Tonelli light. Eksistensbeviset for µ ν gav målet. for G E K ved succesiv integration. Alternativ definition:

Transkript

1 Tonelli light Eksistensbeviset for µ ν gav målet ( ) λ(g) = G (x, y)dν(y) dµ(x) for G E K ved succesiv integration. Alternativ definition: ( ) λ(g) = G (x, y)dµ(x) dν(y). Som λ(a B) = µ(a)ν(b) gælder λ(a B) = µ(a)ν(b), og entydighed af produktmål giver det ikke-trivielle resultat om ombytning af integrationsrækkefølgen for σ-endelige mål: ( ) ( ) G (x, y)dµ(x) dν(y) = G (x, y)dν(y) dµ(x) Slide /5 Niels Richard Hansen MI forelæsninger. November,

2 Lebesguemålet af hyperplaner For lebesguemålet gælder m k = m k m. En hyperplan i R k er en mængde af formen H = {x R k x T v = c} for v R k ikke nul, og c R. Hvis v k m k (H) = H (y, t)dm(t) dm k (y) = } {{ } m(h y )= eftersom H y = {(c k i= v iy i )/v k }. Slide /5 Niels Richard Hansen MI forelæsninger. November,

3 Vægtede gennemsnit ν f = i,j= f ij µ i ν j ν ν µ µ µ f = (... ((((µ ν + µ ν ) + µ ν ) + µ ν ) + µ ν ) µ ν ) Slide /5 Niels Richard Hansen MI forelæsninger. November,

4 Vægtede gennemsnit ν f = i,j= f ij µ i ν j ν ν Addition er associativ µ µ µ f = µ ν + µ ν + µ ν + µ ν + µ ν µ ν Slide /5 Niels Richard Hansen MI forelæsninger. November,

5 Vægtede gennemsnit ν f = i,j= f ij µ i ν j ν ν Addition er kommutativ µ µ µ f = µ ν + µ ν + µ ν + µ ν + µ ν + µ ν + µ ν + µ ν + µ ν Slide /5 Niels Richard Hansen MI forelæsninger. November,

6 Vægtede gennemsnit ν f = i,j= f ij µ i ν j ν ν Multiplikation er distributiv µ µ µ f = (µ ν + µ ν + µ ν ) + (µ ν + µ ν + µ ν + µ ν ) + (µ ν + µ ν ) Slide /5 Niels Richard Hansen MI forelæsninger. November,

7 Vægtede gennemsnit og lebesgueintegralet Formlen f dµ ν = f ij µ i ν j i,j= = (µ ν + µ ν + µ ν ) + (µ ν + µ ν + µ ν + µ ν ) + (µ ν + µ ν ) = µ ν({(, ), (, ), (, )}) + µ ν({(, ), (, ), (, ), (, )}) + µ ν({(, ), (, )}) er analog til den måde lebesgueintegralet indføres ved approksimation med endelige summer. Værdimængden for f deles op, originalmængderne (her f ({}), f ({}), f ({})) findes, og integralet approksimeres nedefra som et vægtet gennemsnit. Slide 4/5 Niels Richard Hansen MI forelæsninger. November,

8 Hvad regnereglerne for + og giver Konsekvenserne af den associative, kommutatitive og distributive lov er betydelige. Summer af en aritmetisk progression n (a + bk) = an + bn(n + ). k= Binomialformlen (x + y) n = n k= ( ) n x k y n k. k Horners metode til evaluering af et polynomium p(x) = a + x(a + x(a +... x(a n + a n x)...)). Slide 5/5 Niels Richard Hansen MI forelæsninger. November,

9 Vægtede gennemsnit igen ν f = i,j= f ij µ i ν j ν ν µ µ µ f = µ ν + µ ν + µ ν + µ ν + µ ν + µ ν + µ ν + µ ν + µ ν Slide 6/5 Niels Richard Hansen MI forelæsninger. November,

10 Vægtede gennemsnit igen ν f = i,j= f ij µ i ν j ν ν Multiplikation er distributiv µ µ µ f = (µ + µ + µ )ν + (µ + µ + µ )ν + (µ + µ + µ )ν Slide 6/5 Niels Richard Hansen MI forelæsninger. November,

11 Vægtede gennemsnit igen ν f = i,j= f ij µ i ν j ν ν µ µ µ f = µ ν + µ ν + µ ν + µ ν + µ ν + µ ν + µ ν + µ ν + µ ν Slide 6/5 Niels Richard Hansen MI forelæsninger. November,

