Opstlnng af oel for en børsteløs D-otor Danel R. Peersen & Jesper. Larsen 4. aprl 2003 I ette arbejsbla vl er blve opstllet en oel af en børsteløs D otor (LDM). Moellen er opstllet e et forål at kunne regulere en satellt oel, hvor svnghjulene rves af børsteløse D otorer. Der er to forskellge åer at koble en 3 faset LDM op på: Y og koblngen. De to koblngstyper kan ses på fgur. a c b b (a) c (b) a Fgur : plfceret llustraton af e to typer "Y"og " "koblee DM. Det ses hvoran e 3 spoler otoren er forbunet otoren. Den største forskel på Y- og -koblngen er, at er alt vl være to spoler, so er aktve af gangen en Y-koblng, hvlket for et este kke er tlfælet e en -koblng. I et følgene vl kun Y-koblngen blve behanlet, a et er en såan, er er stllet tl råghe fra unverstetets se. Først vl er blve opstllet en oel, so vser en elektrske se af otoren. Hvor efter en ekanske el af otoren oelleres. U fra e to oeller er er opstllet en ulneær oel for en LDM. preable.tex,v.0 2003/04/03 23:43:23 jala0 Exp
2 Elektrsk oel pænngen over en enkelt spole fgur a kan oelleres, so vst på fgur 2, ve en su af spænngsfal over hhv. spoleostanen, spolenuktansen og et spænngsfal, so genereres so følger af rotorens rotaton spolens agnetfelt. + R L + e Fgur 2: Illustraton af spænngsfalet over en spole otoren er an på en enkelte spole soleret, kan følgene utryk for spænngen over spolen opstlles: R s t L s e () Forel gæler og kun når er kun er én spole tl stee. år e tre kresløb af typen, so er afblet fgur 2 kobles saen for at få en Y -koblng opstår er en gensg nuktans so følge af, at e tre spoler koer tl at påvrke hnanen pga. eres agnetfelter. Dette fænoen vl blve oelleret et følgene. Gensg nuktans For at beskrve en gensge nuktans, so opstår otoren, er et først nøvengt at klarlægge hvorlees spolerne er koblet rent agnetsk. Den agnetske koblng er afblet fgur 3. Feltlnerne, so kke uelbart er synlge for et blotte øje, er llustreret på fgur 3 vha. e stplee hve streger. Den flux, so knytter sg tl en enkelte spole kan utrykkes so følger: tlsvarene: Φ Φ l Φ 2 Φ l2 Φ 3 Φ l3 Φ Φ 2 Φ 3 2 Φ 2 2 Φ 2 Φ 2 Φ 3 (2) 2 Φ 3 (3) 2 Φ 2 (4) 2
v 3 3 v 2 v 2 2 3 3 Fgur 3: Illustraton af hvoran en børsteløs D-otor kan betragtes rent agnetsk. hvor værerne (2) har følgene betynng: Φ l er et utryk for hvor egen flux, so kun går tl spolen selv, og erfor ngen nyttevrknng har. Φ er et utryk for en flux, so løber genne jernkernen af en gvne spole. Denne flux er satg en flux, so påvrker e anre spoler. De to sste le, 2 Φ 2 og 2 Φ 3, er en førotalte påvrknng fra e anre to spoler. Grunet jernkernernes relatvt høje pereabltet forhol tl luft, vl fluxensteten genne spole 2 og 3, so funkton af spole s flux være en halv, a et antages, at fluxstrøen foreles lgelgt pga. at er er en sae vnkel elle spole og 2 so elle spole og 3. Fluxbnngen, λ, genne en enkelte spole er gvet ve prouktet af antal vnnger,, og fluxen ergenne,φ: λ Φ (5) λ 2 2 Φ 2 (6) λ 3 3 Φ 3 (7) Hvs systeet anses for værene et lneært agnetsk syste, og er ses bort fra ætnng, kan 3
4 fluxen for spole s vekoene utrykkes ve: Φ l l Φ Φ 2 2 2 2 Φ 3 3 3 2 hvor l er reluktansen for tabsvejen og er reluktansen for fluxvejen genne spolerne. Tlsvarene kan e fre lgnnger opstlles for hhv. spole 2 og 3. e at nsætte (8)-() (2) og nsætte ette (5), fås for spole følgene utryk for fluxbnngen: (8) (9) (0) () tlsvarene fås for spole 2 og 3: λ 2 2 l 2 2 2 3 2 3 (2) λ 2 2 2 2 2 2 2 l2 λ 3 3 2 3 3 2 3 l3 2 2 3 2 2 3 3 2 (3) 2 3 2 2 (4) Da et er et lneært agnetsk syste, er et praktsk at opstlle fluxbnngen so et proukt af nuktansen og strøen. Tages er ugangspunkt (2), fregår et, at e to første le på højre se af lghestegnet kun afhænger af spole uafhænggt af spolerne 2 og 3. Heraf kan selvnuktanserne for e tre spoler opstlles: L 2 l 2 2 L 22 l2 3 2 L 33 l3 2 2 2 2 3 L l L l2 L l3 L L L De resterene to le (2) er en gensge nuktans, hvor L 2 2 2 (5) 4
