Gamma 142 et mere eller mindre kompliceret ligningssystem, hvis udseende afhnger af den konkrete situation: Eksperimentalfysikeren, der tilrettelgger

Transkript

1 Inverse problemer - viden ad omveje Af er lektor ved Niels Bohr Institutet, leder af Gruppen for Teoretisk Geofysik og Planetfysik og arbejder til daglig med inverse problemer og geostatistik. klaus@gfy.ku.dk Den omvendte verden De frreste tnker pa, at de fysiske love er formuleret baglns! Tag for eksempel Maxwells ligninger: Hvis vi forestiller os, at vi kender ladningsfordelingen og de elektriske strmme i Jorden og det omliggende rum, sa ville disse ligninger tillade en beregning af det elektromagnetiske felt ved en satellit, der svver i 500 km's hjde. Men det problem stder vi kun pa ved eksamensbordet! I virkeligheden har vi kun malingerne ved satellitten, og de nvnte strmme og ladninger er jo netop de ukendte "strukturer", som vi nsker at beregne. Et andet eksempel er mrkt stof i universet. Einsteins generelle relativitetsteori tillader os at beregne, hvordan billedet af en galakse ville se ud, hvis lyset pa sin vej fra galaksen og ned til os blev afbjet i et tyngdefelt, frembragt af en fordeling af mrkt stof imellem galaksen og iagttageren. Men den problemstilling er jo helt hypotetisk: Vi nsker jo netop at beregne den ukendte fordeling af mrkt stof ud fra billedet af galaksen! Denne type problemer mder vi igen og igen, og de kaldes inverse problemer. De bestar i at beregne de ukendte struktur-parametre ud fra indsamlede observationer eller maledata. Beregningen bestar oftest i at lse 32

2 Gamma 142 et mere eller mindre kompliceret ligningssystem, hvis udseende afhnger af den konkrete situation: Eksperimentalfysikeren, der tilrettelgger sit laboratorieforsg, tilstrber netop at ligningerne bliver nemme at lse (helst trivielle), og at lsningen er uflsom over for stj (selvom eksperimentalister nppe tnker pa det pa den made!). I nogle grene af de fysiske videnskaber - for eksempel astronomi og geofysik - er det vanskeligt at tilrettelgge sine eksperimenter: Det er vanskeligt at ytte pa galaksen bag ved det mrke stof, saledes at man far en bedre stralegang for det afbjede lys! Og man har sjldent mulighed for at fa udlst et jordsklv pa netop den lokalitet pa jorden, der giver de bedste seismiske blger til studiet af Jordens indre struktur! Resultatet af denne afmgtighed er ofte, at det inverse problem bliver svrt at lse. De ligninger, man kommer frem til, har ofte alle de patologier, man kan tnke sig. Lad os se pa nogle af de vrste skavanker sadant et ligningssystem kan have: Ikke-linearitet Inverse problemer er ofte ikke-linere, dvs de kan ikke lses ved hjlp af linere ligningssystemer. Tager vi for eksempel blgeligningerne for de elektromagnetiske vektor- og skalarpotentialer, sa tillader de en beregning af det elektromagnetiske stralingsfelt ud fra kendte ladnings- og strmttheder. Selvom disse ligninger er pne og linere (i lsningsfunktionerne), sa er sammenhngen mellem stralingsfeltet og ladningsog strmtthederne ganske uliner! Eksplosiv forstrkning af stj Dette fnomen er i familie med deterministisk kaos, hvor en lille ndring af begyndelsesbetingelserne for et dynamisk system frembringer en stor ndring i sluttilstanden. Mange inverse problemer har den uheldige egenskab, at selv den mindste stj pa data giver anledning til en stor fejl pa de beregnede modelparametre. Fnomenet er desvrre ikke kun begrnset til ikke-linere inverse problemer, men ses ogsa ofte i linere problemer. 33

