Konvergens i L 1 -forstand. Definition af L 1 -seminorm. Topologi i pseudometrisk rum. Seminorm til norm

Transkript

1 Definition af L 1 -seminorm Konvergens i L 1 -forstand Lad (X, E, µ) være et målrum. Husk at L(µ) er et reelt vektorrum. Vi definerer f 1 = f dµ for f L Definition En følge af funktioner f 1, f 2, L siges at konvergere i 1-middel mod en grænsefunktion f L hvis der gælder at f n f 1 0 for n. Vi ser at (i) f 1 0, (ii) a f 1 = a f 1 (iii) f + g 1 f 1 + g 1 (iv) f 1 = 0 f = 0 µ næsten overalt, Konklusion 1 er en seminorm på L(µ). Man kan udmærket have punktvis konvergens, altså at f n (x) f(x) for alle x, uden at have konvergens i 1-middel. Og man kan udmærket have konvergens i 1-middel uden at have punktvis konvergens - ja, uden at have næsten sikker konvergens.. p.1/17. p.2/17 Topologi i pseudometrisk rum Seminorm til norm En seminorm giver anledning til en pseudometrik, d(x, y) = x y I et pseudometrisk rum kan d(x, y) = 0 godt indtræde selv om x y En følge (x n ) konvergerer mod et grænsepunkt x hvis d(x n, x) 0 for n Advarsel I et pseudometrisk rum er grænsepunktet ikke altid entydigt! Sætning Et vektorrum V med seminorm går over i et vektorrum V med norm, når elementerne samles i klasser ved ækvivalensrelationen x y x y = 0. Eksempel For et vilkårligt målrum (X, E, µ) har vi defineret en seminorm på funktionsrummet L = L(X, E, µ) ved f 1 = f dµ, f L(X, E, µ). Det vektorrum, der dukker op i sætningen, skrives som regel L(X, E, µ). Ækvivalensrelationen bag konstruktionen er f g f g 1 = 0, eller. p.3/17 f g f = g µ-næsten sikkert.. p.4/17

2 Definition af L p -seminorm Duale eksponenter Lad (X, E, µ) være et målrum, og lad p være et reelt tal med p [1, ). En funktion f (X, E) er p-dobbelt integrabel med hensyn til µ hvis f p dµ <. Mængden af p-dobbelt integrable funktioner betegnes L p (X, E, µ). På L p (µ) defineres ( f p = f p dµ) 1/p f L p (X, E, µ) To tal p, q (1, ) er duale eksponter hvis 1 p + 1 q = 1. Ethvert p (1, ) har præcis én dual eksponent, nemlig q = Hvis p og q er duale eksponenter, så er p p 1. (p 1)(q 1) = 1. Sætning Mængden L p (X, E, µ) er et reelt vektorrum.. p.5/17. p.6/17 Youngs ulighed Hölders ulighed Lemma Lad p, q > 1 være duale eksponenter. Der gælder at uv up p + vq q Bevis Konveksitetsuligheden for u, v [0, ). ( ) exp αy + (1 α)z α e y + (1 α) e z for alle y, z R og α (0, 1), brugt på y = p log u, z = q log v, α = 1 p Sætning Lad (X, E, µ) være et målrum, og lad p, q > 1 være duale eksponenter. Hvis f L p (µ) og g L q (µ) så er f g L(µ) og f g dµ f p g q. Cauchy-Schwarz ulighed Lad (X, E, µ) være et målrum. Hvis f, g L 2 (µ) så er f g L(µ) og f gdµ f 2 g 2. Bevis Hölders ulighed for p = q = 2. (Virker kun for u > 0 og v > 0.). p.7/17. p.8/17

3 Minkowskis ulighed Seminorm til norm Sætning Lad (X, E, µ) være et målrum, og lad p 1. Hvis f, g L p (µ) så er f + g L p (µ) og f + g p f p + g p. Sætning Funktionsrummet L p (X, E, µ) med seminormen p går over i et vektorrum L p = L p (X, E, µ) med norm (som også skrives p ) når funktionerne samles i klasser ved ækvivalensrelationen Sætning Lad (X, E, µ) være et målrum, og lad p 1. Ved fastsættelsen ( f p = f p dµ) 1/p for alle f L p (µ), det vil sige f g f g p = 0, f g f = g µ-næsten sikkert. defineres en seminorm på funktionsrummet L p (µ).. p.9/17. p.10/17 Punktvis konvergens v. p-norm konvergens p-norm for forskellige p Sætning Lad (X, E, µ) være et målrum, og lad p [1, ). Lad f 1, f 2,... : X R være en følge af L p -funktioner. Antag at der findes en grænsefunktion f : X R sådan at f n (x) f(x) for n Sætning Hvis µ(x) <, og hvis 1 r s, så gælder der at L s (µ) L r (µ), og at f r f s µ(x) 1/r 1/s for alle f L s (µ). for alle x X. Hvis der findes en integrabel majorant g M + for følgen f 1 p, f 2 p,..., så er f L p (µ), og der gælder at f n f p 0 for n. Bevis Brug Hölders ulighed på f r L s/r, 1 L s/(s r) Bevis Funktionsfølgen f n (x) f(x) p Hvis µ(x) = 1 siger uligheden at f r f s. konvergerer mod nulfunktionen, majoriseret af 2 p g(x). Hvis µ(x) = : Ingen relation mellem r-norm og s-norm.. p.11/17. p.12/17

4 Simple funktioner er L p -tæt Cauchyfølger og fuldstændighed Sætning Lad (X, E, µ) være et målrum, og p [1, ). De simple L p -funktioner ligger overalt tæt i L p (µ). Bevis Hvis f L p med f 0, så findes S + -funktioner så s n ր f. Idet s n p f p ser vi at s n L p, og da s p n f p punktvist, majoriseret af f p, ser vi at f s n p 0. Hvis f L p ikke nødvendigvis er 0 kan vi skrive f = f + f. Find simple L p -funktioner s n og t n så f + s n 0, f t n 0 Lad (M, d) være et pseduometrisk rum. En følge (x n ) n N i M er en Cauchyfølge hvis der for alle ǫ > 0 findes et N N sådan at d(x n, x m ) < ǫ for alle n, m N. Eksempel En konvergent følge er en Cauchyfølge. Da vil s n t n være simple L p -funktioner, der konvergerer mod f. Definition (M, d) er fuldstændigt hvis enhver Cauchyfølge er konvergent.. p.13/17. p.14/17 Rækker i vektorrum med seminorm Konvergensprincippet for rækker Lad V være et vektorrum med seminorm. Konvergensprincip En absolut konvergent række er altid konvergent. Definition En uendelig række med led x k V er konvergent med sum s hvis n x k s 0 Definition Rækken er absolut konvergent hvis x k for n Dette princip er rigtigt i nogle vektorrum men forkert i andre. Sætning Et vektorrum V med seminorm er fuldstændigt hvis og kun hvis konvergensprincippet for rækker er opfyldt. x k <. p.15/17. p.16/17

5 Fischers fuldstændighedssætning Sætning Funktionsrummet L p (µ) er fuldstændigt for alle p [1, ). Bevis Vi viser at konvergensprincippet for rækker er opfyldt. Så tag g 1, g 2,... L p (µ) så g k p < Vis at g k(x) er p-dobbelt integrabel. Definer f(x) = g k(x) hvor meningsfuldt 0 ellers Vis at f L p (µ) og at n g k f p 0.. p.17/17