4.1 Lineære Transformationer

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "4.1 Lineære Transformationer"

Transkript

1 SEKTION 41 LINEÆRE TRANSFORMATIONER 41 Lineære Transformationer Definition 411 ([L], s 175) Lad V, W være F-vektorrum En lineær transformation L : V W er en afbildning, som respekterer lineær struktur, dvs v 1, v 2 V, L(v 1 + v 2 )=L(v 1 )+L(v 2 ) (1) α F, v V, L(αv) =αl(v) (2) Det er ækvivalent, at (Hvis (1), (2) gælder, så er α 1,α 2 F, v 1, v 2 V, L(α 1 v 1 + α 2 v 2 )=α 1 L(v 1 )+α 2 L(v 2 ) (3) α 1 L(v 1 )+α 2 L(v 2 ) (2) = L(α 1 v 1 )+L(α 2 v 2 ) (1) = L(α 1 v 1 + α 2 v 2 ), mens hvis (3) gælder, så gælder (1) (tag α 1 =1,α 2 =1) og (2) (tag α 1 = α 1, α 2 =0, v 1 = v) En lineær transformation L : V W kaldes også undertiden for en lineærtransformation, en lineær afbildning, og, men for det meste kun når V = W, en lineær operator Inspireret af den kortere formulering i (3), og til senere brug: Lemma 412 Lad V være et F-vektorrum, lad S V, S S er et underrum α 1,α 2 F,s 1,s 2 S, α 1 s 1 + α 2 s 2 S ( ) Hvis S er et underrum, og α 1,α 2 F, s 1,s 2 S så er α 1 s 1,α 2 s 2 S (C1) og derfor er α 1 s 1 + α 2 s 2 S (C2); så ( ) gælder Omvendt, hvis ( ) gælder, så gælder (C1) (tag α 2 =0) og (C2) (tag α 1 =1,α 2 =1), og S er et underrum 59

2 SEKTION 41 LINEÆRE TRANSFORMATIONER Eksempler Lad A Mat m,n (F) Afbildningen L A : F n F m induceret af A er defineret ved L A (x) =Ax x F n L A er en lineær transformation, fordi, for alle x, y F n og alle α, β F, L A (αx + βy) =A(αx + βy) =αa(x)+βa(y) =αl A (x)+βl A (y) 2 Lad V være et F-vektorrum Identitetsafbildningen I V : V V givet ved er en lineær transformation I V (v) =v v V 3 Lad U R være et interval D : C r (U, R) C r 1 (U; R) (r 1) givet ved D(f) =f er en lineær transformation: for f, g C r (U, R) og α, β R, D(αf + βg) =(αf + βg) = αf + βg = αd(f)+βd(g) 4 Definer L : C([a, b], R) R ved L(f) = b f(x) dx a L er en lineær transformation (L(αf + βg) = = = α b a b a b (αf + βg)(x) dx (αf(x)+βg(x)) dx a f(x) dx + β b a g(x) dx = αl(f)+βl(g) α, β R, f, g C([a, b], R)) 5 Lad V være et F-vektorrum med ordnet basis V = {v 1,, v n } Koordinatiseringsafbildningen θ V : V F n givet ved θ V (v) =[v] V er en lineær transformation: vi så i 332, at dvs [v + w] V =[v] V +[w] V og [αv] V = α[v] V, Θ V (v + w) =Θ V (v)+θ V (w) og Θ V (αv) =αθ V (v) 60

3 SEKTION 41 LINEÆRE TRANSFORMATIONER Eksempler 413, fortsat 6 Betragt en rotation i R 2 omkring 0 gennem vinklen θ; kald den inducerede afbildning R θ : R 2 R 2 Lad R θ ([ x1 x 2 ]) = [ x 1 x 2 ] [ x 1 ] x 2 θ [ x1 x 2 ] α x 2 x 1 Hvis x 1 = r cos α, x 2 = r sin α, så er x 1 = r cos(α + θ), x 2 = r sin(α + θ) Når sum-formlerne for sin, cos anvendes, fås x 1 = r cos(α + θ) =r(cos α cos θ sin α sin θ) = x 1 cos θ x 2 sin θ, x 2 = r sin(α + θ) =r(sin α cos θ + cos α sin θ) = x 2 cos θ + x 1 sin θ Vi har derfor ([ ]) x1 R θ = x 2 [ ] [ cos θx1 sin θx 2 cos θ sin θ = sin θx 2 + cos θx 2 sin θ cos θ ][ x1 x 2 ] ; så ifølge Eksempel 1 er R θ en lineær transformation 61

4 SEKTION 41 LINEÆRE TRANSFORMATIONER Proposition 414 ([L], s 179,180) Lad V, W være F-vektorrum, lad L : V W være en lineær transformation Der gælder: 1 L(0 V )=0 W ; 2 L respekterer lineære kombinationer, dvs hvis α 1,, α n F og v 1,, v n V, så gælder L(α 1 v α n v n )=α 1 L(v 1 )+ + α n L(v n ); 3 L( v) = L(v) v V 1 L(0 V )=L(00) = 0L(0) =0 W 2 Ved induktion Udsagnet er sandt for n =2 Antag, at det er sandt for n = k L(α 1 v α k v k + α k+1 v k+1 ) (1) = L(α 1 v α k v k )+L(α k+1 v k+1 ) (2) = L(α 1 v α k v k )+α k+1 L(v k+1 ) induktionsantagelsen = α 1 L(v 1 )+ + α k L(v k )+α k+1 L(v k+1 ) Så udsagnet er sandt for n = k +1, induktionsskridtet er taget, og udsagnet gælder for alle n N 3 For alle v V har vi L( v) = L(( 1)v) = ( 1)L(v) = L(v) Lemma 415 Lad V, W være F-vektorrum; lad {v 1,, v n } være en basis for V Lad L : V W være en lineær transformation L er da entydigt bestemt af L(v 1 ),, L(v n ) Lad L : V W være en lineær transformation, således at L (v 1 )=L(v 1 ),, L (v n )= L(v n ) Vi må vise, at L = L Lad v V ; vi kan skrive v = c 1 v c n v n Vi har L (v) =L (c 1 v c n v n )=c 1 L (v 1 )+ + c n L (v n ) = c 1 L(v 1 )+ + c n L(v n )=L(c 1 v c n v n ) = L(v) 62

5 SEKTION 41 LINEÆRE TRANSFORMATIONER Notation 416 Lad X, Y være mængder, f : X Y en afbildning X er domænen af f, Y er billedmængden eller codomænen af f 1 Lad A X Billedet af A under f er f(a) ={y Y x X med f(x) =y} 2 Lad B Y Det inverse billede eller urbilledet af B under f er f 1 (B) ={x X f(x) B} Bemærk, at f 1 (f(a)) A, f(f 1 (B)) B, og at disse inklusioner kan være ægte: Lad f : R R være givet ved f(x) =x 2 x R Så er f({1}) ={1}, f 1 f({1}) =f 1 {1} = { 1, 1}, og f(f 1 ({ 1})) = f( ) = Sætning 417 ([L], 411) Lad V, W være F-vektorrum, lad L : V W være en lineær transformation 1 Lad S V være et underrum Da er L(S) et underrum af W 2 Lad T W være et underrum Da er L 1 (T ) et underrum af V Vi anvender Lemma Lad w 1, w 2 L(S), α 1 α 2 F Der findes s 1, s 2 S med L(s 1 )=w 1, L(s 2 )=w 2 Vi har α 1 s 1 + α 2 s 2 S (Lemma 412), så α 1 w 1 + α 2 w 2 = α 1 L(s 1 )+α 2 L(s 2 )=L(α 1 s 1 + α 2 s 2 ) L(S) 2 Lad v 1, v 2 L 1 (T ), α 1,α 2 F Vi har L(α 1 v 1 + α 2 v 2 )=α 1 L(v 1 )+α 2 L(v 2 ) Da L(v 1 ),L(v 2 ) T er α 1 L(v 1 )+α 2 L(v 2 ) T, så α 1 v 1 + α 2 v 2 L 1 (T ) Notation 418 Hvis L : V W er en lineær transformation mellem F-vektorrum, så kaldes L 1 ({0 W }) ofte for kernen (eller nulrummet) for L, og vi skriver Ker(L) =L 1 ({0 W })={v V L(v) =0 W } 63

