Gamma 44 Figur : Se gurtekst under afsnittet \Princippet" det resulterende interferensmnster med en detektor. Lysfeltet i objektets plan (x; y) kan be
|
|
- Rikke Lorenzen
- 7 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Mikroskopi uden brug af linser Af Forfatteren er studerende ved NBI og har vret pa tre maneders praktikophold ved Paul Scherer Instituttet i Schweitz. Her fortller han om det emne han har arbejdet med under sin praktik. kynde@fys.ku.dk Resume Nar et objekt belyses med en kohrent lyskilde vil der dannes et interferensmnster, som kan ses pa en skrm et stykke vk. Ved hjlp af computeralgoritmer kan et billede af objektet rekonstrueres ud fra de malte intensiteter af interferensmnsteret. Dermed kan linser fuldstndig undvres. Det har lnge vret en drm for forskere at konstruere et rontgenmikroskop som udnytter den korte blgelngde af rontgenstraling til at opna en ekstremt hj oplsningsgrad. Dette har imidlertid vret besvrliggjort af at det er svrt at lave njagtige linser i dette blgelngdeomrade. Fremkomsten af kraftige kohrente rontgenkilder fra synchrotronstraling giver nu forhabninger om at linselse billeddannelsesmetoder, som f.eks den der vil blive beskrevet i denne artikel, kan muliggre rontgenmikroskopi. Princippet Pa gur ses en lysstrale som afgrnses af en blnde og bliver spredt pa grund af et objekt. I en afstand Z fra objektet males intensiteten af 6
2 Gamma 44 Figur : Se gurtekst under afsnittet \Princippet" det resulterende interferensmnster med en detektor. Lysfeltet i objektets plan (x; y) kan beskrives med en todimensionel kompleks funktion O(x; y): I detektorplanet (X; Y ) betegnes feltet med D(K X ; K Y ); hvor K X = 2 X og K Z Y = 2 Y er direkte proportionale med X og Y; men har Z enheden invers lngde og er lysets blgelngde. Der er en veldeneret matematisk sammenhng melllem O og D(K X ; K Y ) nemlig en fouriertransformation. D(K X ; K Y ) = Ff O(x; y)g: Ved hjlp af den inverse transformation er det saledes muligt at regne sig tilbage til feltets udseende i objektets plan forudsat at man har fuldstndig kendskab til feltets udseende i detektorens plan. O kan beskrives som produktet af et belysningsfelt P (x; y) som beskriver feltet i (x; y) planet nar der ikke er noget objekt tilstede, og O(x; y) som er modulationen af P pa grund af objektet. 7
3 Mikroskopi uden brug af linser Gamma 44 δ Figur 2: Rektanglet tnkes at indeholde et materiale med brydningsindeks n > : Det betyder at blgelngden inde i boksen forlnges med en faktor n? : Dette giver anledning til en faseforskel = 2 i forhold til en blge som ikke bevger sig gennem materialet. Faseforskel kan kun bestemmes modulo 2: Materialet er desuden lettere absorberende hvilket far blgens amplitude til at aftage. Bemrk at et objekts fase- og absorpstionsproler bade afhnger af hvilket materiale det er lavet af og hvilken form/tykkelse det har. O = P O Det jeg vil referere til som et billede af objektet er to plot af henholdsvis amplitude AO(x; y) og fase O(x; y) af den komplekse funktion O(x; y) = AOe io : Belysningsfeltet forudsttes at vre kendt. Det kan for eksempel antages at feltet i blndens plan er en plan blge indenfor blndens abning og nul udenfor. Det er sa muligt at propagere dette felt den lille afstand fra blnden til objektet. (Betegnet s pa gur.) AO beskriver hvor absorberende objektet er. I de omrader hvor AO er tt pa er objektet fuldstndig gennemsigtigt: j Oj = jp j: Omvendt indikerer AO = 0 at intet lys trnger igennem. O fortller noget om objektets brydningsindeks. Lyset blgelngde ndrer sig i materialer med et brydningsindeks forskelligt fra. Dermed introduceres et faseskift. Se gur 2. 8
4 Gamma 44 Faseproblemet Det er eksperimentielt umuligt fuldstndigt at bestemme D = A D e id ; idet det kun er muligt at male intensiteten I = A 2 og ikke fasen D D af de hastigt svingende lysblger. Den almindelige made at omga dette pa er ved at anvende en iterativ metode af flgende type: () (x; y)?! (K X ; K Y ) = Ae i (4) " # (2) 0 (x; y)? 