[BM] Mål- og integralteori, af Christian Berg og Tage Gutmann Madsen, Københavns Universitet, 2001.
|
|
- Per Lorentzen
- 5 år siden
- Visninger:
Transkript
1 INTEGRATIONS- OG FOURIERTEORI 2. februar 2009 Oversigt nr. 1 Lærebogen for kurset er [BM] Mål- og integralteori, af Christian Berg og Tage Gutmann Madsen, Københavns Universitet, Den skulle være klar i boghandlen, men kan også tilgås via nettet: Jeg regner med at vi gennemgår bogen i sin helhed, idet den ret nøjagtigt dækker kursets indhold. Bogen giver en lettilgængelig indføring i et centralt område af den moderne matematik, nemlig integrationsteorien. Det kunne måske være nyttigt at give en meget kortfattet beskrivelse af, hvad det hele går ud på: Hvis f : X R er en funktion fra en vilkårlig mængde, og hvis f er simpel, dvs. kun antager endeligt mange værdier {y 1,..., y n }, så er essensen af Lebesgues integralbegreb at vi tilskriver f følgende integral, f dx = y 1 m(f 1 ) + y 2 m(f 2 ) + + y n m(f n ). (1) X Herved er F j X den delmængde hvori f antager værdien y j, og m(f j ) skal læses som størrelsen ( målet ) af F j. På den ene side er dette både naturligt og bemærkelsesværdigt, fordi mængden X kan være vilkårlig (og ikke er en delmængde af hverken R eller R n ). På den anden side er det klart at man må give en præcis mening til målet m(f j ). Det vil vi gøre en gang for alle i kursets begyndelse, og som I vil få at se er hele det resulterende integralbegreb en konstruktion, som er meget slagkraftig. Dette skyldes ganske enkelt at sætningerne er nemmere at bruge i praksis. Størstedelen af landvindingerne i den matematiske analyse og sandsynlighedsregningen i det 20. århundrede har på afgørende måde været baseret på Lebesgues integralbegreb, som I altså nu skal møde. Men mere om anvendelserne senere. En tentativ lektionsplan findes på næste side. Første gang, tirsdag den 3. februar. Vi mødes kl i aud. G5-109 og drøfter organiseringen af kurset. Siden jeg vil gennemgå til og med kapitel 1 i [BM]. Og I får tid til at regne opgaverne til kapitel 0. Næste gang ser vi på dem til kapitel 1. 1
2 INTEGRATIONS- OG FOURIERTEORI Oversigt nr. 2 (Nedenstående datoer og emner er opdaterede pér 2. februar.) Uge Dato Seance Emner 6 3/2 1 kapitel 0+1: Den udvidede reelle akse; summer. Målelige mængder; σ-algebra. 7 10/2 2 kapitel 2: Målelige afbildninger og mål. 9 24/2 3 kapitel 3+4: Mål, næsten overalt. Integral af positive målelige funktioner. 10 3/3 4 kapitel 4: Integral af reelle og komplekse funktioner /3 5 kapitel 4: Majorantsætningen. Afledte målrum. Integral med reel parameter /3 6 kapitel 5: Lebeguemålets entydighed. Lokal integrabilitet. Radonmål /3 7 kapitel 5: Invarians. Målforhold. Transformationssætningen. Cantors mængde /3 8 kapitel 5: Konstruktion af Lebesguemålet på aksen (appendix). 15 7/4 9 kapitel 6: Produktmål. Tonelli og Fubinis sætninger /4 10 kapitel 6: Anvendelser af Fubinis sætning /4 11 kapitel 7: Lebesguerummene L p og fuldstændighed /4 12 kapitel 7: L. Tæthed af C c (R k ) for 1 p < /4 13 kapitel 8: Fouriertransformationen og Schwartzrummet. 20 5/5 14 kapitel 8: Foldning på R k. 21 6/5 15 kapitel 8: Fourier-Plancherels transformation. Ændringer kan naturligvis forekomme undervejs. 2
3 INTEGRATIONS- OG FOURIERTEORI 3. februar 2009 Oversigt nr gang, tirsdag den 10. februar. Vi gennemgår kapitel 2 og begrebet mål fra kapitel 3. Vi skal her gentagne gange udnytte: hvis E i er en σ-algebra i en mængde X for hvert i I, da er også i I E i en i σ-algebra i X. Sætning 1.2 om at der til hvert system af delmængder D X findes en mindste σ-algebra, kaldet σ(d), indeholdende D. Noter også at σ(d) kaldes σ-algebraen frembragt af D; og at D kaldes et frembringersystem for denne algebra. Dette er også hovedingrediensen i opgaverne til kapitel 1. Regn Vedr. opgave 1.6, så skal man nok bruge at metrikken d(x, y) = arctan x arctan y (2) giver de samme åbne mængder på R som den sædvanlige metrik. (For at se dette er det nok at vise de to metrikker har de samme lukkede mængder; men pga. kontinuiteten af tan og arctan følger dette af at x n x mht. d(x, y) hvis og kun hvis der er konvergens i vanlig metrik.) 3. gang, tirsdag den 24. februar. Fra gennemgås resten af kapitel 3 og kapitel 4.1 om Lebesgues integralbegreb. Ved opgaverne varmer I op med at vise at der, for en vilkårlig afbildning f : X Y og delmængder af Y, gælder f 1 ( j J B j ) = j J f 1 (B j ), f 1 ( j J B j ) = j J f 1 (B j ). (3) Gælder noget tilsvarende for billeder i stedet for urbilleder? Afklar hvorvidt polynomier R R og exp samt sin er målelige, dvs. Borelfunktioner. Er en potensrække n=0 a n(z z 0 ) n, betragtet som en kompleks funktion på sin konvergenscirkel, målelig? Dernæst kan I regne opgaverne Endelig gamle opgaver, hvis der er tid til overs. 3