6 SEKTION 41 LINEÆRE TRANSFORMATIONER Eksempler Definer D : P 3 (R) P 3 (R) ved differentiation, D(p) =p for p P 3 (R) Så er Ker(D) ={p P 3 (R) p =0} = {de konstante polynomier} D p har grad < 2, så D(P 3 (R)) P 2 (R) Vi har faktisk lighed, D(P 3 (R)) = P 2 (R), fordi D(a 0 x a 1x 2 )=a 0 + a 1 x for alle a 0,a 1 R x 1 [ ] 2 ([L], Ex 12, s 182) Lad F 3 F 2 være givet ved L x 2 x1 + x = 2 x x 2 + x 3 3 x 1 Vi har Ker(L) = x 2 F 3 x 1 + x 2 =0,x 2 + x 3 =0 ; vi ser, at x 3 kan vælges x 3 frit, kald den a, og så er x 2 = a, x 3 = a; altså er 1 Ker(L) = a 1 a F 1 Lad S = Span F er L(S) =F 2, 0 0 F 3 = 1 a a [ 0 a, b F Da L 0 a = for a, b b] b b Proposition 4110 Lad A Mat n,m (F), og lad L A : F n F m være den lineære transformation givet ved L A (x) =Ax Vi har 1 Ker(L A )=N(A); 2 L A (F n )=Sø(A) 1 Ker(L A )={x F n L A (x) =0} = {x F n Ax = 0} = N(A) 2 Skriv A =[a 1,, a n ] i søjleform,og lad x = x 1 x n F n Så er L A (x) =Ax = x 1 a x n a n Så y L A (F n ) y Span(a 1,, a n )=Sø(A) 64

7 SEKTION 42 MATRIXREPRÆSENTATIONER AF LINEÆRE TRANSFORMATIONER 42 Matrixrepræsentationer af Lineære Transformationer Sætning ([L], 421) Lad L : F n F m være en lineær transformation Definer M(L) Mat m,n (F) ved M(L) =[L(e 1 ),, L(e n )] Så er L(x) = M(L)x for alle x F n, og at M(L) er den entydige matrix med denne egenskab Lad x = x 1 x n F n, så x = x 1 e x n e n Vi har da L(x) =L(x 1 e x n e n ) = x 1 L(e 1 )+ + x n L(e n ) =[L(e 1 ),, L(e n )] = M(L)x Hvis A Mat m,n (F) tilfredsstiller, at L(x) =Ax for alle x F n, så gælder dette specielt for x = e i, i =1,, n, så L(e i )=Ae i = {i te søjle i A} Så søjlerne i M(L), Aer ens, og A = M(L) x 1 x n Notation 422 M(L) kaldes standard-matrix-repræsentationen (SMR) af L Læg mærke til, at L M(L) = L for en lineær transformation L : F n F m, og at M(L A )=A for en matrix A Mat m,n (F) Eksempel 423 [ ] cos θ sin θ M(R θ )= sin θ cos θ 65

8 SEKTION 42 MATRIXREPRÆSENTATIONER AF LINEÆRE TRANSFORMATIONER Sætning 424 ([L], 422) Lad V, W være F-vektorrum, og lad V = {v 1,, v n }, W = {w 1,, w m } være ordnede baser for V, W Lad L : V W være en lineær transformation; definer M W,V (L) Mat m,n (F) ved M W,V (L) = [[L(v 1 )] W,, [L(v n )] W ] Der gælder, at [L(v)] W = M W,V (L)[v] V for alle v V, og at M W,V er den entydige matrix med denne egenskab (se [L], s 187) Lad v V Vi kan skrive v = x 1 v x n v n, hvor Vi har så x 1 x n =[v] V L(v) =L(x 1 v x n v n )=x 1 L(v 1 )+ + x n L(v n ) [L(v)] W =[x 1 L(v 1 )+ + x n L(v n )] W = x 1 [L(v 1 )] W + + x n [L(v n )] W (fordi [] W respekterer lineær struktur) x 1 = [[L(v 1 )] W,, [L(v n )] W ] = M W,V (L)[v] V x n Hvis A Mat m,n (F) tilfredsstiller, at [L(v)] W = A[v] V for alle v V så gælder dette specielt for v = v i, i =1,, n, så [L(v i )] W = A[v i ] V = Ae i = {i te søjle i A} Så M W,V (L), Ahar de samme søjler, og er ens Notation 425 M W,V (L) kaldes matrixrepræsentationen (MR) for L mht W, V Bemærk, at hvis L : F n F m er en lineær transformation, så er M(L) =M Em,E n (L), hvor E m, E n er standardbaserne i F m, F n 66

9 SEKTION 42 MATRIXREPRÆSENTATIONER AF LINEÆRE TRANSFORMATIONER Sætning 424 kan måske bedst forstås vha et kommutativt diagram: V θ V L W θ W F n L M W,V (L) F m Diagrammet kommuterer, fordi, for alle v V, θ W(L(v))=[L(v)] W =M W,V(L)[v] V =M W,V(L)θ V(v)=L MW,V (L)(θ V(v)) Sætning 426 ([L], 423) Lad U = {u 1,, u n }, V = {v 1,, v m } være ordnede baser for F n, F m Skriv V =[v 1,, v m ] Mat m,m (F) Lad L : F n F m være en lineær transformation Så er M V,U (L) =V 1 [L(u 1 ),, L(u n )] Skriv M V,U (L) =A; så for alle x F n, [L(x)] V = A[x] U Specielt, når x = u i (i =1,, n), fås [L(u i )] V = Ae i = a i, den i te søjle i A Så, for i =1,, n, L(u i )=a 1i v a mi v m = V a i ; og a i = V 1 L(u i ) Altså A =[a 1,, a n ]=[V 1 L(u 1 ),, V 1 L(u n )] = V 1 [L(u 1 ),, L(u n )] Korollar 427 ([L], 424) Lad L : F n F m være en lineær transformation Lad U = {u 1,, u n }, V = {v 1,, v m } være ordnede baser for F n, F m Vi har da [v 1,, v m L(u 1 ),, L(u n )] [ m M V,U (L)] Lad V =[v 1,, v n ] i søjleform V 1 [v 1,, v m L(u 1 ),, L(u n )] = V 1 [V L(u 1 ),, L(u n )] =[I V 1 [L(u 1 ),, L(u n )]] =[I M V,U (L)] Da V 1 er et produkt af elementære matricer (det er alle invertible matricer, ifølge 1413) er [v 1,, v m L(u 1 ),, L(u n )] [I M V,U (L)] 67

10 SEKTION 42 MATRIXREPRÆSENTATIONER AF LINEÆRE TRANSFORMATIONER Proposition 428 Lad V, V være ordnede baser for F-vektorrummet V ; og lad W, W være ordnede baser for F-vektorrumet W Lad L : V W være en lineær transformation Der gælder M W,V (L) =K W,W M W,V K V,V For v V gælder [v] V = K V,V[v] V og M W,V (L)[v] V =[L(v)] W ; og for w W gælder [w] W = K W,W [w] W Vi har derfor [L(v)] W = K W,W [L(v)] W = K W,W M W,V (L)[v] V = K W,W M W,V (L)K V,V[v] V Så K W,W M W,V (L)K V,V er MR for L mht W, V Når vi arbejder med lineære operatorer, dvs lineære transformationer L fra et vektorrum V til sig selv, er det mest naturligt kun at bruge én ordnet basis V = {v 1,, v n } for V for matrixrepræsentationer Korollar 429 ([L], Sætning 431) Lad V være et F-vektorrum, og lad V, V være ordnede baser for V Lad L : V V være en lineær transformationder gælder M V,V (L) =K V,V M V,V K V,V =(K V,V) 1 M V,V K V,V Den første linie i udsagnet er et specielt tilfælde af Proposition A; den anden linie følger af, at K V,V =(K V,V) 1 Vi siger, at A, B Mat n,n (F) er similære, hvis der findes en invertibel matrix S, så B = S 1 AS (og SBS 1 = A) 68