5 og L 3 3 2 (6) Hvs an kkker på lgnngerne (2)-(4), fregår et, at L 2 L 2, L 3 L 3 og L 23 L 32. ntages et yerlgere, at 2 3, hvlket oftest er tlfælet en Y -koblet LDM, kan fluxbnngen skrves so λ (7) hvor L L 2 L 3 L 2 L 22 L 23 L 3 L 32 L 33 L l L 2 L 2 L L l L 2 L 2 L L l 2 L 2 L L (8) (9) Uves () e resultatet (8), koer lgnngen for spænngen over otoren, e alle tre spoler neholt, tl at se u so (20). a R s 0 0 a L ls L 2 L 2 L b 0 R s 0 b t 2 L a e a L ls L 2 L b e b (20) c 0 0 R s c 2 L 2 L L ls L c e c o et fregår af (20), så er en oelektrootorskekraft ennu kke eregnet so anet en en konstant. Denne vl er blve opstllet en oel for et følgene, en for at opstlle en oel for en oelektrootorskekraft, er et nøveng at kkke på en åe, hvorpå strøen genne spolerne løber, hvlket kales kouterng..2 Kouterng For at få otoren tl at køre runt, er et nøvengt at ænre på fluxstrønngen genne rotoren, hvlket neest gøres ve at ænre på strøen genne spolerne. Der kan tænkes utallge åer hvorpå enne strøænrng kunne foregå, en vælges en etoe, so leverer aksal kraftoent e et nste spl, er er faktsk kun én åe at gøre et på en Y -koblet LDM. Da er er seks ulge spoleparspænngskobnatoner otoren, vl et, for at få optal yelse, være best at have så få strøskft so ulgt, hvlket opnås ve styrespænngen, so er afblet fgur 4. 5
6 v v t π 2π θ Fgur 4: Illustraton af styrespænngen over en spole otoren En af forelene ve at vælge enne type styresgnal er netop, at er kun er en spole, so ænrer retnng pr. trn kouterngen. e at forskye styresgnalet tl e to anre spoler e hhv. 3 og 2 3 fås et styrngsønster, so ses på fgur 5. På enne fgur er rotoren envere ntegnet, hvoraf et ses, at enne rent faktsk rejer runt..3 Moelektrootorsk kraft Den elektrootorske kraft (EMF) er en kraft er generers når en leer bevæges et felt. Denne kraft bevrker at otoren generer et oent. I et efter følgene vl forholet elle en elektrootorske kraft og oterens kraftoent blve opstlt. Maxwell opstlte følgene lgnnger (2) og (22) for en elektrootorske kraft. EMF El (2) e EMF (22) hvor E er et elektrskfelt. e anvenelse af tokes sætnng (23), fåes følgene utryk for EMF. El a (23) t a Φ EMF t Φ (24) Maxwell fant e anre or u af at EMF er lg e negangen flux. 6
7 a b c e f Fgur 5: Illustraton af kouterngen otoren, sat hvorlees otoren roterer so funkton af spolespænngen I en D otor antages fluxen for værene lneær, hvlket for en D otor gver: e t Φ ω t K e ω (25) hvor e, en oelektrootorske kraft (EMF) er proportonal e ω rotor hastghe og K e proportonaltetskonstanten. P 2 ω r, en elektrske I en LDM er Φ ulneær og en afhænger af rotorens poston. å er fås følgene utryk (26) for EMF e t Φ ω t Kλ θ ω (26) hvor K er proportonaltetsfaktoren, λ θ er fluxen relaton tl rotorens vnkel på spolen og ω er rotor hastgheen. Det elektrske oentet τ e genereret af en spole er hvor er strøen spolen og ω er en ekanske rotor hastghe. τ e e ω Kλ θ (27) Den generelle teor for opstllng af en oel for en LDM vl et efterfølgene afsnt blve anvent tl at opstlle en elektrske oel af otoren. 7
