Dataopsamling og modellering

Dataopsamling og modellering Studieområdet i studieretningsforløbet (matematik og IT) Mini-SRP Fag/vejleder: HTX 2.4 Informationsteknologi/ Karl G Bjarnason Matematik / Jørn Christian Bendtsen Mads Poulsen, Thomas Gram, Toshiki Mimura, Jakob Jelstad 2,4 HTX Udleveret: 03.03.14 Afleveres: 31.03.14 Side 1 af 20

Indhold 1. Forord... 3 2. Indledning... 3 2.1 Formål... 3 3. Model begreb... 4 3.1 Modelleringsprocessen... 4 3.1.1 Systemafgrænsning:... 4 3.1.2 Den matematiske model opstilles... 4 3.1.3 Modellens matematiske resultater bestemmes... 4 3.1.4 Modellens konklusioner...5 4. Afkølingsproblematik...5 4.1 Redegørelse for afkølingsproblematikken...5 4.2 Dataopsamlingsproblematikker...5 5. Produktudvikling / Produktprocess...7 5.1 System krav...7 5.2 Udvikling:...7 5.2.1 Koden...7 5.2.2 Måleinstrumentet og Arduino... 8 5.3Forsøget... 10 6. Opstilling af matematisk model... 11 6.1 Test af differentielligningen.... 12 7. Opsamling og analysering af data... 13 7.1 Opsamling af data... 13 7.2 Analysering af data... 14 7.3 Vurdering af model... 18 8. Konklusion... 18 9. Kildeliste... 19 9.1 Udleveret materiale:... 19 9.3 Bilag... 20 Side 2 af 20

1. Forord I ugerne 10-14, har vi i grupper af 2-3 arbejdet med det tværfaglige tema " Dataopsamling og modellering", i samarbejde med fagene Informationsteknologi og Matematik. Rapporten er skrevet af: Thomas gram, Mads Poulsen, Toshiki og Jakob jelstad. I samarbejde med vejlederne: Jørn Christian Bendtsen indenfor matematik og Karl G Bjarnason indenfor Informationsteknologi. 2. Indledning I projektet "Dataopsamling og Modellering", vil vi kigge nærmere på den faglige problematik vedrørende afkøling. Vi vil i den sammenhæng foretage en række fysiske eksperimenter udført af vores selv udarbejdede måleinstrumenter med henblik på at opsamle data. De data vil vi senere analyserer og på baggrund af data vil vi opstille og vurderer en matematisk model vha. viden indenfor modeller og modelleringsprocesserne. Undervejs redegør vi for afkølingsproblematikken og modelbegrebet samt de forskellige faser. Vi vil komme ind på design og kravspecifikation af vores produkt, således indsamling af specialiserede målinger kan blive foretaget. Til sidst vil i lave en vurdering af vores matematiske målinger og se om de kan forklarer sammenhængen i vores indsamlede data. 2.1 Formål Der er adskillige formål med dette projekt, bl.a. At kunne redegøre for afkølingsproblematikken. At kunne redegøre for modelbegrebet i de forskellige faser af modelleringsprocessen. At kunne opstille en matematisk model på baggrund af den opstillede differentielligning. At kunne designe og beskrive faglige eksperimenter i forhold til afkølingsproblematikken. At kunne opstille kravspecifikkationer til måleinstrument. Samt at fremstille måleinstrumentet. At kunne analysere opsamlede data med måleinstrumentet. At kunne opstille og vurdere en/flere matematiske modeller på baggrund af opsamlede data. At kunne forklare sammenhængen i data, og at kunne konkludere ud fra resultater. Disse formål anvendes til at specificerer arbejdsopgaverne, og udformer derved projektets gang. Side 3 af 20