3 Inverse problemer - viden ad omveje Gamma 142 Underbestemthed Dette problem er interessant, fordi det har erkendelsesteoretiske konsekvenser. Det opstar, nar antallet af ubekendte modelparametre overstiger antallet af maledata. Iflge et ikke-trivielt resultat af Brouwer fra omkring 1910 (se Brouwer, 1976) betyder dette, at nar sammenhngen mellem modelparametre og data er kontinuert, har problemet uendeligt mange lsninger. Denne underbestemthed er tilstede i nsten alle inverse problemer. Datamngden er altid endelig, mens et fuldstndigt system af modelparametre ofte er uendeligt. Tnk pa et digitalt billede af en fjern planet. Her bestar data af lysintensiteten for et antal farver i et stort antal pixels. Ud fra dette begrnsede datast vil vi gerne bestemme et billede af planetens overade. Et sadant billede bestar principielt af en funktion af 3 variable, nemlig intensiteten som funktion af to geograske koordinater og af lysfrekvensen. En sadan funktion kan naturligvis ikke reprsenteres af et endeligt talst, sa derfor er underbestemtheden en realitet. Men hvad er sa konsekvenserne af denne almindeligt forekommende underbestemthed? Dette vigtige sprgsmal vil vi forsge at belyse i det flgende. Historien om trommeskindet Matematikerne David Webb og Carolyn Gordon fra Washington University og Scott Wolpert fra University of Maryland arbejdede omkring 1990 pa et bermt ikke-linert inverst problem, nemlig det problem der bestar i at bestemme randen af et (ikke ndvendigvis cirkulrt!) trommeskind, alene ud fra de diskrete frekvenser i dets lydspektrum. Sprgsmalet blev diskuteret i 1966 af Marc Kac i en artikel med titlen "Can one hear the shape of a drum?", men siden da var ingen kommet nrmere pa svaret trods ihrdige anstrengelser. Pudsigt nok havde John Milnor fra Princeton allerede i 1964 bevist, at formen af visse typer af 16-dimensionale trommeskind ikke kunne bestemmes ud fra spektret (!), men hans bevismetode kunne ikke umiddelbart overfres til det 2-dimensionale, planare trommeskind. 34

4 Gamma 142 I 1991 lykkedes det imidlertid Webb, Gordon og Wolpert at demonstrere, at det ikke er muligt at bestemme formen af et trommeskind alene ud fra de diskrete frekvenser i dets lydspektrum. Lad os se nrmere pa problemet: Hvis u er den lodrette forskydning af membranen af et almindeligt, 2-dimensionalt, planart trommeskind fra dets hvilestilling, sa opfylder u blgeligningen med randbetingelsen r 2 u 2 i omradet (1) u = 0 pa (2) Hvis vi nu sger en lsning, der har formen u(x; y; t) = (t)(x; y), sa far vi (efter nogle regnerier) at og med randbetingelsen u(x; y; t) = sin( p t)(x; y) (3) r 2 + = 0 i omradet (4) = 0 pa (5) Dette er et sakaldt egenvrdiproblem, som kun har en lsning for visse vrdier af, de sakaldte egenvrdier. Dette blev demonstreret af Hilbert i 1909 og (i en mere generel form) af von Neumann i Gordon, Webb og Wolperts bevis for, at ere trommer kan have samme egenfrekvenser er konstruktivt, idet de fremviser eksempler pa par af trommeskind med identiske egenfrekvenser. Figur 1 viser deres maske kendteste trommest. Vi springer de este matematiske teknikaliteter over og gengiver her kun essensen af beviset (se Figur 2): Betragt frst en egenfunktion u hrende til en bestemt frekvens for (a). Denne egenfunktion er altsa dierentiabel 2 gange med hensyn til x og y 35

5 Inverse problemer - viden ad omveje Gamma 142 Figur 1: To trommeskind med de samme egenfrekvenser. Trommeskindene er begge sammensat af 7 identiske, ligebenede trekanter. Figur 2: Samme trommeskind som i Figur 1, men med angivelse af, hvordan en egenfunktion (udsving for en bestemt frekvens) i det hjre trommeskind (b) sammensttes af "udklip"af en egenfunktion for det venstre trommeskind (a). Se teksten. 36