4 INTEGRATIONS- OG FOURIERTEORI 24. februar 2009 Oversigt nr. 4 Vi fik idag gjort kapitel 3 færdigt og gennemgik side Som det gerne skulle fremgå af kapitel 3.2 (og kursets fortsættelse) er begrebet nulmængder til for at holde regnskab med at ting går galt i kun ubetydelige mængder. Det anbefales at repetere eksempel Resultatet herfra indgår i den følgende teori, og metoden bruges også i den første opgave (2.6). Overvej hjemmefra bogens påstand side 4.1 at f + g og cf er E-målelige for alle f, g M +, c [0, ]. Overvej også at f s M + fire linier under formel (iv) side 4.3. (Igen er Eksempel 2.15 et af de mulige hjælpemidler.) 4. gang, tirsdag den 3. marts. Vi gennemgår først eksistensdelen af Hovedsætning 4.2 og fortsætter dernæst med afsnit om integration af reelle og komplekse funktioner. Dog udskydes beviset for Hovedsætning 4.15 til næste gang. Dernæst er der opgaver i: målelighed: Opgave 2.6 resultatet er vel egentlig overraskende!? (Man kan søge inspiration i eksempel 2.15 og sætning 0.1.) frembringersystemer: Eftervis de vigtige resultater i opgave 2.7 (jvf. opgaven sidste gang om at en holomorf funktion er Borelmålelig på dens konvergenscirkel(-skive)). Hvor meget af opgave 1.6 følger heraf? mål: opgave 3.6 (+evt. 3.3) og 3.7. aksiomerne for mål: belyses gennem opgave 3.4; her er m Lebesguemålet, som vi pt. accepterer eksistensen af (ad 2 : Man kan lade J = R). Desuden næsten overalt: opgave gang, tirsdag den 10. marts. Her vil målet være at gøre kapitel 4 færdigt; jævnfør lektionsplanen. Dog nedprioriteres i første omgang. Dernæst laver vi opgaver i faldgruber: Opgave 4.3. monotonisætningen: Regn 4.4. (Vink: Læs integration af f over ]1, n] som integration af f1 ]1,n] over R.) almen træning: modeksempler: Lav opgave 4.12 (nem!). 4
5 INTEGRATIONS- OG FOURIERTEORI 10. marts 2009 Oversigt nr. 5 Idag fik vi afsluttet kapitel 4, pånær som vi vender tilbage til efterhånden. Dog bedes I selv læse om integrabilitet mm. for komplekse funktioner. Både definitionen og beviserne udnytter at man først har ordnet tilfældet med reelle funktioner; dette lader sig så anvende på real- og imaginærdelene hver for sig. Bemærk at selvom der også for f : X C gælder at f er Lebesgueintegrabel hvis og kun hvis f er det, så er der behov for en særskilt bevisteknik for uligheden f dµ f dµ. (4) X X 6. gang, tirsdag den 17. marts. Vi gennemgår 4.4 om integration over delrum og fortsætter med kapitel 5.1 samt udvalgte dele af Blandt opgaverne lægger vi ud med 4.41 for at belyse, hvordan de gennemgåede sætninger kan anvendes i analyse. (Jvf. afsnit 4.7.) Regn også fra sidste gang de er ej svære. Desuden opgaverne (Vink: Majorantsætningen!). 7. gang, tirsdag den 24. marts. Vi fortsætter her med gennemgangen af 4.5 og kapitel 5; antageligt når vi til og med 5.4. For at øve tingene regnes opgaver i Billedmål: Anvendelse: 4.42 om gammafunktionen (en glat udgave af n!). Lokalt integrable funktioner: (bruges ofte). σ-klasser: Eventuelt gamle opgaver. 5
6 INTEGRATIONS- OG FOURIERTEORI 1. april 2009 Oversigt nr. 6 Vi fik 8. gang gennemgået kapitel og regnet gamle opgaver. Det blev overladt til jer selv at læse i 4.6 om standardeksemplet med definition og behandling af summer via integration mht. tællemålet τ a j = a j dτ. (5) j J Bemærk at man skriver l(j) i stedet for L(J, P(J ), τ); og at man for J = N har følgerummet l = l(n), som består af alle absolut konvergente talfølger (hvorfor?). Som lovet gives her et bekvemt argument for at enhver isometri T : R n R n er affin, endda af formen T (x) = Ox+a for a R k og en ortogonal matrix O (dvs. O t = O 1 ): Pér definition opfylder en isometri T at J T (x) T (y) = x y for alle x, y R n. (6) Man kan gerne antage T (0) = 0, for T T (0) er også en isometri, så det rækker at vise den har formen Ox. For y = 0 ses så at T er normbevarende, T (x) = x. Fordi normen udspringer af det indre produkt, dvs. x 2 = ( x x ), ses at x y 2 = x 2 + y 2 2( x y ) (7) og da man i alle normerne kan erstatte x med T (x), og y med T (y), uden at ændre værdien, fås ( T (x) T (y) ) = ( x y ) for alle x, y R n. (8) T er derfor skalarproduktbevarende, og for den naturlige basis (e 1,..., e n ) gælder så at ( T (e j ) T (e k ) ) = δ jk, hvorfor også (T (e 1 ),..., T (e n )) er en ortonormal basis for R n. Af opskrivningen T (x) = λ j T (e j ) følger nu ved at tage indre produkt med T (e k ) at λ k = ( T (x) T (e k ) ), og derfor er T (x) = ( T (x) T (e j ) )T (e j ) = ( x e j )T (e j ). (9) j=1,...,n j=1,...,n Sidste udtryk afhænger lineært af x, følgelig er T (x) = Ox for en n n-matrix O. Nu medfører (8) at O t Ox = x, hvoraf O t = O 1 følger som ønsket. 9. gang, tirsdag den 7. april. Vi begynder med 5.6, især Cantors mængde. Dernæst gennemgås kapitel 6 til og med Tonellis og Fubinis sætninger. Disse omhandler integration over produktmængder, så vi må dog først diskutere emnet produktmål. 6
7 Til dagens øvelser beskæftiger vi os med følgende emner: Lokal integrabilitet: Lav 5.13 (nem). 1 For hvilke a > 0 er funktionen (hvor x > 2) integrabel i? Vink: x(log x) a En stamfunktion kan opskrives! Bemærk dog at a = 1 er et særtilfælde, med en anderledes stamfunktion. Invarians: Konkretiser i fællesskab linie 4 8 side 96: Hvordan udledes formlen af sætning 5.15? Vis på lignende måde at sætning 5.18 medfører Jacobis transformationsformel (sætning 5.26) i det lineære tilfælde, dvs. når ϕ(y) = Gy, G GL(k). Gennemsku dernæst 5.22! Modeksempler: Regn Følgeton om Lebesgue-målets eksistens: Regn som en start. Læg hovedvægten på k = 1! 7
