Kommentarer til indlg om Aspects forsg Gamma 143 malt tilstanden. Produktionen af skrabelodderne kunne sa ske at man lavede lige mange lodder med hver
|
|
- Sven Bundgaard
- 5 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Kommentarer til indlg om Aspects forsg Af I forarsnummeret (141) af Gamma bragte vi et lsersprgsmal om Aspects forsg, der besvaredes af Anders Srensen fra Niels Bohr Institutet. Gamma har efterflgende modtaget en kommentar til dette fra lser Peter Lind Jensen, hvilken vi bringer her, samt Anders Srensens uddybende svar. anders.sorensen@nbi.dk Kommentar til Aspects forsg I artiklen i Gamma 141 om Aspects forsg blev der gennemgaet nogle statistiske beregninger som sa gav resultater, der ikke stemte med nogle fysiske forsg. Beregningerne blev foretaget pa et system med lager, hvorefter disse resultater blev overfrt til et kvantemekanisk resultat. Problemet er, at der ved beregning erne pa lagerne blev foretaget nogle statistiske antagelser, som ikke glder for det kvantemekaniske forsg. Lad os se pa en skrabelodsmodel, der mere ligner det kvantemekaniske: Vi har et skrabelod med 3 lager,, og. Den ene af lagerne kan ikke abnes. Forsger man, bliver man sendt til helvede som straf for forsg pa at bryde naturlovene, og loddet bliver brndt. Abner man de 2 tilladte lager far man resultatet af A's og B's malinger. Hvilken af de 2 malinger, der er foretaget af A kan angives sammen med resultatet eller man kan bruge en konvention. Konventionen kunne eksempelvis vre, at hvis lagen er en af de abne lager, sa er det A der har malt den, hvis ikke har A 37
2 Kommentarer til indlg om Aspects forsg Gamma 143 malt tilstanden. Produktionen af skrabelodderne kunne sa ske at man lavede lige mange lodder med hver af de 4 muligheder for tilstandene, og. Det tredje felt kan sa udfyldes med en vilkarlig fordeling af. Da man ikke abner lagen alligevel, kan man stte en lage pa som ikke kan abnes eller endnu nemmere slet ikke stte feltet pa. Tilsvarende kan man lave de andre skrabelodder. Her har vi altsa et system med skrabelodder som ikke opfylder Bells ulighed og derfor ikke kan vre lokal realistisk. Der er kun brugt, at der er en vis sandsynlighed for hvad der er under lagerne og derfor skulle den vre lokal realistisk. Det krver da vist en nrmere forklaring. Lad os i stedet se pa de rent matematiske forudstninger for Bells ulighed i den hervrende version. I artiklen blev der angivet flgende formel 1.5: P (A+; A?) = P (A+; A?; +) + P (A+; A?;?): Her betyder A at det er Andrew der abner den pagldende lage, + at der er gevinst ved at abne,? at der ikke er gevinst ved at abne lage, + at der gevinst ved at abne lage, og? at der ikke er gevinst ved at abne lage. Formlen skulle glde, hvis man var ligeglad med. Her forudsttes skjult at resultatet af variablen er stokastisk uafhngig af og. Hvis man ikke forudstter dette br formlen skrives om. Begrebet stokastisk uafhngighed kan nt forklares ud fra de angivne modeller. Hvis man har malt langs og akserne, kan man sprge om sandsynligheden for at fa + hvis man har malt +. Denne kan angives som P ( + j+) = 0:146. Tilsvarende kan man sprge om sandsynligheden for at fa + i de tilflde man har faet?. Denne kan angives som P ( + j?) = 0:854. Sandsynligheden for at fa + i det hele taget bliver sa: P (+) = P ( + j+) P (+) + P ( + j?) P (?) = 0; 146 0; 5 + 0; 854 0; 5 = 0; 5 Da P ( + j+) 6= P ( + j?) siges at variablen ikke er stokastisk uafhngig af. 38
3 Gamma 143 Sandsynligheden for, at man maler +, hvis man har malt A+,A?, angives ved P ( + ja+; A?). Og tilsvarende for de andre betingede sandsynligheder. Formel 1.5 skulle sa mere generelt skrives som P (A+; A?) = P ( + ja+; A?) P (A+; A?) + P (? ja+; A?) P (A+; A?) Hvis, og er stokastisk uafhngige, har man: og dermed: P ( + ja+; A?) = P (+)ogp (? ja+; A?) = P (?) P (A+; A?) = P ( + ja+; A?) P (A+; A?) + P (? ja+; A?) P (A+; A?) = P (+) P (A+; A?) + P (?) P (A+; A?) = P (A+; A?; c+) + P (A+; A?; c?) Det nye er altsa blot, at man tillader de stokastiske variable at vre det man kalder stokastisk afhngige. Muligheden for at de er stokastisk uafhngige eksisterer stadigvk. Tilsvarende skal formlerne 1.6 og 1.7 ndres til: P (A?; A+) = P ( + ja?; A+) P (A?; A+) + P (? ja?; A+) P (A?; A+) P (A+; A?) = P ( + ja+; A?) P (A+; A?) + P (? ja+; A?) P (A+; A?) Hvis man lgger de 2 sidste ligninger sammen og fjerner de samme led som i artiklen (de 2 midterste) far man: 39
4 Kommentarer til indlg om Aspects forsg Gamma 143 P (A?; A+) + P (A+; A?) P ( + ja?; A+) P (A?; A+) + P (? ja+; A?) P (A+; A?) Det er indlysende, at denne ulighed holder idet sandsynligheder hjst kan blive 1. Det er nu ikke nr sa indlysende at hjre side kan erstattes med P(A+,A-). De matematiske forudstninger for Bells ulighed er altsa: 3 stokastisk uafhngige variable (her kaldet, og ) hver med 2 mulige udfald (her kaldet + og?). Her er antallet af variable og stokastisk uafhngighed kritisk. Jeg kan ikke se forbindelsen til Einsteins lokale realisme. I mine jne kan det kun forbindes til lokal realisme for en konkret model og sa kun for denne model. Jeg kan endnu mindre se at alle lokal realistiske modeller skal opfylde disse betingelser. Er det i det hele taget ikke lovlig ot at skrive, at Einsteins lokale realisme er det samme som, at der kan tilskrives en sandsynlighed til hvert felt, og? At der kan tilskrives en sandsynlighed betyder i vrigt blot, at man har at gre med en sandsynlighedsmodel. Sammenligner man disse forudstninger med det kvantemekaniske system far man, at det ikke opfylder en eneste af disse betingelser. Der ndes kun 1 variabel nemlig vinklen mellem spinretningerne af de 2 elektroner med 6 mulige udfald (i virkeligheden uendelig mange, men der males kun med 6 forskellige vinkler). Hvis man ikke skelner mellem fortegnene af vinklerne far man endda kun 3 udfald nemlig for vinklerne 45, 90 og 135. Den sidste forudstning for Bells ulighed bliver meningsls. I artiklen er de 3 variable opnaet ved at antage, at spinnene samtidig kan have 3 forskellige orienteringer i rummet; noget der hverken matematisk eller fysisk er holdbart. Hvis man frst har konstateret, at spinnet er i retningen, er det meningslst at sprge om, hvad den er i retningen. Denne opfattelse stammer sandsynligvis fra brugen af koordinatsystemer; men koordinatsystemer er ikke en fysisk realitet. Det er blot en bekvem 40