3. Model begreb En model er en simpel visualisering af data. Det kan være data indenfor mange forskellige områder, som politik, målinger, forsøg, økonomi osv. Modellerne er lavet vha. matematiske udregninger, som bliver brugt til at simplificerer komplicerede emner/data. 3.1 Modelleringsprocessen Når man opstiller en matematisk model indgår der en modelleringsprocessen. Denne proces tager udgangspunkt i et problem, der er indlejret i virkeligheden. Hvor hovedformålet er at opstille en matematisk model, der kan beskrive/præsentere nogle aspekter af en given situation. For at få opstillet den matematiske model kræver det som minimum at vi: - Forstår problemstillingen. - Foretager passende antagelser og forenklinger. - Definerer passende variable. - Undersøger sammenhængen mellem de forskellige variable. - Løser de opstillede ligninger og uligheder. - Sammenligner løsningerne med virkeligheden. - Forklarer modellen og dens resultater. - Om nødvendig kan forbedre modellen. Disse trin kan normalt inddeles i 4 forskellige trin i modelleringsprocessen: 1. Systemafgrænsning. 2. Den matematiske model opstilles. 3. Modellens matematiske resultater bestemmes. 4. Modellens konklusioner. 3.1.1 Systemafgrænsning: Under systemafgrænsning for man sin problemstilling ud fra virkeligheden præciseret og afgrænset samt forenklet, på baggrund af den teoretiske viden vha. overvejelser som observationer af situationen knyttet til problemstillingen. Man laver således en udvælgelse af de størrelser der er væsentlige for problemstillingen. 3.1.2 Den matematiske model opstilles Under processen med at få opstillet den matematiske model, begynder vi at kigge på de væsentlige størrelse og relationerne repræsenteres vha. matematiske størrelser. Man begynder at starte på at opstille ligninger eller uligheder, hvor de valgte størrelser er præsenteret ved variabler og konstanter og relationerne er givet ved kendte funktioner. Nogle gange kan man inddrage modeller der allerede eksisterer. 3.1.3 Modellens matematiske resultater bestemmes Ved dette trin af modelleringsprocessen kan man begynde på at forsøge at finde løsninger på modellen på baggrund af en matematisk analyse af den model man er kommet frem til i matematisk model opstillingsprocessen. I de fleste tilfælde kan nogle af de analytiske beregninger være for svære, Side 4 af 20

tidskrævende eller umulige at udføre. Det er derfor muligvis nødvendigt at foretage adskillige beregninger indenfor de matematiske data for at finde løsningen til modellen. 3.1.4 Modellens konklusioner Her i det sidste trin konfronteres din matematisk models resultater mod virkeligheden. Det er her de får konkluderet om din models resultater kan anvendes. Modellens resultater skal kunne fortolkes og vurderes i forhold til trin 1, hvor de opstillede problemstillingen. Det børe derfor nøje overvejes om dine matematiske resultater giver nogen mening med de informationer du har om virkeligheden. Hvis det er muligt skal modellens resultater sammenlignes med empiriske data. Altså data du har fået skrabet sammen ved eksperiment eller en observation. Hvis modellen har pålidelige resultater kan du få formuleret en konklusion af modellen. Hvis dette ikke er tilfældet og modellen ikke giver pålidelige resultater er modelleringsprocessen ikke afsluttet ved konklusionen(trin 4). Det betyder at modellen derfor må ændres/modificeres således at den opnår bedre og mere pålidelige resultater vi kan sammenligne med virkeligheden. Derfor går vi i tilbage til de tidligere trin i modelleringsprocessen og begynder at revurderer modellens struktur og opstille en ny model om nødvendigt. Når modellering endelig har pålidelige resultater der tilnærmelsesvis stemmer overens med virkeligheden kan du afslutte modelleringsprocessen og resultaterne skal nedskrives og kommenteres, så de er tilgængelige. Det vil her være oplagt at skrive dem ind i en rapportform, hvor der er redegørelse for problemstillingen og for de valg der er blevet foretaget under modelleringsprocessen samt nogle kommentarer på begrænsningerne der ligger i modellen og resultaterne. 4. Afkølingsproblematik Vi skal i vores forsøg undersøge, hvor hurtigt en kop kaffe eller anden form for varm væske i en kop bliver afkølet under forskellige forhold i forhold til temperatur inden i koppen og udenfor koppen. 4.1 Redegørelse for afkølingsproblematikken Vi ved at en kop afkøles i løbet af noget tid, hvis vi lader den stå og afkøle. Men afkølingshastigheden varierer efterfølgende af temperatur forskellen mellem koppen og omverdenen, f.eks. hvis kaffekoppen står på en et bord ved stue temperatur ca. 20 grader. Vil afkølingen af kaffekoppen foregå stille og roligt og vil normalt tage lidt over en time. Før den er helt afkølet. Hvis kaffekoppen derimod står udenfor eller på en varm plade. Vil det varierende af hvor varm pladen er, og hvor koldt det er udenfor ændrer afkølingshastigheden. Vores mål med dette projekt er at få studeret denne afkølingshastighed, og hvordan den evt. varierer over tid og i forskellige omgivelser. 4.2 Dataopsamlingsproblematikker Vi har nogle få problemer ved vores dataopsamling og evt. opstilling af model. Da der er mere end en faktor der generelt påvirker kaffekoppen der giver forskellige temperatur forskelle. Der er 3 forskellige mekanismer: Side 5 af 20

