Deskriptiv teori: den karakteristiske funktion

Transkript

1 Kapitel 15 Deskriptiv teori: den karakteristiske funktion Når man forsøger at karakterisere et sandsynlighedsmål ν på R ved hjælp af dets momenter, fortæller man essentielt hvordan man skal integrere polynomier med hensyn til ν. Når man forsøger at karakterisere sandsynlighedsmålet ved hjælp af dets fordelingsfunktion, fortæller man essentielt hvordan man skal integrere indikatorfunktioner for standardintervaller. Ordet karakteristisk funktion er af historiske grunde knyttet til en tilsvarende konstruktion, hvor man forsøger at karakterisere ν ved at fortælle hvordan sandsynlighedsmålet integrerer de elementære trigonometriske funktioner x cos θx og x sin θx, for alle mulige værdier af θ R. Umiddelbart lyder det måske som en besynderlig ide at integrere trigonometriske funktioner - hvis man har lyst, skal man selvfølgelig have lov til at integrere sinus er og cosinus er, men der er så meget andet man kunne kaste sig over... Men vi skal se at trigonometriske polynomier (linearkombinationer af de elementære trigonometriske funktioner) udgør et meget fleksibelt system af funktioner på den reelle akse, et system, der er langt bedre egnet til brug i sandsynlighedsregning end de sædvanlige polynomier, der jo har det problem at de nødvendigvis går mod ± i halerne. Og derfor karakteriserer den karakteristiske funktion vitterligt sandsynlighedsmålet på en forbavsende brugbar måde. I dette kapitel vil vi forsøge at indkredse hvad den karakteristiske funktion for et sandsynlighedsmål ν egentlig siger om målet. Hvilke egenskaber ved ν kan man af- 292

2 15.1. Komplekse integraler 293 læse, og hvordan gør man det i praksis? Men den virkelige motivation bag begrebet bliver udsat til afsnit 18.5, hvor vi viser at foldning af sandsynlighedsmål lader sig udtrykke meget effektivt i termer af karakteristiske funktioner. Foldning af sandsynlighedsmål er et centralt tema i sandsynlighedsregning, og beregningsmæssigt er det ikke spor trivielt at håndtere. Essentielt er den karakteristiske funktion et trick, der gør det muligt at få regnemæssigt styr på foldninger i en forbløffende bred vifte af eksempler. Det viser sig at de smidigste formuleringer af dette trick involverer komplekse tal - foldningsformlen udtrykkes simpelthen ved kompleks multiplikation. Og derfor starter vi med en diskussion af komplekse integraler. Denne diskussion munder dog ikke ud i overraskende konklusioner - alt er som man ville forvente det. Det er nok meget nyttigt at være klar over at de komplekse tal i denne sammenhæng mest er til pynt - teorien er ikke på de indre linier kompleks, sådan som f.eks. teorien for polynomiumsrødder eller teorien for egenværdier for matricer. Vi får igen og igen brug for de trigonometriske additionsformler, cos(u + v) = cos u cos v sin u sin v, sin(u + v) = cos u sin v + sin u cos v, for alle u, v R. Og den fikse måde at formulere additionsformlerne på, er at inddrage den komplekse eksponentialfunktion med rent imaginære argumenter, e i θ = cos θ + i sin θ for θ R. (15.1) For så kan de to additionsformler samles i én formel, der kan ses som et specialtilfælde af den komplekse eksponentialfunktions funktionalligning, e i (u+v) = e i u e i v for u, v R. Denne formel repræsenterer stort set al den komplekse analyse der kommer på banen i det følgende Komplekse integraler Lad (X, E, µ) være et målrum. Vi vil i dette afsnit interessere os for afbildninger f : X C. Disse afbildninger skrives naturligt på formen f = f 1 + i f 2

3 294 Kapitel 15. Deskriptiv teori: den karakteristiske funktion hvor f 1 og f 2 er reelle funktioner - vi taler om f s real- og imaginærdel. Hvis vi identificerer C med R 2, så har C naturligt en Borelalgebra, som vi med et vist misbrug af notation kan kalde B 2. Og vi ser at f er E B 2 -målelig hvis og kun hvis real- og imaginærdele begge er målelige reelle funktioner. Definition 15.1 Lad (X, E, µ) være et målrum. En målelig funktion f : X C, skrevet på formen f = f 1 + i f 2, er integrabel hvis f 1 dµ <, f 2 dµ <. I bekræftende fald definerer vi integralet af f som f dµ := f 1 dµ + i f 2 dµ. De integrable komplekse funktioner kaldes ofte L C (X, E, µ) eller blot L C. Bemærk de trivielle uligheder f 1 f, f 2 f, f f 1 + f 2. Det følger heraf at f er integrabel hvis og kun hvis f dµ <. Eksempel 15.2 Lad γ være et reelt tal. Idet e i γt = 1 for alle t R, ser vi at t e i γt er integrabel med hensyn til Lebesguemålet hen over ethvert kompakt interval [a, b]. Vi kan oven i købet regne integralet ud: b a e iγt dt = b a cos γt dt + i sin γb sin γa = γ = i γ = eiγb e iγa. iγ b a + i sin γt dt cos γb + cos γa γ (cos γb + i sin γb cos γa i sin γa)

4 15.1. Komplekse integraler 295 Bemærk hvor nydeligt denne formel passer ind i mønsteret for integration af den reelle eksponentialfunktion, skønt den jo dybest set handler om trigonometriske funktioner. Sætning 15.3 Lad (X, E, µ) være et målrum. Hvis f L C og c C, så er c f L C og der gælder at c f dµ = c f dµ. (15.2) Hvis f, g L C, så er f + g L C og der gælder at f + g dµ = f dµ + g dµ. (15.3) BEVIS: Påstandende om additionsegenskaberne er banale konsekvenser af de tilsvarende egenskaber for reelle integraler, brugt på real- og imaginærdel for sig, så dem vil vi ikke gøre noget ud af. Der er lidt mere kød på den skalare multiplikation. Hvis f L C og c C så er c f dµ = c f dµ = c f dµ <, ifølge de reelle regneregler, så integrabiliteten af c f er klar nok. Og (15.2) følger: hvis f = f 1 + i f 2 og c = c 1 + ic 2, så er c f dµ = (c 1 f 1 c 2 f 2 ) + i(c 1 f 2 + c 2 f 1 ) dµ = c 1 f 1 c 2 f 2 dµ + i c 1 f 2 + c 2 f 1 dµ ) = c 1 f 1 dµ c 2 f 2 dµ + i (c 1 f 2 dµ + c 2 f 1 dµ ( ) = (c 1 + ic 2 ) f 1 dµ + i f 2 dµ = c f dµ.

