1 Oligopoler (kapitel 27)

1 Oligopoler (kapitel 27) 1. Indtil nu har vi undersøgt to markedsformer (a) Fuldkommen konkurrence: Alle virksomheder pristagere - en rimelig antagelse i situation med mange "små" aktører. (b) Monopol: Kun én virksomhed som egenhændigt bestemmer prisen og dermed output. 2. Betragtes disse to som ekstremer har vi midt i mellem en markedsform med oligopoler: (a) To eller ere virksomheder (et givent antal). (b) Virksomhederne kan til en hvis grad påvirke prisen (c) Strategisk interaktion mellem virksomhederne (d) Hvis virksomhederne fusionerer svarer det til monopol

2 Modeller for Oligopoler 1. Der er to grundlæggende begreber som skal overvejes og forstås: (a) Modellen: En præcis beskrivelse af "spillet" mellem virksomhederne. Hvilke strategiske muligheder har virksomhederne. (Hvilke variable kan de dreje på) i. Valg af pris ii. Valg af output iii. Valg af kvalitet og/eller reklame (branding) (b) Her betragter vi kun spil/markeder hvor i og ii er strategiske variable (c) Ligevægtsbegrebet: Hvornår udgør output/priser en tilstand som ingen vil afvige fra? i. Her bruges altid begrebet: Nash ligevægt. (Ham fra "A beautiful Mind")

2. Det viser sig at analysens resultat afhænger meget af den underliggende model. (a) Problemet ved dette er at det er ofte svært at vurdere hvilken model der er "korrekt" i forhold til en modellering af den "virkelige verden" (b) Styrken er, at det viser sig, at præcision i analysen er vigtig - og viser at vi kan ændre på udfald af konkurrence ved at lave (små) justeringer i konkurrencevilkår. 3. Antagelser i det følgende: (a) Vi ser på duopol-modeller: To virksomheder. (b) Virksomhederne producerer et identisk eller homogent produkt.

3 Fire modeller 1. Price-leader eller Stackelberg: (a) Virksomhed 1 sætter pris. (b) Virksomhed 2 observerer dette og fastsætter derefter (samme) pris. 2. Quantity-leader også Stackelberg: (a) Virksomhed 1 fastsætter sit output. (b) Virksomhed 2 observerer dette og fastsætter derefter sit output.

3. Simultan fastsættelse af pris eller Bertrand: (a) Begge virksomheder fastsætter pris simultant. (b) - derefter køber alle forbrugere hos virksomheden med lavest pris. (NB! Pga antagelse om homogent gode) 4. Simultan fastsættelse af output eller Cournot: (a) Begge virksomheder fastsætter output y 1 og y 2 simultant. (b) - markedsprisen tilpasser sig ved den inverse efterspørgslesfunktion p (y 1 + y 2 )

4 Stackelberg-modellen 1. Leader-follower model hvor output er strategisk variabel. 2. Leader skal opfattes som den store virksomhed der dominerer markedet. 3. Follower er den lille virksomhed der må tilpasses sig Leader s valg af output 4. Spillet er som følger (a) Leader (spiller 1) fastsætter eget output y 1. (b) Follower (spiller 2) observerer y 1 og fastsætter derefter y 2 : (c) Markedspris givet ved invers efterspørgselsfunktion og samlet output: p = p(y 1 + y 2 ):

5. Hvilket output er optimalt for leader? (a) Afhænger af follower s reaktion! (b) Naturligt at antage at follower pro tmaksimerer. 6. Follower s problem: max y 2 p(y 1 + y 2 )y 2 c 2 (y 2 ): 7. FOC er så p(y 1 + y 2 ) + @p(y 1 + y 2 ) @y 2 y 2 = c 0 2 (y 2): 8. Eller MR 2 (y 2 jy 1 ) = MC 2 (y 2 )

9. FOC giver anledning til en implicit sammenhæng mellem y 1 og y 2. De ner denne som y 2 = f 2 (y 1 ) hvor f 2 (y 1 ) er det optimale output for follower givet y 1. 10. f 2 kaldes reaktionsfunktionen.

11. Eksempel: Lineær efterspørgsel og M C = 0 (a) Efterspørgsel p(y 1 + y 2 ) = a b(y 1 + y 2 ) (b) Omkostninger c i (y i ) = 0, i = 1; 2 (c) Follower s pro t: 2 (y 1 ; y 2 ) = [a b(y 1 + y 2 )]y 2 = ay 2 by 1 y 2 by 2 2 : (d) Isopro tkurverne kan altså beskrives ved 2 = ay 2 by 1 y 2 by 2 2 eller (e) Figur 27.1: a b y 2 2 by 2 = y 1 :

