Opmåling og geologisk beskrivelse af område ved Tasersuaq

Transkript

1 Opmåling og geologisk beskrivelse af område ved Tasersuaq Frits Christiansen, s Asger Sigurd Petersen, c Center for Arktisk Teknologi, BYG DTU Danmarks Tekniske Universitet 2002

2 Forord Nærværende projekt er udført i perioden fra januar 2001 til januar 2002 i forbindelse med kurset Arktisk Teknologi under Center for Arktisk Teknologi, BYG DTU med Keld Dueholm, IMM som vejleder. Med rapporten følger en cd-rom, hvorpå rapportens bilag kan findes. På cdrommen findes desuden udvalgte data, produceret i forbindelse med projektet, samt en digital kopi af rapporten. Under hvert afsnit har vi markeret med vores initialer, hvem der har skrevet hvad. Da Frits af gode grunde ikke kan komme hjem til præsentationen af rapporten, og Asger dermed alene må besvare censor og Kelds spørgsmål, beder vi om, at der bliver givet en separat karakter til hver af os. Sammensætningen af denne gruppe Nr. 3 Vandkraft var speciel ved, at den bestod af 3 forskellig studerende med hver deres forskellige uddannelsesmæssige baggrund. Mogens som den erfarne miljøtekniker tilmeldt kurset i Arktisk Teknologi under Åben Uddannelse, Frits der sammen med hans medstuderende, Carsten fra Geologisk Institut på Aarhus Universitet havde fået sneget sig ind på kurset ved hjælp af deres vejleder fra Århus og Asger der til dagligt er tilknyttet DTU og kendte alt til stedet. Det var vist aldrig set før! Selvom Mogens beklageligvis måtte springe fra projektet, da ASIAQ hjemme i Nuuk havde brug for ham, blev feltarbejdet i Grønland gennemført. Og mens lærere og studerende stadig var i Sisimiut tog Frits videre til USA for at studere på Kansas State University. Kontakten mellem gruppens to tilbageværende medlemmer måtte nu foregå gennem internettet. Med to faste ugentlige mødetidspunkter foran computerskærmene, lykkedes det at få lavet rapporten færdig, også selvom Asger vendte tilbage til Sisimiut i to uger som GIS assistent, og afleveringen derfor blev udsat til først i det nye år. Der er sket en masse i denne gruppe i denne periode, men kampvilje og velvillighed fra vores vejledere gjorde det muligt at færdiggøre rapporten. En tak skal lyde til Mogens Wium, som kom med ideen til projektet og til tekniker Hans Hansen, som hjalp os med alt det tekniske isenkram. Tak til Arne for at vi måtte få lov til at begive os ud i vildnisset, og dermed komme på den virkelige overlevelsestur! DTU, Lyngby d. 14 januar, Asger Sigurd Petersen c Frits Christiansen s010387

3 Indholdsfortegnelse 1 INDLEDNING (FC) INTRODUKTION TIL VANDKRAFT VANDKRAFT I GRØNLAND (FC) PRINCIPPET BAG VANDKRAFT (FC) HYDROLOGI (FC) GEOLOGI (FC) TEORI GPS (AP) FOTOGRAMMETRI (AP) DIGITALE HØJDEMODELLER (AP) STATISTISKE METODER (AP) EKKOLOD (FC) RESERVOIR OG VANDKVALITET (FC) BENYTTET UDSTYR, PROGRAMMEL OG DATA (AP&FC) FELTARBEJDE PLANLÆGNING (AP) UDFØRELSE (AP&FC) BEHANDLING AF INDSAMLEDE DATA KOORDINATER TIL PASPUNKTER (AP) AEROTRIANGULATION (AP) HØJDEMODEL (AP) ORTOFOTOS (AP) EKKOLODS DATA (FC) VANDPRØVER (FC) TERMINAL LAGDELING (FC) HØJDE- OG DYBDEMODEL OPSTILLING (AP) D VISUALISERING (AP) ANVENDELSER (AP) KONKLUSION (AP&FC) LITTERATURFORTEGNELSE (AP&FC) BILAGSLISTE (AP)...3 1

4 Indledning 1 Indledning (FC) Udgangspunkt for denne rapport er et vandkraftsprojekt nær Sisimiut i Vestgrønland. Gruppen bestod oprindeligt af 3 personer, der havde til hensigt at følge op på projektet, der har ligget stille i en årrække, da man i øjeblikket ikke har ressourcerne til at realisere projektet. Vandkraftværket ønskes placeret ved søen Tasersuaq cirka 30 km nordøst for Sisimiut. Meningen var at den hydrologiske model for området værkets eksistensgrundlag - skulle forbedres og at der skulle opstilles forslag til hvordan og hvilken type måleudstyr der kunne opstilles permanent ved søen, for at indsamle reelle vandføringsdata, og dermed få et mere præcist billede af den årlige afstrømningen fra Tasersuaq. Derudover skulle vandkvaliteten undersøges og søen skulle pejles for eventuelle tærskler. Der skulle laves en højdemodel for området som kunne bruges i en opfølgning af projektet. Da gruppen desværre blev reduceret til 2 personer en måned før feltarbejdet i Grønland, blev hele den hydrologiske del af rapporten skåret væk, og tilbage var den fotogrammetriske og geologiske del. I det følgende beskrives vandkraftens historie i Grønland og nogle af de indledende overvejelser som ligger til baggrund for vandkraft. Samtlige bilag kan findes på den medfølgende CD-Rom. 2

5 Introduktion til vandkraft 2 Introduktion til vandkraft 2.1 Vandkraft i Grønland (FC) Historie og fremtid for vandkraft i Grønland Vandkraft er en betydelig potentiel energikilde i Grønland, da der i Grønland findes rigelige mængder af vand fra indlandsisens smeltevand og fra den nedbør der falder fra de frontsystemer der bevæger sig nordpå op langs Grønlands vestkyst. Derfor har interessen for at udvinde denne energikilde hovedsageligt været koncentreret i denne del af Grønland. Området her rummer de fleste og største byer i Grønland, og dermed er afsætnings mulighederne for elproduktionen også størst i dette område. I Vestgrønland var tanken at vandkraft skulle forsyne energitunge industrier, såsom minedrift, og fremstilling af kunstgødning eller aluminium. I 1976 udgav Curt F. Kollbrunner hæftet Energie und Wasser aus Grönland hvori han legede med tanken om at vandkraft i Grønland kunne bidrage til elforsyningen i Nordamerika og Europa. Han beregner sig frem til at vandkraft fra Sydgrønland ville kunne levere Mia. KWh (Figur 2-1). Året forinden udarbejde Grønlands Tekniske Organisation (GTO) rapporten Lokalisering af vandkraftsressourcer i Figur 2-1 Wasser und Energie-Grossprojekte in Südgrönland (Kollbrunner, 1976). Grønland. Rapporten beskrev 16 potentielle anlæg som tilsammen kunne producere GWh. Disse tiltag skal ses i lyset af den energikrise der opstod i starten af halvfjerdserne. I Grønland produceres husopvarmning og elektricitet ved hjælp af diselgeneratorer, og derfor kunne der være økonomiske fordele i at omlægge energiforsyningen og satse mere på vandkraft og derved opnå et reduceret olieforbrug. I midten af 1970 erne begyndte de egentlige undersøgelser vedrørende mulighederne for udnyttelse af vandkraft i Grønland. De største vandkraftspotentialer blev lokaliseret, men det var først i 1980 at man begyndte af interessere sig for 3