Varmeledning mellem to ting/materialer/legemer. Altså hvor varmen bliver overført fra den ene ting, til den anden ting. Konveksion: Her flyttes det varme materiale, for eksempel, når varmt luft stiger op ad, eller når varmen på rumskibets varmeskjold fordeler varmen. Varmestråling: Her er det elektromagnetisk stråling, der afgiver varmen, til omgivelserne. Alle legemer udsender stråling, andre mere end andre. Der vil altså i en hver ikke teoretisk situation, foregå en kombination af disse 3 påvirkninger. Hvilken en af dem der har størst betydning afhænger af systemet og dets betingelser. Det kan være svært at beregne, hvor hurtigt temperaturændringer sker. Dog kan vi ved modererer temperatur-forskelle gøre det muligt at udregne temperaturændringerne vha. Newtons afkølings lov. Det vil dog aldrig være helt præcist og derfor kun en tilnærmelse til virkeligheden. Side 6 af 20

5. Produktudvikling / Produktprocess 5.1 System krav Vi startede med at vi skulle have nogle krav som vores program skulle opfylder Dette var nødvendigt for at finde hvilke del kodninger vi skulle have fat i. Vores program skulle kunne måle data fra vores måleprobe (lm335 og en 2k ohm modstand) dette fik vi ind som serial input på analog port 0. Den anden del som programmet skulle kunne gøre er at det skal kunne konvertere vores input fra mili-ampere over til kelvin grader og derfra konvertere den videre til grader celsius så det endelige data kom ud i Grader Celsius. Det sidste den skulle kunne er at den skal skrive målingen ud til serial overvågning som er en del af arduino. Ekstra som vi har tanker om kunne blive udhvilet: vi har snakket om at skrive et program vedsiden af i python der kunne modtage data fra arduino og skrive det som et tekst fil. Og få vores måleprobe til at kunne virke med et display så arduinoen bare kunne sættet til 9v batteri og så kunne man lave en måling. Dog ville dette ikke blive gemt nogen steder. 5.2 Udvikling: 5.2.1 Koden Vi startede med at definere vores serial port 0 på følgende måde for at kunne bruge den senere Derefter startede vi et loop for at få vores måling til at blive gentaget. Og at serial porten skal læse med 9600 baud. Nu skal vi til at bruge de data vi måler på vores probe til at få det regnet om til at vi ender med grader i celsius. Dette gør vi ved at sige at det vi læser på analog pin 0 som vi har kaldt outputpin dette definere vi så som rawvoltage altså den direkte spænding. Nu for at få vores rawvoltage og skal have lavet den om til kelvin derefter laver vi det til grader celsius som vi så kan bruge til vores måling Side 7 af 20