6 Gamma 142 inde i trommeskindets omrade, og den tilfredsstiller ligning (4). Pa randen er den selvsagt ikke dierentiabel, men den tilfredstiller "tilspndingsbetingelsen", ligning (5). Vi vil nu betragte u i 7 ens, ligebenede trekanter: Lad os kalde disse "bidder"af u for A; B; C; D; E; F og G. Det er klart, at disse 7 funktioner er ikke dierentiable pa randen af deres trekantede denitionsomrader, og at de ikke ndvendigvis tilfredstiller "tilspndingsbetingelsen"pa denne rand. Hvis vi nu vender blikket mod trommen (b) til hjre i Figur 2, er det nu ideen at "komponere"en egenfunktion for denne tromme, for den betragtede frekvens, ved hjlp af bidderne A; : : : ; G. Hvis vi summerer disse bidder opstar der nye lsninger til ligning (4) i den pagldende trekant - ja, vi kan endog skifte fortegn eller "spejlvende"bidderne omkring trekantens symmetriakse (markeret med en streg over biddens navn). Stadig har vi en lsning i den pagldende trekant. Dette er gjort i Figur 2b i hver af de 7 trekanter. Det ganske srlige ved kompositionen i Figur 2b er, at den opstaede funktion er ikke blot er en egenfunktion inde i hver af de 7 trekanter, men i hele trommeskindets omrade! Den ihrdige lser kan selv forsikre sig om, at den samlede funktion faktisk er 2 gange dierentiabel, ogsa pa randene mellem trekanterne. Desuden tilfredsstiller den tilspndingsbetingelsen pa randen af hele den nye tromme. Vi har med andre ord i Figur 2 at gre med en ny tromme med njagtig samme egenfrekvenser som trommen i Figur 1. Beskedne lsninger til inverse problemer Den ertydige lsning til trommeproblemet bunder formodentlig i, at vi, ud fra en tllelig uendelighed af frekvenser, sger at bestemme en kurve i planen, som ikke kan beskrives af en tllelig uendelighed af parametre. Lst sagt er der ere forskellige kurver i planen, end der er diskrete spektrer. Vores gradighed er altsa blevet straet med ertydige lsninger. Derfor er det nrliggende at skrue ned for ambitionsniveauet og lede efter "et mindre antal middelegenskaber"for lsningen i stedet for den fulde lsning. Sadanne middelegenskaber kunne for trommen for eksempel vre lngden af randen (et reelt tal, der jo netop kan reprsenteres 37

7 Inverse problemer - viden ad omveje Gamma 142 Figur 3: Seismografstationer pa Manens overade. af en tlleligt uendelig rkke af tal) eller arealet af trommeskindet. Det viser sig faktisk, at begge disse egenskaber kan bestemmes entydigt af egenfrekvenserne! (hhv. Ake Pleijel (1954), Herman Weyl (1946)). Mark Kac (1966) demonstrerede endog for polygon-formede trommeskind, at antallet af huller i trommeskindet (altsa nar randen bestar af ere lukkede kurver) ogsa kan bestemmes entydigt! At bestemme et mindre antal middelegenskaber for lsningen i stedet for den fulde lsning er en standardmetode til bekmpelse af ertydighed i inverse problemer. Lad os se nrmere pa, hvordan denne metode bruges til lsning af et inverst problem, der opstar i forbindelse med studiet af Manens indre struktur (Khan, Mosegaard og Rasmussen, 2000). Manens indre struktur kan studeres ved at analysere de bevgelser (rystelser) pa maneoveraden, der frembringes "manesklv". Disse manesklv 38

8 Gamma 142 Figur 4: Manesklv, registreret 14. november 1976 klokken ca ved Apollo 16s landingssted. Fra oven: nord-syd-, st-vest- og vertikalbevgelsen. skyldes frst og fremmest meteoritnedslag og spndinger, frembragt af Jordens og Solens tyngdetiltrkning (tidefeltet), der udlses fra tid til anden. Under Apolloprojektet sidst i 60erne og frst i 70erne opstilledes seismografer pa Manens overade (se Figur 3), og her registreredes manesklv i en lang arrkke. Figur 4 viser et sadant manesklv, registreret 14. november 1976 klokken ca ved Apollo 16s landingssted. Den verste registrering er nord-syd-bevgelsen, den midterste er st-vest-bevgelsen, og seismogrammet nederst er den vertikale bevgelse. For at simplicere beregningerne er kun frsteankomsttiderne brugt som data (angivet med pile i Figur 4). Lsninger til dette inverse problem er seismiske blgeudbredelseshastigheder i Manens indre. Figur 5 viser resultatet af beregningerne, hvor v P er trykblgehastigheden og v S er hastigheden for shearblger ("vridningsblger"). 39