6 Introduktion til vandkraft mulighederne omkring de mindre bynære anlæg. Undersøgelserne blev delvist støttet af midler fra EF s regionale fond. Det viste sig, at det var svært at finde rentable mineralforekomster der kunne dække de store anlægsudgifter som et vandkraftværk ville kræve. To minedriftsprojekter havde omkring 1980 interesse: Jernmalmen ved Isukasia hvilket ville give mulighed for et vandkraftsanlæg ved Imarsuup Isua (1500 GWh/a) eller alternativt ved Tasersuup Isua (750 GWH/a) (Figur 2-2), eller Uranen ved Kvantefjeldet der ville give mulighed for et vandkraftanlæg ved Johan Dahl Land (300 GWh/a) (Nukissiorfiit, 1995). I og i blev der gennemført undersøgelsesprogrammer som skulle danne grundlag for den fremtidige prioritering af vandkraftpotentialerne og komme med forslag til en energiplan for Grønland. Energiplanen Hovedretningslinier for Figur 2-2 Potentielle lokaliteter for vandkraftværker i Grønland en energiplanlægning for Grønland frem til 2000, udkom i august 1981, var et resultat af en arbejdsgruppe nedsat af Ministeriet for Grønland. Rapporten anbefalede at i den fremtidige energiplan ud fra såvel driftsøkonomiske som forsyningssikkerhedsmæssige hensyn foretages en betydelig omlægning af Grønlands energiforsyning fra den nuværende anvendelse af olie til anvendelse af vandkraft og kul (GTO, 1984). Arbejdsgruppen fandt at de bynære anlæg var interessante ud fra et teknisk og økonomisk synspunkt og at der var væsentlige økonomiske fordele forbundet med en omlægning af energiforsyningen til vandkraftsudnyttelse baseret på mindre, bynære bassiner i Grønland. Arbejdsgruppens resultat var dog baseret på nogle få års rekognosceringer og ikke egentlige anlægstekniske 4

7 Introduktion til vandkraft undersøgelser. Derfor blev det af det grønlandske landsting i foråret 1982 besluttet at give principiel tilslutning til, at en omlægning af energiforsyningen i Grønland primært burde baseres på anvendelsen af vandkraft og kul og anbefalede, at energiplanlægningen skulle videreføres i en anden fase (undersøgelsesprogrammet ), hvor blandt andet for hver enkelt by udarbejdes detaljerede planer for energiforsyningen (GTO, 1984). I 1983 forelå der et temmeligt detaljeret kendskab til de fleste af de aktuelle vandkraftspotentialer, dvs. kendskab til hydrologiske, anlægstekniske, glaciologiske og miljømæssige forhold. Ud fra denne viden var det nu muligt at foretage en prioritering af de forskellige vandkraftspotentialer med hensyn til det videre arbejde med henblik på etablering af vandkraftsanlæg. Den første energiplan for en grønlandsk by, Ilulissat, blev færdiggjort i april 1984 (GTO, 1984). I perioden blev fire projekter yderligere undersøgt for en egentligt projektering, således at et beslutningsgrundlag for opførelses af vandkraftsanlæg var tilstede. Forundersøgelserne var temmelig omfattende og omhandlede blandt andet intense hydrologiske målinger, pejling af reservoirsøer, kerneboringer for undersøgelser af forholdene ved anlæg af tunneller i fjeld med henblik på vurdering af drift i vandfyldte tunneler i permafrost (GTO, 1984). Blandt de fire projekter var Tasersuaq (Sisimiut) - der er dette projekts udgangspunkt - og Buksefjorden (Nuuk) som er Grønlands hidtil eneste vandkraftværk og vil blive beskrevet i det følgende. Det første egentlige vandkraftsanlæg i Grønland, Kangerluarsunnguaq Vandkraftværk, blev opført i perioden og blev taget i brug d. 1. oktober Kraftværket ligger ved Buksefjorden syd for Nuuk, som værket leverer elektricitet til, og pga. beliggenheden har værket derfor også fået navnet Buksefjordsværket. Undersøgelserne til dette kraftværk havde stået på siden 1980 og var således en del af den første fase af undersøgelser i perioden og igen i årene Værket har to turbiner med en samlet effekt på 30 MW og passede til afsætningsgrundlaget for Nuuk by i En tredje turbine er forberedt således at den samlede effekt vil kunne blive på i alt 45 MW. (Nukissiorfiit, 1995). I 1989 blev GTO nedlagt og ansvaret for undersøgelserne blev lagt ind under Nukissiorfiit (Grønlands Energiforsyning). Nukissiorfiit har siden haft ansvaret for udnyttelsen af vandkraften i et samarbejde med ASIAQ det tidligere Grønlands Forundersøgelser (GFU) og GEUS det tidligere Grønlands Geologiske Undersøgelser. ASIAQ udfører det hydrologiske arbejde mens GEUS står for undersøgelser af gletschere og indlandsisen (Thomsen, 1996) Vandkraft - Tasersuaq, Sisimiut Vandkraftværket ved Tasersuaq er et af de bynære anlæg og skal, hvis det engang bliver til virkelighed, forsyne ca indbyggere i Grønlands anden største by, Sisimiut med elektricitet til både husopvarmning og alm. elektriske installationer. Forundersøgelserne til kraftværket var en del af de undersøgelser der foregik i starten af 1980 erne. Undersøgelser af de hydrologiske og anlægstekniske forhold foregik i marts 1983, og et dispositionsforslag blev udfærdiget. I første omgang satsede man på et vandkraftværk 5