12 Vægtede gennemsnit igen ν f = i,j= f ij µ i ν j ν ν Multiplikation er distributiv µ µ µ f = (ν + ν + ν )µ + (ν + ν + ν )µ + (ν + ν + ν )µ Slide 6/5 Niels Richard Hansen MI forelæsninger. November,

13 Fubinis sætning for endelige summer Formlen (µ + µ + µ )ν +(µ + µ + µ )ν +(µ + µ + µ )ν = f = (ν + ν + ν )µ + (ν + ν + ν )µ + (ν + ν + ν )µ er Fubinis sætning for endelige summer. Dens generelle formulering er ( n n ) n n f = f ij µ i ν j = f ij ν j µ i. j= i= i= j= Slide 7/5 Niels Richard Hansen MI forelæsninger. November,

14 Produktmål på endelige mængder ν G {,..., n} {,..., n} ν Specielt gælder ν µ µ µ n µ ν(g) = G (i, j)µ i ν j = i,j= n ν(g i )µ i i= for snitmængder G i = {j (i, j) G}. Slide 8/5 Niels Richard Hansen MI forelæsninger. November,

15 Produktmål på endelige mængder ν G {,..., n} {,..., n} ν Specielt gælder ν µ µ µ n µ ν(g) = G (i, j)µ i ν j = i,j= n ν(g i )µ i = i= n µ(g j )ν j j= for snitmængder G i = {j (i, j) G} hhv. G j = {i (i, j) G}. Slide 8/5 Niels Richard Hansen MI forelæsninger. November,

16 Forurening Riemanns tilgang y x Slide 9/5 Niels Richard Hansen MI forelæsninger. November,

17 Forurening Riemanns tilgang Hvis g : G [, ) betegner den lokale PAH koncentration henover byggegrunden G R, så er riemannapproksimation af den totale forurening Rie n (g) := i g(z i ) G (z i )areal(b i ) hvor B i erne er disjunkte kasser med sidelængder n, G i B i, og z i = (x i, y i ) B i. Dvs. areal(b i ) = n n = n. Slide /5 Niels Richard Hansen MI forelæsninger. November,

18 Forurening Riemanns tilgang y x Slide /5 Niels Richard Hansen MI forelæsninger. November,

19 Forurening Riemanns tilgang Per konstruktion Rie n (f ) = ( m m ) G x k (y l )g(x k, y l ) n k= l= ( m ) b(xk ) g(x k, y) dy k= d c a(x k ) ( ) b(x) g(x, y) dy dx a(x) n n for n stor. Her er G x = {y R (x, y) G} = (a(x), b(x)) Slide /5 Niels Richard Hansen MI forelæsninger. November,

20 Det multivariate riemannintegral Det er muligt at indføre det multivariate riemannintegral af kontinuerte funktioner g over pæne mængder G (specielt kasser), således at lim Rie n(g) = g(x, y) dxdy n G ( d ) b(x) = g(x, y) dy dx = c b a a(x) ( ) d(y) g(x, y) dx dy c(y) Riemannintegralet kræver ikke målteoriens abstraktion, på bekostning af et betydeligt bøvl med geometriske betingelser på G. Slide /5 Niels Richard Hansen MI forelæsninger. November,

21 Forurening Lebesgues tilgang En lebesgueapproksimation til den totale forurening er Leb n (g) := n s i m (B i ) i= with B i = g ([s i, s i+ )) G and s < s <... < s n+. For G B, og g er B B-målelig Leb n (g) g dm =?? for n. Det er ikke oplagt, hvordan vi rent faktisk skal beregne lebesgueintegralet. G Slide 4/5 Niels Richard Hansen MI forelæsninger. November,

22 Forurening Lebesgues tilgang y x Mængderne B i = g ([s i, s i+ )) Leb 5 (g) = s m (B )+s m (B )+s m (B )+s 4 m (B 4 )+s 5 m (B 5 ) Slide 5/5 Niels Richard Hansen MI forelæsninger. November,

23 Tonellis sætning Sætning (EH 9.4, 9.5) Hvis (X, E, µ) og (Y, K, ν) er to σ-endelige målrum, og f M + (X Y, E K) så gælder ( ) ( ) f dµ ν = f (x, y)dν(y) dµ(x) = f (x, y)dµ(x) dν(y). Hvis f M + (X, E) og g M + (Y, K), så gælder ( ) ( ) fgdµ ν = f dµ gdν. I ord: Integralet af et produkt mht. et produktmål er produktet af integralerne. Slide 6/5 Niels Richard Hansen MI forelæsninger. November,