5 Gamma 143 made at beskrive rummet pa. Jeg kan derfor ikke se at man kan slutte noget som helst af at Bells ulighed bliver brudt. I artiklen forklares bruddet af uligheden med at der ikke er 3 stokastiske variable i det kvantemekaniske system, men uden at der drages den fulde konsekvens af dette: Bells ulighed kan ikke bruges. Sa vidt jeg kan se forudsttes der, at der i alle mulige retninger er en spinvektor af strrelsen 1. Som nvnt er der heller ikke 3 variable set fra et klassisk synspunkt -, og er blot tilfldige 2 forsgsakser. For at undga misforstaelser vil jeg lige anfre at ovenstaende indvendinger kun glder den beskrevne model og kun forudstningerne for Bells ulighed. Modellen er sandsynligvis forenklet af hensyn til lseligheden, og det er jo under alle omstndigheder ikke den model, der er brugt i Aspects forsg. Under alle omstndigheder ma Bells ulighed vre udledt pa grundlag af nogle matematiske forudstninger, som jeg desvrre ikke kender. De meget korte beskrivelser, jeg har set andre steder, nvner dem ikke, og forfatterne har formodentlig hverken kendt dem, interesseret sig for dem eller kunnet forsta dem. Artiklen i Gamma har sa ogsa faet mig til at interessere mig for i hvor hj grad de matematiske forudstninger stemmer overens med den kvantemekaniske model. Mine indvendinger kan sammenfattes til 3 punkter nemlig: A) Forbindelsen til lokal realisme mangler totalt. B) Forudstningerne for Bells ulighed stemmer ikke med det fysiske system. C) Der antages at de "relevante"variable er stokastisk uafhngige. Jeg har altid vret lidt skeptisk overfor Aspects forsg. Det er simpelthen fordi begrebet 'lokal realisme' er sa bredt, at jeg nder det nrmest hablst at teste. Her har jeg dog taget forbehold overfor, at Einstein skulle have deneret begrebet nrmere. En mulig forklaring kunne vre at blgefunktionen ved dannelsen af elektronparret blev pavirket af omgivelserne med forsgs opstillingen. Dette er i mine jne en lokal realistisk model, der bryder Bells ulighed, hvilket igen peger pa at forudstningerne for Bells ulighed er tvivlsom. 41
6 Kommentarer til indlg om Aspects forsg Gamma 143 Denne mulighed testes nppe af Aspects forsg og i hvert fald ikke af det i artiklen beskrevne. Det kan vre, at der er gode grunde til at den forklaring ikke holder; men den testes altsa nppe, og bare det at den eksisterer peger pa muligheden af at der er andre forklaringer. Man ma holde sig for je, at den menneskelige fantasi er begrnset. Svar fra Anders Srensen Kre Peter Lind Jensen, Jeg ma sige, at jeg ikke er enig i dine kommentarer. Noget af det meget overraskende ved Bells ulighed er faktisk, hvor generel den er. Men for nu at starte med noget vi er enige om, sa er jeg enig med det sidste du siger: \Man ma holde sig for je, at den menneskelige fantasi er begrnset." Sadan set er det noget af det Bells ulighed drejer sig om. Vi laver den mest generelle beskrivelse af, hvordan vi kan forestille os, at verden hnger sammen, hvorefter vi viser, at verden er mere kompliceret end det. Forudstningen for Bells ulighed er sadan set bare, at A og B kan lave forskellige malinger pa hver deres halvdel af systemet, og at der for hver maling de laver, er en vis sandsynlighed for at fa et bestemt udfald. Dette udfald antages kun at afhnge af systemets tilstand, og ikke af hvad den anden gr. Jeg vil hvde, at dette svarer til, hvad vi vil kalde \lokal realisme": Systemet har en tilstand, lad os kalde den. Her er det vigtigt, at jeg ikke ndvendigvis antager, at er den samme i alle tilfldene. Jeg antager bare, at der for hvert elektron par ndes en tilstand. Dette er \realisme"delen af argumentet. \Lokaliteten"siger, at det resultat man far det ene sted, ikke kan afhnge af, hvad man gr det andet sted. Alligevel er resultaterne altid korrelerede, sadan, at nar den ene er + i, er den anden?. Hvis malingen A ikke kan afhnge af, hvad der sker ved B, er den eneste made, hvorpa A og B kan vre korrelerede, hvis korrelationerne laves, nar partiklerne forlader hinanden. Nar f.eks. A bliver malt langs og giver +, skal B give?. Hvis ikke B kan fa noget at vide om, hvilken maling der laves pa A, og hvad resultatet giver, ma partiklerne saledes pa forhand have \aftalt", hvilket udfald disse malinger 42
7 Gamma 143 skal give 1. Som du selv siger, er begrebet \lokal realisme"utroligt bredt, men jeg ma sige, at jeg synes ogsa antagelserne ovenfor er meget brede, og jeg haber du er enig i, at det er sadan vi forventer verden skal opfre sig. Det utrolige ved Bells ulighed og Aspects forsg er, at de faktisk viser, at disse antagelser er forkerte. Jeg husker selv tydeligt, hvor overrasket jeg blev da dybden af argumentet gik op for mig. Desvrre kan jeg se pa dine kommentarer, at det ikke er lykkedes mig at overbevise dig, sa jeg ma hellere uddybe lidt. Du opsummerer din kritik i tre punkter A) Forbindelsen til lokal realisme mangler totalt. B) Forudstningerne for Bells ulighed stemmer ikke med det fysiske system. C) Der antages at de "relevante" variable er stokastisk uafhngige. Jeg haber, at jeg svarer pa A), hvis jeg kan overbevise dig om at antagelserne ovenfor svarer til forudstningerne for Bells ulighed. Hvis man kigger pa det, jeg gjorde i min frste artikel, mener jeg sadan set ikke, at jeg antager mere, end jeg siger ovenfor, men der kommer lidt uddybning nedenfor. Ang. B) har du ret i, at de kvantemekaniske love ikke opfylder forudstningerne, men dette er hele pointen, nemlig at kvantemekanikken bryder Bells ulighed. Du skriver selv, at sandsynligheden afhnger kun af forskellen i vinkler, men pa en made er det netop det, som giver ikkelokaliteten: Hvis B far op langs en given retning, afhnger As sandsynlighed af vinklen relativt til Bs akse, hvilket er underligt \ikke-lokalt". Men hvis venter med at bruge vores kvantemekaniske viden, svarer systemet godt til forudstningerne for Bells ulighed. En kilde udsender elektroner i en tilstand, hvorefter vi vlger at lave nogle malinger pa systemet. I stedet for at kigge pa malinger langs alle mulige akser vlger vi sa at male langs tre forskellige retninger, og. For alle mulige 1 Dette betegnes som en lokal skjult variabel teori (local hidden variable). Altsa at korrelationerne bliver lavet lokalt, men vi kan bare ikke se det. Bells ulighed og Aspects forsg viser, at sadanne teorier er forkerte. 43
