Histogrammetoden For (x i, y i ) R 2, i = 1,..., n, ser vi på den gennemsnitlige. Histogrammetoden. Histogrammetoden.

Transkript

1 For ( i, y i ) R 2, i =,, n, ser vi på den gennemsnitlige længde: z = n hvor z i = i 2 + yi 2 Indfør tabellen samt vægtene Da er z i = n 2 i + y 2 i a k = #{i 00z i = k}, k N 0 z ned := ν k = a k n 00kν k z z ned + 00 Slide /23 Niels Richard Hansen MI forelæsninger 27 November, 203 Heltallet a k er antallet af punkter med længde z i I k := [00k, 00k + 00) Approksimationen af z fås ved at samle led i summen n z i med z i I k, og bruge at Hvorved z i [00kν k, 00kν k + 00ν k ) n i I k z = n Slide 2/23 Niels Richard Hansen MI forelæsninger 27 November, 203 i I k z i [z ned, z ned + 00] y y Fordelingen af datapunkter, og histogram af værdierne 00z i /00 Fordelingen af datapunkter, og histogram af værdierne 5z i /5 Slide 3/23 Niels Richard Hansen MI forelæsninger 27 November, 203 Slide 3/23 Niels Richard Hansen MI forelæsninger 27 November, 203

2 Metoden udvides let til gennemsnit af funktioner af længden: g = n g(z i ) Hvis g er en voksende lipschitzfunktion med lipschitzkonstant C er g ned := Praktisk nytte: g(00k)ν k g g ned + C00 Komprimering (med tab) af store datamængder, og efterfølgende effektiv beregning (approksimation) af g for forskellige valg af g udnytter blot elementære regneregler for de reelle tal Slide 4/23 Niels Richard Hansen MI forelæsninger 27 November, 203 som en transformation Vi knytter histogrammetoden til integrationsteorien på følgende måde: Lad µ være et sandsynlighedsmål på (R 2, B 2 ) og lad punkterne ( i, y i ) være fordelt efter µ, som her konkret betyder at ( ν k µ {(, y) R 2 ) 2 + y 2 I k } () Med t : R 2 [0, ) givet ved og g : [0, ) R voksende er g t dµ t(, y) = 2 + y 2 g(00k)µ(t (I k )) g(00k)ν k = g ned ved approksimation med en simpel funktion og ved () Slide 5/23 Niels Richard Hansen MI forelæsninger 27 November, 203 og lebesgueintegralet blander i sin konkrete form riemann- og lebesgueintegralerne sammen: g ned approksimerer kun g t dµ hvis g er pæn (kontinuert) Den abstrakte ide er sund: g t dµ kan udregnes ved at overføre integrationsmålet µ til billedrummet af t Den resulterende abstrakte integraltransformationssætning (EH 08 og 09) for integraler svarer til den elementære sumidentitet g t( i, y i ) = i I k g(z i ) }{{} g(00k)a k Billedmål Lad (X, E, µ) være et målrum, (Y, K) et målbart rum, og t : X Y E K-målelig Let (X, E,µ) be a measurable space Definition Image measures Let (Y, K) be a measurable, and let t : X Y be E-K-measurable Billemålet t(µ) er målet på (Y, K) givet vet Definition: The image measure t(µ)(b) = µ ( t(µ) is t (B) ) the measure on (Y, K), whichis given by for alle B K t(µ)(b) =µ ( t (B) ) for all B K t Y X t (B) B Slide 6/23 Niels Richard Hansen MI forelæsninger 27 November, 203 Slide 7/23 Niels Richard Hansen MI forelæsninger 27 November, 203 p9/32

3 Billedmålet er et mål Totale masse af billedmål Lemma Billemålet t(µ) er et mål på (Y, K) Bevis: Per definition har vi t(µ)(a) = µ(t (A)) [0, ], og t(µ)( ) = µ ( t ( ) ) = µ ( ) = 0 Hvis B, B 2, er disjunkte K-mængder t (B i ) t (B j ) = t (B i B j ) = t ( ) =, og derfor gælder ( ) ( ( )) ( ) t(µ) B n = µ t B n = µ t (B n ) = µ ( t (B n ) ) = Slide 8/23 Niels Richard Hansen MI forelæsninger 27 November, 203 t(µ)(b n ) Observation: t(µ)(y) = µ ( t (Y) ) = µ(x ) Korollar Hvis µ er et sandsynlighedsmål, er t(µ) et sandsynlighedsmål Sandsynlighedsteori er essentielt en teori om billedmål givet et sandsynlighedsmål µ (en model på X ), og en afbindling t (en observabel med værdier i Y), hvad er t(µ)? Slide 9/23 Niels Richard Hansen MI forelæsninger 27 November, 203 Integraltransformation for M + Sætning Lad t : X Y være målelig og lad µ være et mål på X Så gælder g dt(µ) = g t dµ for alle g M + (Y, K) Bevis: Strategi: Vis formlen for ) indikatorfunktioner 2) simple funktioner Integraltransformation for L Sætning Lad t : X Y være målelig og lad µ være et mål på X En funktion g M(Y, K) er integrabel mht t(µ) hvis og kun hvis g t dµ < I så fald er g dt(µ) = g t dµ 3) M + -funktioner Punkt 3) vises fra 2) via monoton konvergens Slide 0/23 Niels Richard Hansen MI forelæsninger 27 November, 203 Slide /23 Niels Richard Hansen MI forelæsninger 27 November, 203