8 INTEGRATIONS- OG FOURIERTEORI 14. april 2008 Oversigt nr. 7 Jacobis transformationsformel i afsnit 5.7 har vi bevist for lineære transformationer, i kraft af sætning 5.18 (jvf. opgaven sidste gang). Et alment bevis baseret på de gennemgåede dele af teorien findes i afsnit 5.3 af D. W. Stroock: A concise introduction to the theory of integration (Birkhäuser 1999). Det bør nok bemærkes, at vi forbigår afsnit 5.8. Afsnit 5.9 kan læses af de interesserede. Blandt andet godtgør overførslen af Lebesguemålet til et vilkårligt euklidisk rum (som jo kunne være R k med en anden ortonormal basis end den kanoniske) at Lebesguemålet m k i R k ikke er knyttet til koordinatakserne, som man måske kunne tro fordi v k er det. 10.gang, tirsdag den 14. april. Vi gennemgår eksempel 5.21 og 5.22 samt resten af kapitel 6 med bevis for Fubinis sætning, og visse af de efterfølgende anvendelser. Blandt opgaverne ser vi på: Målforhold: Som opvarmning regnes Vink: kugler er rotationsinvariante! Produkt-σ-algebraer: Lav 6.2(let) og 6.3. Følgeton om Lebesguemålet: Begynd på 5.3. Vink: Punkt (iii) kan eftervises ved at indsætte E F i formlen for α(a) og bruge formlen igen på leddet α(a (E F )). Desuden opgaver fra sidste gang. 11. gang, tirsdag den 21. april. Vi gennemgår først eksempel 6.18 og Dernæst kapitel om funktionsrummene L p (X, E, µ) for 1 p < og Hölders og Minkowskis uligheder. Desuden er der opgaver i: Produkt sigma-algebra: 6.5, 6.6. Tonelli og Fubini: Transformationssætningen (5.26): Regn Volumen: Cantor Lebesgues funktion: Regn (Det vigtigste er at gennemskue trialbrøksudviklingen.) Følgeton om Lebesguemålet: Regn resten af 5.3 (Vi må snakke om den tællelige forening, men resten kan fås deraf!) og begynd på 5.4 (ikke så svær som 5.3, desuden skulle I nu kunne ane, hvordan eksistensen opnås). 8
9 INTEGRATIONS- OG FOURIERTEORI 27. april 2009 Oversigt nr gang, tirsdag den 28. april. Først gennemgås resten af kapitel 7. I øvelserne begynder vi med at eftervise formlen for Delvis integration: Hvis f og g er to Borel funktioner R R som er integrable på [a, b], da gælder om vilkårlige stamfunktioner F (x) = F (a) + x f(t) dt a og G(x) = G(a) + x g(t) dt at a b a f(x)g(x) dx = [F (x)g(x)] x=b x=a b a F (x)g(x) dx (10) Vink: Brug Fubinis sætning til at integrere f(x)g(y) over trekanten af de (x, y) hvor a x b og a y x. (Tegn området!) Mere Tonelli/Fubini: Regn dernæst 6.28 (og tænk over i hvilken sammenhæng du senest har benyttet dette resultat!). Desuden Om L p : Regn opg og eftervis formel (1) i kap Følgeton om Lebesguemålet: Regn resten af (overkommeligt nu). 13. gang, onsdag den 29. april, NB! kl Her gennemgår vi kapitel 8.1 og 8.2. Som opgaver tager vi 7.19, 7.12; 8.4, 8.1 og 7.15 (brug Hölder) samt NB! Husk vi har eksamen tirsdag den 19. maj! 9
10 INTEGRATIONS- OG FOURIERTEORI 29. april 2009 Oversigt nr gang, tirsdag den 5. maj. Fra gennemgås kapitel 8.2 og 8.3. Emnerne til opgaverne er : Fouriertransformationen: Regn 8.2 og Leibniz regel: Lav 8.3. Om L : Regn 7.20 for at se endnu en begrundelse for navnet L. Tæthed af C c : Indse at når F R n er lukket så gælder der om afstanden til F, dvs. d(x, F ) = inf{ x z z F }, at d(x, F ) = 0 netop når x F ; Funktionen x d(x, K) er Lipschitz-kontinuert med konstant 1, dvs. at d(x, K) d(y, K) d(x, y). Verificer påstanden i Bemærkning 5.9 om Radonmål, at (i) = (ii) for X = R k. (Jvf. beviset for sætning 7.28.) Vink: Klart at µ(b) sup K µ(k). Lad så D betegne systemet af Borel mængder B for hvilke, der gælder lighed. Vis at D indeholder de åbne mængder G, og at D er en σ-klasse. 15. gang, onsdag 6. maj. Her gennemgår vi fra kl så meget om Fouriertransformationen på L 2 som vi kan nå fra kapitel 8.4. Bagefter ser vi på opgaverne og gamle opgaver. 10
11 INTEGRATIONS- OG FOURIERTEORI 29. april 2009 Oversigt nr. 10 Pensum og eksamen. Pensum er det gennemgåede notesæt af C. Berg og T. Gutmann Madsen Målog integralteori. Dog er afsnittene 5.8 9, 6.5 og appendikset kursoriske. Til den mundtlige eksamen den 19. maj kan man trække et af følgende spørgsmål: (1) Lebesgueintegral og integrabilitet. (2) Entydighedssætningen for mål. (3) Invarians af Lebesguemålet; målforhold. (4) Produktmål. (5) Tonellis og Fubinis sætninger. (6) Hölders og Minkowskis uligheder. (7) Lebesguerummene L p og deres fuldstændighed. (8) Fouriertransformationen på R k. (9) Parsevals ligning. (10) Foldning på R k. Man forventes selv at tale ca. 25 minutter om det trukne emne. Der er 30 minutters forberedelsestid til hver eksaminand. Naturligvis kan der også forekomme supplerende spørgsmål i kursets hovedpunkter. Spørgsmål fra jeres side kan stilles mandag den 18. maj klokken på mit kontor (som udgangspunkt). 11
[BM] Mål- og integralteori, af Christian Berg og Tage Gutmann Madsen, Københavns Universitet, 2001.