(f) Pro t voksende mod venstre for follower: Optimal reaktion på y 2 ndes hvor isopro tkurve er lodret! (g) Algebraisk nder vi reaktionskurven som følger: (h) FOC: MR 2 (y 2 jy 1 ) = @ ay 2 by 1 y 2 by2 2 @y 2 = a by 1 2by 2 MR 2 (y 2 jy 1 ) = MC 2 (y 2 ) ) a by 1 2by 2 = 0 ) y 2 = a by 1 : 2b

12. Leader s problem: under bibetingelse: max y 1 p(y 1 + y 2 )y 1 c 1 (y 1 ); y 2 = f 2 (y 1 ): 13. (Den nemme fremgangsmåde) Substitution: max y 1 p(y 1 + f 2 (y 1 ))y 1 c 1 (y 1 ):

14. Betragt det lineære eksempel igen (a) Vi havde (b) og 1 (y 1 ; y 2 ) = p(y 1 + y 2 )y 1 = [a b(y 1 + y 2 )] y 1 ; (c) Leader s pro t er altså: 1 = f 2 (y 1 ) = y 2 = a by 1 ; 2b a b(y 1 + a by 1 2b ) y 1 ) 1 = a 2 y 1 b 2 y2 1 ) MR 1 (y 1 ) = a 2 by 1 :

(d) FOC MR 1 (y 1 ) = MC 1 (y 2 ) ) a by 1 = 0 ) 2 y1 = a 2b : (e) Heraf får vi follower s ligevægts output y 2 = f(y 1 ) (f) Samlet ligevægts output: = a by 1 2b = 1 a 4 b : y1 + y 2 = 1 a 2 b + 1 a 4 b = 3 a 4 b : (g) Figur 27.2: Illustrerer (Stackelberg-) Ligevægt, og såkaldt Cournot-ligevægt (som vi kommer til senere).

15. Fortolkning: Vi kan fortolke spillet som at y i erne faktisk er kapaciteter (hvor kapacitet og ikke produktion koster)- og at virksomhederne givet en kostbar kapacitet derefter naturlig sætter prisen så at hele kapaciteten benyttes. (a) Man kan vise i detaljer (i et kursus i Industriøkonomi) at et sådant kapacitets-pris spil i sidste ende giver det samme som et Stackelberg-spil.

5 Stackelberg med priserne som strategisk variabel 1. Spillet: (a) Leader (virksomhed 1) fastsætter pris p. (b) Follower (virksomhed 2) observerer p og sælger derefter så meget denne vil til pris p (sålænge markedsefterspørgsel kan bære det). i. Kan evt tænke på at follower sælger til p, hvor er ubetydeligt lille - derfor rimelig at antage at markedsefterspørgsel først dækkes af follower. (c) Leader dækker derefter den resterende del af efterspørgsel. 2. Vi løser igen ved at se på follower først:

3. Follower s problem for givent p: max y 2 py 2 c 2 (y 2 ); 4. Velkendt FOC p = c 0 2 (y 2): 5. Denne bestemmer implicit follower s udbudskurve (eller reaktionsfunktion): S(p):

6. Leader s problem: hvor max p 1(p) = pr(p) c 1 (R(p)): R (p) = D(p) er Leader s residualefterspørgsel: S(p) 7. Vigtig pointe: Leader løser altså monopolistens problem mht residualefterspørgsel R(p) istedet for mht D(p). 8. Figur 27.3: Lineær efterspørgsel og lineær residualefterspørgsel: (a) p ligevægtspris. (b) y L (c) y T leader s output. samlet output (nb: trykfejl i gur). (d) y T y L follower s output.

9. Eksempel: Lineær efterspørgsel med lineære og kvadratiske omkostninger. (a) Efterspørgsel D(p) = a bp: (b) Omkostninger c 1 (y 1 ) = cy 1 : c 2 (y 2 ) = 1 2 y2 2 : (c) FOC for follower p = c 0 2 (y 2) = y 2 ) S(p) = p:

(d) Leader s residualefterspørgsel: R(p) = a bp p = a (b + 1)p (e) Eller invers residualefterspørgsel p (y 1 ) = a b + 1 1 b + 1 y 1: (f) Leader s MR 1 (y 1 ): MR 1 (y 1 ) = a b + 1 2 b + 1 y 1: (g) FOC a b + 1 y 1 2 b + 1 y 1 = c ) a c(b + 1) = : 2 (h) Heraf ndes p og y 2 nemt. (Ikke interessant)

6 Cournot-modellen 1. Spillet (a) To virksomheder fastsætter simultant output y 1 og y 2. (b) Markedspris derefter givet ved invers efterspørgselsfunktion: p = p(y 1 + y 2 ): 2. Pga simultanitet er y 2 ikke kendst når y 1 fastsættes da er y 2 og vice versa. 3. Et par af outputs (y1 ; y 2 ) udgør ligevægt hvis og y 1 er optimalt givet y 2 ; y 2 er optimalt givet y 1 :

4. Dvs et par af outputs udgør en ligevægt hvis og kun hvis y 1 = f 1(y 2 ) y 2 = f 2(y 1 ): 5. Med andre ord: Ingen rmaer kan forbedre output givet det andet rmas output. 6. Sådan ligevægt kaldes Nash-ligevægt i spilteori. 7. En Nash-ligevægt i en Cournot-model kaldes ofte Cournot-Nash ligevægt.