4 Diskret integration Lad X være tællelig og τ tællemålet For en afbildning t : X Y vil vi gerne udregne g t dτ = g(t()) for g en positiv funktion Observer at ν(y) := t(τ)({y}) = τ(t ({y})) = #t ({y}) Dvs integraltransformationssætningen giver g(t()) = g(y)ν(y) y Eksempel Betragt transformationen t : {0, } n {0,,, n} defineret ved t(,, n ) = i Med τ tællemålet på {0, } n finder vi for m = 0,,, n at ( ) n t(τ)({m}) = t n! ({m} = = m m!(n m)! Dvs her har vi løst det kombinatoriske problem og fundet vægtene ( ) n ν(m) = m Beregning af vægtene ν(y) er et kombinatorisk problem Slide 2/23 Niels Richard Hansen MI forelæsninger 27 November, 203 Slide 3/23 Niels Richard Hansen MI forelæsninger 27 November, 203 Translationer i R k Definition (EH 00) Translationen med w R k er afbildningen τ w : R k R k defineret ved τ w () = + w for R k, Definition Et mål µ på (R k, B k ) er translationsinvariant hvis τ w (µ) = µ Slide 4/23 Niels Richard Hansen MI forelæsninger 27 November, 203 for alle w R k Lebesguemålet Sætning (EH 0, 03) Et mål µ på (R k, B k ), som er begrænset på begrænsede mængder, er translationsinvariant hvis og kun hvis for en konstant c 0 µ = cm k Hvis-delen bevises ved at observere at m k er translationsinvariant på åbne kasser Det er pga entydighed nok Kun-hvis-delen er lidt vanskeligere EH og Schilling giver elementære beviser ved brug af halvlukkede kasser med rationale endepunkter Beviserne benytter på afgørende måde de rationale tals egenskaber som en delmængde af R Jeg vil give et alternativt bevis, som er en anvendelse af Tonelli, og som kun benytter at (R k, +) er en gruppe Slide 5/23 Niels Richard Hansen MI forelæsninger 27 November, 203

5 Translationinvarians og lebesguemålet Translation og integration Bevis: Fiks B B k begrænset med m k (B) > 0 og A B k Observer at B (y) A ( + y) og B (y ) A (y) er i M + (R k R k, B k B k ) Bruger vi nu Tonellis sætning to gange for µ m k, samt translationsinvariansen af µ og m k, fås m k (B)µ(A) = B A dµdm k = B (y) A ( + y)dµ()dm k (y) = B (y) A ( + y)dm k (y)dµ() = B (y ) A (y)dm k (y)dµ() = A (y) B (y )dµ()dm k (y) = A (y) B ( )dµ()dm k (y) = µ( B)m k (A) Eksempel: Hvis f M + (R k ) og hvis f L(R k, µ) så gælder generelt f ( + w)dµ() = f τ w ()dµ() = f ()dτ w (µ)() og specielt for lebesguemålet f ( + w)d = f ()d for all w R k hvor B = { R k B} Resultatet følger med c = µ( B)/m k (B) Slide 6/23 Niels Richard Hansen MI forelæsninger 27 November, 203 Slide 7/23 Niels Richard Hansen MI forelæsninger 27 November, 203 Affine transformationer Hvis s() = A + w for w R k og A en invertibel k k matri er s (y) = A (y w) Dermed er g = g s s, og ved integraltransformationssætningen g() d = g s s dm k = g s ds(m k ) Vi viser, at s(m k ) = Deraf følger substitutionsformlen g() d = det A Slide 8/23 Niels Richard Hansen MI forelæsninger 27 November, 203 det A m k g(a (y w)) dy Isomorfier på R k Definition En isomorfi på R k er en afbildning A hvor A er en invertibel k k matri Lemma (04) for R k For enhver isomorfi A : R k R k er der et tal (A) 0 således at A(m k ) = (A) m k Bevis: Billedmålet A(m k ) er endeligt på begrænsede mængder og translationsinvariant Resultatet følger nu af EH sætning 03 (eller Schilling sætning 58 (ii)) Slide 9/23 Niels Richard Hansen MI forelæsninger 27 November, 203

6 for diagonalmatricer Lemma (EH 05) Lad A være en k k diagonalmatri, λ λ 2 0 A =, 0 0 λ k hvor alle diagonalindgangene er strengt positive Da er ( k ) (A) = λ i Bevis: A ( ) (a, b ) (a k, b k ) = Slide 20/23 Niels Richard Hansen MI forelæsninger 27 November, 203 ( a, b ) ( ak, b ) k λ λ λ k λ k Orthogonal matrices En k k matri Q er ortogonal hvis QQ T = Q T Q = I Dvs søjlerne (rækkerne) er ortonormale Lemma Hvis Q er an ortogonal k k matri, så er det Q = ± Lemma (EH 06) Hvis Q er en ortogonal k k matri, så er Slide 2/23 Niels Richard Hansen MI forelæsninger 27 November, 203 (Q) = er multiplikativ Lemma (07) For to invertible k k matricer A og B gælder at (A B) = (A) (B) Sætning (Spektralsætningen, EH E3) Hvis A er symmetrisk, så er der en ortogonal matri Q således at λ 0 0 Q T 0 λ 2 0 A Q = 0 0 λ k Slide 22/23 Niels Richard Hansen MI forelæsninger 27 November, 203 generelt Sætning (EH 08) For alle invertible k k matricer A gælder at (A) = det A Bevis: For A positiv definit følger det af spektralsætningen at λ 0 0 (A) = (Q T 0 λ 2 0 ) (A) (Q) = 0 0 λ k Tilsvarende for determinanten For generelle A er AA T = C 2 for C positiv definit, A = (AC )C og AC er ortogonale Dermed er (A) = (C) = Slide 23/23 Niels Richard Hansen MI forelæsninger 27 November, 203 det C = det A