INTEGRATIONS- OG FOURIERTEORI 31. januar 2012 Oversigt nr. 1 Lærebogen for kurset er [BM] Mål- og integralteori, af Christian Berg og Tage Gutmann Madsen, Københavns Universitet, 2001. Den skulle være
Læs mereMATEMATIK 6 INTEGRATIONSTEORI 3. marts 2015 Oversigt nr. 1
INTEGRATIONSTEORI 3. marts 2015 Oversigt nr. 1 Lærebogen for kurset er [BM] Mål- og integralteori, af Christian Berg og Tage Gutmann Madsen, Københavns Universitet, 2001. Den kan nok købes på KU, men kan
Læs mereMATEMATIK 6 INTEGRATIONSTEORI 28. januar 2016 Oversigt nr. 1
INTEGRATIONSTEORI 28. januar 2016 Oversigt nr. 1 Lærebogen for kurset er [BM] Mål- og integralteori, af Christian Berg og Tage Gutmann Madsen, Københavns Universitet, 2001. Den kan tilgås via nettet: http://www.math.ku.dk/uddannelser/noter/
Læs mereOversigt nr. 1. n+2. n(n + 2) n=1. konvergerer ikke uniformt på [0, 1], så teknikkerne fra
INTEGRATIONSTEORI 1. februar 2019 Oversigt nr. 1 Lærebog. I dette kursus følger vi i store træk mine noter, som I kan finde på moodle-siden. Det vil løbende blive opdateret, så nøjes venligst med at printe
Læs mereMATEMATIK 6 INTEGRATIONSTEORI 1. februar 2017 Oversigt nr. 1
INTEGRATIONSTEORI 1. februar 2017 Oversigt nr. 1 Lærebog. I dette kursus følger vi [BM] Mål- og integralteori; Christian Berg og Tage Gutmann Madsen, Københavns Universitet, 2001. Den kan tilgås via nettet:
Læs meren+2 n(n + 2) n=1 konvergerer ikke uniformt på [0, 1], så teknikkerne fra
INTEGRATIONSTEORI 1. februar 2018 Oversigt nr. 1 Lærebog. I dette kursus følger vi i store træk [BM] Mål- og integralteori; Christian Berg og Tage Gutmann Madsen, Københavns Universitet, 2001. Den kan
Læs mereSupplerende opgaver. S1.3.1 Lad A, B og C være delmængder af X. Vis at
Supplerende opgaver Analyse Jørgen Vesterstrøm Forår 2004 S.3. Lad A, B og C være delmængder af X. Vis at (A B C) (A B C) (A B) C og find en nødvendig og tilstrækkelig betingelse for at der gælder lighedstegn
Læs mereHistogrammetoden For (x i, y i ) R 2, i = 1,..., n, ser vi på den gennemsnitlige
Histogrammetoden For (x i, y i ) R 2, i = 1,..., n, ser vi på den gennemsnitlige længde: z = 1 n hvor z i = xi 2 + yi 2. n z i = 1 n i=1 n i=1 x 2 i + y 2 i Indfør tabellen samt vægtene Da er a k = #{i
Læs mereHilbert rum. Chapter 3. 3.1 Indre produkt rum
Chapter 3 Hilbert rum 3.1 Indre produkt rum I det følgende skal vi gøre brug af komplekse såvel som reelle vektorrum. Idet L betegner enten R eller C minder vi om, at et vektorrum over L er en mængde E
Læs mereHistogrammetoden For (x i, y i ) R 2, i = 1,..., n, ser vi på den gennemsnitlige. Histogrammetoden. Histogrammetoden.
For ( i, y i ) R 2, i =,, n, ser vi på den gennemsnitlige længde: z = n hvor z i = i 2 + yi 2 Indfør tabellen samt vægtene Da er z i = n 2 i + y 2 i a k = #{i 00z i = k}, k N 0 z ned := ν k = a k n 00kν
Læs mereEksamen 2014/2015 Mål- og integralteori
Eksamen 4/5 Mål- og integralteori Københavns Universitet Institut for Matematiske Fag Formalia Eksamensopgaven består af 4 opgaver med ialt spørgsmål Ved bedømmelsen indgår de spørgsmål med samme vægt
Læs mereANALYSE 1, 2014, Uge 5
ANALYSE, 204, Uge 5 Afleveringsfrist for Prøve 2 er Tirsdag den 20/5 kl 0:5. Forelæsninger Tirsdag Vi går videre med Afsnit 4 om uniform konvergens af Fourierrækker, hvor hovedsætningen er Sætning 4.3.
Læs mereKonvergens i L 1 -forstand. Definition af L 1 -seminorm. Topologi i pseudometrisk rum. Seminorm til norm
Definition af L 1 -seminorm Konvergens i L 1 -forstand Lad (X, E, µ) være et målrum. Husk at L(µ) er et reelt vektorrum. Vi definerer f 1 = f dµ for f L Definition En følge af funktioner f 1, f 2, L siges
Læs mereTonelli light. Eksistensbeviset for µ ν gav målet. for G E K ved succesiv integration. Alternativ definition:
Tonelli light Eksistensbeviset for µ ν gav målet ( ) λ(g) = G (x, y)dν(y) dµ(x) for G E K ved succesiv integration. Alternativ definition: ( ) λ(g) = G (x, y)dµ(x) dν(y). Som λ(a B) = µ(a)ν(b) gælder λ(a
Læs mereDette materiale er ophavsretligt beskyttet og må ikke videregives
Grundlæggende mål- og integralteori Grundlæggende mål- og integralteori Steen Thorbjørnsen Aarhus Universitetsforlag Grundlæggende mål- og integralteori Steen Thorbjørnsen og Aarhus Universitetsforlag
Læs mereGult Foredrag Om Net
Gult Foredrag Om Net University of Aarhus Århus 8 th March, 2010 Introduktion I: Fra Metriske til Topologiske Rum Et metrisk rum er en mængde udstyret med en afstandsfunktion. Afstandsfunktionen bruges
Læs mereEksamensnoter til Analyse 1
ksamensnoter til Analyse 1 Martin Geisler gimpster@daimi.au.dk Sommer 23 Indledning Disse noter gennemgår de 26 spørgsmål stillet til den mundtlige eksamen i Analyse 1 ved Aarhus Universitet sommeren 23.
Læs mereIntegration m.h.t. mål med tæthed
Integration m.h.t. mål med tæthed Sætning (EH 11.7) Lad ν = f µ på (X, E). For alle g M + (X, E) gælder at gdν = g f dµ. Bevis: Standardbeviset: 1) indikatorfunktioner 2) simple funktioner 3) M + -funktioner.
Læs mere1.1. n u i v i, (u, v) = i=1
1.1 1. Hilbert rum 1.1. Hilbert rum og deres geometri. Definition 1.1. Et komplekst vektor rum V kaldes et indre produkt rum (eller præ-hilbert rum), når det er forsynet med en funktion (, ): V V C, som
Læs mereReeksamen 2014/2015 Mål- og integralteori
Reeksamen 4/5 Mål- og integralteori Københavns Universitet Institut for Matematiske Fag Formalia Eksamensopgaven består af 4 opgaver med ialt spørgsmål. Ved bedømmelsen indgår de spørgsmål med samme vægt.