5 296 Kapitel 15. Deskriptiv teori: den karakteristiske funktion Sætning 15.4 Lad (X, E, µ) være et målrum. Hvis f L C så gælder der at f dµ f dµ. (15.4) BEMÆRK: Formel (15.4) går ligesom i det reelle tilfælde under navnet trekantsuligheden. BEVIS: Ethvert komplekst tal z kan opskrives på modulus/argument-formen z = z e i θ for et passende θ R. Bruges denne opskrivning på f dµ, ser vi at for et passende θ er f dµ = e i θ f dµ = e i θ f dµ. Venstre side i denne formel er rent reel, og derfor må højre side også være rent reel - integralet af e i θ f har imaginærdel nul. Bruger vi symbolet Re(z) til at betegne realdelen af z har vi derfor at f dµ = Re ( e i θ f ) dµ Re ( e i θ f ) dµ e i θ f dµ = f dµ, hvor vi undervejs har benyttet at Re(z) z. Det er vigtigt at bemærke at majorantsætningen gælder uindskrænket. Antag at f 1, f 2,... er en følge af målelige funktioner X C, der konvergerer punktvist mod en grænsefunktion f. Hvis f n (x) g(x) for en M + -funktion g med endeligt integral, så er såvel f som alle f n -funktionerne integrable, og f n dµ f dµ for n. Det følger ved at bruge den sædvanlige reelle majorantsætning på følgerne af realog imaginærdel hver for sig. Eksempel 15.5 En funktion f : R C er konjugeret symmetrisk hvis f ( t) = f (t) for alle t R. (15.5)

6 15.2. Den karakteristiske funktion 297 Hvis en konjugeret symmetrisk funktion f er integrabel med hensyn til Lebesguemålet over et interval af formen [ T, T], så er T T f (t) dt R. Integralet over et symmetrisk interval er rent reelt. For betingelse (15.5) siger i virkeligheden at f s imaginærdel er en ulige funktion - og ulige funktioner integrerer til over intervaller af formen [ T, T]. Eksempel 15.5 fremstår som en lidt tilfældig observation, men er en nøgle til mange regninger med karakteristiske funktioner. Vi vil i de kommende afsnit skrive en lang række integraler op, der tilsyneladende er komplekse, men hvor der kan opnås vigtig indsigt ved at bemærke at integranden er konjugeret symmetrisk, så imaginærdelen af integralet forsvinder Den karakteristiske funktion Definition 15.6 Lad ν være et sandsynlighedsmål på (R, B). Den karakteristiske funktion for ν er funktionen φ : R C givet som φ(θ) = e i θx dν(x) for θ R. (15.6) Eftersom e i θx 1 for alle værdier af θ og x, er der ingen problemer med integrabiliteten i (15.6). Husker vi definitionen af den komplekse eksponentialfunktion fra (15.1), ser vi at den karakteristiske funktion i virkeligheden er φ(θ) = cos θx dν(x) + i sin θx dν(x). (15.7) Så den karakteristiske funktion er simpelthen en måde at holde styr over alle integralerne af de elementære trigonometriske funktioner. Man kunne utvivlsomt holde styr på disse integraler på mange andre måder, men som vi skal se fører netop dette valg af bogholderiprincip til et smidigt samspil med kompleks multiplikation.

7 298 Kapitel 15. Deskriptiv teori: den karakteristiske funktion Hvis X er en reel stokastisk variabel taler man ofte om X s karakteristiske funktion når man i virkeligheden mener den karakteristiske funktion for X s fordeling. Den definerende formel er altså φ(θ) = e i θx dx(p)(x) = e i θx dp, hvor sidste udtryk fremkommer ved hjælp af integraltransformationssætningen. Vi kan trivielt konstatere at den karakteristiske funktion φ for et sandsynlighedsmål ν opfylder at φ() = 1, (15.8) eftersom integranden er konstant 1 i dette tilfælde. Af trekantsuligheden følger endvidere at φ(θ) 1 for alle θ R. Lemma 15.7 Lad ν være et sandsynlighedsmål på (R, B). Den karakteristiske funktion φ for ν er konjugeret symmetrisk. BEVIS: Resultatet er en reformulering af det forhold at sinus er en ulige funktion: φ( θ) = cos( θx) dν(x) + i sin( θx) dν(x) = cos θx dν(x) i sin θx dν(x) = φ(θ) for alle θ R. Sætning 15.8 Lad ν være et sandsynlighedsmål på (R, B). Den karakteristiske funktion φ for ν er uniformt kontinuert. BEVIS: Lad os indføre hjælpefunktionen ψ : R R ved e i ψ( θ) = θx 1 dν(x) for θ R. For alle θ, θ R ser vi at φ(θ + θ) φ(θ) = e i (θ+ θ)x e i θx dν(x) e ( i θx e i θx 1 ) dν(x) = ψ( θ).

8 15.2. Den karakteristiske funktion 299 Så hvis vi kan vise at ψ( θ) for θ, så har vi påvist den ønskede uniforme kontinuitet. Men ser vi på integranden, kan vi konstatere at e i θx 1 for θ, for alle x R, domineret af konstanten 2. Så majorantsætningen garanterer at ψ( θ) vitterligt går mod nul. Formelt er der måske tale om en lille stramning i brugen af majorantsætningen: Vi bruger en kontinuert variant af sætningen, skønt de kendte formuleringer taler om en funktionsfølge. Strengt taget har vi vel vist at for en vilkårlig følge ( θ n ) n N der går mod nul for n, vil der gælde at ψ( θ n ). Men hvis vi et øjeblik antager at ψ( θ) ikke går mod nul, så må der findes en følge θ n, der går mod nul, men sådan at ψ( θ n ) undlader at gå mod nul. Og vi har lige overbevist os om at sådan en følge ikke findes. Sætning 15.9 Lad X være en reel stokastisk variabel med karakteristisk funktion φ. Den stokastiske variabel α + βx har karakteristisk funktion ψ(θ) = e i θα φ(βθ) for alle θ R. BEVIS: Beviset er en triviel udregning. Hvis ψ betegner den karakteristiske funktion for α + βx, så er ψ(θ) = e i θ(α+βx) dp = e i αθ e i βθx dp = e i αθ φ(βθ). Eksempel 15.1 Lad X være en reel stokastisk variabel med karakteristisk funktion φ. Den karakteristiske funktion ψ for X er ifølge sætning 15.9 givet ved ψ(θ) = φ( θ) = φ(θ), hvor vi har brugt at φ er konjugeret symmetrisk. Hvis fordelingen af X er symmetrisk, må ψ = φ, og dermed må φ = φ - altså er φ en rent reel funktion.