8 Introduktion til vandkraft beliggende ved det nuværende udløb (nordlige alternativ). I juli 1985 undersøgte GTO mulighederne for et sydligt alternativ til vandkraftsværkets placering. Siden 1977 har en automatisk målestation indsamlet hydrologiske oplysninger som har dannet grundlag for en vurdering af områdets hydrologiske potentiale. Tasersuaq projektet blev udbudt i totalentreprise i 1992 på baggrund af et Projektforslag der var udarbejdet af Nukissiorfiit/GTO, og der indkom 5 tilbud/tilbudsprojekter. En kontrakt blev færdigforhandlet klar til underskrift, men desværre omprioriterede Grønlands Hjemmestyre planerne om et kraftværk, og valgte i stedet at bruge pengene til opførelsen af lufthavne. Projektet har for øjeblikket anden prioritet mens vandkraftværk Qorlortorsuaq (et bynært anlæg til forsyning af Qaqortoq og Narsaq) i Sydgrønland har første prioritet. Dette projekt planlægges nu udbudt i totalentreprise i år med licitation ultimo 2001 (Andersen, 2001). I dag foregår elproduktionen i Sisimiut på et dieseldrevet kraftvarmeværk med to generatoranlæg på hver 3,2 MW, samt et dieseldrevet spidsbelast-elværk med to generatoranlæg på hver 0,9 MW. Spidsbelastningselværket er samtidig også et nødelværk. Den samlede installerede effekt er på 8,2 MW. Elproduktion er på MWh, restvarmeproduktionen udgør MWh. Varmeforsyningen kommer fra fire varmeværker, hvoraf to er rent oliefyret og to er en kombination af restvarme og olie. Samlet produktion MWh (Nukissiorfiit, 2001). For en mere detaljeret gennemgang af forundersøgelsernes og dispositons-forslagets indhold og konklusioner henvises til GTO og Nukissiorfiit s rapporter om vandkraft i Grønland. 2.2 Princippet bag vandkraft (FC) I Grønland skelnes der mellem to typer vandkraftsområder. Det ene udnytter afstrømningen fra dalstrøg og søer i det isfri kystland på konventionel måde (Figur 2-3). Vandmængder fra disse bassiner er hovedsageligt nedbør i form af regn om sommeren og sne om vinteren. Figur 2-3 Princippet bag et traditionelt vandkraftværk (Thomsen, 1996). 6

9 Introduktion til vandkraft Den anden type bassiner er forbundet med Indlandsisen, og hovedparten af afstrømningen består af smeltevand fra dette store isdække. I disse gletscherbassiner strømmer smeltevandet om sommeren fra Indlandsisen til højtliggende naturlige eller opdæmmede søer foran isen (Figur 2-4). Langt det største vandkraftpotentiale findes i disse gletscherbassiner (Thomsen, 1996). Figur 2-4 Princippet bag et gletscherkraftværk (Thomsen 1996). Princippet bag udnyttelsen af vandkraft til elproduktion er temmelig enkel. Den energi der fremstilles er proportional med faldhøjden og den mængde vand der er til rådighed. Deraf fås følgende formel, P = g h Q e hvor P: effekt [kwh] g: tyngdeaccelerationen = 9.81 [kg m/s 2 ] h: faldhøjden [m] Q: vandføringen eller volumenstrøm [m 3 /s] e: effektivitets koefficient Energitab som følge af friktion i systemet indregnes normalt i faldhøjden. Effektivitets koefficienten afhænger af valg af turbiner og generatorer. Den strøm der i sidste ende leveres ved byporten afhænger af transmissionslinjen (transmissionstabet) og udgør normalt en meget lille værdi. 2.3 Hydrologi (FC) Dette afsnit skulle efter den oprindelige projektplan havde været beskrevet i detaljer og et forslag til en forbedret målemetode af Q for Tasersuaq skulle havde været fremlagt. Pga. at gruppen blev reduceret til to personer var dette ikke muligt. Kun de vigtigste detaljer omkring hydrologiens betydning for et vandkraftværk vil blive berørt i dette afsnit. 7

10 Introduktion til vandkraft Ud fra ligning i forrige afsnit ses det at en forøget faldhøjde eller vandføring vil forøge effekten. Det er derfor af stor betydning at man kender disse værdier. Faldhøjden kan beregnes ved hjælp af kortmateriale og egentlige målinger i felten med bl. a GPS. Faldhøjden kan øges ved at anlægge eller forhøje den dæmning der skal sikre et tilstrækkeligt stort vandreservoir. Vandføringen kan forøges ved at udvide det hydrologiske opland til reservoiret ved at ændre nærliggende flodsystemers naturlige forløb således at afstrømningen fra dette eller disse område nu indgår i undersøgelsesområdets beregningsgrundlag. Vandføringen er den værdi der er vanskeligst at bestemme da det kræver kontinuerte målinger gennem en længere periode for at udjævne eventuelle sæsonudsvingning i nedbørsmængden eller gletscherafsmeltningen. I tilfældet med det traditionelle vandkraftværk er det hydrologiske input givet ved vandbalanceligningen, Q b, Q b = P r + P s - L hvor P r = regnnedbøren P s = snenedbøren L = tabet ved fordampning og opfanget af bevoksningen Ved gletscherkraftværket skal der yderligere tillægges et input fra smeltning af is, M i og smeltning af sne, M s fra gletscherområdet. Det er derfor vigtigt af få det hydrologiske grundlag fastlagt ved at opstille målestationer i det hydrologiske opland til vandkraftværket, og dermed få det bedst mulige overblik over hvor meget vand der er til rådighed pr. år. Sådanne hydrologiske målinger var ikke tilgængelige i Grønland for disse afsidesliggende områder da interessen for udnyttelsen af vandkraft startede i halvfjerdserne. Der forelå hydrologiske data for de større byer langs kysterne, men at overføre en enkel kystmålestatons data til for eksempel et område på 800 km 2 kan vanskeligt tillades og derfor var det nødvendigt at opbygge et netværk af målestationer i det hydrologiske opland til vandreservoiret. Nedbørsmængden på et bestemt sted afhænger blandt andet af lokalitetens afstand fra kysten og højden over havniveau. Ved gletscherkraftværket kommer vandressourcen hovedsageligt fra smeltevand fra gletscheren i form af is- og snesmeltning i gletscherens marginale dele. Afstrømningen af smeltevand ske fortrinsvis i sommerperioden, da det er betinget af stigende temperaturer og stigende indkommende kortbølget stråling fra solen. Hvis en gletscher kælver isbjerge direkte ud i vandreservoiret skal dette input selvfølgelig medregnes. Disse isbjerge kan være til gene for kraftværkets indtag da isen kan blokere dette. For begge typer gælder det at den nemmeste måde at få et estimat for hvor stort vandvolumen der er til rådighed for vandkraftværket fås ved at måle afstrømningen fra et eller flere bassiner i området. Det er både upraktisk og besværligt at opstille et utal af 8