Læs mereMATEMATIK 4 OPR. I HILBERTRUM 6. februar 2001 Oversigt nr. 1
OPR. I HILBERTRUM 6. februar 2001 Oversigt nr. 1 Lærebogen for kurset er [P] Functional analysis in applied mathematics and engineering, CRC Press 1999. Jeg regner med at vi gennemgår kapitel 1 6 med tillæg
Læs mereANALYSE 1, 2014, Uge 6
ANALYSE 1, 2014, Uge 6 Forelæsninger Tirsdag Topologiske begreber i generelle metriske rum, dvs. begreber som åbne og afsluttede delmængder og rand af en mængde. For talrummene R k er disse begreber indført
Læs mereBorel-σ-algebraen. Definition (EH 1.23)
Borel-σ-algebraen Definition (EH 1.23) Borel-σ-algebraen B k på R k er σ-algebraen frembragt af de åbne mængder O k. Andre frembringersystemer for B k : De afsluttede mængder. De åbne kasser I k (k = 1,
Læs mereNATURVIDENSKABELIG KANDIDATEKSAMEN VED KØBENHAVNS UNIVERSITET. MI 2007 Obligatorisk opgave 4
NATURVIDENSKABELIG KANDIDATEKSAMEN VED KØBENHAVNS UNIVERSITET. MI 2007 Obligatorisk opgave 4 Sættet består af 3 opgaver med ialt 15 delopgaver. Besvarelsen vil blive forkastet, medmindre der er gjort et
Læs mereMATEMATIK 4 PROJEKT 3. marts 2006 Oversigt nr. 1
PROJEKT 3. marts 2006 Oversigt nr. 1 1. og 2. møde (15/2 og 2/3). Her har vi læst og gennemgået kapitel 1 i [GKP] om mængdeteoretisk topologi. Dog er følgende kursorisk: 1.1; 1.5.10 13; 1.6.13 14. 3. gang,
Læs mereHeisenbergs usikkerhedsrelationer. Abstrakt. Hvorfor? Funktionsrum. Nils Byrial Andersen Institut for Matematik. Matematiklærerdag 2013
Heisenbergs usikkerhedsrelationer Nils Byrial Andersen Institut for Matematik Matematiklærerdag 013 1 / 17 Abstrakt Heisenbergs usikkerhedsrelationer udtrykker at man ikke på samme tid både kan bestemme
Læs mere2. Fourierrækker i en variabel
.1. Fourierrækker i en variabel I Kapitel II 7 blev der indført, dels funktionsrummene L p (X, µ) (mere udførligt skrevet L p (X, E, µ)), dels rummene L p (X, µ), der fås af L p (X, µ) ved at funktioner
Læs mereDifferentialregning i R k
Differentialregning i R k Lad U R k være åben, og lad h : U R m være differentiabel. Den afledte i et punkt x U er Dh(x) = h 1 (x) x 1 h 2 (x) x 1. h m (x) x 1 h 1 (x) x 2... h 2 (x) x 2.... h m (x) x
Læs mereTidligere Eksamensopgaver MM505 Lineær Algebra
Institut for Matematik og Datalogi Syddansk Universitet Tidligere Eksamensopgaver MM55 Lineær Algebra Indhold Typisk forside.................. 2 Juni 27.................... 3 Oktober 27..................
Læs mereGEOMETRI-TØ, UGE 6. . x 1 x 1. = x 1 x 2. x 2. k f
GEOMETRI-TØ, UGE 6 Hvis I falder over tryk- eller regne-fejl i nedenstående, må I meget gerne sende rettelser til fuglede@imfaudk Opvarmningsopgave 1 Lad f : R 2 R være tre gange kontinuert differentierbar
Læs merestandard normalfordelingen på R 2.
Standard normalfordelingen på R 2 Lad f (x, y) = 1 x 2 +y 2 2π e 2. Vi har så f (x, y) = 1 2π e x2 2 1 2π e y2 2, og ved Tonelli f dm 2 = 1. Ved µ(a) = A f dm 2 defineres et sandsynlighedsmål på R 2 målet
Læs mereAntag at. 1) f : R k R m er differentiabel i x, 2) g : R m R p er differentiabel i y = f(x), . p.1/18
Differentialregning i R k Kæderegel Lad U R k være åben, og lad h : U R m være differentiabel Antag at Den afledte i et punkt x U er Dh(x) = 1) f : R k R m er differentiabel i x, 2) g : R m R p er differentiabel
Læs mereMujtaba og Farid Integralregning 06-08-2011
Indholdsfortegnelse Integral regning:... 2 Ubestemt integral:... 2 Integrationsprøven:... 3 1) Integration af potensfunktioner:... 3 2) Integration af sum og Differens:... 3 3) Integration ved Multiplikation
Læs merePunktmængdetopologi. Mikkel Stouby Petersen. 1. marts 2013
Punktmængdetopologi Mikkel Stouby Petersen 1. marts 2013 I kurset Matematisk Analyse 1 er et metrisk rum et af de mest grundlæggende begreber. Et metrisk rum (X, d) er en mængde X sammen med en metrik
Læs mereSandsynlighedsteori 1.1 Uge 44.
Institut for Matematiske Fag Aarhus Universitet Den 18. oktober 2004. Sandsynlighedsteori 1.1 Uge 44. Forelæsninger: Vi afslutter foreløbigt den rene mål- og integralteori med at gennemgå afsnittet Produktmål,
Læs mereMATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 4. fjerdedel
Juni 2000 MATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 4. fjerdedel Opgave 1. (a) Find den fuldstændige løsning til differentialligningen y 8y + 16y = 0. (b) Find den fuldstændige løsning til differentialligningen
Læs mereAnalyse 1, Prøve 4 Besvarelse
Københavns Universitet Prøve ved Det naturvidenskabelige Fakultet juni 2011 1 Analyse 1, Prøve 4 Besvarelse Lad Opgave 1 (50%) M = {T R 2 T er en åben trekant} og lad A : M R være arealfunktionen, dvs.
Læs mereANALYSE 1. Uge 7, 4. juni juni, 2007
ANALYSE 1 Uge 7, 4. juni - 10. juni, 2007 Forelæsninger Mandag 4. juni Formålet med denne dags forelæsninger er at etablere en overgang til emnet metriske rum, hvis hovedformål er at udvide begreber som
Læs mereDen homogene ligning. Vi betragter den n te ordens, homogene, lineære differentialligning. d n y dt n. an 1 + any = 0 (1.2) dt. + a1 d n 1 y dt n 1
1/7 Den homogene ligning Vi betragter den n te ordens, homogene, lineære differentialligning a 0 d n y dt n + a1 d n 1 y dt n 1 hvor a 0,..., a n R og a 0 0. Vi skriver ligningen på kort form som + + dy
Læs mereMatematik 3 MI. Mål og integralteori. Christian Berg. Tage Gutmann Madsen
Matematik 3 MI Mål og integralteori Christian Berg og Tage Gutmann Madsen FORORD Nærværende notesæt er forfattet af Christian Berg, og har tidligere været anvendt til kurset 2MA, hvor det indgik som kapitel
Læs merez 1 = z 1z 1z 1 z 1 2 = z z2z 1 z 2 2
M å l e p u n k t R i e m a n n s k G e o m e t r i E 8 J a ko b L i n d b l a d B l a ava n d 2 5 3 6 7 5 27 oktober 28 I n s t i t u t fo r M at e m at i s k e Fag A a r h u s U n i v e r s i t e t indledning
Læs mereHilbert rum. Chapter Indre produkt rum
Chapter 4 Hilbert rum 4.1 Indre produkt rum I det følgende skal vi gøre brug af komplekse såvel som reelle vektorrum. Idet L betegner enten R eller C minder vi om, at et vektorrum over L er en mængde E
Læs mere= λ([ x, y)) + λ((y, x]) = ( y ( x)) + (x y) = 2(x y).