9 3 Kapitel 15. Deskriptiv teori: den karakteristiske funktion Omvendt, hvis φ er rent reel, så følger det af disse regninger at ψ = φ. Så X og X har samme karakteristiske funktion. Når vi i sætning har vist at den karakteristiske funktion vitterligt karakteriserer en fordeling, følger det derfor at fordelingen af X er symmetrisk, når den karakteristiske funktion er rent reel. Eksempel Etpunktsmålet ɛ x i x R har den karakteristisk funktion φ(θ) = e i θx for θ R. Tilsvarende har det empiriske mål ɛ x1,x 2,...,x n i punkterne x 1,..., x n karakteristisk funktion φ(θ) = 1 n e i θx n n for θ R. i=1 Et specielt tilfælde der ofte dukker op i behandlingen af karakteristiske funktioner er det empiriske mål i de to punkter 1 og -1. Her får vi karakteristisk funktion φ(θ) = ei θ + e i θ 2 = cos θ for θ R. Vi bemærker at denne karakteristiske funktion er rent reel, i god overensstemmelse med eksempel Eksempel Binomialfordelingen med parametre (n, p) har den karakteristiske funktion n ( ) n n ( ) n φ(θ) = e i θ k p k (1 p) n k = (e i θ p) k (1 p) n k = ( e i θ p + 1 p ) n. k k k= k= Specielt har binomialfordelingen med længde n og successandsynlighed 1 2 karakteristisk funktion ( e i θ ) n + 1 φ(θ) = = e i nθ/2 cos n (θ/2). 2 Hvis S er binomialfordelt med længde n og successandsynlighed 1 2, så har variablen T = 2S n karakteristisk funktion ψ(θ) = e i nθ φ(2θ) = cos n θ. (15.9) Denne karakteristiske funktion dukker op i analysen af en symmetrisk random walk, hvor to spillere til hvert heltalligt tidspunkt spiller et fair spil. Ved indgangen

10 15.2. Den karakteristiske funktion 31 til hvert spil lægger begge spillere en fast indsats, og vinderen tager puljen. Variablen T beskriver den samlede gevinst for en af spillerne efter n spil. Eksempel funktion φ(θ) = Poissonfordelingen med middelværdi λ har den karakteristiske x= i θx λx e x! e λ = (e i θ λ) x e λ = e λ(ei θ 1) x! x= for θ R, hvor vi har brugt potensrækkefremstillingen for den generelle komplekse eksponentialfunktion. Skriver man det ud i detaljer, fører det til noget så eksotisk som itererede trigonometriske funktioner: φ(θ) = e λ (cos θ 1) ( cos(λ sin θ) + i sin(λ sin θ) ). Eksempel Ligefordelingen over intervallet (a, b) har ifølge eksempel 15.2 den karakteristiske funktion φ(θ) = b a e i θx b a dx = ei bθ e i aθ i (b a) θ for θ R. Hvis b > ser vi specielt at ligefordelingen over ( b, b) har den karakteristiske funktion sin bθ φ(θ) =. (15.1) bθ Denne funktion er rent reel, i god overensstemmelse med eksempel Eksempel Når man vil finde den karakteristiske funktion for en eksponentialfordeling, er det naturligt at interessere sig for klassen af funktioner af formen a cos θx e x + b sin θx e x, hvor a og b har lov at variere frit i R. Denne klasse er stabil over for differentation, idet d ( a cos θx e x + b sin θx e x) = (bθ a) cos θx e x (aθ + b) sin θx e x. dx

11 32 Kapitel 15. Deskriptiv teori: den karakteristiske funktion Ligningssystemet har løsningen og derfor er a = bθ a = c (aθ + b) = d c dθ 1 + θ 2, b = cθ d 1 + θ 2, d ( c dθ dx 1 + θ 2 cos θx e x + cθ d 1 + θ 2 sin θx e x) = c cos θx e x + d sin θx e x. (15.11) Eksponentialfordelingen med middelværdi 1 har således karakteristisk funktion φ(θ) = cos θx e x dx + i sin θx e x [ ] [ ] cos θx = 1 + θ 2 e x θ sin θx θ cos θx θ 2 e x + i 1 + θ 2 e x sin θx θ 2 e x 1 = 1 + θ 2 + i θ 1 + θ 2 1 = 1 iθ Hvis X er eksponentialfordelt med middelværdi 1 vil λx være eksponentialfordelt med middelværdi λ. Det følger af sætning 15.9 at eksponentialfordelingen med middelværdi λ har karakteristisk funktion φ(θ) = λ 2 θ 2 i λθ 1 + λ 2 θ 2 = 1 1 iλθ for θ R. (15.12) Eksempel En anden brug af integrationstricket (15.11) er til at finde den karakteristiske funktion for Laplacefordelingen. Denne fordeling er symmetrisk, så den karakteristiske funktion vil være rent reel. Ser vi på Laplacefordelingen med positionsparameter og skalaparameter 1 får vi den karakteristiske funktion φ(θ) = = cos θx 1 2 e x dx = [ cos θx 1 + θ 2 e x + θ sin θx 1 + θ 2 e x cos θx e x dx ] = θ 2 for θ R.

12 15.2. Den karakteristiske funktion 33 Eksempel Cauchyfordelingen har den karakteristiske funktion φ(θ) = e θ for θ R. Der findes ingen elementære måder at udlede dette resultat på, men vi giver et bevis i eksempel 15.26, når vi har udviklet tilstrækkelig meget teori. Bemærk at denne karakteristiske funktion har en anden opførsel end hvad vi ellers har set: den har en spids i, hvor de karakteristiske funktioner vi har set indtil nu alle har været uendelig ofte differentiable. Eksempel Lad f være tætheden for N(, 1)-fordelingen. Da N(, 1) er symmetrisk, er den karakteristiske funktion φ rent reel, og vi ser derfor at φ(θ) = cos θx f (x) dx for θ R. Bemærk at d cos θx f (x) dθ = x sin θx f (x) x f (x), der er integrabel over hele den reelle akse. Ifølge sætning 6.18 er φ derfor differentiabel overalt med φ (θ) = Partiel integration giver at sin θx x f (x) dx = φ (θ) = [ sin θx f (x) ] sin θx f (x) dx. θ cos θx f (x) dx = θ φ(θ). Differentialligningen φ (θ) = p(θ)φ(θ) har som bekendt løsninger af formen c e P(θ), hvor P er en stamfunktion til p. Kombineres med betingelsen φ() = 1 får vi at N(, 1) har karakteristisk funktion φ(θ) = e θ2 /2 for θ R. (15.13) Bemærk den forbavsende tætte forbindelse mellem den karakteristiske funktion og tætheden i dette tilfælde. Hvis X er N(, 1)-fordelt så følger ξ+σx en N(ξ, σ 2 )-fordeling. Kombineres (15.13) med sætning 15.9 ser vi derfor at N(ξ, σ 2 ) har karakteristisk funktion φ(θ) = e i ξθ e σ2 θ 2 /2 for θ R. (15.14)

13 34 Kapitel 15. Deskriptiv teori: den karakteristiske funktion 15.3 Trigonometriske polynomier Et reelt trigonometrisk polynomium er en funktion p : R R af formen n p(θ) = c + a k cos kθ + b k sin kθ k=1 θ R for passende reelle konstanter c, a 1,..., a n og b 1,..., b n. Det underforstås sædvanligvis i denne fremstilling at a n og/eller b n er forskellig fra nul, og i så fald siges graden af polynomiet at være n. Det er klart at mængden af reelle trigonometriske polynomier udgør et reelt vektorrum. Funktionerne i dette vektorrum er periodiske med periode 2π, og de er pæne og glatte. Men derudover er der store variationsmuligheder. Et komplekst trigonometrisk polynomium er en funktion p : R C af formen n p(θ) = c k e i k θ k= n θ R for passende komplekse konstanter c n,..., c n. Hvis c n og/eller c n er forskellig fra nul, siges graden af polynomiet at være n. Det er klart at mængden af komplekse trigonometriske polynomier udgør et komplekst vektorrum. Et reelt trigonometrisk polynomium kan uden videre opfattes som et komplekst trigonometrisk polynomium, for cos kθ = ei k θ + e i k θ 2, sin kθ = ei k θ e i k θ, 2i så hvert af de indgående led i et reelt trigonometrisk polynomium kan opfattes som et komplekst trigonometrisk polynomium. Men omvendt: hver led i et komplekst trigonometrisk polynomium p(θ) kan skrives ce i k θ = (a + ib)(cos kθ + i sin kθ) = (a cos kθ b sin kθ) + i(a sin kθ + b cos kθ) Benyttes denne omskrivning på alle leddene, og samles leddene hensigtsmæssigt, ser vi at p(θ) kan skrives på formen p 1 (θ)+ip 2 (θ), hvor p 1 og p 2 er reelle trigonometriske polynomier.

