Sandsynlighedsteori 1.1 Uge 44.

Transkript

1 Institut for Matematiske Fag Aarhus Universitet Den 18. oktober Sandsynlighedsteori 1.1 Uge 44. Forelæsninger: Vi afslutter foreløbigt den rene mål- og integralteori med at gennemgå afsnittet Produktmål, eksistens og egenskaber. Hvis tiden tillader det, går vi i gang med at udnytte den gennemgåede teori i en sandsynlighedsteorisk sammenhæng, idet vi behandler afsnittene Sandsynlighedsfelter og stokastiske funktioner og Betingede sandsynligheder. (Siderne 93-97) Øvelser: 1) Vis at x 1/x og x log x begge er konvekse på intervallet J = (0, ). Vis ved brug heraf ulighederne b a b a f dλ 1 1 b 1/f dλ 1, b a a ( 1 b 1 ) b log f dλ 1 log f dλ 1 b a a b a a for alle a < b reelle tal og alle f L 1 (λ 1 ), så at f > 0 λ 1 -n.o. Vis endvidere ved brug af Cauchy-Schwarz s ulighed, at for ethvert sandsynlighedsmål µ på (R, B(R)) og alle f, g M(B(R)) + gælder Vink. f = ( f) 2. 2) Opgave 40. f g 1 µ-n.o. f dµ g dµ 1. 3) Gør rede for at L p (µ)-rummene er aftagende i p mht. til inklusion, hvis µ er et endeligt mål, hvorimod der i målrummet (R, B(R), λ 1 ) ikke gælder nogen inklusioner mellem L p 1 (λ 1 ) og L p 2 (λ 1 ), hvis p 1 p 2. (Se iøvrigt Opgave 38) Vink til det sidste. Betragt funktionerne x x α 1 ] 0,1 ] (x) og x x α 1 ] 1, ) (x) α R 1

2 og udnyt sammenhængen med Riemann integralet. 4) Opgave 44. 5) Lad h M(B(R)) være givet. Vis at 1 + ( 1 0 h dλ 1 ) h2 dλ h dλ 1. Overvej hvad dette betyder geometrisk, hvis h = f for f kontinuert differentiabel med f(0) = 0 og f(1) = 1. Afleveringsopgave: En af ovenstående opgaver eller flg.: Lad (E, E) betegne et måleligt rum og lad µ 1 og µ 2 være mål på E, så at µ 1 µ 2 med tæthed f ϕ, hvor f M(B(R)) + og ϕ M(E). Vis ved brug af den lille transformationssætning at µ 1 ϕ 1 µ 2 ϕ 1 med tæthed f. Slut heraf at hvis µ er et mål på (R, B(R)), som er absolut kontinuert mht. λ 1 med tæthed f og ϕ : x ax + b, hvor a > 0 og b R, så er µ ϕ 1 λ 1 med tæthed x 1/a f((x b)/a). Øvrige meddelelser: Timeplanen for forelæsningerne er nøjagtig som i første kvarter. Hvad øvelserne angår, er der oprettet to hold med flg. timeplan: Hold 1: Fredag 8-11 Øvelseslokale ( ) Hold 2: Mandag Kollokvium G3 ( ). SS2-holdet fortsætter uændret. Se opslag for holdfordelingen. Husk der er øvelser i uge 44. For at letteregøre brugen af noterne har jeg lavet en liste over de vigtigste begreber. Nummmeret anført efter begrebet henviser til det sidenummer, hvor det første gang optræder, dog kan der være tilfælde, hvor det er rimeligt at angive flere numre. Hvad angår noternes første 48 sider, har jeg brugt den reviderede udgave. Som det fremgår, indeholder listen emner uden nummer. Det drejer sig her om ting, der ikke gennemgås i de to første kvarterer. 0 Svend Erik Graversen 2

3 Index Absolut kontinuitet 41 Absolut kontinuert stokastisk variabel 94 Algebra 3 Arealmål 25 Beppo Levi s Sætning 39 Bernuilli variabel Betinget middelværdi 97 Betinget fordeling 97 Betinget mål 97 Betinget sandsynlighed 97 Betinget tæthed 97 Billedmål 23 Borel-Cantelli Lemma I 24 Borel-Cantelli Lemma II 106 Borel σ-algebra 9 Borel mål 29 Carathéodory s Lemma 74 Carathéodory s Udvidelsessætning 78 Cauchy-følge 63, 120 Cauchy-Schwarz s Ulighed 47 Cecaro-middel konvergens Central grænseværdisætning, klassisk udgave Central grænseværdisætning, Lyapounov s Sætning Central grænseværdisætning, Lindeberg s Sætning De store tals lov, Kolmogorov s Sætning De store tals lov, Marzinkiewicz- Zygmond s Sætning De store tals lov, L 2 -udgave De store tals lov, L 2 -udgave supplement De store tals lov, L α -udgave Den lille transformationssætning 40 Den lineære transformationssætning 88 Dirac mål 23 Diskret mål 23 Diskret stokastisk variabel 94 Diskret tæthedsfunktion 94 Doob s dekompositionssætning Doob s Ulighed d-system 6 Dynkin s Lemma 7 Empirisk gennemsnit Endeligt mål 22 Entydighedssætningen for karakteristiske funktioner 111 Euklidisk metrik 10, 119 Faktoriseringssætningen 21 Fatou s Lemma 37 Fatou s Lemma, betinget Filter First Hitting Time Flerdimensionale normalfordeling Fordelingsfunktion 93 Fordelingsmål 93 Fortætningspunkter 121 Fourier-transformerede 110 Fubini s Sætning 50 Fuldstændighed 64, 120 3