Analyse 2 Øvelser Rasmus Sylvester Bryder 17. og 20. september 2013 Supplerende opgave 1 Lad λ være Lebesgue-målet på R og lad A B(R). Definér en funktion f : [0, ) R ved f(x) = λ(a [ x, x]). Vis, at f(x)
Læs mereBesvarelses forslag til Tag-hjemeksamen Vinteren 02 03
IMFUFA Carsten Lunde Petersen Besvarelses forslag til Tag-hjemeksamen Vinteren 02 0 Hvor ikke andet er angivet er henvisninger til W.R.Wade An Introduction to analysis. Opgave a) Idet udtrykket e x2 cos
Læs mereDesignMat Lineære differentialligninger I
DesignMat Lineære differentialligninger I Preben Alsholm Uge Forår 0 1 Lineære differentialligninger af første orden 1.1 Normeret lineær differentialligning Normeret lineær differentialligning En differentialligning,
Læs mereMATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 3. fjerdedel
MATEMATIK Eksamensopgaver Juni 995 Juni 200, 3. fjerdedel August 998 Opgave. Lad f : R \ {0} R betegne funktionen givet ved f(x) = ex x for x 0. (a) Find eventuelle lokale maksimums- og minimumspunkter
Læs mereSide 9 sætningen: Kolmogorov s konsistensætning Tue Tjur, Institut for Matematisk Statistik
Side 9 sætningen: Kolmogorov s konsistensætning Tue Tjur, Institut for Matematisk Statistik Advarsel: I denne artikel gives udtryk for holdninger til sandsynlighedsregningens grundlag. Disse er forfatterens
Læs mere6.1 Reelle Indre Produkter
SEKTION 6.1 REELLE INDRE PRODUKTER 6.1 Reelle Indre Produkter Definition 6.1.1 Et indre produkt på et reelt vektorrum V er en funktion, : V V R således at, for alle x, y V, I x, x 0 med lighed x = 0, II
Læs mereIntegration m.h.t. mål med tæthed
Integration m.h.t. mål med tæthed Sætning (EH 11.7) Lad ν = f µ på (X, E). For alle g M + (X, E) gælder at gdν = g f dµ. Bevis: Standardbeviset: 1) indikatorfunktioner 2) simple funktioner 3) M + -funktioner.
Læs mereDesignMat Lineære differentialligninger I
DesignMat Lineære differentialligninger I Preben Alsholm Uge 9 Forår 2010 1 Lineære differentialligninger af første orden 1.1 Normeret lineær differentialligning Normeret lineær differentialligning En
Læs meren=1 er veldefineret for alle følger for hvilke højresiden er endelig. F.eks. tilhører følgen
2 Hilbert rum 2. Eksempler på Hilbert rum Vi skal nu først forsøge at begrunde, at de indre produkt rum af funktioner eller følger, som blev indført i Kapitel, ikke er omfattende nok til vores formål.
Læs mereMATEMATIK 1A MATEMATISK ANALYSE 12. november 2009 Oversigt nr. 1
MATEMATISK ANALYSE 12. november 2009 Oversigt nr. 1 På hold 3 fortsætter vi med integration i flere variable i uge 47. Man kan med fordel repetere kapitel 13.4 og 13.5 og deri regne sandt/falsk opgaverne
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 8
Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 8 Morten Grud Rasmussen 18. oktober 216 1 Fourierrækker 1.1 Periodiske funktioner Definition 1.1 (Periodiske funktioner). En periodisk funktion f er
Læs mereTaylors formel. Kapitel Klassiske sætninger i en dimension
Kapitel 3 Taylors formel 3.1 Klassiske sætninger i en dimension Sætning 3.1 (Rolles sætning) Lad f : [a, b] R være kontinuert, og antag at f er differentiabel i det åbne interval (a, b). Hvis f (a) = f
Læs mereStatistik og Sandsynlighedsregning 2
Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Sandsynlighedstætheder og kontinuerte fordelinger på R Helle Sørensen Uge 6, mandag SaSt2 (Uge 6, mandag) Tætheder og kont. fordelinger 1 / 19 Program Velkommen I dag:
Læs mereOversigt [S] 4.5, 5.10
Oversigt [S] 4.5, 5.0 Nøgleord og begreber Ubestemte udtryk l Hospitals regel l Hospitals regel 2 Test l Hospitals regel Uegentlige integraler Test uegentlige integraler Uegentlige integraler 2 Test uegentlige
Læs mereOversigt [S] 8.7, 8.8, 8.9
Oversigt [S] 8.7, 8.8, 8.9 Nøgleord og begreber Potensrækker og opgaver Binomialformlen Binomialkoefficienter Binomialrækken Taylor polynomier Vurdering af Taylor s restled Eksponentialrækken konvereger
Læs mereKalkulus 2 - Grænseovergange, Kontinuitet og Følger
Kalkulus - Grænseovergange, Kontinuitet og Følger Mads Friis 8. januar 05 Indhold Grundlæggende uligheder Grænseovergange 3 3 Kontinuitet 9 4 Følger 0 5 Perspektivering 4 Grundlæggende uligheder Sætning
Læs mereMasterprojekt udarbejdet af Søren Naundrup Vejleder Steen Andersson
ELEMENTÆR MÅLTEORI SØREN NAUNDRUP Masterprojekt udarbejdet af Vejleder Steen Andersson Dato 19. december 2014. Indholdsfortegnelse 1. Indledning 3 2. σ-algebraer og deres egenskaber 3 2.1. Om σ-algebraer.