Så er det kun at vi skal have den til at skrive vores Celsius grader ud til vores Serial Overvågning som bare printer det i en fortsættende tekst dette har vi gjort ved bruge kommandoen Serial print. *Serial.println er bare for at man kan skrive en tekst efter grader som vi hjorde i starten med fjernede da man ikke kunne kopier resultaterne ordenligt ind Til sidst har vi den vigtigste del af dem alle nemlig delay. Dette er vigtigt fordi det er det der bestemmer hvor lang tid der skal gå mellem målingerne. Delay gør at nå programmet læser teksten igennem og når til delay så venter den i så lang tid som man definere. Vi bestemte os for at tage en måling hver 1 min. Arduino regner med millisekunder og da 1 sek. er 1000 millisekunder og 1 min er 60 sek. så har vi sat vores delay til 60 000. 5.2.2 Måleinstrumentet og Arduino For at få lavet selve måleproben har vi fundet at vores måleenhed (lm335) virke sammen med en 2kΩ modstand. Dette var enlig det eneste vi skulle og så tilslutte den med 5v strøm og nulleder og vores analog måler. Dette simple setup ville kunne have virket næste uden problemer. Dog ville vi gerne kunne kalibrere det og det kunne vi gøre på 2 måder. 1 : er at lade vores program sørge for det ved at på hvad den får defineret input som. Den anden er at vi insatte en variabel modstand som vi kunne justere på som set på billedet nedenfor. Dette var en ide Jakob S havde forslået. Da vi så bruget den ide og det virkede uden problemer valgte vi at det var det bedste vi kunne gøre og lod det være sådan. Side 8 af 20

Her er ikke alle kabler sat til på billedet men det er for at vise vores komponenter. Det vi har brugt er: 1 lm335 temperatur måler. 2 1kΩ modstande 1 10kΩ variabel modstand Vi var nød til at bruge 2 1kΩ modstande i stedet for 1 2kΩ da det ikke kunne skaffes og da det virkede præcis lige så godt. Nu til at lave selve proben altså den del hvor måle enheden sidder på. På billedet ovenfor har vi bare sat den i men for at vi skal kunne måle i vand er man nød til at sørge for at ledningerne ikke kommer i kontakt med vand. Dette gjorde vi ved at lode nogle lange ledninger på vores temperaturmåler og derefter sætte et stykke krympeplast ovenpå og så få det til at krympe ved hjælp af varme. Dette gjorde et det blev vandtæt. Nu satte vi bare de lange ledninger på hvor temperatur måleren sad før på vores fumlebræt og så var den klar til at blive kalibreret. Dette gjorde vi i 0 graders vand så vi kunne være sikker på vi Side 9 af 20

havde en godt sted at få en ens temperatur på vores måleprobe og den vi havde lånt af skolen. Og da vi havde fået den kalibreret så var det bare at få forsøget i gang med at hente 1 kop varmt vand og lave en test om alt virkede som det skulle og det gjordet det efter hvad vi lige kunne gennemskue. Vi havde dog problemer med at vores måler blev lidt ustabil i målingerne ved højere grader. Dette er sådan det færdige resultat kom til at se ud. De tre ledninger er dem der går ud til vores måleprobe. Og de andre ledninger er dem der gå rundt på fumlebrædtet og hen til arduinoen. Det skal dog lige siger at de røde er strøm, sort er steld, gul er analog læsning og blå er bare rundt på fumlebrædtet 5.3Forsøget Selve forøget indebar at vi skulle måle nedkølingen på kaffe. Vi valgte at bruge vand i stedet for kaffe da kaffe næsten kun er vand og derfor ville det ikke give en betydelig forskel. Vi har valgt at gennemføre forsøget 3 gange for at have en hvis viden om det forløber ens over flere forsøg. Selve forsøget var at vi hældte 250 ml varmt vand op i en kop. Derefter indsatte vi proben og målte fra den første måling vi havde hvor temperaturen begyndte at falde så man viste at proben var varmet helt op. Derefter tog vi bare en måling hver minut i 60 min. Efter 60 min tog vi proben op og forsøget var slut. Vi har brugt samme kop til alle tre forsøg. Side 10 af 20