14 15.3. Trigonometriske polynomier 35 Samlet kan man sige at de reelle trigonometriske polynomier netop er de komplekse trigonometriske polynomier hvis imaginærdel er identisk nul. I en vis forstand er der ikke den store forskel på at diskutere reelle og komplekse trigonometriske polynomier. Den påstand skal dog tages med et gran salt. Geometrisk intuition om hvad funktioner gør er vanskelig at anvende på komplekse funktioner, så langt hen ad vejen vil vi foretrække de reelle trigonometriske polynomier. Men teknisk set viser de komplekse trigonometriske polynomier sig ofte at være nemmere at arbejde med. At holde sig til reelle trigonometriske polynomier vil derfor være at gøre livet vanskeligt for sig selv. Så selv om vi primært er interesserede i reelle trigonometriske polynomier, vil manipulationerne i et vist omfang foregå med komplekse trigonometriske polynomier. Eksempel Hvis p 1 (θ) og p 2 (θ) er reelle trigonometriske polynomier, så er produktet p 1 (θ) p 2 (θ) også et reelt trigonometrisk polynomium. Denne påstand kan principielt godt vises direkte: man skal i så fald overbevise sig om at størrelser af formen cos kθ cos mθ, cos kθ sin mθ, sin kθ sin mθ, alle er reelle trigonometriske polynomier. Og det følger af de såkaldte logaritmiske trigonometriske formler. Men simplere er det dog at indse at produktet af to komplekse trigonometriske polynomier selv er et trigonometrisk polynomium. Det kommer nemlig ud på at vise at e ikθ e imθ er et komplekst trigonometrisk polynomium. Men eksponentialfunktionens funktionalligning fortæller at e ikθ e imθ = e i(k+m)θ, så den påstand er triviel. Den tilsvarende reelle påstand fås gratis herudfra, for produktet af to komplekse funktioner, hvis imaginærdel er identisk nul, har selvfølgelig selv imaginærdel identisk nul. Det er ikke umiddelbart klart at trigonometriske polynomier skulle være værd at beskæftige sig med, og det var da også en ide der først modnedes omkring år 18. Det primære skriftsted er Fouriers arbejde om partielle differentialligninger, specielt varmeledningsligningen. Han demonstrerede f.eks. at varmeudviklingen i en stang,

15 36 Kapitel 15. Deskriptiv teori: den karakteristiske funktion hvis to ender har en fastholdt temperatur på nul, kan forstås ganske nøje hvis temperaturen hen igennem stangen til tid t = er et trigonometrisk polynomium. I så fald vil temperaturen til hvert tidspunkt t kunne beskrives som eksponentielt dæmpede svingninger med de frekvenser, der indgår i det oprindelige polynomium. Ikke blot fastholdes frekvenserne, men man kan vise at højfrekvente svingninger dæmpes hurtigere end de lavfrekvente. Det har den meget rimelige fysiske fortolkning at lokale temperaturophobninger udjævnes med tiden, og at denne udjævning ikke blot er et udtryk for at temperaturen går mod nul - udjævningen sker simpelthen hurtigere end den generelle temperaturdrift. Fourier var ikke en mand, der lod sig standse af bekymringer om konvergensforhold, så han lod rask væk sine trigonometriske polynomier have uendeligt mange led, og han postulerede på baggrund af en håndfuld tegninger at enhver funktion havde en fremstilling som en uendelig trigonometrisk række. Det tog godt 1 år inden den problemstilling var endeligt afklaret, og adskillige højt begavede matematikere fik sig nogle slemme overraskelser undervejs (de første eksempler på intetsteds differentiable, kontinuerte funktioner, kendt som Weierstrass chok, hører til i denne afdeling). Men succesen i forbindelse med partielle differentialligninger var uomtvistelig, og siden har det været et vigtigt værktøj i megen funktionsteori at prøve at tænke på funktioner som opbygget af svingninger. Fordi disse svingninger gerne har frekvenser der er hele multipla af en grundfrekvens, taler man om harmonisk analyse, når man anlægger denne synsvinkel. Sætning 15.2 Lad f : [ π, π] R opfylde at f ( π) = f (π). Hvis f er kontinuert findes der en følge af reelle trigonometriske polynomier p 1, p 2,... så sup f (θ) p n (θ) for n. θ [ π,π] BEVIS: Betingelsen om f s opførsel i de to endepunkter sikrer at der findes en entydigt bestemt funktion F : S 1 R (hvor S 1 er enhedscirklen i R 2 ) der opfylder at F(cos θ, sin θ) = f (θ) for alle θ [ π, π]. Da f er kontinuert ser vi at F er kontinuert. Og der findes derfor ifølge sætning en følge af polynomier q n i to variable så sup q n (x, y) F(x, y) for n. (x,y) S 1

16 15.3. Trigonometriske polynomier 37 Hvis punktet (cos θ, sin θ) indsættes i et polynomium k,l a k l x k y l af to variable fås a kl cos k θ sin l θ. k,l Hver led er ifølge eksempel et reelt trigonometrisk polynomium, og derfor er hele kombinationen et reelt trigonometrisk polynomium i θ. Og tydeligvis har vi at sup q n (cos θ, sin θ) f (θ) = sup q n (x, y) F(x, y) for n. θ [ π,π] (x,y) S 1 For en kontinuert funktion (og for en række diskontinuerte funktioner med, for den sags skyld) f : [ π, π] R med f ( π) = f (π), taler man gerne om funktionens Fourierrække af grad n som det komplekse trigonometriske polynomium p n (θ) = nk= n c k e ikθ, hvor c k = 1 π f (θ)e ikθ dθ 2π π Disse trigonometriske polynomier minimerer L 2 -afstanden til f, og som regel har de også en meget lille uniform afstand til f. Der findes meget ubehagelige eksempler, hvor en funktions Fourierrække ikke konvergerer punktvist mod funktionen selv. Men der skal være et eller andet helt degenereret på færde - mange meget skarpe spidser, f.eks. Og i fald det skulle kikse med funktionens Fourierrække, er der altså ifølge sætning 15.2 andre trigonometriske polynomier, der ligger uniformt tæt ved funktionen. I denne diskussion af trigonometriske polynomier har intervallet [ π, π] spillet en speciel rolle. Vi har set at de trigonometriske polynomier kunne beskrive stort set hvad som helst inden i dette interval. Men periodiciteten gør at de umuligt kan sige noget særligt interessant om hvad der sker på større intervaller. I beviset for Weierstrass approksimationssætning stod vi med et tilsvarende problem: vi kunne approksimere uniformt med polynomier på enhedsintervallet, men ønskede at approksimere på andre intervaller også. Vi løste problemet ved at flytte det interval vi interesserede os for ind i [, 1] ved en affin transformation. Vi kan gøre det samme nu, men prisen er en generalisering af hvad der skal forstås ved et trigonometrisk polynomium. Hvis f : [ K, K] R er kontinuert og opfylder at f ( K) = f (K), så er det naturligt at se på funktionen ( K θ ) θ f for θ [ θ, θ]. π