11 SEKTION 42 MATRIXREPRÆSENTATIONER AF LINEÆRE TRANSFORMATIONER Korollar 4210 (se [L], s 202) A, B Mat n,n (F) er similære hvis, og kun hvis, der findes ordnede baser V, W for F n og en lineær transformation L : F n F n så A = M V,V (L), B= M W,W (L) : Dette følger af Korollar 429 ovenfor : Lad E være standardbasen i F n Da [x] E = x for alle x F n er M E,E (L A ) = [[L A (e 1 )] E,, [L A (e n )] E ] =[L A (e 1 ),, L A (e n )] =[Ae 1,, Ae n ]=A Antag, at B = S 1 AS Lad S = {s 1,, s n }, hvor S =[s 1,, s n ] i søjleform Da S er invertibel, er S en ordnet basis for F n Der gælder, ifølge Lemma 335, at For i =1,, n er den i te søjle i M S,S (L A ) S[x] S = x, og [x] S = S 1 x for alle x F n [L A (s i )] S =[As i ] S = S 1 As i = S 1 ASe i = Be i, den i te søjle i B Så M S,S (L A )=B Så A er MR for L A mht E, E, B er MR for L A mht S, S Eksempel 4211 Lad L : P 4 (C) P 4 (C) være den lineære transformation givet ved L(p)(x) =(x + 1) 2 p (x) 4(x + 1)p (x)+6p(x); Lad os finde Ker L, dvs vi finder polynomiale løsninger af grad højst tre til differentialligningen (x + 1) 2 f (x) 4(x + 1)f (x)+6f(x) =0 Vi finder MR af L mht U = {1, x, x 2,x 3 } i både domæne og billedmængden Vi beregner derfor L(1) = 6, L(x) = 4(x + 1) + 6x =2x 4, L(x 2 ) = 2(x + 1) 2 8(x + 1)x +6x 2 = 4+2, L(x 3 ) = 6(x + 1) 2 x 12(x + 1)x 2 +6x 3 =6x 69

12 SEKTION 42 MATRIXREPRÆSENTATIONER AF LINEÆRE TRANSFORMATIONER Eksempel 4211, fortsat Vi har da M U,U (L) = [[L(u 1 )] U,, [L(u 4 )] U ]= x 3 2x 4 Den generelle løsning til M U,U (L)x = 0 er da 2x 3 3x 4 x 3, så x N MU,U (L) = Span 2 1, 3 0 = Span([p 1] U, [p 2 ] U ), 0 1 hvor p 1 (x) = 1 + 2x + x 2,p 2 (x) = 2 3x + x 3 Så Ker L = Span(p 1,p 2 ) (fordi p Ker L L(p) =0 [L(p)] U = [0] U ;=0 M U,U (L)[p] U = 0 [p] U N MU,U (L)) Læg mærke til, at p 1 (x) = (1 + x) 2,p 2 (x)+3p 1 (x) = 1 + 3x +3x 2 + x 3 = (1 + x) 3, så Ker L = Span((1 + x) 2, (1 + x) 3 ) Det havde nok været bedre at arbejde med den ordnede basis V = {1, 1+x, (1 + x) 2, (1 + x) 3 }; vi har da så vi ser L(1) = 6,L(1 + x) = 2(x + 1),L((1 + x) 2 )=0,L((1 + x) 3 )=0, så M V,V (L) = ; N MV,V (L) = Span(e 3, e 4 ) = Span([v 3 ] V, [v 4 ] V ); Ker L = Span(v 3, v 4 ) = Span((1 + x) 2, (1 + x) 3 ) Læg mærke til, at, som teorien foreskriver, M V,V (L) =K V,U M U,U (L)K U,V, idet =

13 SEKTION 43 MERE OM LINEÆRE TRANSFORMATIONER 43 Mere om Lineære Transformationer Lad f : X Y, g : Y Z være afbildninger Sammensætningen g f : X Z er afbildningen givet ved g f(x) =g(f(x)) x X X f Y g f g Z Lemma 431 Lad L : U V, M : V W være lineære transformationer mellem F-vektorrum Da er M L : U W en lineær transformation Lad α 1,α 2 F, u 1, u 2 U M L(α 1 u 1 + α 2 u 2 )=M(L(α 1 u 1 + α 2 u 2 )) = M(α 1 L(u 1 )+α 2 L(u 2 )) = α 1 M(L(u 1 )) + α 2 M(L(u 2 )) = α 1 M L(u 1 )+α 2 M L(u 2 ) Sammensætning af lineære transformationer af Euklidiske rum svarer til matrixmultiplikation: Lemma Lad A Mat m,n (F), B Mat n,p (F) Så er L A L B = L AB 2 Lad K : F p F n,l: F n F m være lineære transformationer Så er M(L K) =M(L)M(K) 1 For y F p er L A L B (y) =L A (L B (y)) = L A (By) =A(By) =(AB)y 2 For y F p er M(L K)y = L K(y) =L(K(y)) = L(M(K)y) =M(L)M(K)y 71

14 SEKTION 43 MERE OM LINEÆRE TRANSFORMATIONER Eksempel 433: Spejling Lad L θ være linien igennem 0 i R 2, som danner en vinkel θ med x-aksen; og lad S θ : R 2 R 2 være givet ved spejling i denne linie S 0, som er givet ved spejling i x-aksen, er nem at sætte på formel: ([ ]) [ x x S 0 =, y y] så S 0 er lineær, med SMR [ ] Spejling i L θ kan opnås ved at rotere R 2 gennem θ, spejle i x-aksen, og rotere R 2 gennem θ; så S θ = R θ S 0 R θ er en sammensætning af lineære transformationer, så lineær Vi har: M(S θ )=M(R θ S 0 R θ )=M(R θ )M(S 0 )M(R θ ) [ ][ ][ ] cos θ sin θ 1 0 cos θ sin θ = sin θ cos θ 0 1 sin θ cos θ [ ][ ] cos θ sin θ cos θ sin θ = sin θ cos θ sin θ cos θ [ cos = 2 θ sin 2 ] θ 2 sin θ cos θ 2 sin θ cos θ sin 2 θ cos 2 θ [ ] [ ][ ] cos 2θ sin 2θ cos 2θ sin 2θ 1 0 = = sin 2θ cos 2θ sin 2θ cos 2θ 0 1 = M(R 2θ )M(S 0 )=M(R 2θ S 0 ); så S θ = R 2θ S 0 Spejlingen i L θ kan altså også realiseres ved først at spejle i x-aksen, så roter 2θ mod uret 72

15 SEKTION 43 MERE OM LINEÆRE TRANSFORMATIONER Sammenhængen mellem sammensætning af lineære transformationer og matrixmultiplikation gælder mere generelt: Proposition 434 Lad U, V, W være vektorrum med ordnede baser U =[u 1,, u p ], V =[v 1,, v n ], W =[w 1,, w m ], og lad L : U V, M : V W være lineære transformationer Så gælder M W,U (M L) =M W,V (M) M V,U (L) Vi har et kommutativt diagram U L V M W θ U θ V θ W F p L A F n L B F m hvor A = M V,U (L), B= M W,V (M) Det første kommutative kvadrat udtrykker, at A = M V,U (L) tilfredsstiller mens det andet udtrykker, at B = M W,V (M) tilfredsstiller Vi har da, for vilkårlig u U, [L(u)] V = A[u] U for alle u U, (1) [M(v)] W = B[v] V for alle v V (2) [M L(u)] W =[M(L(u))] W = B[L(u)] V ((2) anvendt med v = L(u)) = B(A[u] U ) ((1)) =(BA)[u] U Så BA er matrixrepræsentation for M L mht W, U 73

16 SEKTION 43 MERE OM LINEÆRE TRANSFORMATIONER og Så er En afbildning f : X Y er invertibel hvis der findes en afbildning g : Y X, så g f = I X, dvs g(f(x)) = x for alle x X, g kaldes en invers afbildning til f f g = I Y, dvs f(g(y)) = y for alle y Y ; En invers til f er faktisk entydigt bestemt: for antag, at g, h : Y X er således, at g f = I X,f h = I Y g = g I Y = g (f h) =(g f) h = I X h = h Hvis den findes, så kaldes inversen for f : X Y for f 1 : Y X Proposition 435 Lad L : V W være en lineær tranformation,og antag, at L er invertibel Så er L 1 lineær Lad α 1,α 2 F, w 1, w 2 W Så er L 1 (α 1 w 1 + α 2 w 2 )=L 1 ( α 1 L(L 1 (w 1 )) + α 2 L(L 1 (w 2 )) ) (fordi L L 1 = I W ) =L 1 (L(α 1 L 1 (w 1 )+α 2 L 1 (w 2 )) (fordi L er lineær) =α 1 L 1 (w 1 )+α 2 L 1 (w 2 ) (fordi L 1 L = I V ) Notation 436 En invertibel lineær transformation kaldes ofte en lineær isomorfi Eksempel 437 Rotationen R θ : R 2 R 2 er invertibel, med invers R θ 74