24 Example 9.9 y x x dx = z y dz Tonelli (og Cor. 6. igen) medfører x = = n= n= y x dydx = (zy) n dz y n n + n= en ikke-triviel men klassisk substitution ombytning af summation og integration ved Cor. 6. Slide 7/5 Niels Richard Hansen MI forelæsninger. November, (n + )

25 Eksempel 9.9 eftersom Det giver (n + ) = n= = y x dy = arcsin( x) x d dw arcsin(w) =. w arcsin( x) x x dx w arcsin(w)dw (subst. w = x) = (arcsin(w)) = π 8 Slide 8/5 Niels Richard Hansen MI forelæsninger. November, = ( π )

26 Eksempel 9.9 Identiteten y x x dxdy = følger af Tonelli. Den medfører n= (n + ) = π 8. y x x dydx Slide 9/5 Niels Richard Hansen MI forelæsninger. November,

27 Forurening reduktion fra d to d Den teoretiske (gennemsnitlige) koncentration er c = f (x, y, z) dm (x, y, z) m (G [, ]) G [,] hvor f : G [, ] [, ). Da m = m m er m (G [, ]) = m (G)m([, ]) = m (G). Ved Tonelli er f (x, y, z) dm (x, y, z) = f (x, y, z) dm(z) dm (x, y). G [,] G [,] } {{ } g(x,y) Dvs. c = g(x, y) dm (x, y). m (G) G Slide /5 Niels Richard Hansen MI forelæsninger. November,

28 Målelighed Lad (X, E) og (Y, K) være målbare rum. Sætning (EH 8.7, 8.8) Hvis ν er et σ-endeligt mål på (X, E) og ϕ(x) = f (x, y) dν(y) så gælder at ϕ er veldefineret, tager værdier in [, ] og er målelig, hvis f tager værdier i [, ] og er målelig. ϕ er veldefineret, tager værdier i R, og er målelig, hvis f tager værdier i R, er målelig, og har ν-integrable snit y f (x, y) for alle x. Slide /5 Niels Richard Hansen MI forelæsninger. November,

29 Bevis for sætning 8.7 Vi beviste sidst målelighed af ϕ(x) = G (x, y) dν(y) for G E K. Dvs. for en simpel funktion s = n i= c i Gi er funktionen n ϕ(y) = s(x, y) dµ(x) = c i Gi (x, y) dµ(x) målelig. Ved approksimation af f M + (X Y, E K) nedefra med en voksende følge af simple funktioner, s n f, følger af monoton konvergens at ϕ(x) = f (x, y) dν(y) = lim s n (x, y) dν(y) n er målelig. Slide /5 Niels Richard Hansen MI forelæsninger. November, i=

30 Bevis for Tonellis sætning Som på foregående slide f (x, y) dν(y) = ϕ(x) = lim n n i= Gi (x, y) dν(y) og ved monoton konvergens og linearitet n ( ) ϕ(x)dµ(x) = lim Gi (x, y) dν(y) dµ(x) n = lim n i= n µ ν(g i ) i= n = lim Gi dµ ν n i= = f dµ ν. Slide /5 Niels Richard Hansen MI forelæsninger. November,

31 Fubinis Sætning Sætning (EH 9.) Hvis (X, E, µ) og (Y, K, ν) er to σ-endelige målrum, og hvis f M(X Y, E K) er integrabel mht. µ ν så gælder ( ) ( ) f dµ ν = f (x, y)dν(y) dµ(x) = f (x, y)dµ(x) dν(y) A B hvor A E med µ(a c ) = og B K med ν(b c ) =. Mængderne A og B kan vælges som A = {x X f (x, y) dν(y) < } og B = {y Y f (x, y) dµ(x) < }. Slide 4/5 Niels Richard Hansen MI forelæsninger. November,

32 Bevis for sætning 8.8 og Fubini Ved for f med ν-integrable snit er ϕ(x) = f (x, y) dν(y) = f (x, y) = f + (x, y) f (x, y) f + (x, y) dν(y) f (x, y) dµ(y) for alle x. Højresiden er en differens af to reelle, og ved sætning 8.7, målelige funktioner. Dvs. ϕ(x) R og ϕ er målelig. Integrabilitet af f mht. µ ν og Tonelli giver µ(a c ) = ν(b c ) =, og igen ved Tonelli ϕ(x) dµ(x) = f + dµ ν f dµ ν = f dµ ν. A Slide 5/5 Niels Richard Hansen MI forelæsninger. November,