0 (KX ; K Y ) = A D e i (3) Start i verste venstre hjrne med et vilkarligt gt pa O: () Fouriertransformer dit gt og opna en kompleks funktion Ae i : Denne funktion angiver hvordan interferensmnsteret af dit gt ville se ud. (2) Erstat amplituden A med amplituden af det malte interferensmnster A D = I: p (3) Foretag en invers fouriertransformation. Resultatet 0 skulle nu vre tttere pa den rigtige funktion O end det oprindelige gt. For at komme nrmere den rigtige lsning i anden iteration er det imidlertid ndvendigt at tilfje ekstra information om objektets beskaenhed. Det kunne for eksempel vre at det var et rent faseobjekt, dvs. det er gennemsigtigt. I sa fald ville amplituden vre konstant i hele objektets plan. (4) Udfr korrektionen 0! saledes at afstanden mellem de to funktioner er mindst mulig, men sa opfylder alle fysiske betingelser som vi pa forhand har opstillet for objektet. (F.eks j j = A O = konst:) (5) Gentag trin () til (4) og hab pa konvergens. Det er klart at metodens succes er betinget af om den ekstra information tilfrt i (4) er nok til at opveje den fuldstndige mangel pa viden om fasefunktionen D og det er naturligvis en begrnsning af dens anvendelighed at det er ndvendigt pa forhand at have omfattende viden 9
5 Mikroskopi uden brug af linser Gamma 44 om objektets udseende. Det er desuden vanskeligt at bevise matematisk om processen vil konvergere eller ej i et givent tilflde. PIE En vsentlig forbedring af de iterative metoder har faet det mundrette navn Ptychographic Iterative Engine eller bare PIE [, 2, 3]. Det springende punkt er, at man tillader objektet at kunne bevge sig i (x; y) planet som antydet med dobbeltpilene pa gur. To sma motorer ytter objektet rundt til et ntmasket gitter af positioner. Ved hver position optages interferensmnsteret ved detektoren. Afstanden mellem to nabopositioner skal vre sa tt at der er et betydeligt overlap mellem de belyste omrader af objektet. Hvis blnden eksempelvis har en diameter pa 400 m, vil en passende afstand vre 00 til 50 m: Kort fortalt gennemfrer man trin () til (3) i den ovenfor skitserede metode under brug af de data (interferensmnsteret) som er opsamlet ved frste objektposition. Pa grund af overlappet har man nu et gt pa hvordan en del af det belyste objekt ved position to ser ud. Dette gt bruges som udgangspunkt for endnu en gennemgang af trin () til (3), men denne gang korrigeres i trin (2) med data optaget ved position to. Nar man har vret alle positioner igennem startes forfra. Dette er en iteration. Fordi man pa denne made har ere uafhngige datast som beskriver det samme omrade af objektet rades bod pa det manglende kendskab til fasen i detektorplanet. Eksperimentet Hvorfor virker PIE? Hvor meget overlap er ndvendigt for at sikre konvergens? Hvor vigtigt er det at have prcist kendskab til belysningsfunktionen? Der mangler en del teori for at besvare sadanne sprgsmal. Indtil nu er der kun udfrt et enkelt forsg med rontgenstraling ved Paul Scherer Instituttet i Schweiz [4]. Selvom man ikke lige har sin egen partikelaccelerator til at producere kohrent synchrotronstraling, kan man dog sagtens forske i faserekonstruktionsalgoritmer alligevel. Billederne i 0
6 Gamma 44 gur 3 er lavet med lys fra en almindelig helium-neonlaser og interferensmnstrene er optaget med et CCD-kamera. Objektet blev yttet rundt til 2x2 forskellige positioner, sa en iteration i rekonstruktionen bestod af 44 fouriertransformationer og 44 inverse transformationer. Dette kan gres af en almindelig PC pa under 0 sekunder. Pa gur 5 ses det at metoden konvergerer sa hurtigt at det knapt giver mening at foretage mere end 0 til 00 iterationer. Man kan altsa darligt na at drikke en kop kae pa den tid det tager at danne et brugbart billede. Dette giver forhabninger om at metoden vil kunne bruges til live mikroskopi, hvor man kan scanne store omrader for at nde en lille detalje og tomogra, hvor man danner tredimensionelle billeder ud fra tvrsnit. Amplitude Fase π mm 0 2 mm π Figur 3: Amplitude- og faseprol (fase i radianer) af en uevinge. Billederne er rekonstrueret udfra 44 interferensmnstre ved hjlp af 00 PIE-iterationer. Objektpositionerne dannede et kvadratisk gitter pa 2x2 punkter med 00 m mellem hvert punkt. Blnden havde en diameter pa 300 m: Detektoren dkkede en vinkel pa 70 mrad, hvilket giver en oplsning pa 7 m Konklusion De frste eksperimenter med PIE har vist sig meget lovende. Der er teoretisk set ingen hindring for at opna en rumlig oplsning pa blgelngdeskala. Dette bliver selvflgelig frst rigtig interessant nar det bliver realiseret med rontgenstraling ( 0: nm). Dette forskes der i pa livet ls blandt andet pa csaxs 'coherent small angle scattering beamline' pa Paul Scherer Instituttet som giver ideelle betingelser for