9 Inverse problemer - viden ad omveje Gamma 142 Figur 5: Mulige lsninger til manesklvsproblemet. v P er trykblgehastigheden fom funktion af dybden. v S er shearblgehastigheden fom funktion af dybden. Dette problem har meget tilflles med det ovenfor diskuterede trommeproblem. Vi har her at gre med en 3-dimensional "membran"og et diskret (med dog endeligt!) datast. Denne gang skal vi ikke bestemme randens form, men i stedet nde de elastiske egenskaber af membranens indre. En fuldstndig beskrivelse af disse egenskaber ville krve to funktioner af 3 rumlige variable, men hvis vi stilede efter en sa detaljeret model, ville vi lbe ind i det Brouwerske ertydighedsproblem. Vi har nu i praksis to former for medicin, vi kan tage mod ertydigheden. Den bedste er at forsge at beskrive hele familien af mulige lsninger. Dette er muligt for linere inverse problemer, men vanskeligt for ikke-linere problemer som dette. En anden og mere udbredt metode er at udvise strre beskedenhed med hensyn til, hvad der kan beregnes fra data. Dette er illustreret i Figur 5. Det frste vi lgger mrke til i denne gur er, at lsningen ikke er en funktion af de 3 rumlige koordinater, men kun af dybden. Der er 40

10 Gamma 142 med andre ord midlet over de geograske koordinater, sa resultatet er en middel-lsning i hver dybde. Endvidere lgger vi mrke til prikkerne pa kurverne. Disse prikker betyder, at der ogsa er sket en midling i dybden. Hver prik angiver nemlig den beregnede middelhastighed over et vist dybdeinterval med centrum i prikken. Alt i alt er der tale om en simplicering af hastighedsmodellen, sa den gar fra at vre reprsenteret af 2 funktioner af 3 rumlige variable, til at vre reprsenteret af et endeligt talst med frre tal end i data. Pa denne made er ertydigheden blevet elimineret. Tabte horisonter "En mand strander i en afsides beliggende bjergby, hvor alle indbyggerne er fdt blinde. Han forsger at fortlle dem om verden udenfor, men de tror, at han er vanvittig. Efter nogen tid bliver indbyggerne overbevist om, at hans vanvid skyldes hans jne, og en nat stikker de hans jne ud. Denne uhyggelige historie fortller maske noget om konsekvenserne af manglende data! Eksemplerne ovenfor med trommeskindet og Manen viser os, at data i almindelighed kun tillader os at bestemme visse sider (for eksempel middelegenskaber) af virkelighedens strukturer. Dette resulterer i simplicerede, grove, eller udtvrede billeder af virkeligheden, og er en konsekvens af den "Brouwerske ertydighed". Vi ma, i modstning til de blinde landsbybeboere, leve med, at der eksisterer visse sider af naturen, der forbliver "usynlige", salnge data ikke er tilstrkkelige. Kun ere (uafhngige) data kan lse problemet, men her kan man lbe ind i en ny, maske uoverstigelig, vanskelighed. Nyere undersgelser tyder pa, at der til lsning af visse inverse problemer krves en regnetid, der vokser eksponentielt med antallet af ubekendte modelparametre. Hvis dette viser sig at vre sandt, vil der i visse tilflde vre en principiel grnse for, hvilken erkendelse om naturen vi kan opna. Hvad der ligger uden for denne grnse vil for altid vre skjult. 41

11 Inverse problemer - viden ad omveje Gamma 142 Litteratur [1] Brouwer, L.E.J., 1976, Collected Works 2. Geometry, Analysis, Topology and Mechanics, H. Freudenthal (ed.), Amsterdam: North-Holland. [2] Gordon, C., Webb, D., and Wolpert, S. "One cannot hear the shape of a drum." Bull. Amer. Math. Soc., 27: , [3] Kac, M., "Can one hear the shape of a drum?" Amer. Math. Monthly, 73, [4] Khan, A., Mosegaard, K., and Rasmussen, K.L. A new seismic velocity model for the Moon from a Monte Carlo inversion of the Apollo Lunar seismic data: Geophysical Research Letters, 27, No. 11 (June 1), pp , [5] Milnor, J., "Eigenvalues of the Laplace Operator on certain manifolds."proc. Natl. Acad. Sci. USA., 51(4): 542, [6] Pleijel, A. "A study of certain Green's functions with applications in the theory of vibrating membranes". Ark. Mat , [7] Weyl, H. "The Classical Groups", Princeton University Press, Princeton