4 Hale-σ-algebra 105 Heine- Borel s Sætning 82 Helly-Bray s Sætning Helly s Lemma 129 Hilbert rum 65 Hölder s Ulighed 47 Hændelser, hændelsessystem 1 Indikator funktion 19 Indre regulær 29 Informations-σ-algebra Integral 32 Integrationsformel for ikke-negative integranter 51 Jensen s Ulighed 45 Jensen s Ulighed, betinget Karakteristisk funktion 110 Khinchine s Ulighed Kolmogorov s 0 1 lov 105 Kolmogorov s store tals lov Kolmogorov s Konsistenssætning 80 Kompakte mængder 30, 121 Kontinuitet 15, 120 Kontinuitetspunkt 62 Kontinuitetssætningen for karakteristiske funktioner Konveks funktion 45, 123 Konvergens i fordeling Konvergens i mål 53 Konvergens i p-middel 53 Konvergens n.o. 53 Koordinatvariable 93 Kovariansmatrice 96 Kronecker Lemma Lebesgue dekomposition 27 Lebesgue integral 43 Lebesgue mål 25 Lebesgue- målelig mængde 87 Lebesgue-Stieltjes mål 81 Lebesgue s Sætning om domineret konvergens 37 Lebesgue s Sætning om domineret konvergens, betinget Levy martingal Levy s Sætning Levy s Ulighed Lindeberg s Sætning Loven om total sandsynlighed 97, 104 Lukket mængde 9, 120 Lukket underrum 65 Lyapounov s sætning Længdemål 25 Marginalmål 25 Marginaltætheder 100 Markov kerne Markov s Ulighed 48 Martingal Martingal konvergenssætning Martingal maksimaluligheder Martingal Transforms Metrisk rum 9, 119 Middelværdi 95 Middelværdiafbildning 95 Middelværdivektor 96 Minkowski s Ulighed 47 Momentfrembringende funktion Momentfølge Momentproblem Monotone Klasse Lemma 21 Monoton konvergens Sætning 37 Monoton konvergens Sætning, betinget 4

5 Mål 22 Målelig funktion 13 Målelig mængde 3 Måleligt rum 2, 3 Målrum 2 n-dimensional normalfordeling Negativ del 17 Nulmængde 26 Opkrydsningsuligheder Optionalitet Optional Sampling, skrabet Optional Sampling Orthogonalitet 65 Ottaviani s Ulighed Parallelogramregelen 65 Partition 5 Polsk rum 30 Portmanteau Sætning I Portmanteau Sætning II Positiv del 17 Potensmængde 1 Predictabel proces Prekompakte mængder 122 Produktmetrik 11 Produktmål 25 Produkt-σ-algebra 7 Projektionsafbildning 15 Projektionssætningen 65 Prokhorov s Sætning Pseudometrik 119 Punktmål 23 Pythagoras 65 Radon-Nykodym afledet 41 Radon-Nykodym s Sætning 70 Regulær betinget fordeling Riemann integral 43 Riemann - Lebesgue Lemma 115 Riesz Repræsentationssætning 80 Rumfangsmål 25 Sandsynlighedsfelt 1, 93 Sandsynlighedsmål 1 Satureret 27 Scheffe s Lemma 58 Sektion 16 Separabel 9, 120 Simpelt mål 23 Simpel funktion 19 Singulært mål 27 Skalarprodukt 65 Standardbeviset 21 Stokastisk funktion 93 Stokastisk variabel 93 Stokastisk vektor 93 Stoptid Stramhed Subadditivitet 23 Submartingal Successiv betingning Sum-endeligt mål 22 Summabel P -n.o. Supermartingal Symmetrisering Tilpasset proces Tonelli s Sætning 50 Transformationssætningen 90 Transformationssætningen for tætheder 98, 99 Translationsinvarians 25 Trekantsuligheden 63, 119 Trunkering Tællelig additivitet 1 5

6 Tællelig frembragt 6 Tæthed 41 Uafhængighed, hændelser 101 Uafhængighed, mængdesystemer 101 Uafhængighed, stokastiske variable 103 Uafhængigt trekantsskema Udfaldsrum 1 Udvalgsaksiom 87 Uniform integrabilitet 55 Voksende proces Weierstrass-Bernstein s Sætning 108 Ydre mål 76 Ydre regulær 29 Ækvivalente metrikker 120 Ækvivalente mål 27 Åben kugle 9, 119 Åben mænde 9, 119 µ-integral 32 µ-kontinuert 27 µ-n.o. 26 µ-satureret 27 µ-singulær 27 µ-ækvivalent 27 σ-additiv 22 σ-algebra 1 σ-algebra, del σ-endeligt mål 22. 6