11 Introduktion til vandkraft målestationer i området for at finde Q b, og derfor bliver vandvolumen beregnet ud fra en Q/H-relation. Vandspejlets kote i søen (H) måles kontinuerlig over en længere periode, normalt et år, ved hjælp af en trykmåler på bunden af søen. En eller flere gange om året måles vandføringen (Q) ved søens udløb og herefter sammenlignes Q og H for at estimere den årlige afstrømning fra oplandet. 2.4 Geologi (FC) Regional geologi Grønlands vestkyst Geologien spiller sammen med klimaet en stor rolle for om der er mulighederne for at anlægge og drive et vandkraftværk. Grønlands vestkyst rummer i dag store isfrie, men bjergrige områder der kan agere højtliggende forhindringer og opdæmme vandmasser fra de flodsystemer der bringer smeltevand og nedbør fra indlandet og ud til havet. Under den sidste glaciation for ca år siden, var Grønland helt dækket af is. Vægten af denne ismasse medførte en lateral forskydning af materiale i den øvre kappe hvorpå jordens skorpe flyder, og konsekvensen blev at landskabet sank (Benn, 1998). Da isen trak sig tilbage til dens nuværende position var landskabet stadig påvirket af at have været tynget af den store vægt af isen, og havet skyllede ind over de nedtyngede områder og marine sedimenter blev aflejret. Efterfølgende hævede landskabet igen for så at indstille sig på en ny ligevægtssituation. Andre steder i verden hvor iskappen fra den sidste istid i dag helt er forsvundet, ses en betydelig landhævning pga. isostatisk opløft op til 750m for midt Skandinavien. I Grønland er Indlandsisen ikke forsvundet, så landskabet i Vestgrønland oplever derfor stadig en lateral forskydning af den øvre skorpe, og dette medfører, at det isfrie landskab foran Indlandsisen buler op i forhold til landskabet under Indlandsisen - der så til gengæld befinder sig under havniveau! Tidligere undersøgelser viser en stigende intensitet i landhævningen fra kystområdet mod Indlandsisens nuværende opholdslinje fra 20m og op til 120m. I dette projekts undersøgelsesområde blev der under besejlingen af Tasersuaq lokaliseret en markant kystlinje i landskabet. Denne blev målt med GPS til at ligge i kote 120m, hvilket stemmer overens med tidligere målinger fra området (Haarløv,1980). Topografien, eller geologien skaber dermed et terræn der består af u-formede dale der er eroderet af tidligere tiders gletschere. Dalene må formodes primært at være et resultat af forkastninger skabt af tektonisk aktivitet i området, og isen har så foretrukket sin fremrykning i disse mens enkelte højtliggende fjeldområder har været isfri, de såkaldte Nunatakker. Gletscherne og med sedimenter afsat i forbindelse med disse deriblandt randmoræner dannet foran en aktiv gletscher. Det var derfor et af rapportens mål at få fastslået om det var muligt at finde spor af en eller flere randmoræner under Tasersuaq s vandspejl. I havet vest for Sisimiut findes der sedimenter afsat af gletschere i forbindelse med Indlandsisens maksimale udbredelse under sidste glaciation, i dag kendt som Store Hellefiskebanke. Afsmeltningen af denne iskappe må formodes at have foregået i ryk, og 9

12 Introduktion til vandkraft derved har isranden haft ophold i sin afsmeltningsfase og evt. også enkelte mindre fremrykninger. Det er netop disse der kan have skabt de formodede tærskler i Tasersuaq Lokal Geologi Tasersuaq (FC) Lokal geologien omkring søen Tasersuaq har betydning for hvilken type sediment man kan forvente at finde i vandprøverne og områdets morfologi har betydning for under hvilke processer vi kan forvente at materiale vil blive ført ud i bassinet, Tasersuaq, der er tiltænkt at være det naturlige vandreservoir for vandkraftværket. I vores feltarbejde var der ikke beregnet tid til egentlige geologiske undersøgelser, så dette afsnit bygger på informationer fra litteraturen og fra feltarbejde i forbindelse med forundersøgelserne i området lavet af GTO. Bjergarterne i området består af en 2,7 Mia. år gammel geniss Nagssugtoqidian Mobile Belt (Escher, 1976), og denne var udsat for metamorfose indtil for 1,7 Mia. år siden. Området gennemskæres af forkastninger. Undersøgelser lavet i Grønland viser at store mængder af sedimenter ofte bliver aflejret i det isfrie område før det når havet (Hasholt, 1995). De største koncentrationer af sediment i flod- og søvand findes sandsynligvis under forårs afsmeltningen og igen under kraftige nedbørs begivenheder (Hasholt, 1995). Undersøgelser publiceret af Hasholt & Søgaard (1976) med udgangspunkt i de isfrie områder mellem Sisimiut og Kangerlussuaq viste, at der under en periode uden nedbør havde vandløbene i området meget lave koncentrationer af sediment (<20 mg/l) hvorimod vand fra lokale gletschere og Indlandsisen i det pågældende område viste større værdier (op til 1800 mg/l). Sammenlignede med dette har smeltevand fra Indlandsisen andre steder i Grønland vist koncentrationer på op til 2000 mg/l. Afhængigt af oplandets størrelse kan sediment mængden findes som antal tons pr. m 2 år -1. Ved Buksefjorden ved Nuuk blev der i 1981 opserveret lave værdier (1-2 mg/l) for koncentrationen. Området er domineret af en stor sø, ligesom det er tilfældet med området omkring Tasersuaq. Selvom der er input af glacialt smeltevand, gav dette ikke anledning til høje værdier. Området modtager dog mindre nedbør pr. år end det højere liggende område omkring Tasersuaq, men resultaterne kan dog bruges som en indikator for hvad vi kan forvent omkring vores undersøgelses område. Den højdemodel der er blevet lavet i forbindelse med dette projekt ville kunne bidrage til en geologisk tolkning af området i og omkring Tasersuaq. 10

13 Teori 3 Teori I dette afsnit beskrives teorien bag de i projektet benyttede metoder. 3.1 GPS (AP) I dette afsnit beskrives den grundlæggende teori for benyttelse af Global Positioning System (GPS) til positionsbestemmelse. Idet projektet er stærkt afhængigt af GPSmålinger, er dette afsnit forholdsvist omfattende GPS generelt GPS er et globalt positioneringssystem baseret på måling af afstande til særlige GPSnavigationssatellitter. Systemet består af i alt 28 navigationssatellitter, hvoraf 24 skal fungere, for at systemet er fuldt operationelt. Satellitterne kredser i seks baneplaner med fire satellitter i hver plan. Baneplanerne er forskudt med 60 i forhold til hinanden, og det enkelte baneplan hælder med 55 i forhold til ækvatorialplanet. I den fuldt operationelle tilstand garanterer satellitkonstellationen, at der fra en hvilken som helst position på jordens overflade teoretisk set altid vil være mindst fire synlige satellitter. Hver satellit udsender to elektromagnetiske bærebølger L1 og L2, om hvilke der gælder, at f L1 = 1575,42 MHz => λ L1 0,1904m f L2 = 1227,6 MHz => λ L2 0,2444m De angivne bølgelængder er beregnet af λ = c f, idet c 3, m / s er lysets hastighed i vacuum, og idet der ses bort fra atmosfæreforsinkelser. Over bærebølgerne moduleres et navigationssignal og to forskellige koder til måling. C/A-koden (coarse/acquisition) moduleres over L1, hvorimod navigationssignalet og P(Y)-koden (precision) moduleres over både L1 og L2. Både C/A og P(Y) er tilfældigt genererede og gentages henholdsvis for hvert 1ms og for hver 266 dage. P(Y)-koden vil ikke blive omtalt yderligere, da den er krypteret og dermed utilgængelig for almindelig brugere (den kan dog bruges til korrektion af ionosfærefejl i avancerede GPS-modtagere). C/A-koden og navigationssignalet har følgende fysiske karakteristika: f C/A = 1,023 MHz => λ C/A 293m f nav = 50,42Hz => λ nav m Den geografiske udstrækning af et signal, der bærer én C/A-kode, kan beregnes af: l C/A = c t 3, m / s s= m Navigationssignalet indeholder oplysninger om satellittens banekurve (efemerider), tid, omtrentlig ur-fejl og satellittens status. Desuden overfører navigationssignalet data om de øvrige satellitters omtrentlige positioner (almanak). Alle positioner opgives i datummet WGS84. Efemeriderne udsendt i navigationssignalet er fremskrevne koordinater, hvorfor koordinaterne har en spredning på ca. 2.5m. Ønskes mere nøjagtige satellitkoordinater, 11