7 Mikroskopi uden brug af linser Gamma 44 Figur 4: Foto af uevingen taget gennem et konventionelt mikroskop. 0.8 Error Iteration number Figur 5: Fejl som funktion af iterationsnummer. Normaliseret til ved frste iteration. Fejlfunktionen er et mal for forskellen mellem fouriertransformationen af billedet og det malte interferensmnster. eksperimenter som krver fuldstndig kohrent straling. Det ultimative mal er at udvikle interferensmikroskopi til et standardvrktj indenfor de biologiske videnskaber til billeddannelse i tre dimensioner med et synsfelt pa 00 mikrometer og oplsning ned til nogle fa nanometer. Litteratur [] J.M. Rodenburg et al., Ultramicroscopy (2006), doi:0.06/j.ultramic [2] H.M.L. Faulkner, and J.M. Rodenburg, Phys. Rev. Lett., 93, / (2004) [3] H.M.L. Faulkner, and J.M. Rodenburg, Ultramicroscopy, 03, 53 (2004) [4] J.M. Rodenburg, A.C. Hurst, A.G. Cullis, B.R. Dobson, F. Pfeier, O. Bunk, C. David, K. Jemovs, and I. Johnson "Hard X-ray lensless imaging of extended objects"submitted to Optics Express (2006) 2
2. juni Solitaire spilles med pinde, der pa gurerne er angivet som sorte pletter. Der
SOLITAIRE 2. juni 2003 Mogens Esrom Larsen Indledning. Solitaire spilles med pinde, der pa gurerne er angivet som sorte pletter. Der kan sta en eller ingen pind i et felt, som pa guren er angivet som et
Læs mereKommentarer til indlg om Aspects forsg Gamma 143 malt tilstanden. Produktionen af skrabelodderne kunne sa ske at man lavede lige mange lodder med hver
Kommentarer til indlg om Aspects forsg Af I forarsnummeret (141) af Gamma bragte vi et lsersprgsmal om Aspects forsg, der besvaredes af Anders Srensen fra Niels Bohr Institutet. Gamma har efterflgende
Læs mereMikroskopet. Sebastian Frische
Mikroskopet Sebastian Frische Okularer (typisk 10x forstørrelse) Objektiver, forstørrer 4x, 10x el. 40x Her placeres objektet (det man vil kigge på) Kondensor, samler lyset på objektet Lampe Oversigt Forstørrelse
Læs mereGamma? Tidsskrift fo r fysik Vinter 2006 Nr. 144 I WANT YOU FOR GAMMA
Gamma Tidsskriftforfysik Vinter2006? Nr.144 I WANT YOU FOR GAMMA Gamma Gammaergrundlagti1971ognansieresafNielsBohrInstitutet.Bladet udkommer4gangeomaretogfasgratisvedhenvendelsetilredaktionen.vi bederdogvorelsereomatafhente
Læs mereExoplaneter. Henrik Brink, Martin Klitte, Kari Gunnarsson. April 4, Vejledere: Johan Fynbo og Anja Andersen
Exoplaneter Henrik Brink, Martin Klitte, Kari Gunnarsson April 4, 2005 Vejledere: Johan Fynbo og Anja Andersen 1 CONTENTS CONTENTS Contents 1 Indledning 3 2 Formal 4 3 Detektion af exoplaneter 4 3.1 Planet
Læs mereSkriftlig eksamen i Databaser, Vinter 2001/2002. Pa opfordring har jeg udarbejdet mulige lsninger pa eksamensopgaverne, men
Roskilde Universitetscenter Skriftlig eksamen i Databaser, Vinter 2001/2002 Opgaver med lsninger Pa opfordring har jeg udarbejdet mulige lsninger pa eksamensopgaverne, men har ikke haft tid til at polere
Læs mereEn sumformel eller to - om interferens
En sumformel eller to - om interferens - fra borgeleo.dk Vi ønsker - af en eller anden grund - at beregne summen og A x = cos(0) + cos(φ) + cos(φ) + + cos ((n 1)φ) A y = sin (0) + sin(φ) + sin(φ) + + sin
Læs mereDigitale periodiske signaler
KAPITEL FEM Digitale periodiske signaler For digitale signaler, som er periodiske, gælder det, at for alle n vil hvor det hele tal er perioden. g(n + ) = g(n), (5.) Af udtrykkene ses det, at periodiske
Læs mereParadokser og opgaver Gamma 142 To kroner stder til to af de tre til samme side, og udenpa dem stder den sidste krone til begge de to. Nu kunne det se
Paradokser og Opgaver Mogens Esrom Larsen () og Silja Heilmann (HE) Vi modtager meget gerne lserbesvarelser af opgaverne, samt forslag til nye opgaver enten per mail (gamma@nbi.dk) eller per almindelig
Læs mereGymnasieøvelse i Skanning Tunnel Mikroskopi (STM)
Gymnasieøvelse i Skanning Tunnel Mikroskopi (STM) Institut for Fysik og Astronomi Aarhus Universitet, Sep 2006. Lars Petersen og Erik Lægsgaard Indledning Denne note skal tjene som en kort introduktion
Læs mereHvis du har vinduer abne fra en tidligere session, sa luk dem ned { vi vil have
Forberedelse: Matlab for absolutte fodgngere Kort introduktion til G-databaren. St dig ved en ledig maskine og gennemfr loginprocessen. Hvis du har vinduer abne fra en tidligere session, sa luk dem ned
Læs mereSkriftlig Eksamen. Datastrukturer og Algoritmer (DM02) Institut for Matematik og Datalogi. Odense Universitet. Torsdag den 6. juni 1996, kl.