6. Opstilling af matematisk model Da vi kiggede nærmer på afkølingsproblematikken fandt vi ud af der var 3 generelle påvirkelser/mekanismer der ændrede på temperaturforskellen. Men at vi ved modererer temperatur forskelle kunne benytte os af newtons afkølingslov til at beregne temperaturforskellene. Newtons afkølingslov siger følgende: "Ændring i et legemes temperatur er proportional med temperaturforskellen mellem legemet og omgivelserne." Vi kan derved undersøge det nærmere ved at se på den effekt der strømmer ud af et varmt legeme og for således udtrykket: I dette udtryk er varmemængden og er et kort tidsinterval, dette kan vi omskrive ved hjælp af Newtons afkølingslov, det gør at vores udtryk kommer til at se således ud: Dette ved vi da en proportional ligning har udtrykket : a er en konstant i dette tilfælde, da det er varmekapiacitet og indrelegme og omgivelserne til at begynde med. er temperaturforskellen på det Da vi har i dette tilfælde skal finde temperaturforskellen vil vi bruge to symboler yderligere for at beskrive temperaturforskellen: Ved hjælp af de symboler kan vi skrive temperaturforskellen til tiden som: Temperaturændringen vil varierer afhængigt af varmemængden udtryk:, hvor vi kan beskrive det som et Hvor C er varmekapaciteten, der er bestemt ved: Hvor m er masserne af de forskellige dele og c er den specifikke varmekarpacitet for materialerne der er i brug. Hvilket vil sige vi skal have fundet massen på kaffe og dens specifikke varmekapacitet i vores tilfælde. Det kan vi så bruge til skrive et nyt udtryk for effekten: Hvis vi sætter dette lig med newtons afkølingslov får vi således: Side 11 af 20

Hvis vi så betragter udtrykket i mindre intervaller i forhold til grænseværdien hvor, er gående mod 0. Dog kan den ikke gå under 0, da den ikke kan komme lavere end stuetemperaturen. Således burde vi finde når den nærmer sig differentialkvotienten Det indsætter vi i newtons afkølingslov, hvor vi indføre en ny konstant lettere forståligt. for at gøre udtrykket Således for vi en ligning for en differentialligning, som vi kan bruge til at bestemme 6.1 Test af differentielligningen. Eftersom vi har fundet frem til en differentialkvotient til vores differentielligning vil vi teste om de stemmer overens med hinanden. Differentielfunktionen, der er løsningen er blevet givet til os og vi er derfor ikke selv kommet frem til den. Men vi kan stadig teste og se om den stemmer overens med vores differentialkvotient: Vi kan indsætte, så vi får differentielligningen ind i differentiel kvotienten og får således: Får at teste om den vores funktioner er den samme, anvender vi differentiel regneregler for Eulers tal: Da det er en sammensatfunktion kan vi anvende: Hvor vi har den indre funktion som og den ydre funktion, som, og konstanten er temperatur forskellen. Altså har vi fået eftervist at: Da vi differentierede Løsningen stemmer altså overens med den differentielkvotient vi fandt frem til. Side 12 af 20

7. Opsamling og analysering af data Opsamling og analysering af de relevante data opsamlet fra forsøgene. 7.1 Opsamling af data Nu har vi fået lavet vores måleinstrument og opstillet en matematisk model for afkølingen af kaffen/varme vand. Kan vi gå i gang med at få opsamlet data til vores analyse og opstilling af forskellige differential funktioner og se om vores forsøgsresultater passer med vores matematiske model omkring afkølingsproblematikken ud fra newtons afkølingslov. Figur 1 - Oversigt over vores forsøgsresultater med model (forklares under analysering af data) Bilag 1: Forsøgsresultater Nu har vi fået 3 forskellige forsøg og vi kan se umiddelbart på graferne at forsøg 1 har en lille usikkerhed i de første par målinger mellem x [2;6]. Men vi vil alligevel prøve at se om vores matematiske model passer med vores forsøgsresultater. Vi starter med at tage 3 af vores resultater, hvor vi har start, midt punkt og slut. Derved regner vi med at vores funktion bliver tilnærmelsesvis indenfor vores resultater. Side 13 af 20