14 Teori kan disse downloades fra Internettet cirka to uger efter optagetidspunktet, hvorved spredningen på satellitkoordinaterne kommer ned på mindre end 5 cm. [International GPS Service]. Som nævnt ovenfor er grundprincippet ved positionsbestemmelse med GPS at måle afstande mellem en GPS-modtager i det ukendte punkt og et antal GPS-satellitter. Herefter bestemmes koordinaterne til det ukendte punkt som skæringspunktet mellem et antal kugleflader svarende til antallet af målte afstande. Kuglefladerne har centrum i de respektive satellitpositioner, og radius er den målte afstand mellem satellit og modtager. Se Figur 3-1. Modtager Satellit Figur 3-1 Rumlig indbinding Hvordan denne rumlige indbinding foregår i praksis, afhænger af den valgte målemetode. I de efterfølgende afsnit beskrives kodemåling og fasemåling, som er de to i projektet anvendte metoder til positionsbestemmelse med GPS Positionsbestemmelse ved kodemåling Den mest simple måde at udføre en positionsbestemmelse ved hjælp af GPS er at måle på C/A-koden, der udsendes moduleret over bærebølgen L1. Denne metode bygger på en bestemmelse af afstanden mellem satellit og modtager, ved at modtageren måler tidsforskydningen af C/A-koden. Se Figur 3-2. På denne figur angiver t den sande tidsforskydning og dt a fejlen i modtagerens ur. 12

15 Teori Tid Udsendt fra satellit Sand modtaget Registreret modtaget Figur 3-2 Korellation t dt a Korelleret udbredelsestid Modtageren genererer en kopi af C/A-koden, hvorefter tidsforskydningen findes ved korrelation mellem kopien og den af satellitten udsendte kode. Den heraf fundne tid udgør således en brøkdel af C/A-kodens tidslige udstrækning på 1ms. For at finde den totale transmissionstid mellem satellit og modtager, skal et ukendt antal af C/A-kodens tidslige udstrækning adderes til tidsforskydningen. Se Figur 3-3. n T t+dt a Figur 3-3 Total udbredelsestid Under antagelse af ideelle atmosfæriske forhold findes den observerede afstand mellem modtager og satellit som: p ra = ( n T + t + dta ) c p hvor r a er den såkaldte pseudoafstand mellem modtager a og satellit p, n er et ukendt heltal, T = 1ms er C/A-kodens tidslige udstrækning og c er lysets hastighed i vacuum. Den faktiske afstand mellem mellem modtager a og satellit p kan skrives som: ρ p a = p ( ) 2 p X X + ( Y Y ) 2 + ( Z Z p ) 2 a a a hvor ( X a, Y a, Z a) og ( X p, Y p, Z p ) er koordinaterne til henholdsvis modtager og satellit i WGS84. Satellittens koordinater kan som tidligere nævnt uddrages af navigationssignalet. Ved at sætte p ra = ρ og indsætte foreløbige værdier for modtagerens koordinater findes p a heltallet n. Kender modtageren ikke sin omtrentlige position må den mest sandsynlige værdi for n beregnes. 13

16 Teori Den faktiske afstand mellem modtager a og satellit p kan også skrives: p ρ = ( n T + t) c a Ved kombination af ovenstående ligninger skrives den målte pseudoafstand som funktion af modtager- og satellit-koordinater og fejlen i modtagerens ur: r p a = p 2 p 2 p 2 ( X X ) + ( Y Y ) + ( Z Z ) + dt c a a a I ovenstående ligning er der fire ubekendte: X a, Y a, Z a og dt a. Såfremt modtageren har kontakt til fire satellitter, kan modtagerens position bestemmes, og dt a elimineres. I tilfælde, hvor modtageren har kontakt til flere end fire satellitter, udføres en udjævning efter mindste kvadraters metode. Se eventuelt teoriafsnittet om dette. a Urfejl i modtageren er i langt de fleste tilfælde ikke negligibel, idet uret af prismæssige hensyn langt oftest vil være af quarts-typen. Denne type holder en nøjagtighed på ca s, hvilket kan give fejl på pseudoafstanden på op til 300m. Er der behov for større nøjagtighed, skal urfejlen elimineres, og det vil altså være nødvendigt at måle til mindst fire satellitter samtidigt, medmindre en (eller flere) af modtagerens koordinater (typisk Z a) er kendt. Der er i udledningerne ovenfor gjort en del antagelser. Det er antaget, at GPS-signalet udbredes med lysets hastighed hele vejen til modtageren, at satellittens ur og opgivne position ikke giver anledning til fejl, og at korrelationen i modtageren heller ikke giver anledning til fejl. Sådan forholder det sig naturligvis ikke i den virkelige verden. Iflg. [Dueholm & Laurentzius, 1999] ligger fejlbidragene til pseudoafstanden i størrelsesordenen: Fejlkilde Størrelsesorden [m] Satellit-ur 1 Efemerider 2 Ionosfære 5 20 Troposfære 0,5 1 Korrellation 0,3 3 Multipath 0-5 Tabel 3-1 Fejlbidrag til pseudoafstande ved kodemåling I Tabel 3-1 nævnes også fænomenet multipath. Dette fænomen opstår, når GPS-signalet reflekteres i modtagerens omgivelser for derefter at ramme modtageren, se Figur 3-4. Herved ankommer det samme signal to gange til modtageren med en lille tidsforskydning, hvilket gør korrelation på koden sværere. Multipath afhænger ud over omgivelsernes fysiske og geometriske egenskaber også af satellitkonstellationen, idet satellitternes positioner afgør, hvordan omgivelserne vil reflektere signalet. Således vil effekten af multipath være en både sted- og tidsafhængig størrelse. 14