Skriftlig Eksamen Datastrktrer og Algoritmer (DM0) Institt for Matematik og Datalogi Odense Universitet Torsdag den 6. jni 1996, kl. 9{13 Alle sdvanlige hjlpemidler (lrebger, notater, etc.) samt brg af
Læs mereIntroduktion til Laplace transformen (Noter skrevet af Nikolaj Hess-Nielsen sidst revideret marts 2013)
Introduktion til Laplace transformen (oter skrevet af ikolaj Hess-ielsen sidst revideret marts 23) Integration handler ikke kun om arealer. Tværtimod er integration basis for mange af de vigtigste værktøjer
Læs mere6 Plasmadiagnostik 6.1 Tætheds- og temperaturmålinger ved Thomsonspredning
49 6 Plasmadiagnostik Plasmadiagnostik er en fællesbetegnelse for de forskellige typer måleudstyr, der benyttes til måling af plasmaers parametre og egenskaber. I fusionseksperimenter er der behov for
Læs mereØvelse i kvantemekanik Måling af Plancks konstant
Øvelse i kvantemekanik Måling af Plancks konstant Tim Jensen og Thomas Jensen 2. oktober 2009 Indhold Formål 2 2 Teoriafsnit 2 3 Forsøgsresultater 4 4 Databehandling 4 5 Fejlkilder 7 6 Konklusion 7 Formål
Læs mere7 QNL 2PYHQGWSURSRUWLRQDOLWHW +27I\VLN. 1 Intro I hvilket af de to glas er der mest plads til vand?: Hvorfor?:
1 Intro I hvilket af de to glas er der mest plads til vand?: Hvorfor?: Angiv de variable: Check din forventning ved at hælde lige store mængder vand i to glas med henholdsvis store og små kugler. Hvor
Læs mereREFLEKTION eller GLANS standarder
Flensbjerg 8 Fax: + 3943 7768 DK-49 Holeby, Lolland Phone : + 3943 7767 export@dansksolenergi.dk VAT id.: DK288323 REFLEKTION eller GLANS standarder Der findes ikke en let måde, at matematisk beregne eller
Læs mereNewton-Raphsons metode
Newton-Raphsons metode af John V. Petersen Indhold Indledning: Numerisk analyse og Newton-Raphsons metode... 2 Udlede Newtons iterations formel... 2 Sætning 1 Newtons metode... 4 Eksempel 1 konvergens...
Læs mereDen menneskelige cochlea
Den menneskelige cochlea Af Leise Borg Leise Borg er netop blevet cand.scient. Artiklen bygger på hendes speciale i biofysik Introduktion Hørelsen er en vigtig sans for mennesket, både for at sikre overlevelse,
Læs mereStudieretningsopgave
Virum Gymnasium Studieretningsopgave Harmoniske svingninger i matematik og fysik Vejledere: Christian Holst Hansen (matematik) og Bodil Dam Heiselberg (fysik) 30-01-2014 Indholdsfortegnelse Indledning...
Læs mereGivet en cirkulr plade med den stationre temperaturfordeling u(r;), hvor u(r;) tilfredsstiller
SKRIFTLIG EKSAMEN I MATEMATIK B-sektorens 7. semester 7. januar 1999 kl..1-1.1 Alle hjlpemidler undtagen symbolske matematik programmer er tilladt OPGAVE 1 Givet en cirkulr plade med den stationre temperaturfordeling
Læs mereSkub udad. Skub udadåskub udad. Skub indad
MR-skanning:Billederfradenforbudte sideafblgelngdegrnsen LarsG.Hanson Af LarsG.HansonarbejdertildagligpaHvidovreHospitaliMR-afdelingen,afsnit 340.Sewww.drcmr.dk Email:larsh@drcmr.dk sesingendetaljer,derermindreendblgelngdenafdetanvendtelys.
Læs mereFysik 2 - Den Harmoniske Oscillator
Fysik 2 - Den Harmoniske Oscillator Esben Bork Hansen, Amanda Larssen, Martin Qvistgaard Christensen, Maria Cavallius 5. januar 2009 Indhold 1 Formål 1 2 Forsøget 2 3 Resultater 3 4 Teori 4 4.1 simpel
Læs mereCitation for published version (APA): Nielsen, P. V. (1988). Notat om SKS-systemet. Aalborg. (Gul serie, Vol. U8806).
Aalborg Universitet Notat om SKS-systemet Nielsen, Peter Vilhelm Publication date: 1988 Document Version Også kaldet Forlagets PDF Link to publication from Aalborg University Citation for published version
Læs mereRøntgenøvelser på SVS
Røntgenøvelser på SVS Øvelsesvejledning Endelig vil du se hvordan radiograferne kan styre kvaliteten af billedet ved hjælp af mængden af stråling og energien af strålingen. Ved CT-scanneren vil du kunne
Læs mereTheory Danish (Denmark)
Q3-1 Large Hadron Collider (10 point) Læs venligst de generelle instruktioner fra den separate konvolut, før du starter på denne opgave. Denne opgave handler om fysikken bag partikelacceleratorer LHC (Large
Læs mereMM501 forelæsningsslides
MM50 forelæsningsslides uge 36, 2009 Produceret af Hans J. Munkholm Nogle talmængder s. 3 N = {, 2, 3, } omtales som de naturlige tal eller de positive heltal. Z = {0, ±, ±2, ±3, } omtales som de hele
Læs mereLYS I FOTONISKE KRYSTALLER 2006/1 29
LYS I FOTONISKE KRYSTALLER OG OPTISKE NANOBOKSE Af Peter Lodahl Hvordan opstår lys? Dette fundamentale spørgsmål har beskæftiget fysikere gennem generationer. Med udviklingen af kvantemekanikken i begyndelsen
Læs mereTALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning.
Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning, oktober 2008, Kirsten Rosenkilde 1 TALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning. Disse noter forudsætter et grundlæggende kendskab til talteori som man kan
Læs mereMatricer og lineære ligningssystemer
Matricer og lineære ligningssystemer Grete Ridder Ebbesen Virum Gymnasium Indhold 1 Matricer 11 Grundlæggende begreber 1 Regning med matricer 3 13 Kvadratiske matricer og determinant 9 14 Invers matrix
Læs mereBremseventiler - hvor skal blenden sidde
Bremseventiler - hvor skal blenden sidde Af Peter Windfeld Rasmussen Bremseventiler anvendes i hydrauliske systemer -som navnet siger- til at bremse og fastholde byrder. Desuden er det med bremseventilen
Læs merei x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0
BAndengradspolynomier Et polynomium er en funktion på formen f ( ) = an + an + a+ a, hvor ai R kaldes polynomiets koefficienter. Graden af et polynomium er lig med den højeste potens af, for hvilket den
Læs mereProjektopgave Observationer af stjerneskælv
Projektopgave Observationer af stjerneskælv Af: Mathias Brønd Christensen (20073504), Kristian Jerslev (20072494), Kristian Mads Egeris Nielsen (20072868) Indhold Formål...3 Teori...3 Hvorfor opstår der
Læs mereParadokser og opgaver Gamma 143 Barneleg { 1 Lille Peter Dummkopf sidder og leger med sine klodser. Han har 9 klodser, og pa dem star tallene fra 1 ti
Paradokser og Opgaver Mogens Esrom Larsen (MEL) Vi modtager meget gerne lserbesvarelser af opgaverne, samt forslag til nye opgaver enten per mail (gamma@nbi.dk) eller per almindelig post (se adresse pa
Læs mereTOMOGRAFIKOGEBOGEN. Elisabeth Ulrikkeholm
TOMOGRAFIKOGEBOGEN Elisabeth Ulrikkeholm 1 Princip og teori Man kan bruge røntgenstråling til at lave en 3-d model af et objekt. Dette kan gøres fordi forskellige materialer absorberer røntgenstråling
Læs mereSTUDENTEREKSAMEN AUGUST 2008 MATEMATIK B-NIVEAU. Onsdag den 13. august 2008. Kl. 09.00 13.00 STX082-MAB
STUDENTEREKSAMEN AUGUST 2008 MATEMATIK B-NIVEAU Onsdag den 13 august 2008 Kl 0900 1300 STX082-MAB Opgavesættet er delt i to dele Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-5 med i alt 5 spørgsmål Delprøven
Læs mereVejledning til indberetningsløsning for statslige aktieselskaber m.v. www.offentlige-selskaber.dk
Vejledning til indberetningsløsning for statslige aktieselskaber m.v. www.offentlige-selskaber.dk 1 Offentlige-selskaber.dk s startside giver direkte adgang til at foretage en indberetning. Som en service
Læs mereKapitel 8. Magnetiske felter - natur, måleenheder m.v. 1 Wb = 1 Tesla = 10.000 Gauss m 2 1 µt (mikrotesla) = 10 mg (miligauss)
Kapitel 8 Magnetiske felter - natur, måleenheder m.v. Natur Enhver leder hvori der løber en strøm vil omgives af et magnetfelt. Størrelsen af magnetfeltet er afhængig af strømmen, der løber i lederen og
Læs mereDIFFERENTIALREGNING Hvorfor er himlen blå?
DIFFERENTIALREGNING Hvorfor er himlen blå? Differentialregning - Rayleigh spredning - oki.wpd INDLEDNING Hvem har ikke betragtet den flotte blå himmel på en klar dag og beundret den? Men hvorfor er himlen
Læs mereCIVILINGENIREKSAMEN Side 1 af 22 sider. Skriftlig prve, den: 21. december 1995 Kursus nr : 0401. (navn) (underskrift) (bord nr)
CIVILINGENIREKSAMEN Side 1 af 22 sider Skriftlig prve, den: 21. december 1995 Kursus nr : 0401 Kursus navn: Statistik 1. Tilladte hjlpemidler: Alle sdvanlige Dette st er besvaret af: (navn) (underskrift)
Læs mereKalkulus 2 - Grænseovergange, Kontinuitet og Følger
Kalkulus - Grænseovergange, Kontinuitet og Følger Mads Friis 8. januar 05 Indhold Grundlæggende uligheder Grænseovergange 3 3 Kontinuitet 9 4 Følger 0 5 Perspektivering 4 Grundlæggende uligheder Sætning
Læs mereImpuls og kinetisk energi
Impuls og kinetisk energi Peter Hoberg, Anton Bundgård, and Peter Kongstad Hold Mix 1 (Dated: 7. oktober 2015) 201405192@post.au.dk 201407987@post.au.dk 201407911@post.au.dk 2 I. INDLEDNING I denne øvelse
Læs mereUNDERVISNINGS MINISTERIET KVALITETS- OG TI LSYNSSTYRELSEN. Maten1atik A. Studenterel<sam.en. Fredag den 22. maj 2015 kl. 9.00-14.
- UNDERVISNINGS MINISTERIET KVALITETS- OG TI LSYNSSTYRELSEN Maten1atik A Studenterel
Læs mereGamma 142 et mere eller mindre kompliceret ligningssystem, hvis udseende afhnger af den konkrete situation: Eksperimentalfysikeren, der tilrettelgger
Inverse problemer - viden ad omveje Af er lektor ved Niels Bohr Institutet, leder af Gruppen for Teoretisk Geofysik og Planetfysik og arbejder til daglig med inverse problemer og geostatistik. Email: klaus@gfy.ku.dk
Læs mereAlgebra. Denition. Signatur: et antal sorter eller typer: (simple eller strukturerede). et antal konstantsymboler med type, og
Algebra Denition. Signatur: et antal sorter eller typer: (simple eller strukturerede). et antal konstantsymboler med type, og en antal operatorsymboler med rang 1 ::: n! hvor 'erne er typer. Eksempel:
Læs mereSkriftlig Eksamen. Datastrukturer og Algoritmer (DM02) Institut for Matematik og Datalogi. Odense Universitet. Onsdag den 18. juni 1997, kl.
