I noten her, skal vi se, hvordan grafen ser ud, hvis den tegnes i et helt specielt koordinatsystem. Fordelen ved det ny koordinatsystem er at grafen for en potensfunktion kan tegnes som en linje. Almindelige koordinat-akser: Det, der gør den nye slags koordinatsystem specielt, er selve akserne (altså -aksen og -aksen). En almindelig akse har konstante afstande. Man bruger en fast enhed, og det betyder, at der er lige langt fra 1 til 2, som der er fra 24 til 25 eller fra 107 til 108. Enheden kan være f.eks. 1cm. En sådan akse kan f.eks. se således ud: (Her er enheden mindre end 1 cm ) Logaritmiske koordinat-akser: På en logaritmisk akse svarer en fast afstand til et bestemt forhold. I matematik betyder forhold at vi dividerer tallene med hinanden. Forholdet mellem 2 og 6 er 3 fordi giver 3. På en logaritmisk akse skal afstanden fra 2 til 6 være den samme som afstanden fra 6 til 18 fordi forholdet mellem 2 og 6 er det samme som forholdet mellem 6 og 18: På en logaritmisk skala skal der være lige så langt mellem alle talpar, som har forholdet 1:3. Lad os vælge en fast længde fra 2 til 6. Hver gang vi går den længde mod højre skal vi gange med 3:
2 Man kan også lave den logaritmiske akse ud fra andre forhold imellem tallene. Vi kan f.eks. tegne den logaritmiske akse ud fra forholdet 1:10. Lad os vælge en fast afstand fra 1 til 10. Vi skal gange med 10 når vi går denne afstand mod højre: Overvej selv, hvad der skal stå på den næste plads I et dobbeltlogaritmisk koordinatsystem er både - og -aksen er logaritmiske. Potensfunktioners grafer i de to slags koordinatsystmer. Lad os nu se, hvilken forskel det gør for grafen for en potensfunktion, at den tegnes i et dobbeltlogaritmisk koordinatsystem i stedet for et almindeligt koordinatsystem. Eksempel Lad os kigge potensfunktionen med regneforskrift. Først tegnes grafen i et helt almindeligt koordinatsystem. Den krummer kraftigt opad (konveks) fordi a>1.
3 Nu tegnes grafen for samme funktion så i et dobbeltlogaritmisk koordinatsystem: Læg mærke til akserne på grafen nedenfor. Der er ikke lige langt mellem tallene på x-aksen, men hvis du måler fra 1 til 2 og fra 4 til 8 vil du se, at det er samme afstand, så den er logaritmisk. (Fast afstand til fast forhold) På y-aksen skal du huske at 10 0 betyder 1, at 10 1 = 10 osv. D.v.s. der er lige langt fra 1 til 10 som fra 10 til 100. y-aksen er altså magen til den logaritmiske akse vi tegnede på forrige side. Vi kan se, at grafen for vores potensfunktion danner en ret linje i et dobbeltlogaritmisk koordinatsystem. Og det gælder ikke bare for den potensfunktion, vi kigger på her, men for alle potensfunktioner. Grafen for en potensfunktion er en ret linje, når den tegnes i et dobbeltlogaritmisk koordinatsystem! Denne viden kan bruges på to måder: 1. En ret linje tegnet i et dobbeltlogaritmisk koordinatsystem viser altid en potensudvikling. Man kan så aflæse to punkter og bestemme funktionens regneforskrift. 2. Man kan kontrollere, om en række givne punkter kan beskrives ved en potensfunktion, ved at tegne punkterne ind i et dobbeltlogaritmisk koordinatsystem og se, om det giver en ret linje. På næste side er træningsopgaver:
4 Træningsopgaver I de følgende opgaver, skal du prøve at arbejde med et dobbeltlogaritmisk koordinatsystem. Opgave 1 Pattedyrs stofskifte afhænger potensielt af deres vægt. Grafen ovenfor viser en model af den sammenhæng, der er mellem vægten målt i kg og stofskiftet målt i liter ilt pr. time. Grafen er tegnet i dobbeltlogaritmisk koordinatsystem. a) Udfyld de tomme pladser i skemaet: (første y-værdi kan være svær at aflæse præcist) 1 10 0,8 8 b) Vælg to af punkterne (helst de, der var mest præcise at aflæse) og brug disse til at bestemme en regneforskrift for den tegnede model. c) Bestem stofskiftet for et pattedyr på 15 kg ifølge modellen. Opgaven er ikke til aflevering. (Men på sidste side er en facitliste )
5 Opgave 2 Benyt dobbeltlogaritmisk papir til at vise at følgende punkter med god tilnærmelse kan beskrives vha. en potensfunktion. 4 358 5 515 6 680 7 870 8 1085 9 1320 10 1555 Her skal du tegne punkterne ind i et dobbeltlogaritmisk koordinatsystem og se, om de nogenlunde danner en ret linje. OBS! Dobbeltlogaritmisk papir kan downloades til print på hjemmesiden. Hvis opgaven driller er du velkommen til at sende dit svar ind på konferencen og få tips. FACIT TIL OPGAVE 1 a) 1 3 10 60 0,36 0,8 2 8 b), hvor er vægten i kg og er stofskiftet i liter ilt/time. c) 2,8 liter ilt/time