Læs mere1 Vektorrum. MATEMATIK 3 LINEÆR ALGEBRA M. ANV. 4. oktober Miniprojekt: Lineær algebra på polynomier
MATEMATIK 3 LINEÆR ALGEBRA M. ANV. 4. oktober 2017 Miniprojekt: Lineær algebra på polynomier Grupperne forventes at regne de små opgaver i afsnittene 1 5 i løbet af de første 4 halve dage. Dernæst tilføjes
Læs mereI kurset Samhørende og partielle differentialligninger vil vi i foråret 2006 benytte bogen
S.&P. DIFFERENTIALLIGNINGER 2. februar 2006 Oversigt nr. 1 I kurset Samhørende og partielle differentialligninger vil vi i foråret 2006 benytte bogen [EP] Elementary differential equations with boundary
Læs mereSupplerende note om Hilbertrum og Banachrum
Supplerende note om Hilbertrum og Banachrum Jimi Lee Truelsen Om Noten Vi vil i denne note uddybe nogle af emnerne fra de første 3 apitler af [Ve] og komme med nogle eksempler. Det drejer sig især om begreberne
Læs mereNøgleord og begreber Analysens hovedsætning Stamfunktioner Itereret integral Test itereret integral Fubinis sætning Test Fubini Eksempler Test produkt
Oversigt [S] 5., 5.3, 5.4,.,. Nøgleord og begreber Analysens hovedsætning Stamfunktioner Itereret integral Test itereret integral Fubinis sætning Test Fubini Eksempler Test produkt Calculus - 6 Uge 39.
Læs mereDESIGNMAT FORÅR 2012: UGESEDDEL Forberedelse Læs alle opgaverne fra tidligere ugesedler, og læg særlig mærke til dem du har spørgsmål til.
DESIGNMAT FORÅR 2012: UGESEDDEL 13 INSTITUT FOR MATEMATIK 1. Forberedelse Læs alle opgaverne fra tidligere ugesedler, og læg særlig mærke til dem du har spørgsmål til. 2. Aktiviteter mandag 13 17 2.1.
Læs mereIndledning. 1 Martingalerepræsentationssætningen
Indledning I disse noter vil uddybe nogle af Øksendals resultater i afsnittene 4 og 7 samt give andre beviser for dem. Disse resultater er gennemgået til forelæsningerne. 1 Martingalerepræsentationssætningen
Læs mereIntegralregning Infinitesimalregning
Udgave 2.1 Integralregning Infinitesimalregning Noterne gennemgår begreberne integral og stamfunktion, og anskuer dette som et redskab til bestemmelse af arealer under funktioner. Noterne er supplement
Læs mereIndhold. Litteratur 11
Indhold Forord ii 00-sættet 1 Opgave 1....................................... 1 Spørgsmål (a).................................. 1 Spørgsmål (b).................................. 1 Spørgsmål (c)..................................
Læs mereAnalyse 2. Gennemgå bevis for Sætning Supplerende opgave 1. Øvelser. Sætning 1. For alle mængder X gælder #X < #P(X).
Analyse 2 Øvelser Rasmus Sylvester Bryder 3. og 6. september 2013 Gennemgå bevis for Sætning 2.10 Sætning 1. For alle mængder X gælder #X < #P(X). Bevis. Der findes en injektion X P(X), fx givet ved x
Læs mereNoter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec.
Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec. 1 Komplekse vektorrum I defininitionen af vektorrum i Afsnit 4.1 i Niels Vigand Pedersen Lineær Algebra
Læs mereWigner s semi-cirkel lov
Wigner s semi-cirkel lov 12. december 2009 Eulers Venner Steen Thorbjørnsen Institut for Matematiske Fag Århus Universitet Diagonalisering af selvadjungeret matrix Lad H være en n n matrix med komplekse
Læs mere(c) Opskriv den reelle Fourierrække for funktionen y(t) fra (b), og afgør dernæst om y(t) er en lige eller ulige funktion eller ingen af delene.
MATEMATIK 3 EN,MP 4. februar 2016 Eksamenopgaver fra 2011 2016 (jan. 2016) Givet at 0 for 0 < t < 1 mens e (t 1) cos(7(t 1)) for t 1, betragt da begyndelsesværdiproblemet for t > 0: y (t) + 2y (t) + 50y(t)
Læs mereModule 1: Lineære modeller og lineær algebra
Module : Lineære modeller og lineær algebra. Lineære normale modeller og lineær algebra......2 Lineær algebra...................... 6.2. Vektorer i R n................... 6.2.2 Regneregler for vektorrum...........
Læs mereAnalyse 2. Bevis af Fatous lemma (Theorem 9.11) Supplerende opgave 1. Øvelser
Analyse 2 Øvelser Rasmus Sylvester Bryder 24. og 27. september 203 Bevis af Fatous lemma (Theorem 9.) Hvis (u j ) j er en følge af positive, målelige, numeriske funktioner (dvs. med værdier i [, ]) over
Læs mereMM502+4 forelæsningsslides
MM502+4 forelæsningsslides uge 11+12 1, 2009 Produceret af Hans J. Munkholm, delvis på baggrund af lignende materiale udarbejdet af Mikael Rørdam 1 I nærværende forbindelse er 11 + 12 23 1 Egenskaber for
Læs mereDesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof
DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof Preben Alsholm Efterår 2010 1 Hovedpunkter fra forårets pensum 11 Taylorpolynomium Taylorpolynomium Det n te Taylorpolynomium for f med udviklingspunkt x 0 : P
Læs merex 2 + y 2 dx dy. f(x, y) = ln(x 2 + y 2 ) + 2 1) Angiv en ligning for tangentplanen til fladen z = f(x, y) i punktet
Eksamensopgaver fra Matematik Alfa 1 Naturvidenskabelig Kandidateksamen August 1999. Matematik Alfa 1 Opgave 1. Udregn integralet 1 1 y 2 (Vink: skift til polære koordinater.) Opgave 2. Betragt funktionen
Læs mereMM501 forelæsningsslides
MM501 forelæsningsslides uge 40, 2010 Produceret af Hans J. Munkholm bearbejdet af JC 1 Separabel 1. ordens differentialligning En generel 1. ordens differentialligning har formen s.445-8 dx Eksempler
Læs mereBesvarelse, Eksamen Analyse 1, 2013
Københavns Universitet Prøve ved Det naturvidenskabelige Fakultet juni 23 Besvarelse, Eksamen Analyse, 23 Opgave Lad, for n N, funktionen f n : [, ) R være givet ved NB. Trykfejl. Burde være x. f n (x)
Læs mereMatematik 1 Semesteruge 5 6 (30. september oktober 2002) side 1. Komplekse tal Arbejdsplan
Matematik Semesteruge 5 6 (30. september -. oktober 2002) side Komplekse tal Arbejdsplan I semesterugerne 5 og 6 erstattes den regulære undervisning (forelæsninger og fællestimer) af selvstudium med opgaveregning
Læs mereGEOMETRI-TØ, UGE 12. A σ (R) = A f σ (f(r))
GEOMETRI-TØ, UGE 12 Hvis I falder over tryk- eller regne-fejl i nedenstående, må I meget gerne sende rettelser til fuglede@imfaudk Opvarmningsopgave 1, [P] 632 Vis at Ennepers flade σ(u, v) = ( u u 3 /3
Læs mereFordybelsesprojekt Matematik 2, forår 2005 Potensrækker
Fordybelsesprojekt Matematik 2, forår 2005 Potensrækker Arne Jensen 7. 11. marts 2005 1 Indledning I forbindelse med kurset i Reelle og Komplekse Funktioner afholdes et fordybelsesprojekt med et omfang
Læs mereTal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal.