17 38 Kapitel 15. Deskriptiv teori: den karakteristiske funktion Vi approksimerer denne funktion med et reelt trigonometrisk polynomium, q(t) = N k= N c k e i k t. Vender vi tilbage til det oprindelige f, ser vi at det approksimeres uniformt over [ K, K] af ( π θ ) N θ q = c k e i π k θ/k for θ [ K, K]. K k= N Vi ledes derfor til at betragte generaliserede trigonometriske polynomier af formen N c k e i α k θ k=1 hvor c 1,..., c N er komplekse tal, og hvor α 1,..., α N er vilkårlige reelle tal. Og den naturlige udvidelse af sætning 15.2 til at dække funktioner defineret på et vilkårligt interval siger at hvis f : [ K, K] R er kontinuert og opfylder at f ( K) = f (K), så kan vi finde en følge af generaliserede trigonometriske polynomier, der approksimerer f uniformt over [ K, K]. Vi kan uden problemer antage at disse generaliserede trigonometriske polynomier har imaginærdel nul. Korollar Lad f : R R være en kontinuert, begrænset funktion. For hvert K > findes en følge af generaliserede reelle trigonometrisk polynomier p 1, p 2,... så sup θ [ K,K] f (θ) p n (θ) for n. Vi kan antage at p n f + 1 for alle n N. BEMÆRK: Her og i det følgende bruger vi konventionen f = sup f (θ) θ R når f er en begrænset funktion. Man kan bemærke at et generaliseret trigonometrisk polynomium er begrænset, for N N c k e i α k θ c k for alle θ R. k=1 k=1

18 15.3. Trigonometriske polynomier 39 BEVIS: Når der overhovedet er noget at vise, er det fordi vi ikke har nogen antagelse der sikrer at f s værdi i K og K skulle være den samme. Men det er ikke noget stort problem: find en bumpfunktion g (se afsnit 13.7) der opfylder at [ K, K] g ( K 1, K + 1 ) og sæt f (θ) = g(θ) f (θ) for alle θ R. Den nye funktion f er kontinuert, og den er identisk uden for det åbne interval ( K 1, K + 1). Specielt opfylder den at f ( K 1) = f (K + 1) =. Endvidere er f lig med f på intervallet [ K, K] hvor vores hovedinteresse ligger, og endelig er f f. Vi kan nu finde en følge af ægte trigonometriske polynomier, q 1, q 2,..., så ( ) sup f (K + 1)θ q n (θ) π for n. θ [ π,π] Disse q er er periodiske med periode 2π, så de antager deres numerisk største værdier i intervallet [ π, π]. Ved i værste fald at droppe de første endeligt mange q er, ser vi at q n f + f q n f + 1 f + 1. De generaliserede trigonometriske polynomier ( πθ ) r n (θ) = q n K + 1 opfylder at Og da sup θ [ K 1,K+1] f (θ) r n (θ) for n. sup f (θ) r n (θ) = sup f (θ) r n (θ) θ [ K,K] θ [ K,K] har vi vist det ønskede. sup θ [ K 1,K+1] f (θ) r n (θ), (15.15) På baggrund af disse resultater om uniform approksimation med trigonometriske polynomier, er vi nu i stand til at vise at den karakteristiske funktion for et sandsynlighedsmål på R vitterligt karakteriserer målet.

19 31 Kapitel 15. Deskriptiv teori: den karakteristiske funktion Sætning Lad ν og λ være to sandsynlighedsmål på (R, B), med karakteristiske funktioner φ henholdsvis ψ. Hvis φ = ψ, så er ν = λ. BEVIS: Vi viser at antagelsen om at ν og λ har samme karakteristiske funktion medfører at f dν = f dλ for alle f C b (R), (15.16) hvor C b (R) betegner systemet af kontinuerte, begrænsede reelle funktioner defineret på R. At ν og λ er samme sandsynlighedsmål, følger herefter af sætning Lad q(θ) = N k=1 c k e i α k θ være et generaliseret trigonometrisk polynomium. Da er N q(θ) dν(θ) = c k k=1 N e i α k θ dν(θ) = c k φ(α k ). k=1 Vi ser at ν-integralet af et generaliseret trigonometrisk polynomium er givet ved den karakteristiske funktion. Da ν og λ har samme karakteristiske funktion, har vi altså at q(θ) dν(θ) = q(θ) dλ(θ). Så lad f være en C b (R)-funktion. Ifølge korollar kan vi finde generaliserede trigonometriske polynomier q 1, q 2,... så sup f (θ) q n (θ) < 1 θ [ n,n] n og så g n f + 1 for alle n. Vi ser heraf at q n (θ) f (θ) for alle θ, majoriseret af f + 1, og majorantsætningen fortæller os at q n dν f dν for n. Samme type grænseresultat gælder for λ-integraler, og derfor har vi at f dν = lim q n dν = lim q n dλ = f dλ. n n