17 Teori Korrekt signal Multipath Figur 3-4 Multipath Alt i alt vil fejlkilderne ved fejlophobning (Se eventuelt teoriafsnittet om dette) være årsag til en spredning på pseudoafstanden på 6 20m. Når modtagerens position bestemmes som en funktion af pseudoafstandene, vil satellitgeometrien have stor indflydelse på nøjagtigheden af resultatet. Dette skyldes, at skæringen mellem kuglefladerne bliver mere eller mindre veldefineret, alt efter hvordan satellitterne står i forhold til hinanden. Som tommelfingerregel gælder her, at jo tættere satellitterne står, jo større indflydelse får spredningen på pseudoafstanden ved bestemmelsen af skæringspunktet. For at kvantisere denne indflydelse indføres værdien DOP ved: σ = DOP σ 0 hvor σ er den resulterende spredning på positionen, og σ 0 er spredningen på pseudoafstanden. Der findes adskillige forskellige typer af DOP-værdier. De mest interessante PDOP, HDOP og VDOP giver DOP-værdien for henholdsvis den rumlige, den horisontale og den vertikale position Positionsbestemmelse ved fasemåling Ønskes modtagerens koordinater bestemt med større nøjagtighed, end kodemålingen tillader, vil dette kunne lade sig gøre ved at måle på bærebølgens fase i stedet for at måle på den transmitterede kode. Til forskel fra kodemålingen kræver denne metode altid to modtagere, idet der måles relativt mellem de to modtagere, hvorfor GPS ved fasemåling også kaldes relativ GPS. Hver modtager skal være i stand til at måle fasen enten på L1 eller på både L1 og L2, dette betyder i øvrigt, at udstyret til fasemåling er væsentligt dyrere end udstyr til kodemåling. Ved fasemåling genererer modtageren først en kopi af bærebølgen, hvorefter faseforskellen ϕ mellem den modtagne bølge og kopien kan bestemmes. Nu kendes brøkdelen af den sidste bølgelængde mellem satellit og modtager, men antallet af hele 15

18 Teori bølgelængder N (kaldet periodekonstanten) er stadig ubekendt. Se Figur 3-5. Til tiden t 0 er p p p den samlede faseforskel F t = ϕ t N F mellem modtager a og satellit p altså: ( ) ( ) ( ) p a a 0 a 0 + a t0 Når modtageren indledningsvis har bestemt ϕ(t 0), kan den løbende følge udviklingen i faseforskellen (se Figur 3-5), hvorved F til tiden t bliver: p p p F t = ϕ t N () () ( ) a a + a t 0 N(t 0 ) λl1 N(t 0 ) λl1 ϕ(t) λl1 ϕ(t 0 ) λl1 Figur 3-5 Samme satellit til to tidspunkter. Afstanden ρ mellem satellit og modtager findes ved at multiplicere med bølgelængden og tilføje korrektioner for atmosfæriske forhold og evt. urfejl i modtager og satellit: p p p p ρ a () t = λ ϕ a () t + λ N a ( t0 ) + c dta c dt + dion d trop hvor c er lysets hastighed i vacuum, dt a og dt p er urfejl i henholdsvis modtager og satellit, d ion er korrektion for forhold i ionosfære, og d trop er korrektion for forhold i troposfære. p p Idet λ ϕ a () t sættes lig φ a () t fås observationsligningen: p p p p φ a () t = ρa () t λ N a ( t0 ) c dta + c dt dion + d trop p hvor ρ () t, N p ( ), dt a, dt p, d ion og d trop er ubekendte. a a t 0 16

19 Teori For at eliminere nogle af de ubekendte dannes nu differenser mellem observationer fra to modtagere, der samtidigt observerer til de samme satellitter. Først dannes enkeltdifferensen mellem observationsligninger fra modtager a og b til satellit p: p p p φ t = φ t φ t = = ab () b () a () p p p ρb () t λ N b ( t0 ) c dtb + c dt p p p p ( t) ρ ( t) λ N ( t ) N ( t ) p p p ( dion + d trop ) ( ρa () t λ N a ( t0 ) c dta + c dt dion + d trop ) ρ ( ) c ( dt dt ) b a b 0 a 0 b idet modtagerne antages at stå så tæt, at d ion og d trop tilnærmelsesvis er ens for de to. Måler modtager a og b desuden samtidigt til satellit q, kan endnu en enkeltdifferens opstilles helt analogt. Differensen mellem disse enkeltdifferenser dannes og kaldes herefter dobbeltdifferensen. Ved opstilling af dobbeltdifferensen opnås det, at urfejlen i begge modtagere udgår: pq q p φ t = φ t φ t = ab () ab () ab () q q p p b () t ρa () t ρb () t + ρa () t pq pq () t λ N ( t ) q q p p [ ρ ] λ [ N ( t ) N ( t ) N ( t ) + N ( t )] = ρ ab ab 0 b 0 a pq I dobbeltdifferensen er ρ ab () t en linearkombination af de fire geometriske afstande mellem modtagerne a og b og satellitterne p og q. Idet satellitternes postioner er kendt fra efemeriderne, er koordinaterne ( X, Y, Z) til vektoren mellem modtagerne eneste pq ubekendte i ρ ab () t. N pq ab ( t 0 ) kaldes målingens ambiguity og er en linearkombination af de fire heltallige periodekonstanter, hvorfor også N pq ab ( t 0 ) må være et heltal. Måles der samtidigt til n (n 2) satellitter, fås følgende ubekendte: Basisliniens koordinater ( X, Y, Z) n-1 ambiguity konstanter Antallet af observationer afhænger af antallet af satellitter n, observationstiden t obs og samplingfrekvensen f: obs = ( n 1) t f obs Det opnåede ligningssystem løses ved udjævning med mindste kvadraters metode (Se afsnit om dette), hvor de foreløbige værdier til koordinater og periodekonstanter er fundet ved kodemåling, der foregår parallelt med fasemålingen. I elementudjævningen indgår ambiguity konstanterne som reelle tal. Kommer elementudjævningen ud med et resultat, der entydigt peger på et sæt heltalsværdier for ambiguity-konstanterne, anvendes disse værdier ved en ny gennemregning af elementudjævningen, der herved giver det endelige resultat. a 0 b 0 a 0 17

20 Teori Viser det sig, at den indledende elementudjævning ikke fastlægger eet sæt heltalsværdier for ambiguity konstanterne, må de mest sandsynlige kombinationer af heltalsværdier gennemregnes. For hver kombination af heltalsværdier løses elementudjævningen, og løsningen med den laveste spredning på vægtenheden (s 0) vælges, hvis den opfylder kravet: s0 næstbedst Variansratio cutoff s0bedst hvor cutoff er en konstant, der vælges ud fra overvejelser om krav til løsningens kvalitet. Findes på den ene eller den anden måde en løsning med heltallige ambiguity konstanter kaldes løsningen fixed double difference. Skulle det ske, at det ikke kan lade sig gøre at finde en acceptabel kombination af heltallige ambiguity konstanter, benyttes i stedet de reelle tal fra den indledende udjævning, og løsningen kaldes da float double difference. Relativ GPS er ligesom GPS ved kodemåling følsom over for fænomenet multipath, og den er også ved relativ GPS svær at vurdere. Fejl fra multipath behøver nemlig ikke at afspejle sig direkte i udjævningen for eksempel i form af lav varians ratio. Hvis blot fejlen er konstant over måleperioden, vil den helt udgå af beregningen, og løsningen kan have høj varians ratio, men dårligt bestemte koordinater. Det vil altså sige, at løsningen har høj præcision, men lav nøjagtighed. Indflydelsen af multipath kan mindskes ved at forlænge måletiden, hvorved sandsynligheden for, at fejlen er konstant over måleperioden, mindskes. Samme overvejelser gør sig gældende for forskelle i atmosfæreforholdene over de to modtagere. Modtagere, der kan måle på både L1 og L2, er i stand til at eliminere ionosfærefejlen, hvorfor denne type modtagere vil give bedre resultater, når der er store atmosfæreforskelle mellem de to modtagere (typisk ved måling over lange afstande). Fejlen hidrørende fra multipath kan ifølge [Dueholm & Laurentzius, 1999] være op til 2 5 cm. Som en tommelfingerregel kan følgende spredninger forventes på basislinien: Modtager måler på Grundfejl [mm] Afstandsafhængig fejl [mm/km] L1 3 0,8 L1 og L2 2 0,1 Tabel 3-2 Forventelige spredninger på basislinier ved fasemåling. Iflg. [Dueholm & Laurentzius, 1999] 3.2 Fotogrammetri (AP) I projektet anvendes fotogrammetri til frembringelse af højdemodel, ortofoto og digitalisering af enkelte topografiske træk i landskabet. Denne bestemmelse af koordinater til objekter på jorden opnås ved måling i billeder optaget fra en flyvemaskine. Herved kan store områder opmåles ved skrivebordet. De følgende afsnit beskriver teorien bag de anvendte metoder i meget grove træk. Ønskes en mere uddybende behandling af emnet kan denne findes i [Wolf & Dewitt, 2000]. 18