8 Kommentarer til indlg om Aspects forsg Gamma 143 kombinationer af akserne laver vi sa malinger, og far derved tllestatistik nok til at kunne konstruere sandsynligheder som P (A+; B?) o.s.v. Det afgrende her er bare, at vi kan lave tre forskellige malinger - male tre forskellige variable, og nde de tilhrende sandsynligheder. Ang. C) ma jeg sige, at det simpelthen ikke er rigtigt. Der er ikke lavet nogen antagelse om, at variablene er stokastisk uafhngige. Ligningerne glder uafhngigt af dette. Dette beviser jeg i et lille appendix til dette svar. Du beskriver i dit brev en mulig forklaring pa, at Aspects forsg bryder Bells ulighed, nemlig at elektronerne vekselvirker med omgivelserne som pavirker blgefunktionen. I et eksperiment er det meget realistisk, at der sker en sadan pavirkning. Faktisk er det sadanne pavirkninger, som gr det svrt at udfre eksperimenterne i praksis, og som ogsa gr det svrt f.eks. at bygge en kvantecomputer. Denne mulighed er dog medtaget i Bells ulighed. For at kunne svare pa dette mere prcist, har jeg i antagelserne ovenfor medtaget, at elektronerne kan vre i forskellige tilstande fra par til par og sagt, at denne tilstand kan jeg kalde. For simpelheds skyld medtog jeg ikke dette i min frste artikel, men siden du nu specikt sprger til det, inkluderer jeg det her. Det vi nu skal gre er, at erstatte alle sandsynligheder med tre argumenter, som f.eks. P (A+; A?; A+) 2, med den betingede sandsynlighed for at fa svaret givet en tilstand, eksempelvis P (A+; A?; A + j). Nar vi sa skal udtrykke vores malelige strrelser, skal vi midle over alle mulige tilstande, hvilket giver os P P (A+; A?; A + j)p (), hvor P () er sandsynligheden for, at systemet er i tilstanden. Men i flge den generelle formel (11) fra appendikset har vi X P (A+; A?; A+) = P (A+; A?; A + j)p (): (1) Indstter vi dette, reducerer det hele til de udtryk jeg brugte i den frste artikel. Sa Bells ulighed glder stadig i dette system 3. Jeg har saledes ikke 2 I min frste artikel glemte jeg at skrive det sidste A foran, men det burde have vret der. 3 Men selvom Bells ulighed stadig glder betyder det, at tilstanden ndrer sig lidt fra gang til gang alligevel noget i eksperimentet. Stj medfrer, at den kvantemekaniske tilstand bliver sa meget forstyrret, at den ofte ikke lngere bryder Bells ulighed, og kun under srlig omstndigheder kan man se brud pa Bells ulighed. Dette betyder dog ikke noget for argumentet. Bells ulighed siger kun, at resultater, som bryder Bells ulighed, er i strid med lokal realisme. Den siger ikke noget om resultater, som ikke bryder Bells ulighed. 44
9 Gamma 143 antaget andet end at tilstanden eksisterer (realisme), og at resultatet af en maling kun afhnger af tilstanden og ikke af hvad den anden gr (lokalitet). Jeg haber, at dette hjlper lidt pa forstaelsen af Bells ulighed. Hele argumentet for Bells ulighed er sadan set inkluderet i, hvad jeg har beskrevet her og i den sidste artikel. Jeg nvnte i en fodnote i den sidste artikel, at Aspects forsg var en lille smule anderledes, og du formoder, at det er forsimplingen, som har smidt noget af essensen vk. Dette mener jeg ikke er tilfldet. Forskellen til Aspects forsg er blot, at Aspect testede en lidt anden ulighed, som logisk set er stort set kvivalent til denne, men som er lidt mindre flsom overfor nogle eksperimentelle imperfektioner. Det utrolige ved Bells ulighed er generaliteten af argumentet. Bells ulighed viser virkelig, at verden er mere kompliceret, end vi umiddelbart troede. Med venlig hilsen Anders S. Srensen, Lektor Niels Bohr Institutet Appendiks Du hvder i dit brev at ligningen P (A+; A?) = P (A+; A?; A+) + P (A+; A?; A?): (2) kun glder nar er stokastisk uafhngig af og. Jeg vil her vise, at det ikke er rigtigt. Lad os sige, at vi har N skrabelodder af typen, der blev beskrevet i min frste artikel, hvor N er et meget stort tal. Lad os nu sige, at der i N 1 tilflde er kombinationen +, + og + (jeg har her valgt at fjerne alle \A"erne, da de ikke spiller nogen rolle). Tilsvarende kan alle andre muligheder tilskrives et antal N i, som denne kombination optrder i. De forskellige muligheder er speciceret i tabel 1. Lad os nu se pa sandsynligheden for at fa +;?; +. Det sker i N 3 tilflde, og altsa er sandsynligheden P (+;?; +) = N 3 N : (3) 45
10 Kommentarer til indlg om Aspects forsg Gamma 143 Tabel 1: Mulige kombinationer, og de antal gange de optrder ; ; ; ; ; ; ; ; +,+,+ N 1 +,+,- N 2 +,-,+ N 3 +,-,- N 4 -,+,+ N 5 -,+,- N 6 -,-,+ N 7 -,-,- N 8 Tilsvarende er P (+;?;?) = N 4 N : (4) Hvis vi vil nde sandsynligheden for at fa +;? uafhngigt af hvad, er skal vi tage alle de kombinationer, hvor vi har +;?, hvilket er N 3 + N 4. Vi har altsa P (+;?) = N 3 + N 4 N = P (+;?; +) + P (+;?;?); (5) som jeg brugte i min udledning. Det samme resultat kan ogsa ndes v.h.a. de betingede sandsynligheder, som du bruger. For at gre det, skal vi bruge sandsynligheden for, at er f.eks. +. Dette sker i N 1 + N 3 + N 5 + N 7 tilflde, altsa er sandsynligheden P (+) = N 1 + N 3 + N 5 + N 7 : (6) N Vi skal dernst bruge sandsynligheden for, at vi far +;?, givet at er +. Dette sker i N 3 ud af N 1 + N 3 + N 5 + N 7 tilflde. Altsa er P (+;? j+) = Sammenligner vi nu med (3), ser vi at N 3 N 1 + N 3 + N 5 + N 7 : (7) P (+;?; +) = P (+;? j+)p (+): (8) Ved at bruge dette far vi altsa, at P (+;?) = P (+;? j+)p (+) + P (+;? j?)p (?) (9) 46