20 15.4. Omvendingsintegraler 311 Sætning er forholdsvis ukonstruktiv, fordi den trækker en ret indirekte forbindelse mellem karakteristisk funktion og sandsynlighedsmål. Men i løbet af beviset har vi faktisk lært en hel del mere, og det er vigtigt at opsamle den viden. Kendskab til den karakteristiske funktions værdier i de hele tal, altså til φ(z) hvor z gennemløber Z, er tilstrækkelige til at finde integralet af ethvert ægte trigonometrisk polynomium. Og det fremgår af sætning 15.2, måske kombineret med nogle overvejelser om bumpfunktioner, at det er nok til at kunne fastlægge sandsynlighedsmålets opførsel på intervallet [ π, π]. Hvis vi ønsker at studere sandsynlighedsmålets opførsel på [ 2π, 2π] har vi lært at presse intervallet sammen til [ π, π], foretage de trigonometriske approksimationer på dette interval, og derefter blæse op igen. Denne teknik viser at kendskab til den karakteristiske funktion på gitteret Z/2 er tilstrækkeligt til at fastlægge sandsynlighedsmålets opførsel på [ 2π, 2π]. Helt generelt er kendskab til den karakteristiske funktion på gitteret Z/K tilstrækkelig til at fastlægge sandsynlighedsmålets opførsel på intervallet [ Kπ, Kπ]. Hvis vi vil vide hvordan ν opfører sig på et meget bredt interval, må vi altså kende φ s værdier på et meget fint gitter. Den centrale lære at drage af denne observation er, at informationen om ν s opførsel i de ekstreme haler kan uddrages af hvordan φ ændrer sig over meget små intervaller - hvis der ikke er noget spændende at sige om disse lokale ændringer, behøver vi ikke noget fint gitter for at få fastlagt målet over det hele. Vi ved at φ er uniformt kontinuert - men det efterlader jo stadig forskellige muligheder for lokale oscillationer. Halesandsynlighederne vil i høj grad været karakteriseret ved om φ f.eks. er differentiabel eller ej. Det viser sig uvægerligt at de største lokale forskelle i den karakteristiske funktions opførsel opstår inde omkring. Vi skal i afsnit 15.5 præsentere en række resultater, der giver kød på princippet om at et sandsynlighedsmåls opførsel i den ekstreme hale er bestemt af hvor kraftigt den karakteristiske funktion oscillerer lokalt om Omvendingsintegraler Hvis man finder at den indirekte forbindelse mellem sandsynlighedsmål og karakteristisk funktion i sætning er for svag, så kan man måske værdsætte de såkaldte omvendingsintegraler, der forholdsvis eksplicit udtrykker sandsynligheden for f.eks. intervaller i termer af den karakteristiske funktion. De nødvendige konstruktioner er dog så komplicerede at de ikke rigtigt lader sig gennemføre i praksis,

21 312 Kapitel 15. Deskriptiv teori: den karakteristiske funktion og derfor er omvendingsintegralerne ikke så meget et praktisk værktøj som de er en æstetisk tilfredsstillelse. Til overflod er de ganske vanskelige at vise: populært sagt består problemerne i at man skal integrere ikke-integrable funktioner... Det kan man selvfølgelig ikke, og man må foretage sig en lang række krumspring for at undgå at stå i den situation. Lemma Der gælder at x sin t t dt π 2 for x. BEMÆRK: Man indser uden det store problem at funktionen sin t/t ikke er integrabel over hele den reelle akse, så eksistensen af en grænseværdi er en ganske delikat sag. Men disse integraler dukker op i mange sammenhænge, så det er et vigtigt naturhistorisk faktum at grænsen eksisterer og har værdien π/2. Når resultatet er så vigtigt, så findes der naturligvis adskillige beviser - men ingen af dem kan kaldes elementære. Et bevis der baseres på kompleks analyse og i særdeleshed på residuesætningen findes i Rudin (1987). Et andet bevis i almindelig cirkulation er baseret på integration af den såkaldte Dirichletkerne fra Fourierrækketeori. Vi giver her et tredie bevis, der baseres på en inspireret brug af Fubinis sætning. BEVIS: Betragt funktionen f : (, ) (, ) R givet ved f (t, y) = sin t e ty. For x > er funktionen m 2 -integrabel over den lodrette stribe af formen (, x) R. Hvis vi udnytter at sin t t har vi nemlig at x f (t, y) dy dt x te ty dy dt = x 1 dt = x. Fubinis sætning tillader os derfor at udregne integralet af f over striben ved successiv integration. Det kan vi gøre på to måder der adskiller sig ved integrationsrækkefølgen, og de to måder må føre til samme resultat. Først ser vi at x sin t e ty dy dt = x sin t t dt,

22 15.4. Omvendingsintegraler 313 så f -integralet er bestemt relevant i forhold til at vise det ønskede resultat. For det andet kan vi bruge integrationstricket (15.11) til at indse at x Bemærk at sin t e ty dt dy = = = xy sin z 1 y e z dz dy y [ y 1 + y 2 cos z y e z + y2 1 + y 2 sin z ] xy y e z y 2 cos x e xy + y 1 + y 2 sin x e xy y 2 dy = [ arctan y ] = π 2, så vi har nu vist at x sin t dt π t 2 = y 2 cos x e xy + y 1 + y 2 sin x e xy dy 2 hvilket medfører det ønskede. e xy dy = 2 x, 1 y dy y 2 dy. Vi har brug for et par små varianter af dette resultat. For det første findes der en konstant C så x sin t dt t C for alle x R. (15.17) Lemma klarer de store x er, og da integranden er begrænset er der ingen problemer inde omkring. For det andet viser en elementær substitution at x π hvis γ > sin γt lim dt = hvis γ =. x x t π hvis γ < Sætning Lad ν være et sandsynlighedsmål på (R, B) med karakteristisk funktion φ. For a < b gælder der at lim T 1 T 2π T e i ta e i tb φ(t) dt = ν ( (a, b) ) + ν( {a} ) + ν ( {b} ). (15.18) i t 2

23 314 Kapitel 15. Deskriptiv teori: den karakteristiske funktion BEMÆRK: Læserens første forbløffelse har sikkert at gøre med den måde punktsandsynlighederne i de to intervalendepunkter dukker op i grænsen. Men det er ikke rigtigt til at undgå at det kommer til at se sådan ud, der er en vis udjævningseffekt i at integrere kontinuerte funktioner. Betragter man kun intervaller, hvis endepunkter er kontinuitetspunkter for ν, så forsvinder punktsandsynlighederne naturligvis fra formlen. Næste forbløffelse rettes nok mod at integralerne skal være så komplicerede. Hvis man viste at 1 T e i tb φ(t) dt (15.19) 2π T i t konvergerer mod ν ( (, b) ) + ν ( {b} ) /2, så kunne man opnå (15.18) ved at trække to integraler fra hinanden, hvis man skulle have lyst til det. Men skønt det projekt virker mere overskueligt, så løber det ind i grimme problemer. Sagen er at integralerne (15.19) ikke eksisterer! Integranden opfører sig som i/t inde omkring nul. Men ved at trække to funktioner af den type fra hinanden, så får man - som vi skal se - en funktion frem, der faktisk kan integreres. BEVIS: Vi holder a og b fast, og indfører funktionen Det følger af eksempel 15.2 at g(t) = b a g(t) = e i t a e i t b i t e i t y b dy e i t y dy = b a a. (15.2) så g er begrænset, og der er ingen problemer med eksistensen af integralerne i (15.18). Bemærk iøvrigt at g er konjugeret symmetrisk ligesom φ. Derfor er produktet af dem konjugeret symmetrisk, og af eksempel 15.5 følger det at integralerne i (15.18) alle er reelle. Når man indsætter definitionen af den karakteristiske funktion i (15.18) ser man at integralerne i virkeligheden er dobbeltintegraler af formen 1 T g(t) e i tx dν(x) dt. 2π T Ideen er at bytte om på integrationsordenen i dette dobbeltintegral. Det tillader Fubinis sætning os at gøre, fordi T T g(t) e i t x dν(x) dt (b a) dν(x) dt = (b a) 2T <. T T