21 Teori Stereomodel Helt elementært bygger fotogrammetrien på, at punkter på et fotogrammetrisk billede kan omsættes til et bundt af stråler, der svarer til situationen i optagetidspunktet, se Figur 3-6. Kendes kameraets ydre orientering (position (X 0, Y 0, Z 0) og drejninger (ω, ϕ, κ)) i optagetidspunktet kan man altså genskabe strålerne fra kamerapositionen til de fotograferede objekter som linier i rummet ved hjælp af målinger i billedet. Er det samme objekt fotograferet fra to forskellige positioner, kan koordinaterne til objektet bestemmes ved skæring mellem to stråler i rummet, såfremt den ydre orientering er kendt i begge kamerapositioner. Figur 3-6 Strålebundt. [Jacobi, 1997] Indre orientering For at kunne foretage omsætningen fra målinger i det fotogrammetriske billede til stråler i rummet kræves kendskab til det benyttede kameras fysiske egenskaber de såkaldte indre orienteringsparametre Figur 3-7. Figur 3-7 Kameraets opbygning. [Jacobi, 1997]. 19

22 Teori Et kamera med kendte indre orienteringsparametre kaldes metrisk, og det forudsættes i det efterfølgende, at alle billeder er optaget med et metrisk kamera. De indre orienteringsparametre består af: Kamerakonstanten. Afstanden fra billedplanet til projektionscentrum. Rammemærkekoordinater. Fastlægger billedets placering i kameraet i forhold til kameraets hovedpunkt. Se Figur 3-8. Fortegningsparametre. Angiver optikkens afvigelse fra den ideelle centralprojektion i form af korrektioner til de målte billedkoordinater som funktion af afstanden til hovedpunktet. Figur 3-8 Hovedpunkt og rammemærker. [Jacobi, 1997] Et kameras indre orienteringsparametre bestemmes eksperimentelt med jævne mellemrum og resultatet fra denne bestemmelse nedfældes i en såkaldt kamerakalibreringsrapport Relativ orientering Ofte er kameraernes ydre orientering i optagetidspunktet ikke kendt. I dette tilfælde kan det være hensigtsmæssigt, at bestemme kameraernes relative orientering før absolutorientering foretages. Den relative orientering giver kameraernes position relativt i forhold til hinanden i form af to translationer og tre drejninger. Den tredje translation, der har samme retning som linien mellem de to kamerapositioner, er ukendt. Relativorienteringen kan fastlægges ud fra måling til fem fælles punkter. Disse punkter behøver ikke at have kendte koordinater i det globale system Absolut orientering For at kunne foretage målinger af objekters globale koordinater ved brug af fotogrammetri er det nødvendigt at kende kamerapositionerne i det globale koordinatsystem. Som tidligere nævnt kan et kameras absolutte orientering fastlægges ved seks parametre bestående af koordinaterne X 0, Y 0, Z 0 og drejningerne ω, ϕ, κ om koordinatsystemets akser. 20

23 Teori For at bestemme de seks ubekendte orienteringsparametre for hver kameraposition må der i hvert billede måles til mindst tre punkter på jorden med kendte globale koordinater, idet hver måling i billedet giver anledning til to observationsligninger Aerotriangulation Ofte vil et fotogrammetrisk projekt bestå af mere end to billeder, i visse tilfælde op til flere hundrede billeder. Er der tale om mange billeder vil det være meget omfattende at skulle tilvejebringe globale koordinater til tre paspunkter for hvert billede. I stedet kan kamerapositionerne bestemmes ved at foretage en såkaldt aerotriangulation, der reducerer behovet for paspunkter betragteligt. Udgangspunktet for en aerotriangulation er flybilleder taget med et sådant overlap, at de samme punkter på jorden kan findes i mindst tre billeder. Området, som billederne tilsammen dækker, kaldes en blok. I første omgang måles ni såkaldte overføringspunkter i hvert billede. Overføringspunkterne tilstræbes placeret som Von Gruberpunkter, hvilket vil sige at punkternes placering udgør en 3X3 matrix, som fylder hele billedfladen. Denne fordeling af overføringspunkterne sikrer, at hvert stereopar har seks punkter tilfælles og at to nabostereopar har tre punkter tilfælles. På dette grundlag kan hele blokken relativorienteres. Principielt kunne absolutorienteringen nu foretages med tre fuldmålte paspunkter, men af hensyn til fejlophobning og krav om overbestemmelser, vil det praktisk taget altid være nødvendigt at anvende flere. Normalt vil man forsøge at placere fuldmålte paspunkter i blokkens hjørner og derudover langs blokkens periferi cirka for hver tre gange standardafstanden mellem kamerastationerne. Desuden må der anvendes et antal jævnt fordelte kotepaspunkter, som cirka svarer til et kotepaspunkt per to gange standardafstanden mellem kamerastationerne. Både relativ- og absolutorientering foregår ved en samlet elementudjævning af observationerne Ortofoto Et ortofoto er et flybillede, som på grundlag af en højdemodel er omformet, til en ortogonalprojektion. Herefter haves et produkt som har kortets geometriske egenskaber og flyfotoets fotografiske fremtræden. 3.3 Digitale højdemodeller (AP) En digital højdemodel er en samling digitale stedbestemte højdedata, som tilsammen udgør en komplet model over højdevariationen af en given overflade. Datapunkterne kan enten være fordelt helt tilfældigt eller ordnet i et regulært eller irregulært mønster. Yderligere kræves angivet en interpolationsmetode, med hvilken de øvrige punkters koter 21