8. Eksempel: Lineær efterspørgsel og M C = 0 (a) Efterspørgsel (b) Omkostninger p(y 1 + y 2 ) = a b(y 1 + y 2 ): c i (y i ) = 0, i = 1; 2 (c) Reaktionsfunktioner (som for follower i Stackelberg med output) (d) Figur 27.4 (e) Cournot-Nash ligevægt: y 2 = f 2 (y 1 ) = a by 1 2b y 1 = f 1 (y 2 ) = a by 2 2b y2 = a by 1; 2b y1 = a by 2: 2b

(f) Vi løser vha substitution: y 2 = a by 1 2b = a b a by 2 2b y 2 = 1 3 y 1 = 1 3 2b a b : a b : ) (g) Samlet output y 1 + y 2 = 2a 3b : 9. Cournot-Nash ligevægten har den pæne egenskab at den kan opnås som følge af at begge rmaer skiftevis tilpasser sig hinandens output. (a) NB: Gælder kun under visse forudsætninger, f.eks. ved lineær efterspørgsel og konstante marginalomkostninger.

10. Bemærk: Det ligger i de nitionen at en Cournot- Nash ligevægt er nærsynet af natur: (a) Hver virksomheds output er optimal givet at konkurrent fastholder sit output, (b) -men rimeligt at antage konkurrenten fastholder sit output når du afviger??? (c) - måske ikke, men - i mangel af bedre er man ofte alligevel interesserede i Nash-ligevægte.

7 Bertrand-modellen 1. Spillet: (a) To virksomheder fastsætter simultant pris for eget produkt p 1 hhv p 2. (b) Forbrugerne vælger mellem de homogene produkter og køber kun det billigste 2. Kritiske antagelser (a) Begge rmaer producerer til konstante marginalomkostninger c (ens for begge rmaer). (b) Forbrugerne er indi erent mellem produkterne. (Hvis samme pris da deles efterspørgsel mellem rmaer)

3. Vi er igen interesseret i Nash ligevægt: Et sæt at priser (p 1 ; p 2 ) så at og p 1 er optimal givet p 2 ; p 2 er optimal givet p 1 : 4. En Nash-ligevægt i en Bertrand-model kaldes ofte Bertrand-Nash ligevægt.

5. Påstand: Der ndes kun én Bertrand-Nash ligevægt: p 1 = p 2 = c. (a) Antag at p i > c i ligevægt. (b) Hvis rma j har valgt optimalt da opnås pro t ved at vælge en p j så at c < p j < p i ; (c) NB: Kan ikke være optimalt for rma j at vælge p j = p i da pro t da tilnærmelsesvist kan fordobles ved at sætte pris en anelse ned. (d) Men da kan p i ikke være optimalt givet p j da rma i kunne få positiv pro t ved at vælge c < p i < p j :

(e) Vi har modbevist at man kan have p i > c i Bertrand-Nash ligevægt - da det gælder for begge i er der kun muligheden p 1 = p 2 = c tilbage. Oplagt Nash ligevægt (hvorfor?) 6. Konsekvenser: (a) Nulpro t i ligevægt for begge rmaer. (b) Output i ligevægt svarer til situation med fuldkommen konkurrence! 7. Hvis goderne ikke er homogene mistes denne egenskab og output er mindre end i FK med positiv pro t til virksomhederne

8 Karteller 1. Modellen er igen Cournot konkurrence 2. Kartel: Firmaer laver aftale om fastsætte output således at samlet pro t maximeres. 3. Output reduceres i forhold til Cournot-Nash ligevægt. 4. Prisen øges og Consumer surplus falder 5. Karteller er typisk forbudte så der er kun få eksempler på kendte karteller (a) OPEC. (b) Private amerikanske sportsligaer: NFL, NBA, NHL (c) Forretningskæder med såkaldte franchise programmer kan argumenteres for at være karteller. Fx MacDonalds

6. Kartellets problem: max y 1 ;y 2 p(y 1 + y 2 )(y 1 + y 2 ) c 1 (y 1 ) c 2 (y 2 ): 7. FOC p 0 (y 1 + y 2 )(y 1 + y 2 ) + p(y 1 + y 2 ) = c 0 1 (y 1): p 0 (y 1 + y 2 )(y 1 + y 2 ) + p(y 1 + y 2 ) = c 0 2 (y 2): I optimum: MR(y 1 ; y 2 ) = MC 1 (y 1 ) = MC 2 (y 2 ) 8. To problemer for kartellet: (a) Betingelsen for maximering af samlet pro t (MC 1 (y 1 ) = MC 2 (y 2 )) sikrer ikke nødvendigvis at pro t deles lige. (b) Kartelmedlemmerne har incitament til ensidigt at øge output.