24 15.4. Omvendingsintegraler 315 Foretager vi ombytningen, ser vi at de nye inderintegraler bliver T T g(t) e i t x dt = T T e i (x a) t e i (x b) t dt = i t T T sin(x a) t t dt T T sin(x b) t t hvor vi har skaffet os af med imaginærdelene under henvisning til den konjugerede symmetri. Lader vi T, ser vi at de to integraler konvergerer mod samme grænse hvis x a og x b har samme fortegn, dvs. hvis x [a, b], og derfor vil differensen konvergere mod nul. Hvis vi derimod ser på et x (a, b) vil første integral konvergere mod π mens andet integral konvergerer mod π, og differensen konvergerer mod 2π. Endelig overbeviser man sig om at differensen konvergerer mod π i de to specielle tilfælde x = a og x = b. Opsummeret har vi at T T hvis x [a, b] g(t) e i t x dt π hvis x = a eller x = b 2π hvis x (a, b) og denne konvergens er majoriseret af 2C, hvor C er konstanten fra (15.17). Derfor tillader majorantsætningen os at konkludere at T g(t) e i t x dt dν(x) 2π1 (a,b) (x) + π1 {a,b} (x) dν(x) for T. T Dette resultat oversættes hurtigt til (15.18)., dt Korollar Lad ν være et sandsynlighedsmål på (R, B) med karakteristisk funktion φ. Hvis φ er integrabel med hensyn til Lebesguemålet m, så har ν tæthed med hensyn til m. Faktisk er ν = f m hvor f (x) = 1 e i x t φ(t) dt for alle x R. (15.21) 2π Denne tæthed er begrænset og uniformt kontinuert. BEVIS: Lad os starte med at konstatere at integranden i definitionen af f er konjugeret symmetrisk, så f er vitterligt en reel funktion. Det er klart at f er begrænset af φ(t) dt. Vi ser også at f (x + x) f (x) = (e i (x+ x) t e i x t) φ(t) dt e i x t 1 φ(t) dt,

25 316 Kapitel 15. Deskriptiv teori: den karakteristiske funktion så den uniforme kontinuitet af f følger analogt med argumentet i sætning Lad a < b være to kontinuitetspunkter for ν, og lad g(t) være funktionen fra (15.2). Idet 1 ( T,T) (t) g(t) φ(t) g(t) φ(t) for T, majoriseret af den integrable funktion (b a) φ(t), følger det af majorantsætningen at inverteringsformlen tager udseendet ν ( (a, b) ) = 1 2π g(t) φ(t) dt = b hvor vi har brugt at g(t) kan skrives som et integral. Eftersom b a 1 2π e i t x φ(t) a dx dt = b a 2π 1 2π e i t x φ(t) dx dt, φ(t) dt <, tillader Fubinis sætning os at bytte om på integrationsordenen, og vi opnår at ν ( (a, b) ) = b a 1 b 2π e i t x φ(t) dt dx = f (x) dx. (15.22) a Der er kun tælleligt mange diskontinuitetspunkter for ν, så intervallerne af formen (a, b), hvor både a og b er kontinuitetspunkter, udgør et fællesmængdestabilt frembringersystem for B. Bemærk at f ikke kan være negativ. For hvis f (x ) < så ville kontinuiteten medføre at f var negativ på et interval (x ɛ, x + ɛ). I dette interval ville der findes kontinuitetspunkter a < b for ν. Af (15.22) ville det nu følge at (a, b) havde negativt ν-mål. Ved at bruge (15.22) på to følger (a n ) n N og (b n ) n N af kontinuitetspunkter for ν, der konvergerer mod henholdsvis og for n, giver monotonisætningen at bn f (x) dx = lim n a n f (x) dx = lim n ν ( (a n, b n ) ) = 1. Vi ved derfor at f m er et sandsynlighedsmål, og kombineres (15.22) med entydighedssætningen, ser vi at ν = f m.

26 15.5. Haleopførslen 317 Vi har tidligere set at den karakteristiske funktions opførsel inde om bestemmer sandsynlighedsmålet i den ekstreme hale. Her ser vi det modsatte forhold: den karakteristiske funktions opførsel i halen (der jo er bestemmende for om den er integrabel eller ej) siger noget om sandsynlighedsmålets variation over meget små intervaller. Eksempel Vi husker fra eksempel at Laplacefordelingen har karakteristisk funktion (1 + θ 2 ) 1. Denne karakteristiske funktion er m-integrabel, og skriver vi (15.21) op, får den udseendet e x = 1 2π e i t x t 2 dt. Ganske overraskende kan vi identificere integralet på højre side af dette lighedstegn som den karakteristiske funktion for Cauchyfordelingen! Og vi har dermed vist at den karakteristiske funktion for Cauchyfordelingen er φ(θ) = e θ for θ R, sådan som det blev postuleret i eksempel Der findes ingen elementære måder at vise dette resultat på Haleopførslen I dette afsnit vil vi give resultater, hvor vi siger noget om et sandsynlighedsmåls haleopførsel ud fra den karakteristiske funktion. Det første resultat er ganske groft, men vil være af stor betydning i senere kapitler. Sætning Lad ν være et sandsynlighedsmål på (R, B) med karakteristisk funktion φ. For alle u > gælder at ([ ν 2 u, 2 ] c ) 1 u (1 φ(θ)) dθ. (15.23) u u u BEVIS: Integranden på højre side af uligheden er konjugeret symmetrisk, så integralet er rent reelt. Det ses derfor at 1 u φ(θ)) dθ = u u(1 1 u 1 cos θx dν(x) dθ. u u

27 318 Kapitel 15. Deskriptiv teori: den karakteristiske funktion Integranden i dette dobbeltintegral er numerisk mindre end 2, så Fubinis sætning tillader os at ombytte integrationsordenen. Vi får 1 u φ(θ)) dθ = u u(1 1 u ( ) sin ux 1 cos θx dθ dν(x) = 2 1 dν(x) u u ux Integranden her er ikke-negativ, og vi ser at Heraf følger det ønskede. 1 sin ux ux 1 2 når x 2 u. Et mere raffineret resultat knytter momenterne for et sandsynlighedsmål sammen med dets karakteristiske funktion. Sætning Lad ν være et sandsynlighedsmål på (R, B) med karakteristisk funktion φ. Hvis ν har k te moment, så er φ en C k -funktion og φ (k) (θ) = i k x k e i θ x dν(x) for θ R. (15.24) BEMÆRK: Når vi siger at den komplekse funktion φ er C k, betyder det naturligvis at såvel real- som imaginærdel er C k -funktioner. Bemærk hvordan (15.24) tillader os at finde ν s k te moment ved at sætte θ = : φ (k) () = i k x k dν(x). BEVIS: Vi ser først på tilfældet k = 1. Vi har at d cos θx dθ = x sin θx x. Da x er ν-integrabel, følger det af sætning 6.17 at d cos θx dν(x) = x sin θx dν(x). dθ