8.4 Moelopstllng Me ugangspunkt et opstllee elektrske kresløb for otoren, se fgur 2, og () er utryk (20) opstlt. Dette utryk for spænngen over spolerne gver følgene fferentallgnnger for spolestrøene a, b og c. t a b c R s 0 0 0 R s 0 0 0 R s a b c L ls L 2 L 2 L 2 L L ls L 2 L 2 L 2 L L ls I utrykket (28) er e EMF er e a, e b og e c kke specfceret. I et neenståene er er på baggrun af kouterngssgnalerne opstllet et utryk her for, se fgur 5. Først stueres kouterngssgnalet på fgur 4. Dette sgnal kan repræsenteres ve følgene Fourer sere: v ωt a 0 2 a n cos nωt n L v a v b v c e a e b e c (28) (29) b n sn nωt (30) Kouterngssgnalet på fgur 4 er et ulge sgnal, og a n (30) sættes ere lg 0, og er kan ses bort fra e lge haronske koeffcenter a sse alt er lg 0. Fourer seren blver erve forkortet en el tl v ωt b 2n sn 2n ωt (3) n efter sse reuktoner fnes en enelge Fourer sere for kouterngssgnalet tl v ωt n 4 2n π cos 2n π 6 sn 2n ωt (32) FXe: ltteratur henvsnng tl artkel hvor er spænngsnveauet for pulsene, hvlket er arkeret på fgur 4. Tlsvarene opstlles en Fourer sere for Φ, er er fluxen elle spolerne og peranentagneten [], Φ ωt λ! K 2n sn 2n ω t (33) n hvor λ! er en aksale flux, er strøer, når agneterne er rekte overfor hnanen, vs ve en vnkel θ på 0 ra. K 2n er Fourer koeffcenterne for Φ ωt noreret så K. Det observeres at er gen kun skal bruges e ulge haronske Fourer seren. 8
9 e anvenelse af (26) på (33) fås følgene utryk for EMF. e Φ ωt t ω r λ! t λ! K 2n sn 2n n ω t 2n K 2n cos 2n ω t (34) n Utrykket (34) for EMF opstlles for e tre spoler og et beærkes at e tre spoler er forskut 20" eller 2π 3 ra, u fra ette opstlles utrykkene for e a, e b og e c. e a e b e c ω λ! 2n K 2n n cos 2n ω t 2π cos 2n ω t 3 cos 2n ω t 2π 3 Me ette utryk (35) og (28) er fferensleene for strøene spolerne opstllet. U over strøene otoren skal er opstlles et utryk for et elektrske oent τ e, se (27), so genereres af spolerene. Det salee oent kan opskrves so. e a a e b b e c c τ e (36) ω r hvor ω r er en elektrske rotor hastghe, e er Fourer seren for EMF og er Fourer seren af strøen kresløbet. U fra (36) kan et bestees et utryk for et salee oent spolerne generere. (35) τ e 3P 4 λ! K!2n # a cos 2n n 2π b cos 2n θ r 3 θ r 2π c cos 2n θ r 3 %$ τ cog θ r (37) hvor K!2n 2n K 2n fra (34) og ω P 2 ω r hvor P er antal poler på rotoren. 2 Mekansk el I et efterfølgene afsnt er er opstlt en oel af en ekanske el af en LDM. 9
0 T e J T l J t ω ω Fgur 6: Den ekanske oel af en børsteløs c otor. en rotatonelle nert J, frktonen, et tlførte kraftoent τ e sat et kraftoent τ l otoren belastes e er vst på fguren. Først opstlles et boyass agra over en roterene el af otoren, se fgur 6. På fgur 6 ses 4 forskellge kraftoenter, so vrker på otoren. Elektrsk kraftoent τ e er et elektrske kraftoent, so generes af spolerne og er beskrevet ve (37). Loa kraftoent τ l er et yre kraftoent er vrker på otoren. Dette kraftoent opstår når otoren påføres en yre belastnng f.eks når en blotor belastes når er på sættes et hjul på otoren, so vl genere et negatvt kraftoent forhol tl τ e. oralt vl er ses bort fra ette kraftoent, a et oftest oelleres e nertoentet og frktonsoentet for otoren. Derfor ngår ette kraftoent kke en vere oel. Inertoent τ j J t ω er et kraftoent, so beskrver trægheen otoren. J er nterten rotor og aksel og ω er en hastghe, hvore rotoren roterer. Frktonsoent τ b ω er et kraftoent er opstår pga. frkton otoren. er frktonskonstanten og ω ăer rotatonshastgheen. U fra e ovenståene kraftoenter, er vrker på otoren, og ewtons anen lov kan følgene utryk opstlles. τ j τ b τ e τ l (38) f (38) kan følgene ffertallgnng for ænrg rotatonshastgheen opstlles. t ω J τ e J ω (39) 0