11 Gamma 143 giver prcist det samme som ovenfor. Man kan saledes bruge de betingede sandsynligheder eller lade vre, alt afhngig af hvad man har lyst til. Der er saledes ikke nogen antagelse om statistisk uafhngighed i mine regninger. Udtrykkene (2) og (9) er egentlig special tilflde af de generelle statistiske regler X P (x) = X P (x; y) (10) y = P (xjy)p (y): (11) Den sidste af disse bliver brugt i ligning (1) ovenfor. y Yderligere lsning En bermt bog om emnet er: J. S. Bell, Speakable and Unspeakable in Quantum Mechanics, Cambridge University Press. Aspects originale artikel: A. Aspect, J. Dalibard, og G. Roger, Phys. Rev. Lett. 49, 1804 (1982). Den udgave af Bells ulighed, som Aspect testede, er fra: J. F. Clauser, M. A. Horne, A. Shimony, og R. A. Holt, Phys. Rev. Lett. 23, 880 (1969). Et mere ekstremt eksempel, hvor lokal realisme og kvantemekanik ikke bare giver forskellige sandsynligheder, men direkte modsatte konklusioner, kan ndes i: D. M. Greenberger, M. A. Horne, A. Shimony, og A. Zeilinger, Am. J. Phys. 58, 1131 (1990) 47
2. juni Solitaire spilles med pinde, der pa gurerne er angivet som sorte pletter. Der
SOLITAIRE 2. juni 2003 Mogens Esrom Larsen Indledning. Solitaire spilles med pinde, der pa gurerne er angivet som sorte pletter. Der kan sta en eller ingen pind i et felt, som pa guren er angivet som et
Læs mereParadokser og opgaver Gamma 142 To kroner stder til to af de tre til samme side, og udenpa dem stder den sidste krone til begge de to. Nu kunne det se
Paradokser og Opgaver Mogens Esrom Larsen () og Silja Heilmann (HE) Vi modtager meget gerne lserbesvarelser af opgaverne, samt forslag til nye opgaver enten per mail (gamma@nbi.dk) eller per almindelig
Læs mereSkriftlig Eksamen. Datastrukturer og Algoritmer (DM02) Institut for Matematik og Datalogi. Odense Universitet. Torsdag den 6. juni 1996, kl.
Skriftlig Eksamen Datastrktrer og Algoritmer (DM0) Institt for Matematik og Datalogi Odense Universitet Torsdag den 6. jni 1996, kl. 9{13 Alle sdvanlige hjlpemidler (lrebger, notater, etc.) samt brg af
Læs mereKvantitative Metoder 1 - Forår 2007. Dagens program
Dagens program Hypoteser: kap: 10.1-10.2 Eksempler på Maximum likelihood analyser kap 9.10 Test Hypoteser kap. 10.1 Testprocedure kap 10.2 Teststørrelsen Testsandsynlighed 1 Estimationsmetoder Kvantitative
Læs mereStatistik i basketball
En note til opgaveskrivning jerome@falconbasket.dk 4. marts 200 Indledning I Falcon og andre klubber er der en del gymnasieelever, der på et tidspunkt i løbet af deres gymnasietid skal skrive en større
Læs mereAnalyse af Saltdata. Henrik Spliid
Analyse af Saltdata Henrik Spliid December 1999 0 Analyse af restsalt ved udspredning af fugtsalt og saltlage Page 1 of 12 Indledning Nrvrende rapport beskriver kort resultaterne af en statistisk analyse
Læs mereKvantitative Metoder 1 - Efterår Dagens program
Dagens program Estimation: Kapitel 9.7-9.10 Estimationsmetoder kap 9.10 Momentestimation Maximum likelihood estimation Test Hypoteser kap. 10.1 Testprocedure kap 10.2 Teststørrelsen Testsandsynlighed 1
Læs mereParadokser og opgaver Gamma 143 Barneleg { 1 Lille Peter Dummkopf sidder og leger med sine klodser. Han har 9 klodser, og pa dem star tallene fra 1 ti
Paradokser og Opgaver Mogens Esrom Larsen (MEL) Vi modtager meget gerne lserbesvarelser af opgaverne, samt forslag til nye opgaver enten per mail (gamma@nbi.dk) eller per almindelig post (se adresse pa
Læs mereDeskriptiv statistik. Version 2.1. Noterne er et supplement til Vejen til matematik AB1. Henrik S. Hansen, Sct. Knuds Gymnasium
Deskriptiv (beskrivende) statistik er den disciplin, der trækker de væsentligste oplysninger ud af et ofte uoverskueligt materiale. Det sker f.eks. ved at konstruere forskellige deskriptorer, d.v.s. regnestørrelser,
Læs mereTal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal.
1 Tal Tal kan forekomme os nærmest at være selvfølgelige, umiddelbare og naturgivne. Men det er kun, fordi vi har vænnet os til dem. Som det vil fremgå af vores timer, har de mange overraskende egenskaber
Læs merePersonlig stemmeafgivning
Ib Michelsen X 2 -test 1 Personlig stemmeafgivning Efter valget i 2005 1 har man udspurgt en mindre del af de deltagende, om de har stemt personligt. Man har svar fra 1131 mænd (hvoraf 54 % har stemt personligt
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Termin Oktober-december 2014 Institution Niels Brock Uddannelse Fag og niveau Lærer Hold HHX Matematik - Niveau B Peter Harremoës GSK hold: k12gymabu1n2 Oversigt over gennemførte
Læs mereCenter for Statistik. Multipel regression med laggede responser som forklarende variable
Center for Statistik Handelshøjskolen i København MPAS Tue Tjur November 2006 Multipel regression med laggede responser som forklarende variable Ved en tidsrække forstås i almindelighed et datasæt, der
Læs mereMandags Chancen. En optimal spilstrategi. Erik Vestergaard
Mandags Chancen En optimal spilstrategi Erik Vestergaard Spilleregler denne note skal vi studere en optimal spilstrategi i det spil, som i fjernsynet går under navnet Mandags Chancen. Spillets regler er
Læs mereNaturvidenskab. En fællesbetegnelse for videnskaberne om naturen, dvs. astronomi, fysik, kemi, biologi, naturgeografi, biofysik, meteorologi, osv
Naturvidenskab En fællesbetegnelse for videnskaberne om naturen, dvs. astronomi, fysik, kemi, biologi, naturgeografi, biofysik, meteorologi, osv Naturvidenskab defineres som menneskelige aktiviteter, hvor
Læs mereCoulombs lov. Esben Pape Selsing, Martin Sparre og Kristoffer Stensbo-Smidt Niels Bohr Institutet F = 1 4πε 0
Coulombs lov Esben Pape Selsing, Martin Sparre og Kristoffer Stensbo-Smidt Niels Bohr Institutet 14-05-2007 1 Indledning 1.1 Formål Formålet er, at eftervise Coulombs lov; F = 1 4πε 0 qq r 2 ˆr, hvor F
Læs mereFRA BERNOULLIS FORUNDERLIGE POLYNOMIER OG TAL VIA EULER{MACLAURINS SUMFORMEL TIL ROMBERGS INTEGRALAPPROXIMATION. Mogens Esrom Larsen. 1.