28 15.6. Laplacetransformationer 319 Tilsvarende kan det vises at d dθ sin θx dν(x) = x cos θx dν(x), Kombineres disse to resultater ser vi at φ er differentiabel, og at φ (θ) = x sin θx dν(x) + i x cos θx dν(x) ( ) = i x cos θx dν(x) + i x sin θx dν(x) = i x e i θ x dν(x). At den afledte er kontinuert (endda uniformt kontinuert) følger analogt med argumentet i sætning De tilsvarende resultater om de afledte af højere orden følger induktivt ved at vise og udnytte at d x k 1 cos θx dν(x) = x k sin θx dν(x), dθ d x k 1 sin θx dν(x) = x k cos θx dν(x), dθ når ν har k te moment. Alle eksemplerne i afsnit 15.2 på nær ét viser karakteristiske funktioner, der er er uendelig ofte differentiable - i god overensstemmelse med at de tilhørende sandsynlighedsmål alle har momenter af vilkårlig orden. Den eneste undtagelse fra dette mønster er den karakteristiske funktion for Cauchyfordelingen i eksempel 15.17, der ikke er differentiabel i - men Cauchyfordelingen har jo heller ikke 1. moment. Bemærk dog at den karakteristiske funktion for Cauchyfordelingen faktisk er differentiabel alle andre steder end i, så det er kun helt inde i at de tunge haler for alvor manifesterer sig Laplacetransformationer I dette afsnit vil vi præsentere to konstruktioner, der er inspireret af de karakteristiske funktioner. De er nok endnu mindre intuitive, og de giver i øvrigt kun mening

29 32 Kapitel 15. Deskriptiv teori: den karakteristiske funktion for visse sandsynlighedsmål. Men når man kan slippe af sted med at bruge dem, så er det ofte en fordel, for de er simplere at have med at gøre rent regneteknisk - de undgår brugen af trigonometriske funktioner og komplekse tal. Og de involverer eksponentialfunktionen på en måde, der gør at det centrale foldningstrick - se afsnit fungerer på samme måde som for karakteristiske funktioner. Definition Lad ν være et sandsynlighedsmål på (R, B) sådan at ν ( [, ) ) = 1. Den Laplacetransformerede af ν er funktionen ψ : [, ) R givet som ψ(θ) = e θ x dν(x) for θ [, ). (15.25) Vi ser at Laplacetransformationen ψ har værdier i (, 1]. Hvis X er en stokastisk variabel med værdier i [, ) taler man ofte om den Laplacetransformerede af X når man i virkeligheden mener den Laplacetransformerede af X s fordeling. Den definerende formel er altså ψ(θ) = e θ x dx(p)(x) = e θx dp, hvor sidste udtryk fremkommer ved hjælp af integraltransformationssætningen. For sandsynlighedsmål ν på N falder det ofte for at bruge den såkaldte frembringende funktion. Hvis ν har punksandsynligheder p, p 1,... er den frembringende funktion µ(x) = p n x n. n= Denne potensrække er konvergent på den afsluttede enhedskugle i den komplekse plan, og derfor kan vi uden problemer opfatte µ som værende defineret på [, 1]. Man kan bemærke at µ(x) = p n e n log x = ψ( log x) for alle x (, 1), n= hvor ψ er den Laplacetransformerede. Så den frembringende funktion er simpelthen den Laplacetransformerede i nogle lidt andre gevandter.

30 15.6. Laplacetransformationer 321 Sætning 15.3 Lad X være en stokastisk variabel med værdier i [, ) og med Laplacetransformeret ψ. Hvis α, β så har den stokastiske variabel α + βx karakteristisk funktion υ(θ) = e θα ψ(βθ) for alle θ [, ). BEVIS: Som den tilsvarende relation for karakteristiske funktioner er denne egenskab ganske triviel. Hvis υ betegner den karakteristiske funktion for α + βx, så er υ(θ) = e θ(α+βx) dp = e αθ e βθx dp = e αθ φ(βθ). Eksempel Binomialfordelingen med parametre (n, p) har Laplacetransformeret ψ(θ) = ( e θ p + 1 p ) n for θ [, ). som det ses analogt med regningerne i eksempel Den frembringende funktion bliver derfor µ(x) = (xp + 1 p) n for x [, 1]. Eksempel Poissonfordelingen med middelværdi λ har Laplacetransformeret ψ(θ) = e λ(e θ 1) for θ [, ). som det ses analogt med regningerne i eksempel Den frembringende funktion bliver derfor µ(x) = e λ(x 1) for x [, 1]. Eksempel Den negative binomialfordeling med parametre (r, p) har Laplacetransformeret p r ψ(θ) = ( 1 (1 p)e θ ) r for θ [, ).

31 322 Kapitel 15. Deskriptiv teori: den karakteristiske funktion Den frembringende funktion bliver derfor µ(x) = p r ( 1 (1 p)x ) r for x [, 1]. Eksempel Γ-fordelingen med formparameter λ har Laplacetransformeret ψ(θ) = e θx 1 Γ(λ) xλ 1 e λ dx = 1 Γ(λ) x λ 1 e (1+θ) x dx = 1 (1 + θ) λ. Sætning Lad ν 1 og ν 2 være to sandsynlighedsmål på (R, B) der begge giver sandsynlighed 1 til [, ). Lad de to mål have Laplacetransformeret ψ 1 og ψ 2. Hvis ψ 1 = ψ 2 så vil ν 1 = ν 2. BEVIS: Betragt afbildningen g : R R givet ved g(x) = e x. De to billedmål g(ν 1 ) og g(ν 2 ) giver da sandsynlighed 1 til enhedsintervallet [, 1]. Og momenterne kan udregnes ud fra de oprindelige Laplacetransformerede, f.eks. er x k d(g(ν 1 ))(x) = g(x) k dν 1 (x) = ψ 1 (k). Når ν 1 og ν 2 har samme Laplacetransformerede, må g(ν 1 ) og g(ν 2 ) derfor have de samme momenter. Det følger af sætning at g(ν 1 ) = g(ν 2 ). At ν 1 og ν 2 også er ens, følger ved at tilbagetransformere med log x. Sætning Lad ν være et sandsynlighedsmål på (R, B) sådan at ν ( [, ) ) = 1, og lad ψ være den Laplacetransformerede. På det åbne interval (, ) er ψ uendeligt ofte differentiabel med ψ (k) (θ) = ( 1) k x k e θ x dν(x) for θ (, ), k N. (15.26)

32 15.6. Laplacetransformationer 323 BEVIS: Følger af sætning 6.17 ved induktion efter k. Man skal blot bemærke at enhver funktion af typen x x k e θx er begrænset. Det følger af monotonisætningen at ψ (θ) = x e θ x dν(x) x dν(x) for θ +. Grænseintegralet er veldefineret, men det kan eventuelt være. Heraf slutter vi at ψ er differentiabel fra højre i hvis ν har 1. moment. Men også omvendt: hvis ν ikke har 1. moment, så er ψ ikke differentiabel fra højre i. Tilsvarende bemærkninger gælder for de højere afledede, og det adskiller Laplacetransformationen en smule fra de karakteristiske funktioner: den karakteristiske funktion kan i princippet være glattere end hvad antallet af momenter garanterer, mens man rent faktisk kan aflæse af den Laplacetransformeredes glathed i hvor mange momenter målet har.