24 Teori kan beregnes. Hvis højdemodellen er en overflade, defineres denne af de indmålte punkter samt den interpolationsmetode, som er benyttet til at beregne værdier i de punkter, som ikke er dækket af målepunkterne. Højdemodeller blev for alvor udviklet og anvendt, da man begyndte at producere de første ortofoto, som kræver højdeinformation for at kunne foretage de rigtige korrektioner i luftfotoet. Man skelner generelt mellem en række forskellige højdemodeller: Digital Terræn Model (DTM) er en model over variationen af landskabets terrænkote. Der er således tale om en beskrivelse af terrænets forløb, uafhængigt hvad der måtte befinde sig af huse eller træer over terræn. En digital overflademodel (DSM, Digital Surface Model) derimod, er en højdemodel som ikke beskriver terrænkoten, men i stedet højeste kote i hvert punkt. Dette højeste punkt kan udgøres af f.eks. træer, bygninger alle andre objekter. Hvis der hverken findes vegetation eller andre objekter i et punkt, udgøres koten til DSM af terrænkoten. Slutteligt haves en DEM (Digital Elevation Model), som beskriver højden over terræn af samtlige objekter. En DEM er således differensen mellem en DSM og en DTM Punktgrid Et punktgrid er en måde at repræsentere en højdemodel på. Her er udvælgelsen af de punkter, som skal have en højdeangivelse, dikteret af placeringen i X-Y planen. Der fastlægges et net af punkter i et regulært mønster med fast indbyrdes afstand, som tildeles en respektiv Z-værdi. Datatætheden er altså konstant i et punktgrid, hvilket både har fordele og ulemper. Fordelene er dels, den åbenlyse fordel det er at have informationerne samlet i et regulært geometrisk mønster, og yderligere at data giver en lige nøjagtig landskabsbeskrivelse uafhængig af stedet. Omvendt er dette også et problem, eftersom man ikke får datafortætning, hvor der er brug for det. Yderligere vil områder med relativ lille højdevariation give anledning til store mængder data, som reelt ikke er specielt væsentlige for højderepræsentationen TIN Overflader er meget vigtige i forbindelse med GIS, idet der endnu ikke findes noget geografisk informations system, som kan arbejde i ægte 3D. Ved ægte 3D forstås, at rumlige objekter kan beskrives fuldt i 3 koordinater. De fleste GIS arbejder grundlæggende kun i 2D. Man kan imidlertid udvide den plane repræsentation til også at indeholde en kote til hvert punkt. Dette åbner mulighed for at danne flader, som repræsenterer højden. På denne måde er der imidlertid ikke tale om ægte 3D, eftersom der kun kan defineres én Z-værdi til hvert punkt. Der er således ikke mulighed for at danne lodrette flader eller arbejde med flere objekter med de samme X og Y koordinater. Dette er en væsentlig begrænsning, som kun i nogen grad kan afhjælpes. I erkendelse af, at denne funktionalitet ikke med rette kan betegnes som 3D, bruger man betegnelsen 2½D. 22

25 Teori Der findes flere måde at lave overflader i et GIS. I dette projekt anvendes en TIN, eller en Triangular Irregular Network, som arbejder med en række punkter med en angivet Z- værdi. Disse punkter er ikke nødvendigvis placeret i et regulært mønster. Imellem disse punkter (i det følgende kaldet nodes) dannes der trekanter på en sådan måde, at de til sammen danner en kontinuert flade. Med denne struktur er der åbnet mulighed for at fortætte data, der hvor landskabsvariationen er størst. Omvendt vil det kræve langt færre datapunkter at beskrive områder med lille højdevariation. Der findes en klart defineret programrutine (Delaunay triangulation), som bestemmer, på hvilken måde nodes ene skal forbindes i trekanter. Uden at gå nærmere ind på det teoretiske, kan det nævnes, at det i rutinen tilstræbes at maksimere den mindste vinkel i samtlige trekanter, så man undgår trekanter, hvor to af siderne er væsentligt længere end de to andre. Yderligere dannes trekanterne på en sådan måde, at en trekants omskrevne cirkel ikke må indeholde andre nodes, ligesom der selvfølgelig ikke må være nodes inde i en trekant. [Felgueiras & Goodchild]. Disse kriterier skaber trekanter, som lokalt er af nogenlunde samme form og størrelse. En ulempe ved TIN er er, at man kan komme ud for, at netværkstopologien skabt ved Delaunay triangulation kan komme til at virke meget fremtrædende i den resulterende TIN Interpolation af TIN ud fra punktdata Dette er en meget simpel konvertering. Samtlige datapunkter overføres direkte som nodes i TIN en, hvorefter Delaunay triangulationen beregnes. Højdedata fra samtlige datapunkter overføres direkte til knudepunkterne i TIN en, vis topologi er fuldstændig identisk med de oprindelige punkters. Hvis der er tale om data fra et punktgrid, vil Delaunay triangulationen blive meget simpelt, på grund af grid ets regulære geometriske form. Der er ingen problemer i at kombinere data fra et punktgrid med ustrukturerede punktdata. TIN en benytter samtlige tilgængelige datapunkter til interpolationen uafhængig af disses strukturering. 3.4 Statistiske metoder (AP) I dette afsnit defineres statistiske metoder, som anvendes i de øvrige teoriafsnit. I øvrigt henvises til [Mærsk-Møller & Frederiksen, 1984] Fejlophobning Haves n uafhængige observationer x 1, x 2,, x n af størrelsen X fås følgende statistiske beskrivelser af data: n 1 x = X = x n x n i=1 i = skøn over middelværdien 2 ( x xi ) i= 1 skøn over spredningen for xi ( n 1) s i = = 23

26 Teori og s = n ( x xi ) i= 1 n ( n 1) X = 2 skøn over spredningen for X Haves nu desuden m uafhængige observationer y 1, y 2,, y m af størrelsen Y, som er uafhængig af X, findes skønnet over spredningen for Z = f(x,y) ved hjælp af den simple fejlophobningslov, som skrives: s Z = 2 f X s 2 X 2 f + Y s 2 Y Udjævning ved mindste kvadraters princip Udjævning ved mindste kvadraters princip er en metode, der benyttes til at korrigere observationer af et målesystem, således at den mest fordelagtige løsning opnås. Herunder omtales, hvorledes de mest fordelagtige værdier i et målesystem bestemmes ud fra et sæt observationer og en sammenhæng mellem observationerne og det givne system. I et målesystem haves observationerne l 1, l 2,, l n = l i Disse observationer er behæftede med usikkerhed, og vil muligvis ikke opfylde bindinger i målesystemet. Det kunne for eksempel være, at l 1, l 2 og l 3 er observationer af vinklerne i ο en trekant, hvor l + l + l Sammenhængen mellem observationerne l i og de sande værdier µ i er: l i + r i = µ i hvor r i er den sande fejl. Idet målte størrelser altid vil være behæftede med fejl, vil µ i og v i altid være ubekendte og følgelig umulige at bestemme. Derfor indføres størrelsen lˆ i som den mest sandsynlige løsning, som samtidig opfylder bindingerne i det givne målesystem. Altså: li + vi = lˆ i hvor v i (residualet) er korrektionen på l i. På baggrund af målesystemet opstilles de såkaldte fundamentalligninger, der giver sammenhængen mellem Observationer (l 1, l 2,, l n = l i) Ubekendte i systemet (x 1, x 2,, x e) Kendte i systemet Fundamentalligningerne kan formelt skrives: 24