FRA BERNOULLIS FORUNDERLIGE POLYNOMIER OG TAL VIA EULER{MACLAURINS SUMFORMEL TIL ROMBERGS INTEGRALAPPROIMATION Mogens Esro Larsen. arts 5 Bernoullis polynoier og tal. Bernoullipolynoierne og Bernoullitallene
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Juni, 2014 Institution Vid Gymnasier, Rønde Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold hhx Matematik B Ann Risvang
Læs mereKommentarer til matematik B-projektet 2015
Kommentarer til matematik B-projektet 2015 Mandag d. 13/4 udleveres årets eksamensprojekt i matematik B. Dette brev er tænkt som en hjælp til vejledningsprocessen for de lærere, der har elever, som laver
Læs mereMaple 11 - Chi-i-anden test
Maple 11 - Chi-i-anden test Erik Vestergaard 2014 Indledning I dette dokument skal vi se hvordan Maple kan bruges til at løse opgaver indenfor χ 2 tests: χ 2 - Goodness of fit test samt χ 2 -uafhængighedstest.
Læs mereAppendiks 6: Universet som en matematisk struktur
Appendiks 6: Universet som en matematisk struktur En matematisk struktur er et meget abstrakt dyr, der kan defineres på følgende måde: En mængde, S, af elementer {s 1, s 2,,s n }, mellem hvilke der findes
Læs mereÅrsplan for 5. klasse, matematik
Ringsted Lilleskole, Uffe Skak Årsplan for 5. klasse, matematik Som det fremgår af nedenstående uddrag af undervisningsministeriets publikation om fælles trinmål til matematik efter 6. klasse, bliver faget
Læs mereHypotesetest. Altså vores formodning eller påstand om tingens tilstand. Alternativ hypotese (hvis vores påstand er forkert) H a : 0
Hypotesetest Hypotesetest generelt Ingredienserne i en hypotesetest: Statistisk model, f.eks. X 1,,X n uafhængige fra bestemt fordeling. Parameter med estimat. Nulhypotese, f.eks. at antager en bestemt
Læs mereFaglig årsplan 2010-2011 Skolerne i Oure Sport & Performance. Emne Tema Materialer. Læringsmål Faglige aktiviteter. Evaluering.
Fag: Matematik Hold: 27 Lærer: Jesper Svejstrup Pedersen Undervisnings-mål 9 klasse Læringsmål Faglige aktiviteter Emne Tema Materialer ITinddragelse Evaluering 32-37 i arbejdet med geometri at benytte
Læs mereLæringsmål Faglige aktiviteter Emne Tema Materialer
Uge 33-48 Målsætningen med undervisningen er at eleverne individuelt udvikler deres matematiske kunnen,opnår en viden indsigt i matematik kens verden således at de kan gennemføre folkeskolens afsluttende
Læs mereFFM Matematik pop-up eftermiddag. CFU, UCC 11. Maj 2015
FFM Matematik pop-up eftermiddag CFU, UCC 11. Maj 2015 Formål Deltagerne har: Kendskab til Forenklede Fælles Måls opbygning Kendskab til tankegangen bag den målstyrede undervisning i FFM Kendskab til læringsmål
Læs mereTue Tjur: Hvad er tilfældighed?
Tue Tjur: Hvad er tilfældighed? 16. 19. september 1999 afholdtes i netværkets regi en konference på RUC om sandsynlighedsregningens filosofi og historie. Som ikke specielt historisk interesseret, men nok
Læs mereLogik. Af Peter Harremoës Niels Brock
Logik Af Peter Harremoës Niels Brock December 2009 1 Indledning Disse noter om matematisk logik er en videreudbygning af det, som står i bogen MAT A [1]. Vi vil her gå lidt mere systematisk frem og være
Læs mereEn statistikstuderendes bekendelser Søren Wengel Mogensen
Oplysning 23 En statistikstuderendes bekendelser Søren Wengel Mogensen Om at skrive BSc-opgave i anvendt statistik. Der findes matematikere (i hvert fald matematikstuderende), der mener, at den rene matematik
Læs mereBohr vs. Einstein: Fortolkning af kvantemekanikken
Bohr vs. Einstein: Fortolkning af kvantemekanikken Af Christian Kraglund Andersen og Andrew C.J. Wade, Institut for Fysik og Astronomi, Aarhus Universitet Siden 1913, da Bohr fremlagde sin kvantemekaniske
Læs mereFagplan og mål for matematik 7-9 klasse
Fagplan og mål for matematik 7-9 klasse På Slotsparkens Friskole følger vi Undervisningsministeriets mål for de fag. Kompetencemål se link : http://ffm.emu.dk Fagets kompetenceområder: Matematiske kompetencer
Læs mereLad os som eksempel se på samtidigt kast med en terning og en mønt:
SANDSYNLIGHEDSREGNING Stokastisk eksperiment Et stokastisk eksperiment er et eksperiment, hvor vi fornuftigvis ikke på forhånd kan have en formodning om resultatet af eksperimentet Til gengæld kan vi prøve
Læs mereStudieretningsopgave
Virum Gymnasium Studieretningsopgave Harmoniske svingninger i matematik og fysik Vejledere: Christian Holst Hansen (matematik) og Bodil Dam Heiselberg (fysik) 30-01-2014 Indholdsfortegnelse Indledning...
Læs mereSkriftlig Eksamen. Datastrukturer og Algoritmer (DM02) Institut for Matematik og Datalogi. Odense Universitet. Onsdag den 18. juni 1997, kl.
Skrftlg Eksamen Datastrukturer og Algortmer (DM02) Insttut for Matematk og Datalog Odense Unverstet Onsdag den 18. jun 1997, kl. 9{13 Alle sdvanlge hjlpemdler (lrebger, notater, etc.) samt brug af lommeregner
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni, 2015/16 Institution Vid Gymnasier Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold hhx Matematik B Hasse Rasmussen
Læs mereForord 3 Strukturen i denne bog 6
Indhold i Epsilon Forord 3 Strukturen i denne bog 6 Introduktion til del I. De naturlige tal 10 1 Børns talbegreber og regneoperationer omkring de første skoleår 12 Tal og det at tælle 15 Det indledende
Læs mereKapitlet indledes med en beskrivelse af - og opgaver med - de tre former for sandsynlighed, som er omtalt i læseplanen for 7.- 9.