Skrftlg Eksamen Datastrukturer og Algortmer (DM02) Insttut for Matematk og Datalog Odense Unverstet Onsdag den 18. jun 1997, kl. 9{13 Alle sdvanlge hjlpemdler (lrebger, notater, etc.) samt brug af lommeregner
Læs mereParadokser og opgaver Gamma 146 Opgave { Kombinatorik Lad p n (k) vre antallet af permutationer af n elementer med netop k xpunkter. Vis formlen Opgav
Paradokser og Opgaver Mogens Esrom Larsen (MEL) Vi modtager meget gerne lserbesvarelser af opgaverne, samt forslag til nye opgaver enten per mail (gamma@nbi.dk) eller per almindelig post (se adresse pa
Læs mereKaotisk kuglebevægelse En dynamisk analyse
Kaotisk kuglebevægelse En dynamisk analyse Ole Witt-Hansen 08 Kaotisk kuglebevægelse Kaotisk bevægelse Kaotiske bevægelser opstår, når bevægelsesligningerne ikke er lineære. Interessen for kaotiske bevægelser
Læs mereDin brugermanual TEXAS INSTRUMENTS TI-84 PLUS http://da.yourpdfguides.com/dref/2175767
Du kan læse anbefalingerne i brugervejledningen, den tekniske guide eller i installationsguiden. Du finder svarene til alle dine spørgsmål i i brugermanualen (information, specifikationer, sikkerhedsråd,
Læs mereLaboratorieøvelse Kvantefysik
Formålet med øvelsen er at studere nogle aspekter af kvantefysik. Øvelse A: Heisenbergs ubestemthedsrelationer En af Heisenbergs ubestemthedsrelationer handler om sted og impuls, nemlig at (1) Der gælder
Læs mereπ er irrationel Frank Nasser 10. december 2011
π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereEksperimentel matematik Kommentarer til tag-med opgaver
Eksperimentel matematik Kommentarer til tag-med opgaver Hypotesedannelse I har alle produceret grafer af typen 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0. 0.2 0.3 0.4 0.5 (de lilla punkter er fundet ved en strenglængde på 35,
Læs mereVEJLEDNING STALFUNDAMENT I I .. I I~~ MODEL 86 MODEL 106 MODEL 108 MODEL 1010 MODEL 1012
VEJLEDNNG o STALFUNDAMENT.. ~~ 717150311 MODEL 86 MODEL 106 MODEL 108 MODEL 1010 MODEL 1012 F0R DE GAR GANG 1. Bliv f0rst og fremmest fortrolig med vejledningen. S~t Dem ind i sokkelkonstruktion og montering.
Læs mereUniversity of Copenhagen. Notat om statistisk inferens Larsen, Martin Vinæs. Publication date: Document Version Peer-review version
university of copenhagen University of Copenhagen Notat om statistisk inferens Larsen, Martin Vinæs Publication date: 2014 Document Version Peer-review version Citation for published version (APA): Larsen,
Læs mereGult Foredrag Om Net
Gult Foredrag Om Net University of Aarhus Århus 8 th March, 2010 Introduktion I: Fra Metriske til Topologiske Rum Et metrisk rum er en mængde udstyret med en afstandsfunktion. Afstandsfunktionen bruges
Læs mereAnalyse af Saltdata. Henrik Spliid
Analyse af Saltdata Henrik Spliid December 1999 0 Analyse af restsalt ved udspredning af fugtsalt og saltlage Page 1 of 12 Indledning Nrvrende rapport beskriver kort resultaterne af en statistisk analyse
Læs mereSkriftlig Eksamen Diskret Matematik (DM528)
Skriftlig Eksamen Diskret Matematik (DM528) Institut for Matematik & Datalogi Syddansk Universitet Tirsdag den 20 Januar 2009, kl. 9 13 Alle sædvanlige hjælpemidler (lærebøger, notater etc.) samt brug
Læs mereBrydningsindeks af luft
Brydningsindeks af luft Øvelsesvejledning til brug i Nanoteket Udarbejdet i Nanoteket, Institut for Fysik, DTU Rettelser sendes til Ole.Trinhammer@fysik.dtu.dk 14. marts 2012 1 Introduktion Alle kender
Læs mereMatematik A. Studentereksamen. Skriftlig prøve (5 timer) Fredag den. december kl... STX MAA LQGG
Matematik A Studentereksamen Skriftlig prøve (5 timer) STX MAA 581710_STX093-MAA.indd 1 LQGG Fredag den. december kl... 03/11/09 10:53:00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består
Læs mereHarmonisk oscillator. Thorbjørn Serritslev Nieslen Erik Warren Tindall
Harmonisk oscillator Thorbjørn Serritslev Nieslen Erik Warren Tindall November 27, 2007 Formål At studere den harmoniske oscillator, som indgår i mange fysiske sammenhænge. Den harmoniske oscillator illustreres
Læs meredmi.dk DANISH METEOROLOGICAL INSTITUTE TECHNICAL REPORT Tidevand ved de danske vandstandsstationer Vibeke Huess Palle Bo Nielsen, Farvandsvsenet
DANISH METEOROLOGICAL INSTITUTE TECHNICAL REPORT 0-1 Tidevand ved de danske vandstandsstationer Vibeke Huess Palle Bo Nielsen, Farvandsvsenet Jacob Woge Nielsen ISSN 0906-897X ISSN 1399-1388 (printed)
Læs mereKvadratiske matricer. enote Kvadratiske matricer
enote enote Kvadratiske matricer I denne enote undersøges grundlæggende egenskaber ved mængden af kvadratiske matricer herunder indførelse af en invers matrix for visse kvadratiske matricer. Det forudsættes,
Læs mereGUX. Matematik Niveau B. Prøveform b
GUX Matematik Niveau B Prøveform b August 014 GUX matematik B august 014 side 0 af 5 Matematik B Prøvens varighed er 4 timer. Delprøven uden hjælpemidler består af opgaverne 1 til 6 med i alt 6 spørgsmål.