7.2 Analysering af data Vi starter med at tage to punkter af vores afmålte temperaturer, vi har så valgt start og slut temperatur. Disse målinger har følgende koordinater i vores koordinatsystem : Vi har (0:64,74) og (60:30,52) Disse værdier kan vi så indsætte i det udtryk vi kom frem til tidligere, er start temperaturen i vores forsøg, det vil sige at vores Dette kan vi udnytte til næste del af udtrykket, nu skal vi så udregne, vi indsætter vores anden værdi som er vores slutværdi, og husker at sætte da forsøget har taget 60minutter. Nu isolere vi så over på den anden side, dette gør vi ved at dividere: Nu isolere vi så e over på den anden side, dette kan vi gøre ved hjælp af ln: Nu kan vi så bruge differentialignings reglen, om at vi skal fjerne konstaner fra udtrykket, dette gør at 60 forsvinder fra venstre side af = tegnet. Dette vil sige at Nu kan vi så prøve at indsætte dette i ligningen og se hvordan ligningen kommer til at se ud i forhold til vores afmålte temperatur. Side 14 af 20

Som vi kan se er denne model ikke tæt på vores afmålte data, så vi prøver at udregne en bedre model. Det kan vi gøre ved at tage 3 punkter og udregne en slags gennemsnitlig hældning. Vi tager følgende punkter: (0:64,74), (30:39,84), (60:30,52) Hvor x koordinaten er tid i minutter og y er grader. Det kan vi så indsætte i formlen: Vi starter med at trække vores andet resultat fra vores første resultat, dette gør at vi får en fælles værdi, vi kan bruge til at udrgne en hældningsværdi. Vi reducere yderligere: Nu kan vi så isolere a, på den anden side af = tegnet, dette er så den ene hældningskofficent. Nu da vi har den ene hældningskofficent, skal vi så udregne den anden, dette kan vi gøre på samme måde men denne gang bruger vi punkt 1 og 3, i stedet for. Nu skal vi så isolere a på den anden side af = tegnet igen, denne gang finder vi så den anden hældnings kofficent. Nu har vi så 2 forskellige hældsningskofficent, det vi så kan gøre nu er at sætte dem på hver sin side af = tegnet, derefter skal vi samle tallene på den ene side og sætte det til 0, dette gør det bliver til en lignign som vi kan løse. Side 15 af 20

Det vi så gør nu er at vi kommer af med brøken ved at gange med nævneren på hver side af = tegnet. Det gør vi nu får et udtryk der ser såldes ud, hvor vi har fået byttet ganget med nævner på hver side: Nu isolere vi så alle tal over på venstre side af = tegnet, og sætte den anden side til at være 0, da dette giver en ligning, som vi kan løse. Vi anvender substitutionsreglen for at få et enklere udtryk vi ville kunne løse ud for x: Vi isolerer x og får: Vi anvender ikke, da det ville gøre at b ville være = 0, og vi ville derfor ikke kunne bruge funktionen da dette ville blive C. Det vi så skal gøre nu er at isolere b og udregne ligningen. Vi tager ln da dette er differentialkofficenten til e (Øelers tal). Dette tal er altså b, nu kan vi så afprøve dette tal ved at indsætte det ind i ligningen med a som vi havde tidligere. Det kommer til at se således ud: Side 16 af 20

Nu mangler vi så stadig at udregne hvad c er, dette kan vi gøre ved hjælp af udtrykket der hedder : Vi isolere c på den ene side og indsætter vores udregnet a værdi. Dette gør at vi nu kender alle vores 3 værdier vi manglede i vores ligningen nemlig : Nu kan vi så indsætte vores udregninger i udtrykket for funktionen: Dette kan vi så prøve at indsætte i graph sammen med vores koordinatsæt. For at se om dette passer: Vi kan se at linjen ligger forholdsvis tæt på vores målte temperaturgrader, så vores ligning passer forholdsvis godt med vores afmålte temperaturer. Side 17 af 20