Kapitlet indledes med en beskrivelse af - og opgaver med - de tre former for sandsynlighed, som er omtalt i læseplanen for 7.- 9. klassetrin: statistisk sandsynlighed, kombinatorisk sandsynlighed og personlig
Læs merePointen med Funktioner
Pointen med Funktioner Frank Nasser 0. april 0 c 0080. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er en
Læs mereOptimale konstruktioner - når naturen former. Opgaver. Opgaver og links, der knytter sig til artiklen om topologioptimering
Opgaver Opgaver og links, der knytter sig til artiklen om solsikke Opgave 1 Opgave 2 Opgaver og links, der knytter sig til artiklen om bobler Opgave 3 Opgave 4 Opgaver og links, der knytter sig til artiklen
Læs mereBilledbehandling og mønstergenkendelse: Lidt elementær statistik (version 1)
; C ED 6 > Billedbehandling og mønstergenkendelse Lidt elementær statistik (version 1) Klaus Hansen 24 september 2003 1 Elementære empiriske mål Hvis vi har observationer kan vi udregne gennemsnit og varians
Læs mereMatematikken i kunstig intelligens Opgaver om koordinerende robotter
Matematikken i kunstig intelligens Opgaver om koordinerende robotter Thomas Bolander 2. juni 2018 Vejledning til opgaver Opgave 1 kan eventuelt springes over, hvis man har mindre tid. De resterende opgaver
Læs mereMatematik samlet evaluering for Ahi Internationale Skole
efter 3.klasse. e efter 6.klasse. e Skole efter 9.klasse. e indgå i dialog om spørgsmål og svar, som er karakteristiske i arbejdet med matematik (tankegangskompetence formulere sig skriftligt og mundtligt
Læs mereMatematikken i kunstig intelligens Opgaver om koordinerende robotter LØSNINGER
Matematikken i kunstig intelligens Opgaver om koordinerende robotter LØSNINGER Thomas Bolander 25. april 2018 Vejledning til opgaver Opgave 1 kan eventuelt springes over, hvis man har mindre tid. De resterende
Læs mereLys på (kvante-)spring: fra paradox til præcision
Lys på (kvante-)spring: fra paradox til præcision Metrologidag, 18. maj, 2015, Industriens Hus Lys og Bohrs atomteori, 1913 Kvantemekanikken, 1925-26 Tilfældigheder, usikkerhedsprincippet Kampen mellem
Læs mereFig. 1 Billede af de 60 terninger på mit skrivebord
Simulation af χ 2 - fordeling John Andersen Introduktion En dag kastede jeg 60 terninger Fig. 1 Billede af de 60 terninger på mit skrivebord For at danne mig et billede af hyppighederne flyttede jeg rundt
Læs mereFagårsplan 10/11 Fag: Matematik Klasse: 7.ABC Lærer: Henrik Stillits. Fagområde/ emne
Fagårsplan 10/11 Fag: Matematik Klasse: 7.ABC Lærer: Henrik Stillits. Fagområde/ emne Matematiske færdigheder Grundlæggende færdigheder - plus, minus, gange, division (hele tal, decimaltal og brøker) Identificer
Læs mereVinkelrette linjer. Frank Villa. 4. november 2014
Vinkelrette linjer Frank Villa 4. november 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereAt forstå det uforståelige Ordet virkelighed er også et ord, som vi må lære at bruge korrekt
Julie K. Depner, 2z Allerød Gymnasium Essay Niels Bohr At forstå det uforståelige Ordet virkelighed er også et ord, som vi må lære at bruge korrekt Der er mange ting i denne verden, som jeg forstår. Jeg
Læs mereMatematik og magi. eller Næste stop Las Vegas. 14 Anvendt matematik. Rasmus Sylvester Bryder
14 Anvendt matematik Matematik og magi eller Næste stop Las Vegas Rasmus Sylvester Bryder Da jeg var mindre, morede jeg mig ofte når min halvfætter Casper viste mig korttricks. Det trick han viste mig
Læs mereSkriftlig eksamen i Databaser, Vinter 2001/2002. Pa opfordring har jeg udarbejdet mulige lsninger pa eksamensopgaverne, men
Roskilde Universitetscenter Skriftlig eksamen i Databaser, Vinter 2001/2002 Opgaver med lsninger Pa opfordring har jeg udarbejdet mulige lsninger pa eksamensopgaverne, men har ikke haft tid til at polere
Læs merefor matematik pä B-niveau i hf
for matematik pä B-niveau i hf 75 50 5 016 Karsten Juul GRUPPEREDE DATA 1.1 Hvad er deskriptiv statistik?...1 1. Hvad er grupperede og ugrupperede data?...1 1.1 Eksempel pä ugrupperede data...1 1. Eksempel
Læs mereÅrsplan 9. klasse matematik 2014-2015 Uge Emne Faglige mål Trinmål Materialer/ systemer 33-34
Årsplan 9. klasse matematik 2014-2015 33-34 Årsprøve og rettevejledledning 34-36 Årsprøven i matematik Talmængder og regnemetoder 37 Fordybelses uge 38-39 40 Termins-prøve 41 Studieturen 42 Efterårsferie
Læs mereParadokser og opgaver Gamma 146 Opgave { Kombinatorik Lad p n (k) vre antallet af permutationer af n elementer med netop k xpunkter. Vis formlen Opgav
Paradokser og Opgaver Mogens Esrom Larsen (MEL) Vi modtager meget gerne lserbesvarelser af opgaverne, samt forslag til nye opgaver enten per mail (gamma@nbi.dk) eller per almindelig post (se adresse pa
Læs mereDokumentation af programmering i Python 2.75
Dokumentation af programmering i Python 2.75 Af: Alexander Bergendorff Jeg vil i dette dokument, dokumentere det arbejde jeg har lavet i løbet opstarts forløbet i Programmering C. Jeg vil forsøge, så vidt
Læs mereDagens program. Praktisk information: Husk evalueringer af kurset
Dagens program Praktisk information: Husk evalueringer af kurset Hypoteseprøvning kap. 11.1-11.3 Fokastelsesområdet kap. 11.1 Type I og Type II fejl kap. 11.1 Styrkefunktionen kap. 11.2 Stikprøvens størrelse
Læs mereMikrofundament for konventionelle makro-adfrdsrelationer
Mikrofundament for konventionelle makro-adfrdsrelationer Henrik Jensen Kbenhavns Universitets konomiske Institut Marts, 1996 Abstract Denne note eksemplicerer mikrofundament for konventionelle makro-adfrdsrelationer.