Læs mereREFLEKTION eller GLANS standarder
Dansk Solenergi ApS Flensbjerg 8 Phone :+ 3536 7777 DK 49 Holeby, Lolland REFLEKTION eller GLANS standarder Der findes ikke en let måde, at matematisk beregne eller beskrive på fyldestgørende måde problematikken
Læs mereH-certifikat. Retningslinjer ved erhvervelse af H-certifikat. Formål. Udførelse. Nervøsitet. Radio
Retningslinjer ved erhvervelse af H-certifikat Formål H-certifikatets formål er at vise at en given pilot, som er indehaver af et sådant certifikat, på tilfredsstillende måde har bevist at han er i stand
Læs mereInstitut for Matematiske Fag Matematisk Modellering 1 UGESEDDEL 6
Institut for Matematiske Fag Matematisk Modellering 1 Aarhus Universitet Eva B. Vedel Jensen 25. februar 2008 UGESEDDEL 6 Forelæsningerne torsdag den 21. februar og tirsdag den 26. februar. Jeg har gennemgået
Læs mereNummeriske Metoder. 1 Indledning. 2 Davidson metoden. Bo Thomsen, juni 2009
Nummeriske Metoder Bo Thomsen, 20050885 25. juni 2009 1 Indledning I denne opgave søges løsninger på et relativt stort egenværdiproblem. I mit tilfælde er dette fremkommet ved at konstruere hamilton matricen
Læs mereHøjere Teknisk Eksamen maj 2008. Matematik A. Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING. Undervisningsministeriet
Højere Teknisk Eksamen maj 2008 HTX081-MAA Matematik A Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING Undervisningsministeriet Fra onsdag den 28. maj til torsdag den 29. maj 2008 Forord
Læs mereOpgaver i solens indstråling
Opgaver i solens indstråling I nedenstående opgaver skal vi kigge på nogle aspekter af Solens indstråling på Jorden. Solarkonstanten I 0 = 1373 W m angiver effekten af solindstrålingen på en flade med
Læs mereKonceptbeskrivelse. Generelt om DokkAArs
Konceptbeskrivelse DokkAArs er et koncept, der skaber værdi for Dokk1 gennem hovedsagligt brugergenereret indhold. DokkAArs er derved let at vedligeholde, forudsat at konceptet er teknisk etableret og
Læs mereAnalyse af måledata I
Analyse af måledata I Faldforsøg undersøgt med LoggerPro Af Michael Brix Pedersen, Birkerød Gymnasium I fysik skal eleverne lære at behandle og repræsentere måledata, som enten er indsamlet ved manuelle
Læs mereDanmarks Tekniske Universitet
Danmarks Tekniske Universitet Side 1 af 11 sider Skriftlig prøve, lørdag den 12. december, 2015 Kursus navn Fysik 1 Kursus nr. 10916 Varighed: 4 timer Tilladte hjælpemidler: Alle hjælpemidler tilladt "Vægtning":
Læs mereHarmoniske Svingninger
Harmoniske Svingninger Frank Villa 16. marts 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereØvelse 10. Tobias Markeprand. 11. november 2008
Øvelse 10 Tobias Markeprand 11. november 2008 Kapitel 10 i Blanchard omhandler vækst, dvs. økonomien på det lange sigt. For at kunne foretage analyser af vækst og dets årsager må man kunne sammenligne
Læs mereGammaspektrum med multikanalanalysatoren
Fysikøvelse - Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk 1 Gammaspektrum med multikanalanalysatoren Formål Formålet med øvelsen er at identificere et ukendt radioaktivt stof, som udsender gammastråling. Dette
Læs mereIterativ beregning af Rodapproximationer.
Iterativ beregning af Rodapproximationer. Jacob Nielsen I det følgende forklares med udgangspunkt i binomialformlen algoritmer til beregning af approxomationer til kvadratrødder og kubikrødder. Grund ideen
Læs mereVUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: Projekt Trigonometri
VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: 333247 2015 Anders Jørgensen, Mark Kddafi, David Jensen, Kourosh Abady og Nikolaj Eriksen 1. Indledning I dette projekt, vil man kunne se definitioner
Læs mereDet Teknisk-Naturvidenskabelige Basisår Computerstøttet Beregning Naturvidenskab - Datalogi/Software/Matematik E-OPG 3
Det Teknisk-Naturvidenskabelige Basisår 2003-2004 Computerstøttet Beregning Naturvidenskab - Datalogi/Software/Matematik 1 Introduktion E-OPG 3 Dette er den tredje store opgave, som skal danne grundlag
Læs mereArbejde med 3D track motion
Arbejde med 3D track motion Gary Rebholz I sidste måneds Tech Tip artikel gennemgik jeg det grundlæggende i track motion. Selv om vi ikke gennemgår alle værktøjer i Track Motion dialog box vil du alligevel
Læs mereMatematik for økonomer 3. semester
Matematik for økonomer 3. semester cand.oecon. studiet, 3. semester Planchesæt 2 - Forelæsning 3 Esben Høg Aalborg Universitet 10. september 2009 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Esben
Læs mereMåling af spor-afstand på cd med en lineal
Måling af spor-afstand på cd med en lineal Søren Hindsholm 003x Formål og Teori En cd er opbygget af tre lag. Basis er et tykkere lag af et gennemsigtigt materiale, oven på det er der et tyndt lag der
Læs mereHvorfor bevæger lyset sig langsommere i fx glas og vand end i det tomme rum?