7.3 Vurdering af model Da vi nu har 1 model der passer godt til vores målinger, kan vi prøve at udregne % afvigelse i forhold til punktet. Vi kan tage en hvilken som helst værdi og udregne hvor mange grader den ville være i følge vores model, og så sammenligne den med de målte resultater. Hvis vi nu tager punktet : (41;35,44) og indsætter i vores ligning: Vi indsætter tallet i vores ligning : Som vi kan se bliver resultatet (35,341) hvor det målte resultat på det punkter er (34,44) som man kan se bare af at kigge på dem ligger de ekstremt tæt på hinanden. Men vi regner lige % afvigelse for at se hvor lang fra de egentlig ligger. Det vil altså sige at vi har en afvigelse på 0.28% i forhold til den afmålte temperatur. 8. Konklusion Efter vores mening kan vi konkluderer at vores projekt har været en succes. Vi har fået redegjort for afkølingsproblematikken, der viste sig at være tæt op af newtons afkølings lov. Samtidig med at vi fik en bedre forståelse for opstilling af en god model i forhold til virkeligheden ud fra fire simple steps indenfor modelleringsprocessen. Der hjalp os med at få opstillet vores modeller. Vores produkt som vi fik udviklet har været en stor succes, eftersom det er dens måle resultater i vores forsøg. Der har gjort det muligt for vores opstillede modeller vi fik lavet vha. modelprocesserne, at få en utrolig lav procentafvigelse. F.eks. var vores model kun på en gennemsnitlig afvigelse på 0,28%. Vores forventninger til modellen var slet ikke i nærheden af det vi fik som resultat. Vores mål var at nå en tilnærmelse på omkring 3% eller mere. Slet ikke ned på den afvigelse som vi har formået. Ud fra vores resultater regner vi stærkt med at vores resultater er korrekte eftersom de ligger så tæt op af hinanden. Vi ved dog ikke helt om, det er vi har lavet nogle regnefejl undervejs eller lavet nogle forkerte omskrivninger af udtrykkene undervejs i opstilling af vores model eller analyse af data, men vi regner stærkt med, at vores resultater vi har fået er korrekte. Side 18 af 20

9. Kildeliste 9.1 Udleveret materiale: CARLSEN J. og FRALSEN, 2002, Mat 3A, Systime. J DEJGAARD og C. MICHILSEN, 2001, trafikmodeller, matematiske aspekter, matematisklærerforeningen. Luke Herbert, 2013, Hvordan skal kildereference angives M. STOKLUND, Afkøling, (upubliceret) 9. 2 Websites: ARDUINO, 2013, Arduino and LM335 temperature sensor, http://forum.arduino.cc/index.php?topic=151451.0 [11-03-2014] BURNSFORCE, 2011, Arduino LM335 Temperature Sensor Tutorial, http://burnsforce.com/index.php/arduino-lm335-tutorial-started/ [11-03-2014] DAYZ LAB, 2011, LM335 Therometer using the Arduino, http://dayzlab.wordpress.com/2011/10/06/lm335-therometer-using-the-arduino/ [11-03-2014] LEARNING ABOUT ELECTRONICS, How to Build a LM335 Temperature Sensor Circuit, http://www.learningaboutelectronics.com/articles/lm335-temperature-sensor-circuit.php [11-03- 2014] MODELECT, 2012, LM335 - Measuring Temperature http://modelect.wordpress.com/2012/07/12/lm335-measuring-temperature/ [11-03-2014] SPACETINKERER, 2011, Build a Thermometer Using the LM335 Sensor and Arduino, http://spacetinkerer.blogspot.dk/2011/03/build-thermometer-using-lm335-sensor.html [11-03-2014] Side 19 af 20

9.3 Bilag Side 20 af 20