Læs mereØvelse i kvantemekanik Kvantiseret konduktivitet
29 Øvelse i kvantemekanik Kvantiseret konduktivitet 5.1 Indledning Denne øvelse omhandler et fænomen som blandt andet optræder i en ganske dagligdags situation hvor et mekanisk relæ afbrydes. Overraskende
Læs mereMATEMATIK. Formål for faget
MATEMATIK Formål for faget Formålet med undervisningen er, at eleverne udvikler matematiske kompetencer og opnår viden og kunnen således, at de bliver i stand til at begå sig hensigtsmæssigt i matematikrelaterede
Læs mere2 -test. Fordelingen er særdeles kompleks at beskrive med matematiske formler. 2 -test blev opfundet af Pearson omkring år 1900.
2 -fordeling og 2 -test Generelt om 2 -fordelingen 2 -fordelingen er en kontinuert fordeling, modsat binomialfordelingen som er en diskret fordeling. Fordelingen er særdeles kompleks at beskrive med matematiske
Læs mereMatematik - undervisningsplan Årsplan 2015 & 2016 Klassetrin: 9-10.
Form Undervisningen vil veksle mellem individuelt arbejde, gruppearbejde og tavleundervisning. Materialer Undervisningen tager udgangspunkt i følgende grundbøger og digitale lærings- og undervisningsplatforme.
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Termin Efterår 2016 Institution Niels Brock Uddannelse Fag og niveau Lærer Hold HHX Matematik - Niveau B Peter Harremoës GSK hold: t16gymabu1o1 Oversigt over gennemførte undervisningsforløb
Læs mereProjekt 9.5 Racefordomme i USA og Simpsons paradoks (B og A)
Projekt 9.5 Racefordomme i USA og Simpsons paradoks (B og A) (Data er hentet fra M. Radelet, "Racial characteristics and imposition of death penalty", American Sociological Review, 46 (1981), pp 918-927
Læs mereKvanteinformation, kvantekryptografi
The Niels Bohr Institute Kvanteinformation, kvantekryptografi og kvantecomputere Anders S. Sørensen, Niels Bohr Institutet DFF Natur og Univers Kvantemekanik er svært Det kan da! ikke passe Jo det kan!
Læs mereKvantefysik. Objektivitetens sammenbrud efter 1900
Kvantefysik Objektivitetens sammenbrud efter 1900 Indhold 1. Formål med foredraget 2. Den klassiske fysik og determinismen 3. Hvad er lys? 4. Resultater fra atomfysikken 5. Kvantefysikken og dens konsekvenser
Læs mereNATURVIDENSKABELIG KANDIDATEKSAMEN VED KØBENHAVNS UNIVERSITET.
NATURVIDENSKABELIG KANDIDATEKSAMEN VED KØBENHAVNS UNIVERSITET. Eksamen i Statistik 1TS Teoretisk statistik Den skriftlige prøve Sommer 2002 3 timer - alle hjælpemidler tilladt Det er tilladt at skrive
Læs mereSvensk model for bibliometri i et norsk og dansk perspektiv
Notat Svensk model for bibliometri i et norsk og dansk perspektiv 1. Indledning og sammenfatning I Sverige har Statens Offentlige Udredninger netop offentliggjort et forslag til en kvalitetsfinansieringsmodel
Læs mereProjekt 1 Spørgeskemaanalyse af Bedst på Nettet
Projekt 1 Spørgeskemaanalyse af Bedst på Nettet D.29/2 2012 Udarbejdet af: Katrine Ahle Warming Nielsen Jannie Jeppesen Schmøde Sara Lorenzen A) Kritik af spørgeskema Set ud fra en kritisk vinkel af spørgeskemaet
Læs mereStudieprøven. Mundtlig del. Lytteforståelse. November-december 2015. Opgavehæfte
Delprøve 2 Studieprøven November-december 2015 Mundtlig del Lytteforståelse Opgavehæfte Delprøve 1: Jagtvej 69 Delprøve 2: Smukke formler får hjernen til at lyse op Hjælpemidler: Dansk-danske ordbøger
Læs merefor gymnasiet og hf 2016 Karsten Juul
for gymnasiet og hf 75 50 5 016 Karsten Juul Statistik for gymnasiet og hf Ä 016 Karsten Juul 4/1-016 Nyeste version af dette håfte kan downloades fra http://mat1.dk/noter.htm HÅftet mç benyttes i undervisningen
Læs mereGamma 44 Figur : Se gurtekst under afsnittet \Princippet" det resulterende interferensmnster med en detektor. Lysfeltet i objektets plan (x; y) kan be
Mikroskopi uden brug af linser Af Forfatteren er studerende ved NBI og har vret pa tre maneders praktikophold ved Paul Scherer Instituttet i Schweitz. Her fortller han om det emne han har arbejdet med
Læs mereStern og Gerlachs Eksperiment
Stern og Gerlachs Eksperiment Spin, rumkvantisering og Københavnerfortolkning Jacob Nielsen 1 Eksperimentelle resultater, der viser energiens kvantisering forelå, da Bohr opstillede sin Planetmodel. Her
Læs mereAfstande, skæringer og vinkler i rummet
Afstande, skæringer og vinkler i rummet Frank Nasser 9. april 20 c 2008-20. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her.
Læs mereMedfølende brevskrivning Noter til terapeuten
Medfølende brevskrivning Noter til terapeuten Idéen bag medfølende brevskrivning er at hjælpe depressive mennesker med at engagere sig i deres problemer på en empatisk og omsorgsfuld måde. Vi ønsker at
Læs mereTrekanter. Frank Villa. 8. november 2012
Trekanter Frank Villa 8. november 2012 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion 1 1.1
Læs mereHvis du har vinduer abne fra en tidligere session, sa luk dem ned { vi vil have
Forberedelse: Matlab for absolutte fodgngere Kort introduktion til G-databaren. St dig ved en ledig maskine og gennemfr loginprocessen. Hvis du har vinduer abne fra en tidligere session, sa luk dem ned
Læs mereÅrsplan for matematik på mellemtrinnet 2015-2016 (Lærere: Ebba Frøslev og Esben O. Lauritsen)
Årsplan for matematik på mellemtrinnet 2015-2016 (Lærere: Ebba Frøslev og Esben O. Lauritsen) Bog: Vi bruger grundbogssystemet Format, som er et fleksibelt matematiksystem, der tager udgangspunkt i læringsstile.