1 Tal Tal kan forekomme os nærmest at være selvfølgelige, umiddelbare og naturgivne. Men det er kun, fordi vi har vænnet os til dem. Som det vil fremgå af vores timer, har de mange overraskende egenskaber
Læs mereVejledende besvarelse på august 2009-sættet 2. december 2009
Vejledende besvarelse på august 29-sættet 2. december 29 Det følgende er en vejledende besvarelse på eksamenssættet i kurset Calculus, som det så ud i august 29. Den tjener primært til illustration af,
Læs mereProjekt 4.6 Løsning af differentialligninger ved separation af de variable
Projekt 4.6 Løsning af differentialligninger ved separation af de variable Differentialligninger af tpen d hx () hvor hx ()er en kontinuert funktion, er som nævnt blot et stamfunktionsproblem. De løses
Læs mereFundamentale begreber fra Analysen. Introduktion. De reelle tal. Carsten Lunde Petersen
IMFUFA Carsten Lunde Petersen Fundamentale begreber fra Analysen Introduktion Disse noter udgør et meget ltreret udkik over de grundlæggende begreber i reel analyse. Noten indeholder meget lidt om det
Læs mereMATEMATIK 3 EN,MP 30. august 2013 Oversigt nr. 1
EN,MP 30. august 2013 Oversigt nr. 1 Litteratur: I Matematik 3 bruger vi (igen) i efteråret 2013 E. Kreyzig: Advanced engineering mathematics, 10. udg., Wiley, 2011. Beskrivelse: Kurset vil handle om matematiske
Læs mereUgesedler til sommerkursus
Aalborg Universitet - Adgangskursus Ugesedler til sommerkursus Matematik B til A Jens Friis 12 Adgangskursus Strandvejen 12 14 9000 Aalborg tlf. 99 40 97 70 ak.aau.dk sommer Matematik A 1. Lektion : Mandag
Læs mereMat H /05 Note 2 10/11-04 Gerd Grubb
Mat H 1 2004/05 Note 2 10/11-04 Gerd Grubb Nødvendige og tilstrækkelige betingelser for ekstremum, konkave og konvekse funktioner. Fremstillingen i Kapitel 13.1 2 af Sydsæters bog [MA1] suppleres her med
Læs mereAnalyse 1, Prøve 2 Besvarelse
Københavns Universitet Prøve ved Det naturvidenskabelige Fakultet maj Analyse, Prøve Besvarelse Opgave (3%) (a) (%) Bestem mængden af x R for hvilke rækken ( + (x) n ) er konvergent og angiv sumfunktionen
Læs mereLineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger
enote 11 1 enote 11 Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger I denne note introduceres lineære differentialligninger, som er en speciel (og bekvem) form for differentialligninger.
Læs mereNoter til Perspektiver i Matematikken
Noter til Perspektiver i Matematikken Henrik Stetkær 25. august 2003 1 Indledning I dette kursus (Perspektiver i Matematikken) skal vi studere de hele tal og deres egenskaber. Vi lader Z betegne mængden
Læs mereaf koblede differentialligninger (se Apostol Bind II, s 229ff) 3. En n te ordens differentialligning
EKSISTENS- OG ENTYDIGHEDSSÆTNINGEN Vi vil nu bevise eksistens- og entydighedssætningen for ordinære differentialligninger. For overskuelighedens skyld vil vi indskrænke os til at undersøge een 1. ordens
Læs mereIntroduktion til Laplace transformen (Noter skrevet af Nikolaj Hess-Nielsen sidst revideret marts 2013)
Introduktion til Laplace transformen (oter skrevet af ikolaj Hess-ielsen sidst revideret marts 23) Integration handler ikke kun om arealer. Tværtimod er integration basis for mange af de vigtigste værktøjer
Læs mereMere om differentiabilitet
Mere om differentiabilitet En uddybning af side 57 i Spor - Komplekse tal Kompleks funktionsteori er et af de vigtigste emner i matematikken og samtidig et af de smukkeste I bogen har vi primært beskæftiget
Læs mereDesignMat Uge 1 Repetition af forårets stof
DesignMat Uge 1 Repetition af forårets stof Preben Alsholm Efterår 008 01 Lineært ligningssystem Lineært ligningssystem Et lineært ligningssystem: a 11 x 1 + a 1 x + + a 1n x n = b 1 a 1 x 1 + a x + +
Læs mereProjekt 1.4 De reelle tal og 2. hovedsætning om kontinuitet
Projekt 1.4 De reelle tal og 2. hovedsætning om kontinuitet Mens den 1. hovedsætning om kontinuerte funktioner kom forholdsvis smertefrit ud af intervalrusebetragtninger, så er 2. hovedsætning betydeligt
Læs mereDen Brownske Bevægelse
Den Brownske Bevægelse N.J. Nielsen 1 Notation I dette notesæt vil vi generelt benytte samme notation som i det øvrige undervisningsmateriale i MM23. For ethvert n N betegner B n Borelalgebraen på R, og
Læs mereDifferentialregning. Ib Michelsen
Differentialregning Ib Michelsen Ikast 2012 Forsidebilledet Tredjegradspolynomium i blåt med rød tangent Version: 0.02 (18-09-12) Denne side er (~ 2) Indholdsfortegnelse Introduktion...5 Definition af
Læs mereMomenter som deskriptive størrelser. Hvad vi mangler fra onsdag. Momenter for sandsynlighedsmål
Hvad vi mangler fra onsdag Momenter som deskriptive størrelser Sandsynlighedsmål er komplicerede objekter de tildeler numeriske værdier til alle hændelser i en σ-algebra. Vi har behov for simplere, deskriptive
Læs mereHvad vi mangler fra onsdag. Vi starter med at gennemgå slides fra onsdag.
Hvad vi mangler fra onsdag Vi starter med at gennemgå slides 34-38 fra onsdag. Slide 1/17 Niels Richard Hansen MI forelæsninger 6. December, 2013 Momenter som deskriptive størrelser Sandsynlighedsmål er
Læs mere