17 SEKTION 43 MERE OM LINEÆRE TRANSFORMATIONER Lad V være et F-vektorrum med ordnet basis V =[v 1,, v n ] Afbildningen θ V : V F n givet ved θ V (v) =[v] V for alle v V er invertibel; dens invers θ 1 V : Fn V er givet ved θ 1 V x 1 x n = x 1 v x n v n for alle x 1 x n F n Lad nu V, W være F-vektorrum med ordnede baser V, W, og lad L : V W være en lineær transformation Skriv Vi har et kommutativt diagram V A = M W,V (L) L W θ V θ W F n L A F n og Da θ V,θ W er invertible, er L = θ 1 W L A θ V, L A = θ W L θ 1 V 75

18 SEKTION 43 MERE OM LINEÆRE TRANSFORMATIONER Proposition 438 Lad V, W være F-vektorrum,og lad V = {v 1,, v n }, W = {w 1,, w m } være ordnede baser for V, W Lad L : V W være lineær 1 L er invertibel n = m og M W,V (L) er invertibel 2 Hvis L er invertibel, M V,W (L 1 )=(M W,V (L)) 1 Skriv A = M W,V (L), matrix-repræsentationen for L mht W, V Antag, at A er invertibel Så er m = n Definer M : W V ved M = θ 1 V L A 1 θ W Vi ser, at [M(w)] V = θ V (M(w)) = L A 1(θ W (v)) = A 1 [w] W for alle w W, så M er den entydige lineære transformation W V med matrixrepræsentation A 1 mht W, V Ifølge Proposition 434 er [M L(v)] V = A 1 A[v] V =[v] V for alle v V Anvendes (θ V ) 1, fås M L(v) =v v V På samme måde er [L M(w)] W = AA 1 [w] W = [w] W for alle w W ; og anvendes (θ W ) 1, fås L M(w) =w for alle w W Så L er invertibel, med L 1 = M Antag, at L er invertibel L A er invertibel med invers θ V L 1 θ 1 W, fordi L A = θ W L θ 1 V og (θ W L θ 1 V )(θ V L 1 θ 1 W )=I F m, (θ V L 1 θ 1 W )(θ W L θ 1 V )=I F n Hvis x Ker(L), så er x = L 1 A (L A(x)) = L 1 A (0) =0, så N(A) =Ker L A = {0} Hvis y F m, så er y = L A (L 1 A (y)) L A(F m )=Sø(A), så Sø(A) =F m Rangligningen giver antallet af søjler i A = rang(a)+n(a), altså n = m + 0; = m Så A er en kvadratisk matrix Vi har lige set, at N(A) ={0}, så A er invertibel 76

3.1 Baser og dimension

3.1 Baser og dimension SEKTION 3 BASER OG DIMENSION 3 Baser og dimension Definition 3 Lad V være et F-vektorrum Hvis V = {0}, så har V dimension 0 2 Hvis V har en basis bestående af n vektorer, så har V dimension n 3 Hvis V

Læs mere

6.1 Reelle Indre Produkter

6.1 Reelle Indre Produkter SEKTION 6.1 REELLE INDRE PRODUKTER 6.1 Reelle Indre Produkter Definition 6.1.1 Et indre produkt på et reelt vektorrum V er en funktion, : V V R således at, for alle x, y V, I x, x 0 med lighed x = 0, II

Læs mere

Lineær Algebra, TØ, hold MA3

Lineær Algebra, TØ, hold MA3 Lineær Algebra, TØ, hold MA3 Lad mig allerførst (igen) bemærke at et vi siger: En matrix, matricen, matricer, matricerne. Og i sammensætninger: matrix- fx matrixmultiplikation. Injektivitet og surjektivitet

Læs mere

9.1 Egenværdier og egenvektorer

9.1 Egenværdier og egenvektorer SEKTION 9.1 EGENVÆRDIER OG EGENVEKTORER 9.1 Egenværdier og egenvektorer Definition 9.1.1 1. Lad V være et F-vektorrum; og lad T : V V være en lineær transformation. λ F er en egenværdi for T, hvis der

Læs mere

Definition multiplikation En m n-matrix og en n p-matrix kan multipliceres (ganges sammen) til en m p-matrix.

Definition multiplikation En m n-matrix og en n p-matrix kan multipliceres (ganges sammen) til en m p-matrix. Oversigt [LA] 3, 4, 5 Nøgleord og begreber Matrix multiplikation Identitetsmatricen Transponering Fra matrix til afbildning Fra afbildning til matrix Test matrix-afbildning Inverse matricer Test invers

Læs mere

Nøgleord og begreber. Definition multiplikation En m n-matrix og en n p-matrix kan multipliceres (ganges sammen) til en m p-matrix.

Nøgleord og begreber. Definition multiplikation En m n-matrix og en n p-matrix kan multipliceres (ganges sammen) til en m p-matrix. Oversigt [LA] 3, 4, 5 Matrix multiplikation Nøgleord og begreber Matrix multiplikation Identitetsmatricen Transponering Fra matrix til afbildning Fra afbildning til matrix Test matrix-afbildning Inverse

Læs mere

Lineær Algebra eksamen, noter

Lineær Algebra eksamen, noter Lineær Algebra eksamen, noter Stig Døssing, 20094584 June 6, 2011 1 Emne 1: Løsninger og least squares - Løsning, ligningssystem RREF (ERO) løsninger Bevis at RREF matrix findes Løsninger til system (0,

Læs mere

DesignMat Uge 2. Preben Alsholm. Efterår Lineære afbildninger. Preben Alsholm. Lineære afbildninger. Eksempel 2 på lineær.

DesignMat Uge 2. Preben Alsholm. Efterår Lineære afbildninger. Preben Alsholm. Lineære afbildninger. Eksempel 2 på lineær. er DesignMat Uge 2 er er lineær lineær lineær lineære er I smatrix lineære er II smatrix I smatrix II Efterår 2010 Lad V og W være vektorrum over samme skalarlegeme L (altså enten R eller C for begge).

Læs mere

Oversigt [LA] 3, 4, 5

Oversigt [LA] 3, 4, 5 Oversigt [LA] 3, 4, 5 Nøgleord og begreber Matrix multiplikation Identitetsmatricen Transponering Fra matrix til afbildning Fra afbildning til matrix Test matrix-afbildning Inverse matricer Test invers

Læs mere

Tidligere Eksamensopgaver MM505 Lineær Algebra

Tidligere Eksamensopgaver MM505 Lineær Algebra Institut for Matematik og Datalogi Syddansk Universitet Tidligere Eksamensopgaver MM55 Lineær Algebra Indhold Typisk forside.................. 2 Juni 27.................... 3 Oktober 27..................

Læs mere

1.1 Legemer. Legemer er talsystemer udstyret med addition og multiplikation, hvor vi kan regner som vi plejer at gøre med de reelle tal.

1.1 Legemer. Legemer er talsystemer udstyret med addition og multiplikation, hvor vi kan regner som vi plejer at gøre med de reelle tal. SEKTION 11 LEGEMER 11 Legemer Legemer er talsystemer udstyret med addition og multiplikation, hvor vi kan regner som vi plejer at gøre med de reelle tal Definition 111 Et legeme F er en mængde udstyret

Læs mere

DesignMat Uge 11 Lineære afbildninger

DesignMat Uge 11 Lineære afbildninger DesignMat Uge Lineære afbildninger Preben Alsholm Forår 008 Lineære afbildninger. Definition Definition Lad V og W være vektorrum over samme skalarlegeme L (altså enten R eller C for begge). Afbildningen

Læs mere

LinAlg 2013 Q3. Tobias Brixen Mark Gottenborg Peder Detlefsen Troels Thorsen Mads Buch 2013

LinAlg 2013 Q3. Tobias Brixen Mark Gottenborg Peder Detlefsen Troels Thorsen Mads Buch 2013 LinAlg 2013 Q3 Tobias Brixen Mark Gottenborg Peder Detlefsen Troels Thorsen Mads Buch 2013 1 Lineær algebra Dispositioner - Dispo 0 2013 Contents 1 Løsninger, og MKL, af lineære ligningssystemer 3 2 Vektorrum