Læs mereEmne Tema Materiale r - - - - - aktiviteter
Fag: Matematik Hold: 24 Lærer: TON Undervisningsmål Læringsmål 9 klasse 32-34 Introforløb: række tests, som viser eleverne faglighed og læringsstil. Faglige aktiviteter Emne Tema Materiale r IT-inddragelse
Læs mereForståelse af dobbeltspalteforsøget
Forståelse af dobbeltspalteforsøget Det originale dobbeltspalteforsøg, Thomas Young (1773-1829). Tilbage i 1803 konstruerede den engelske fysiker Thomas Young for første gang dobbeltspalteforsøget, for
Læs merejan faye Kvantefilosofi ved erkendelsens grænser?
jan faye Kvantefilosofi ved erkendelsens grænser? aarhus universitetsforlag Kvantefilosofi Jan Faye Kvantefilosofi Ved virkelighedens grænser? Aarhus Universitetsforlag Kvantefilosofi Forfatteren og
Læs mereAllan C. Malmberg. Terningkast
Allan C. Malmberg Terningkast INFA 2008 Programmet Terning Terning er et INFA-program tilrettelagt med henblik på elever i 8. - 10. klasse som har særlig interesse i at arbejde med situationer af chancemæssig
Læs mereFaldmaskine. , får vi da sammenhængen mellem registreringen af hullerne : t = 2 r 6 v
Faldmaskine Rapport udarbejdet af: Morten Medici, Jonatan Selsing, Filip Bojanowski Formål: Formålet med denne øvelse er opnå en vis indsigt i, hvordan den kinetiske energi i et roterende legeme virker
Læs mereUniversity of Copenhagen. Notat om statistisk inferens Larsen, Martin Vinæs. Publication date: Document Version Peer-review version
university of copenhagen University of Copenhagen Notat om statistisk inferens Larsen, Martin Vinæs Publication date: 2014 Document Version Peer-review version Citation for published version (APA): Larsen,
Læs mereMatematik. Matematiske kompetencer
Matematiske kompetencer skelne mellem definitioner og sætninger, mellem enkelttilfælde og generaliseringer og anvende denne indsigt til at udforske og indgå i dialog om forskellige matematiske begrebers
Læs mereEleverne skal lære at:
PK: Årsplan 8.Ga. M, matematik Tid og fagligt område Aktivitet Læringsmål Uge 32 uge 50 Tal og algebra Eleverne skal arbejde med at: kende de reelle tal og anvende dem i praktiske og teoretiske sammenhænge
Læs mere3. klasse 6. klasse 9. klasse
Børne- og Undervisningsudvalget 2012-13 BUU Alm.del Bilag 326 Offentligt Elevplan 3. klasse 6. klasse 9. klasse Matematiske kompetencer Status tal og algebra sikker i, er usikker i de naturlige tals opbygning
Læs mereIndblik i statistik - for samfundsvidenskab
Indblik i statistik - for samfundsvidenskab Læs mere om nye titler fra Academica på www.academica.dk Nikolaj Malchow-Møller og Allan H. Würtz Indblik i statistik for samfundsvidenskab Academica Indblik
Læs mereEt eksempel på en todimensional normalfordeling Anders Milhøj September 2006
Et eksempel på en todimensional normalfordeling Anders Milhøj September 006 I dette notat gennemgås et eksempel, der illustrerer den todimensionale normalfordelings egenskaber. Notatet lægger sig op af
Læs mereEvaluering af matematik undervisning
Evaluering af matematik undervisning Udarbejdet af Khaled Zaher, matematiklærer 6-9 klasse og Boushra Chami, matematiklærer 2-5 klasse Matematiske kompetencer. Fællesmål efter 3.klasse indgå i dialog om
Læs mereÅrsplan for 7. klasse, matematik
Årsplan for 7. klasse, matematik I matematik bruger vi bogsystemet Sigma som grundmateriale. I systemet er der, ud over grundbogen, også kopiark og tests tilknyttet de enkelte kapitler. Systemet er udarbejdet
Læs mereElevvejledning HF Større skriftlige opgaver Århus Akademi 2006
NAVN: KLASSE: Elevvejledning HF Større skriftlige opgaver Århus Akademi 2006 Indholdsfortegnelse: 1. Placering af opgaverne s.1 2. Den større skriftlige opgave s.1 3. Generel vejledning til den større
Læs mereAppendiks 2 til Bilag 2 - Eksempler på tekster til tilbagemeldinger, case: Matematik i 6. klasse
Uddannelsesudvalget L 101 - Bilag 3 Offentligt Appendiks 2 til Bilag 2 - Eksempler på tekster til tilbagemeldinger, case: Matematik i 6. klasse Undervisningsministeriets udbud - Fremme af evalueringskultur
Læs mereProdukt og marked - matematiske og statistiske metoder
Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet February 11, 2016 1/22 Kursusindhold: Sandsynlighedsregning og lagerstyring
Læs mereGamma 142 et mere eller mindre kompliceret ligningssystem, hvis udseende afhnger af den konkrete situation: Eksperimentalfysikeren, der tilrettelgger
Inverse problemer - viden ad omveje Af er lektor ved Niels Bohr Institutet, leder af Gruppen for Teoretisk Geofysik og Planetfysik og arbejder til daglig med inverse problemer og geostatistik. Email: klaus@gfy.ku.dk
Læs mere{ } { } {( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )}
Stokastisk eksperiment Et stokastisk eksperiment er et eksperiment, hvor vi fornuftigvis ikke på forhånd kan have en formodning om resultatet af eksperimentet. Til gengæld kan vi prøve at sige noget om,
Læs mereAfstande, skæringer og vinkler i rummet
Afstande, skæringer og vinkler i rummet Frank Villa 2. maj 202 c 2008-20. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold
Læs mereKort gennemgang af Samfundsfaglig-, Naturvidenskabeligog
Kort gennemgang af Samfundsfaglig-, Naturvidenskabeligog Humanistisk metode Vejledning på Kalundborg Gymnasium & HF Samfundsfaglig metode Indenfor det samfundsvidenskabelige område arbejdes der med mange
Læs mereÅrsplan 9. klasse matematik 2013-2014 Uge Emne Faglige mål Trinmål Materialer/ systemer 33 Årsprøven i matematik
Årsplan 9. klasse matematik 2013-2014 33 Årsprøven i matematik Årsprøve og rettevejledledning 34-35 36 og løbe nde Talmængder og regnemetoder Mundtlig matematik 37 Fordybelses uge 38-39 Procent - Gennemgå
Læs mereSANDELIG! INDHOLD. Dette materiale er ophavsretsligt beskyttet og må ikke videregives
SANDELIG! STAKKELS PLUTO I 1930 opdagede en astronom fra den amerikanske delstat New Mexico et ganske lille objekt. Ved nærmere efterforskning viste det sig at bevæge sig i en bane omkring solen, der lå
Læs mereOpgaver hørende til undervisningsmateriale om Herons formel
Opgaver hørende til undervisningsmateriale om Herons formel 20. juni 2016 I Herons formel (Danielsen og Sørensen, 2016) er stillet en række opgaver, som her gengives. Referencer Danielsen, Kristian og
Læs mere