Hvorfor bevæger lyset sig langsommere i fx glas og vand end i det tomme rum? - om fysikken bag til brydningsindekset Artiklen er udarbejdet/oversat ud fra især ref. 1 - fra borgeleo.dk Det korte svar:
Læs mereEt udtryk på formena n kaldes en potens med grundtal a og eksponent n. Vi vil kun betragte potenser hvor grundtallet er positivt, altså a>0.
Konkrete funktioner Potenser Som udgangspunkt er brugen af potenser blot en forkortelse for at gange et tal med sig selv et antal gange. Hvis a Rskriver vi a 2 for a a a 3 for a a a a 4 for a a a a (1).
Læs mere03-10-2012 side 1. Billeddannelsen. Anne Sofie Nielsen. UDDANNELSER I UDVIKLING www.ucl.dk
03-10-2012 side 1 Billeddannelsen Anne Sofie Nielsen 03-10-2012 side 2 Dataopsamling (Data acquisition) Slice by sice (sekventiel) Volumen (Helical eller spiral) 03-10-2012 side 3 Seeram 03-10-2012 side
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 13
Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 3 Morten Grud Rasmussen 3. november 206 Numerisk metode til Laplace- og Poisson-ligningerne. Finite difference-formulering af problemet I det følgende
Læs mereHvad er det for nogle tal?
Hvad er det for nogle tal? Ak ja tal er mærkelige og svære at arbejde med. I det følgende er en god portion matematik gemt, men jeg forsøger at formulere det sprogligt uden dog at love, at det bliver lysende
Læs mereProjekt 4.6 Løsning af differentialligninger ved separation af de variable
Projekt 4.6 Løsning af differentialligninger ved separation af de variable Differentialligninger af tpen d hx () hvor hx ()er en kontinuert funktion, er som nævnt blot et stamfunktionsproblem. De løses
Læs mereKursusgang 3 Matrixalgebra fortsat
Kursusgang 3 fortsat - froberg@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ froberg/oecon3 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 12. september 2008 1/31 Nødvendige betingelser En nødvendig betingelse
Læs mereResonans 'modes' på en streng
Resonans 'modes' på en streng Indhold Elektrodynamik Lab 2 Rapport Fysik 6, EL Bo Frederiksen (bo@fys.ku.dk) Stanislav V. Landa (stas@fys.ku.dk) John Niclasen (niclasen@fys.ku.dk) 1. Formål 2. Teori 3.
Læs merePendulbevægelse. Måling af svingningstid: Jacob Nielsen 1
Pendulbevægelse Jacob Nielsen 1 Figuren viser svingningstiden af et pendul i sekunder som funktion af udsvinget i grader. For udsving mindre end 20 grader er svingningstiden med god tilnærmelse konstant.
Læs mereAnalyse 1. Mads Friis Anders Friis Anne Ryelund. 25. maj 2018
Analyse 1 Mads Friis Anders Friis Anne Ryelund 25. maj 2018 Indhold Introduktion Aksiomer og den matematiske metode Formalistisk struktur Mængder Introduktion Definitioner Delmængder Fællesmængde og foreningsmængde
Læs mere3.600 kg og den gennemsnitlige fødselsvægt kg i stikprøven.
PhD-kursus i Basal Biostatistik, efterår 2006 Dag 1, onsdag den 6. september 2006 Eksempel: Sammenhæng mellem moderens alder og fødselsvægt I dag: Introduktion til statistik gennem analyse af en stikprøve
Læs mereArbejdsopgaver i emnet bølger
Arbejdsopgaver i emnet bølger I nedenstående opgaver kan det oplyses, at lydens hastighed er 340 m/s og lysets hastighed er 3,0 10 m/s 8. Opgave 1 a) Beskriv med ord, hvad bølgelængde og frekvens fortæller
Læs mereKvadratisk regression
Kvadratisk regression Helle Sørensen Institut for Matematiske Fag Københavns Universitet Juli 2011 I kapitlet om lineær regression blev det vist hvordan man kan modellere en lineær sammenhæng mellem to
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 16
Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 16 Morten Grud Rasmussen 6. november, 2013 1 Interpolation [Bogens afsnit 19.3 side 805] 1.1 Interpolationspolynomier Enhver kontinuert funktion f på
Læs mereKort gennemgang af Samfundsfaglig-, Naturvidenskabeligog
Kort gennemgang af Samfundsfaglig-, Naturvidenskabeligog Humanistisk metode Vejledning på Kalundborg Gymnasium & HF Samfundsfaglig metode Indenfor det samfundsvidenskabelige område arbejdes der med mange
Læs mereAstronomernes værktøj
Astronomernes værktøj Teleskoper Spejlkikkerter Refraktorer Kikkertens fordele Den samler lys ind på et stort overfladeareal i forhold til øjet. Den kan opløse små detaljer bedre end øjet kan gøre. Den
Læs mereDavid Kallestrup, Aarhus School of Engineering, SRP-forløb ved Maskinteknisk retning 1
1 Pendul David Kallestrup, Aarhus School of Engineering, SRP-forløb ved Maskinteknisk retning 1 1.1 Hvad er et pendul? En matematiker og en ingeniør ser tit ens på mange ting, men ofte er der forskelle
Læs mere