Læs mere

Lineær Algebra F08, MØ

Lineær Algebra F08, MØ Lineær Algebra F08, MØ Vejledende besvarelser af udvalgte opgaver fra Ugeseddel 3 og 4 Ansvarsfraskrivelse: Den følgende vejledning er kun vejledende. Opgaverne kommer i vilkårlig rækkefølge. Visse steder

Læs mere

Noter til Lineær Algebra

Noter til Lineær Algebra Noter til Lineær Algebra Eksamensnoter til LinAlg Martin Sparre, www.logx.dk, August 2007, Version π8 9450. INDHOLD 2 Indhold 0. Om disse noter.......................... 3 Abstrakte vektorrum 4. Definition

Læs mere

Lineær algebra 1. kursusgang

Lineær algebra 1. kursusgang Lineær algebra 1. kursusgang Eksempel, anvendelse To kendte punkter A og B på en linie, to ukendte punkter x 1 og x 2. A x 1 x 2 B Observationer af afstande: fra A til x 1 : b 1 fra x 1 til x 2 : b 2 fra

Læs mere

Figur. To ligninger i to ubekendte. Definition Ved m lineære ligninger med n ubekendte forstås. Definition 6.4 Givet ligningssystemet

Figur. To ligninger i to ubekendte. Definition Ved m lineære ligninger med n ubekendte forstås. Definition 6.4 Givet ligningssystemet Oversigt [LA] 6, 7, 8 Nøgleord og begreber Lineære ligningssystemer smængdens struktur Test løsningsmængde Rækkereduktion Reduceret matrix Test ligningssystem Rækkeoperationsmatricer Rangformlen Enten-eller

Læs mere

DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof

DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof Preben Alsholm Efterår 2010 1 Hovedpunkter fra forårets pensum 11 Taylorpolynomium Taylorpolynomium Det n te Taylorpolynomium for f med udviklingspunkt x 0 : P

Læs mere

z 1 = z 1z 1z 1 z 1 2 = z z2z 1 z 2 2

z 1 = z 1z 1z 1 z 1 2 = z z2z 1 z 2 2 M å l e p u n k t R i e m a n n s k G e o m e t r i E 8 J a ko b L i n d b l a d B l a ava n d 2 5 3 6 7 5 27 oktober 28 I n s t i t u t fo r M at e m at i s k e Fag A a r h u s U n i v e r s i t e t indledning

Læs mere

13.1 Matrixpotenser og den spektrale radius

13.1 Matrixpotenser og den spektrale radius SEKTION 3 MATRIXPOTENSER OG DEN SPEKTRALE RADIUS 3 Matrixpotenser og den spektrale radius Cayley-Hamilton-sætningen kan anvendes til at beregne matrixpotenser: Proposition 3 (Lasalles algoritme) Lad A

Læs mere

Affine rum. a 1 u 1 + a 2 u 2 + a 3 u 3 = a 1 u 1 + (1 a 1 )( u 2 + a 3. + a 3. u 3 ) 1 a 1. Da a 2

Affine rum. a 1 u 1 + a 2 u 2 + a 3 u 3 = a 1 u 1 + (1 a 1 )( u 2 + a 3. + a 3. u 3 ) 1 a 1. Da a 2 Affine rum I denne note behandles kun rum over R. Alt kan imidlertid gennemføres på samme måde over C eller ethvert andet legeme. Et underrum U R n er karakteriseret ved at det er en delmængde som er lukket

Læs mere

Oversigt [LA] 6, 7, 8

Oversigt [LA] 6, 7, 8 Oversigt [LA] 6, 7, 8 Nøgleord og begreber Lineære ligningssystemer Løsningsmængdens struktur Test løsningsmængde Rækkereduktion Reduceret matrix Test ligningssystem Rækkeoperationsmatricer Rangformlen

Læs mere

8 Regulære flader i R 3

8 Regulære flader i R 3 8 Regulære flader i R 3 Vi skal betragte særligt pæne delmængder S R 3 kaldet flader. I det følgende opfattes S som et topologisk rum i sportopologien, se Definition 5.9. En åben omegn U af p S er således

Læs mere

Matematik og Form: Matrixmultiplikation. Regulære og singu

Matematik og Form: Matrixmultiplikation. Regulære og singu Matematik og Form: Matrixmultiplikation. Regulære og singulære matricer Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 2012 Matrixmultiplikation Definition Definition A = [a ij ], B = [b ij ]: AB = C

Læs mere

Module 1: Lineære modeller og lineær algebra

Module 1: Lineære modeller og lineær algebra Module : Lineære modeller og lineær algebra. Lineære normale modeller og lineær algebra......2 Lineær algebra...................... 6.2. Vektorer i R n................... 6.2.2 Regneregler for vektorrum...........

Læs mere

Lineær algebra: Matrixmultiplikation. Regulære og singulære

Lineær algebra: Matrixmultiplikation. Regulære og singulære Lineær algebra: Matrixmultiplikation. Regulære og singulære matricer Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 2011 Matrixmultiplikation Definition Definition A = [a ij ], B = [b ij ]: AB = C =

Læs mere

DesignMat Kvadratiske matricer, invers matrix, determinant

DesignMat Kvadratiske matricer, invers matrix, determinant DesignMat Kvadratiske matricer, invers matrix, determinant Preben Alsholm Uge 5 Forår 010 1 Kvadratiske matricer, invers matrix, determinant 1.1 Invers matrix I Invers matrix I Definition. En n n-matrix

Læs mere

Oversigt [LA] 3, 4, 5

Oversigt [LA] 3, 4, 5 Oversigt [LA] 3, 4, 5 Nøgleord og begreber Fra matrix til afbildning Fra afbildning til matrix Test matrix-afbildning Inverse matricer Test invers matrix Matrix potens Lineære ligningssystemer Løsningsmængdens

Læs mere

Ølopgaver i lineær algebra

Ølopgaver i lineær algebra Ølopgaver i lineær algebra 30. maj, 2010 En stor del af de fænomener, vi observerer, er af lineær natur. De naturlige matematiske objekter i beskrivelsen heraf bliver vektorrum rum hvor man kan lægge elementer

Læs mere

1 Om funktioner. 1.1 Hvad er en funktion?

1 Om funktioner. 1.1 Hvad er en funktion? 1 Om funktioner 1.1 Hvad er en funktion? Man lærer allerede om funktioner i folkeskolen, hvor funktioner typisk bliver introduceret som maskiner, der tager et tal ind, og spytter et tal ud. Dette er også

Læs mere

Kursusgang 3 Matrixalgebra fortsat

Kursusgang 3 Matrixalgebra fortsat Kursusgang 3 fortsat - froberg@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ froberg/oecon3 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 12. september 2008 1/31 Nødvendige betingelser En nødvendig betingelse

Læs mere

Sylvesters kriterium. Nej, ikke mit kriterium. Sætning 9. Rasmus Sylvester Bryder

Sylvesters kriterium. Nej, ikke mit kriterium. Sætning 9. Rasmus Sylvester Bryder Sætning 9 Sylvesters kriterium Nej, ikke mit kriterium Rasmus Sylvester Bryder Inspireret af en statistikers manglende råd om hvornår en kvadratisk matrix er positivt definit uden at skulle ud i at bestemme

Læs mere

Matematik for økonomer 3. semester

Matematik for økonomer 3. semester Matematik for økonomer 3. semester cand.oecon. studiet, 3. semester Planchesæt 2 - Forelæsning 3 Esben Høg Aalborg Universitet 10. september 2009 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Esben

Læs mere

GEOMETRI-TØ, UGE 12. A σ (R) = A f σ (f(r))

GEOMETRI-TØ, UGE 12. A σ (R) = A f σ (f(r)) GEOMETRI-TØ, UGE 12 Hvis I falder over tryk- eller regne-fejl i nedenstående, må I meget gerne sende rettelser til fuglede@imfaudk Opvarmningsopgave 1, [P] 632 Vis at Ennepers flade σ(u, v) = ( u u 3 /3

Læs mere

Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec.

Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec. Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec. 1 Komplekse vektorrum I defininitionen af vektorrum i Afsnit 4.1 i Niels Vigand Pedersen Lineær Algebra

Læs mere

Lineær Algebra. Lars Hesselholt og Nathalie Wahl

Lineær Algebra. Lars Hesselholt og Nathalie Wahl Lineær Algebra Lars Hesselholt og Nathalie Wahl 2. udgave, oktober 207 Forord Denne bog er beregnet til et første kursus i lineær algebra, men vi har lagt vægt på at fremstille dette materiale på en sådan

Læs mere

Eksamen i Lineær Algebra

Eksamen i Lineær Algebra Eksamen i Lineær Algebra Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet & Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Onsdag den. januar,. Kl. 9-3. Nærværende eksamenssæt består af 8 nummererede

Læs mere

Kursusgang 3 Matrixalgebra Repetition

Kursusgang 3 Matrixalgebra Repetition Kursusgang 3 Repetition - froberg@mathaaudk http://peoplemathaaudk/ froberg/oecon3 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 12 september 2008 1/12 Lineære ligningssystemer Et lineært ligningssystem

Læs mere

Om første og anden fundamentalform

Om første og anden fundamentalform Geometri, foråret 2005 Jørgen Larsen 9. marts 2005 Om første og anden fundamentalform 1 Tangentrummet; første fundamentalform Vi betragter en flade S parametriseret med σ. Lad P = σu 0, v 0 være et punkt

Læs mere

Oversigt [LA] 11, 12, 13

Oversigt [LA] 11, 12, 13 Oversigt [LA] 11, 12, 13 Nøgleord og begreber Ortogonalt komplement Tømrerprincippet Ortogonal projektion Projektion på 1 vektor Projektion på basis Kortest afstand August 2002, opgave 6 Tømrermester Januar

Læs mere

Lineær Algebra. Lars Hesselholt og Nathalie Wahl

Lineær Algebra. Lars Hesselholt og Nathalie Wahl Lineær Algebra Lars Hesselholt og Nathalie Wahl Oktober 2016 Forord Denne bog er beregnet til et første kursus i lineær algebra, men vi har lagt vægt på at fremstille dette materiale på en sådan måde,

Læs mere

Lineær algebra: Egenværdier, egenvektorer, diagonalisering

Lineær algebra: Egenværdier, egenvektorer, diagonalisering Lineær algebra: Egenværdier, egenvektorer, diagonalisering Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 2011 Egenvektorer og egenværdier Mål: Forståelse af afbildningen x Ax fra R n R n for en n n-matrix

Læs mere

Eksamen i Lineær Algebra

Eksamen i Lineær Algebra Eksamen i Lineær Algebra Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet & Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Tirsdag den 4 januar, 2 Kl 9-3 Nærværende eksamenssæt består af 8 nummererede

Læs mere

Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3

Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3 Oversigt [LA], 2, 3, [S] 9.-3 Nøgleord og begreber Koordinatvektorer, talpar, taltripler og n-tupler Linearkombination Underrum og Span Test linearkombination Lineær uafhængighed Standard vektorer Basis

Læs mere

Skriftlig eksamen Vejledende besvarelse MATEMATIK B (MM02)

Skriftlig eksamen Vejledende besvarelse MATEMATIK B (MM02) SYDDANSK UNIVERSITET ODENSE UNIVERSITET INSTITUT FOR MATEMATIK OG DATALOGI Skriftlig eksamen Vejledende besvarelse MATEMATIK B (MM2) Fredag d. 2. januar 22 kl. 9. 3. 4 timer med alle sædvanlige skriftlige

Læs mere

Forslag til hjemmeopgaver, som forbereder arbejdet med de nye emner den pågældende kursusgang, men primært er baseret på gymnasiepensum:

Forslag til hjemmeopgaver, som forbereder arbejdet med de nye emner den pågældende kursusgang, men primært er baseret på gymnasiepensum: Forslag til hjemmeopgaver, som forbereder arbejdet med de ne emner den pågældende kursusgang, men primært er baseret på gmnasiepensum: Ordinær kursusgang : Introduktion til vektorer og matricer. Regning

Læs mere

Løsninger til udvalgte Eksamensopgaver i Lineær Algebra Juni 2000 og Juni 2001.

Løsninger til udvalgte Eksamensopgaver i Lineær Algebra Juni 2000 og Juni 2001. Løsninger til udvalgte Eksamensopgaver i Lineær Algebra Juni og Juni. Preben Alsholm 9. november 9 Juni Opgave 3 f : P (R) R 3 er givet ved f (P (x)) P () a + P () b, hvor a (,, ) og b (, 3, ). Vi viser,

Læs mere

Vi indleder med at minde om at ( a) = a gælder i enhver gruppe.

Vi indleder med at minde om at ( a) = a gælder i enhver gruppe. 0.1: Ringe 1. Definition: Ring En algebraisk struktur (R, +,, 0,, 1) kaldes en ring hvis (R, +,, 0) er en kommutativ gruppe og (R,, 1) er en monoide og hvis er såvel venstre som højredistributiv mht +.

Læs mere

MM501 forelæsningsslides

MM501 forelæsningsslides MM50 forelæsningsslides uge 36, 2009 Produceret af Hans J. Munkholm Nogle talmængder s. 3 N = {, 2, 3, } omtales som de naturlige tal eller de positive heltal. Z = {0, ±, ±2, ±3, } omtales som de hele

Læs mere

Hilbert rum. Chapter 3. 3.1 Indre produkt rum

Hilbert rum. Chapter 3. 3.1 Indre produkt rum Chapter 3 Hilbert rum 3.1 Indre produkt rum I det følgende skal vi gøre brug af komplekse såvel som reelle vektorrum. Idet L betegner enten R eller C minder vi om, at et vektorrum over L er en mængde E

Læs mere

LINALG JULENØD 2013 SUNE PRECHT REEH

LINALG JULENØD 2013 SUNE PRECHT REEH LINALG JULENØD 203 SUNE PRECHT REEH Resumé I denne julenød skal vi se på lineær algebra for heltallene Z Hvad går stadig godt? og hvad går galt? I de reelle tal R kan vi for ethvert a 0 altid finde R som

Læs mere

Prøveeksamen A i Lineær Algebra

Prøveeksamen A i Lineær Algebra Prøveeksamen A i Lineær Algebra Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Der må gøres brug af bøger, noter mv Der må ikke benyttes lommeregner,

Læs mere

Eksempel 9.1. Areal = (a 1 + b 1 )(a 2 + b 2 ) a 1 a 2 b 1 b 2 2a 2 b 1 = a 1 b 2 a 2 b 1 a 1 a 2 = b 1 b 2

Eksempel 9.1. Areal = (a 1 + b 1 )(a 2 + b 2 ) a 1 a 2 b 1 b 2 2a 2 b 1 = a 1 b 2 a 2 b 1 a 1 a 2 = b 1 b 2 Oversigt [LA] 9 Nøgleord og begreber Helt simple determinanter Determinant defineret Effektive regneregler Genkend determinant nul Test determinant nul Produktreglen Inversreglen Test inversregel og produktregel

Læs mere

Symmetriske og ortogonale matricer Uge 6

Symmetriske og ortogonale matricer Uge 6 Symmetriske og ortogonale matricer Uge 6 Preben Alsholm Efterår 2010 1 Symmetriske og ortogonale matricer 1.1 Skalarprodukt og Cauchy-Schwarz ulighed Skalarprodukt og Cauchy-Schwarz ulighed Det sædvanlige

Læs mere

Teoretiske Øvelsesopgaver:

Teoretiske Øvelsesopgaver: Teoretiske Øvelsesopgaver: TØ-Opgave 1 Subtraktion division i legemer: Er subtraktion division med elementer 0 i legemer veldefinerede, eller kan et element b have mere end ét modsat element -b eller mere

Læs mere

Nøgleord og begreber

Nøgleord og begreber Oversigt [LA] 9 Nøgleord og begreber Helt simple determinanter Determinant defineret Effektive regneregler Genkend determinant nul Test determinant nul Produktreglen Inversreglen Test inversregel og produktregel

Læs mere

Kursusgang 3 Matrixalgebra Repetition

Kursusgang 3 Matrixalgebra Repetition Kursusgang 3 Repetition - froberg@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ froberg/oecon3 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 16. september 2008 1/19 Betingelser for nonsingularitet af en Matrix

Læs mere

LINEÆR ALGEBRA DIFFERENTIALLIGNINGER

LINEÆR ALGEBRA DIFFERENTIALLIGNINGER LINEÆR ALGEBRA DIFFERENTIALLIGNINGER NOTER TIL CALCULUS 006 NIELSEN - SALOMONSEN INSTITUT FOR MATEMATISKE FAG AARHUS UNIVERSITET 006 Indhold Forord 5. Vektorer og linearkombinationer 7. Basis og dimension