9. Eksempel: Lineær efterspørgsel og M C = 0 (a) Efterspørgsel (b) Omkostninger (c) Kartelpro t: (d) FOC p(y 1 + y 2 ) = a b(y 1 + y 2 ) c i (y i ) = 0, i = 1; 2 (y 1 ; y 2 ) = [a b(y 1 + y 2 )][y 1 + y 2 ] = a(y 1 + y 2 ) b(y 1 + y 2 ) 2 : @(y 1 ; y 2 ) @y 1 = a 2b(y 1 + y 2 ) = 0; @(y 1 ; y 2 ) @y 2 = a 2b(y 1 + y 2 ) = 0:

(e) Hvis symmetrisk output vælges y 1 = y 2 = y, da: (f) Samlet output: a 2b(2y ) = 0 ) y = 1 4 a b : y 1 = y 2 = 2y = a 2b = monopol output. (g) Firma 1 s incitament til at afvige: (h) Karteloutput: (i) Kartelpro t: y 1 = a 4b 1 = p(y 1 + y 2 )y 1 = a = 1 8 a 2 b : b( a 4b + a 4b ) a 4b

(j) Men husk nu på reaktionsfunktionen vi fandt i afsnit 27.7: (k) Indsæt nu y 2 = a 4b : (l) Afvigerpro t: y 1 = f 1 (y 2 ) = a by 2 : 2b y1 d = a b 4b a 2b = 3 a 8 b : d 1 = p(yd 1 + y 2 )yd 1 = a = 9 a 2 64 b : > 1 = 1 8 b( 3a 8b + a 4b ) a 2 b : 3a (m) Konklusion: Karteller er ustabile, hvis der ikke ndes en måde at afsløre og stra e afvigere på. (Kursorisk afsnit 27.11) 8b

9 Uendeligt gentagne Cournot-spil (kursorisk) 1. Hvis rmaer mødes i Cournot-spil gentagne gange da kan man "stra e" afvigere i senere perioder. 2. Intuition: (a) Tænk på at markedet eksister i al uendelighed - eller (mere realistisk) den sidste periode er ikke kendt med sikkerhed. (b) Start med at samarbejde om at dele monopoloutput. (c) Hvis blot en af rmaerne snyder i en enkelt periode, da vælges Cournot-Nash ligevægt i alle efterfølgende perioder. (d) Derved kan rmaer afskrækkes fra at afvige i først omgang.

(e) POINTE 1: Når et marked forventes at eksistere over længere tid, og hvis rmaerne ikke er for utålmodige mht til den øjeblikkelige pro t, da kan karteller være stabile. (f) POINTE 2: Karteller kan opretholdes uden "juridisk bindende" aftaler. 3. Kræver lidt fancy spilteori (gentagne spil) for en præcis analyse.

10 To eksempler 1. "Vi matcher enhver pris" (a) Kan være udtryk for skarp konkurrence -noget i retning af Bertrand-Nash ligevægt. (b)...eller kan være et udtryk for at rma ønsker hurtigt at kunne opdage konkurrenter afvige fra kartelpriser!

2. Frivillige eksport-begrænsninger: (a) I 80 erne aftalte den japanske bilindustri frivillige eksportbegrænsninger. (b) Amerikanske myndigheder skulle overvåge kartel. (c) Reduceret output for japanske biler på amerikansk marked førte til højere priser og højere pro t. (d) De facto blev output reduceret i retning af karteloutput, (e)...med amerikanske myndigheder til at overvåge at salgskvoter blev overholdt! (f) Ville formentlig have være mere hensigsmæssigt (set fra amerikansk vinkel) at indføre en toldafgift, der kunne have reducere importen. (g) (Hvorfor?)

11 Sammenligning af output i forskellige modeller: 1. Antag lineær model: (a) Nul omkostninger: c i (y i ) = 0 (b) Lineær invers efterspørgselskurve: p(y 1 + y 2 ) = a b(y 1 + y 2 ): Bertrand-Nash Stackelberg Cournot-Nash Kartel y1 y 2 y 1 + y 2 p 1 2 1 + 2 a a a b 0 0 0 0 2b a 2b a 3b a 4b 2b a 4b a 3b a 4b 3a 1 4b 4 a 1 8 a2 b 2a 1 3b 3 a a 2 9b a 1 2b 2 a a 2 8b 1 16 a2 b a 2 9b a 2 8b 3 16 a2 b 2 9 a2 b 1 4 a2 b