Læs mere

Lineære Afbildninger. enote 8. 8.1 Om afbildninger

Lineære Afbildninger. enote 8. 8.1 Om afbildninger enote 8 enote 8 Lineære Afbildninger Denne enote undersøger afbildninger mellem vektorrum af en bestemt type, nemlig lineære afbildninger Det vises, at kernen og billedrummet for lineære afbildninger er

Læs mere

Kalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015

Kalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015 Kalkulus 1 - Opgaver Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis 20. januar 2015 Mængder Opgave 1 Opskriv følgende mængder med korrekt mængdenotation. a) En mængde A indeholder alle hele tal fra og med 1

Læs mere

Eksempler Determinanten af en kvadratisk matrix. Calculus Uge

Eksempler Determinanten af en kvadratisk matrix. Calculus Uge Oversigt [LA] 8 Her skal du lære om 1. Helt simple determinanter 2. En udvidelse der vil noget 3. Effektive regneregler 4. Genkend determinant nul 5. Produktreglen 6. Inversreglen 7. Potensreglen 8. Entydig

Læs mere

Polynomium Et polynomium. Nulpolynomiet Nulpolynomiet er funktionen der er konstant nul, dvs. P(x) = 0, og dets grad sættes per definition til.

Polynomium Et polynomium. Nulpolynomiet Nulpolynomiet er funktionen der er konstant nul, dvs. P(x) = 0, og dets grad sættes per definition til. Polynomier Polynomier Polynomium Et polynomium P(x) = a n x n + a n x n +... + a x + a 0 Disse noter giver en introduktion til polynomier, centrale sætninger om polynomiumsdivision, rødder og koefficienter

Læs mere

Kvadratiske matricer. enote Kvadratiske matricer

Kvadratiske matricer. enote Kvadratiske matricer enote enote Kvadratiske matricer I denne enote undersøges grundlæggende egenskaber ved mængden af kvadratiske matricer herunder indførelse af en invers matrix for visse kvadratiske matricer. Det forudsættes,

Læs mere

2010 Matematik 2A hold 4 : Prøveeksamen juni 2010

2010 Matematik 2A hold 4 : Prøveeksamen juni 2010 1 of 7 31-05-2010 13:18 2010 Matematik 2A hold 4 : Prøveeksamen juni 2010 Welcome Jens Mohr Mortensen [ My Profile ] View Details View Grade Help Quit & Save Feedback: Details Report [PRINT] 2010 Matematik

Læs mere

Symmetriske matricer

Symmetriske matricer Symmetriske matricer Preben Alsholm 17. november 008 1 Symmetriske matricer 1.1 Definitioner Definitioner En kvadratisk matrix A = a ij kaldes symmetrisk, hvis aij = a ji for alle i og j. Altså hvis A

Læs mere

Oversigt over gruppeteori: definitioner og sætninger

Oversigt over gruppeteori: definitioner og sætninger Oversigt over gruppeteori: definitioner og sætninger (G, ) kaldesengruppe, når følgende aksiomer er opfyldt: 0) (G, ) er en organiseret (stabil) mængde: a, b G a b G 1) Den associative lov gælder, dvs.

Læs mere

Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3

Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3 Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3 Nøgleord og begreber Talpar, taltripler og n-tupler Linearkombination og span Test linearkombination Hvad er en matrix Matrix multiplikation Test matrix multiplikation

Læs mere

Eksamen i Lineær Algebra

Eksamen i Lineær Algebra Eksamen i Lineær Algebra Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet & Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Tirsdag den 8 januar, Kl 9- Nærværende eksamenssæt består af 8 nummererede sider

Læs mere

GEOMETRI-TØ, UGE 6. . x 1 x 1. = x 1 x 2. x 2. k f

GEOMETRI-TØ, UGE 6. . x 1 x 1. = x 1 x 2. x 2. k f GEOMETRI-TØ, UGE 6 Hvis I falder over tryk- eller regne-fejl i nedenstående, må I meget gerne sende rettelser til fuglede@imfaudk Opvarmningsopgave 1 Lad f : R 2 R være tre gange kontinuert differentierbar

Læs mere

Nøgleord og begreber Ortogonalt komplement Tømrerprincippet. [LA] 13 Ortogonal projektion

Nøgleord og begreber Ortogonalt komplement Tømrerprincippet. [LA] 13 Ortogonal projektion Oversigt [LA] 11, 12, 13 Nøgleord og begreber Ortogonalt komplement Tømrerprincippet Ortogonal projektion Projektion på 1 vektor Projektion på basis Kortest afstand August 2002, opgave 6 Tømrermester Januar

Læs mere

Oversigt [LA] 6, 7, 8

Oversigt [LA] 6, 7, 8 Oversigt [LA] 6, 7, 8 Nøgleord og begreber Lineære ligningssystemer Løsningsmængdens struktur Test løsningsmængde Rækkereduktion Reduceret matrix Test ligningssystem Rækkeoperationsmatricer Rangformlen

Læs mere

Polynomier. Indhold. Georg Mohr-Konkurrencen. 1 Polynomier 2. 2 Polynomiumsdivision 4. 3 Algebraens fundamentalsætning og rødder 6

Polynomier. Indhold. Georg Mohr-Konkurrencen. 1 Polynomier 2. 2 Polynomiumsdivision 4. 3 Algebraens fundamentalsætning og rødder 6 Indhold 1 Polynomier 2 Polynomier 2 Polynomiumsdivision 4 3 Algebraens fundamentalsætning og rødder 6 4 Koefficienter 8 5 Polynomier med heltallige koefficienter 9 6 Mere om polynomier med heltallige koefficienter

Læs mere

Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3

Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3 Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3 Nøgleord og begreber Koordinatvektorer, talpar, taltripler og n-tupler Linearkombination Underrum og Span Test linearkombination Lineær uafhængighed Standard vektorer Basis

Læs mere

Nøgleord og begreber. Definition 15.1 Den lineære 1. ordens differentialligning er

Nøgleord og begreber. Definition 15.1 Den lineære 1. ordens differentialligning er Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 15, 16, 17 Nøgleord og begreber 1. ordens lineær ligning Løsningsmetode August 2002, opgave 7 1. ordens lineært system Løsning ved egenvektor Lille opgave Stor opgave

Læs mere

Det Ingeniør-, Natur- og Sundhedsvidenskabelige basisår Matematik 2A, Forår 2007, Hold 4 Opgave A Kommenteret version

Det Ingeniør-, Natur- og Sundhedsvidenskabelige basisår Matematik 2A, Forår 2007, Hold 4 Opgave A Kommenteret version Det Ingeniør-, Natur- og Sundhedsvidenskabelige basisår Matematik 2A, Forår 2007, Hold 4 Opgave A Kommenteret version Opgaven består af et antal delopgaver Disse er af varierende omfang Der er også en

Læs mere

Matricer og lineære ligningssystemer

Matricer og lineære ligningssystemer Matricer og lineære ligningssystemer Grete Ridder Ebbesen Virum Gymnasium Indhold 1 Matricer 11 Grundlæggende begreber 1 Regning med matricer 3 13 Kvadratiske matricer og determinant 9 14 Invers matrix

Læs mere

(Prøve)eksamen i Lineær Algebra

(Prøve)eksamen i Lineær Algebra (Prøve)eksamen i Lineær Algebra Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet & Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Nærværende eksamenssæt bestaår af 9 nummererede sider med ialt 15 opgaver.

Læs mere

Affine transformationer/afbildninger

Affine transformationer/afbildninger Affine transformationer. Jens-Søren Kjær Andersen, marts 2011 1 Affine transformationer/afbildninger Følgende afbildninger (+ sammensætninger af disse) af planen ind i sig selv kaldes affine: 1) parallelforskydning

Læs mere

Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 15, 16, 17

Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 15, 16, 17 Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 15, 16, 17 Nøgleord og begreber 1. ordens lineær ligning Løsningsmetode August 2002, opgave 7 1. ordens lineært system Løsning ved egenvektor Lille opgave Stor opgave

Læs mere

DesignMat. Preben Alsholm. September Egenværdier og Egenvektorer. Preben Alsholm. Egenværdier og Egenvektorer

DesignMat. Preben Alsholm. September Egenværdier og Egenvektorer. Preben Alsholm. Egenværdier og Egenvektorer DesignMat September 2008 fortsat Eksempel : et Eksempel 4 () af I II uden I Lad V være et vektorrum over L (enten R eller C). fortsat Eksempel : et Eksempel 4 () af I II uden I Lad V være et vektorrum

Læs mere

Analyse 2. Gennemgå bevis for Sætning Supplerende opgave 1. Øvelser. Sætning 1. For alle mængder X gælder #X < #P(X).

Analyse 2. Gennemgå bevis for Sætning Supplerende opgave 1. Øvelser. Sætning 1. For alle mængder X gælder #X < #P(X). Analyse 2 Øvelser Rasmus Sylvester Bryder 3. og 6. september 2013 Gennemgå bevis for Sætning 2.10 Sætning 1. For alle mængder X gælder #X < #P(X). Bevis. Der findes en injektion X P(X), fx givet ved x

Læs mere

Eksamen i Lineær Algebra

Eksamen i Lineær Algebra To find the English version of the exam, please read from the other end Eksamen i Lineær Algebra Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet & Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Fredag

Læs mere

Kalkulus 2 - Grænseovergange, Kontinuitet og Følger

Kalkulus 2 - Grænseovergange, Kontinuitet og Følger Kalkulus - Grænseovergange, Kontinuitet og Følger Mads Friis 8. januar 05 Indhold Grundlæggende uligheder Grænseovergange 3 3 Kontinuitet 9 4 Følger 0 5 Perspektivering 4 Grundlæggende uligheder Sætning

Læs mere

Vektorrum. enote Generalisering af begrebet vektor

Vektorrum. enote Generalisering af begrebet vektor enote 7 1 enote 7 Vektorrum I denne enote opstilles en generel teori for mængder, for hvilke der er defineret addition og multiplikation med skalar, og som opfylder de samme regneregler som geometriske

Læs mere

To ligninger i to ubekendte

To ligninger i to ubekendte Oversigt [LA] 6, 7 Nøgleord og begreber Løs ligninger Eliminer ubekendte Rækkereduktion Reduceret matrix Enten-eller princippet Test ligningssystem Rækkeoperationsmatricer Beregn invers matrix Calculus

Læs mere

1 Vektorrum. MATEMATIK 3 LINEÆR ALGEBRA M. ANV. 4. oktober Miniprojekt: Lineær algebra på polynomier

1 Vektorrum. MATEMATIK 3 LINEÆR ALGEBRA M. ANV. 4. oktober Miniprojekt: Lineær algebra på polynomier MATEMATIK 3 LINEÆR ALGEBRA M. ANV. 4. oktober 2017 Miniprojekt: Lineær algebra på polynomier Grupperne forventes at regne de små opgaver i afsnittene 1 5 i løbet af de første 4 halve dage. Dernæst tilføjes

Læs mere

Mat10 eksamensspørgsmål

Mat10 eksamensspørgsmål Mat10 eksamensspørgsmål Martin Geisler 9. januar 2002 Resumé Dette dokument er en gennemgang af de eksamensspørgsmål der blev stillet til den mundtlige eksamen i Mat10, januar 2002

Læs mere

Lineær algebra: Lineære afbildninger. Standardmatricer

Lineær algebra: Lineære afbildninger. Standardmatricer Lineær algebra: Lineære afbildninger. Standardmatricer Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 2011 Lineære afbildninger En afbildning T : R n R m fra definitionsmængden R n ind i dispositionsmængden

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 5

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 5 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 5 Morten Grud Rasmussen 19. september, 2013 1 Euler-Cauchy-ligninger [Bogens afsnit 2.5, side 71] 1.1 De tre typer af Euler-Cauchy-ligninger Efter at

Læs mere

Eksamensnoter til Analyse 1

Eksamensnoter til Analyse 1 ksamensnoter til Analyse 1 Martin Geisler gimpster@daimi.au.dk Sommer 23 Indledning Disse noter gennemgår de 26 spørgsmål stillet til den mundtlige eksamen i Analyse 1 ved Aarhus Universitet sommeren 23.

Læs mere

Punktmængdetopologi. Mikkel Stouby Petersen. 1. marts 2013

Punktmængdetopologi. Mikkel Stouby Petersen. 1. marts 2013 Punktmængdetopologi Mikkel Stouby Petersen 1. marts 2013 I kurset Matematisk Analyse 1 er et metrisk rum et af de mest grundlæggende begreber. Et metrisk rum (X, d) er en mængde X sammen med en metrik

Læs mere

Besvarelser til Lineær Algebra med Anvendelser Ordinær Eksamen 2016

Besvarelser til Lineær Algebra med Anvendelser Ordinær Eksamen 2016 Besvarelser til Lineær Algebra med Anvendelser Ordinær Eksamen 206 Mikkel Findinge http://findinge.com/ Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan.

Læs mere

DesignMat Uge 11. Vektorrum

DesignMat Uge 11. Vektorrum DesignMat Uge 11 (fortsat) Forår 2010 Lad L betegne R eller C. Lad V være en ikke-tom mængde udstyret med en addition + og en multiplikation med skalar. (fortsat) Lad L betegne R eller C. Lad V være en

Læs mere

Calculus Uge

Calculus Uge Oversigt [S], [LA] Nøgleord og begreber Egenvektorer, egenværdier og diagonalisering Dobbelt integral og polært koordinatskift Ortogonal projektion og mindste afstand Retningsafledt og gradient Maksimum/minimums

Læs mere

Eksamen i Diskret Matematik

Eksamen i Diskret Matematik Eksamen i Diskret Matematik Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet 10. juni, 2016. Kl. 9-13. Nærværende eksamenssæt består af 11 nummererede sider med ialt 16 opgaver. Alle opgaver

Læs mere

x 2 + y 2 dx dy. f(x, y) = ln(x 2 + y 2 ) + 2 1) Angiv en ligning for tangentplanen til fladen z = f(x, y) i punktet

x 2 + y 2 dx dy. f(x, y) = ln(x 2 + y 2 ) + 2 1) Angiv en ligning for tangentplanen til fladen z = f(x, y) i punktet Eksamensopgaver fra Matematik Alfa 1 Naturvidenskabelig Kandidateksamen August 1999. Matematik Alfa 1 Opgave 1. Udregn integralet 1 1 y 2 (Vink: skift til polære koordinater.) Opgave 2. Betragt funktionen

Læs mere

Oversigt Matematik Alfa 1, August 2002

Oversigt Matematik Alfa 1, August 2002 Oversigt [S], [LA] Nøgleord og begreber Egenvektorer, egenværdier og diagonalisering Dobbelt integral og polært koordinatskift Ortogonal projektion og mindste afstand Retningsafledt og gradient Maksimum/minimums

Læs mere

Introduktion til Laplace transformen (Noter skrevet af Nikolaj Hess-Nielsen sidst revideret marts 2013)

Introduktion til Laplace transformen (Noter skrevet af Nikolaj Hess-Nielsen sidst revideret marts 2013) Introduktion til Laplace transformen (oter skrevet af ikolaj Hess-ielsen sidst revideret marts 23) Integration handler ikke kun om arealer. Tværtimod er integration basis for mange af de vigtigste værktøjer

Læs mere

t a l e n t c a m p d k Kalkulus 1 Mads Friis Anders Friis Anne Ryelund Signe Baggesen 10. januar 2015 Slide 1/54

t a l e n t c a m p d k Kalkulus 1 Mads Friis Anders Friis Anne Ryelund Signe Baggesen 10. januar 2015 Slide 1/54 Slide 1/54 Indhold 1 2 3 4 5 Slide 2/54 Indhold 1 2 3 4 5 Slide 3/54 1) Hvad er et aksiom? Slide 4/54 1) Hvad er et aksiom? 2) Hvorfor har vi brug for aksiomer? The Monty Hall Problem Slide 4/54 1) Hvad

Læs mere

1 Vektorrum. MATEMATIK 3 LINEÆR ALGEBRA 6. oktober 2016 Miniprojekt: Lineær algebra på polynomier

1 Vektorrum. MATEMATIK 3 LINEÆR ALGEBRA 6. oktober 2016 Miniprojekt: Lineær algebra på polynomier MATEMATIK 3 LINEÆR ALGEBRA 6. oktober 2016 Miniprojekt: Lineær algebra på polynomier Grupperne forventes at regne en mængde af opgaver, som tilsammen dækker 100 point. De små opgaver giver hver 5 point,

Læs mere