Matematisk formelsamling

Transkript

1 Matematisk formelsamling Almen voksenuddannelse Niveau D

2 Denne udgave af Matematisk formelsamling til den skriftlige prøve på almen voksenuddannelse (avu) niveau D er udgivet af Børne- og Undervisningsministeriet og gjort tilgængelig på uvm.dk. Formelsamlingen er udarbejdet i et samarbejde mellem opgavekommissionen for avu-matematik og Børne- og Undervisningsministeriet, Styrelsen for Undervisning og Kvalitet, august Kopiering til andet end personlig brug må kun ske efter aftale med Copy-Dan.

3 Indhold Forord... 5 Tal og algebra... 6 De fire regningsarter... 6 Regnehierarkiet... 6 Brøker... 8 Procent... 8 Procentpoint Promille Moms Kvadratrødder Potenser Parentesregler Løsning af ligninger Talfølger Enheder og omsætning mellem enheder Geometri Beregning af areal og omkreds Beregning af rumfang og overfladeareal Målestoksforhold Ligedannethed Massefylde Pythagoras læresætning Vinkler Trigonometri Funktioner Koordinatsystemet Funktioner Lineære funktioner Ligefrem proportionalitet Omvendt proportionalitet Potensfunktioner Eksponentialfunktioner Eksponentiel vækst Grafisk løsning af to ligninger med to ubekendte. 42

4 Statistik Enkeltobservationer Grupperede observationer Søjlediagram Cirkeldiagram Kurvediagram Boksplot Indekstal Symboler Symbolliste tal og algebra Symbolliste geometri Symbolliste funktioner Brugaf regneark... 54

5 Forord Matematisk formelsamling til den skriftlige prøve på avu niveau D er udarbejdet til brug for eksaminand erne ved den skriftlige prøve og i undervisningen på avu i matematik på D-niveau. Formelsamlingen indeholder de emner, der forekommer i læreplanen for matematik på niveau D på avu inden for kernestoffet. Formelsamlingen indeholder formler og symboler samt i enkelte tilfælde forklaringer af faglige begreber. Formlerne og symbolerne i denne publikation forudsættes kendte og opgives derfor normalt ikke i prøvesættene ved den skriftlige prøve efter D. Børne- og Undervisningsministeriet, Styrelsen for Undervisning og Kvalitet, Kontor for Prøver, Eksamen og Test august 2019.

6 Tal og algebra Tal Naturlige tal Hele tal Rationale tal 2,7 3,9 4, π Irrationale tal 11 2 De fire regningsarter Regningsart Regnetegn Regnetegn i digitale værktøjer Eksempel Fagord Addition = 10 Sum Subtraktion 7 3 = 4 Differens Multiplikation x * 7 3 = 21 Faktorer, produkt Division : / 21 : 3 = 7 Kvotient Led: Tal, der i et regneudtryk adskilles af plus (+) eller minus (-), kaldes led. Eksempel: indeholder 4 led Regnehierarkiet ( ) x 2 3 x : + 1. Parenteser 2. Potenser og rødder 3. Gange og dividere 4. Plus og minus 6

7 Til mine notater 7

8 Brøker a : b = a b 4 : 3 = 4 3 a c b + = c a + b c = = a c b = c a b c = 5-4 = b a = c a b c 4 3 = 3 4 = a b c = d a c b d = 4 2 = a b : c = a b c 5 7 : 2 = 5 = a : b = a c c b 5 : 2 = 5 3 = 5 3 = a b : c = a d = d b c a d b c 2 5 : 3 = 2 4 = 2 4 = Procent Procent betyder hundrededele. a = a % Eksempel: = 17 % 100 Sammenhæng mellem brøk, decimaltal og procent: = 0,17 = 17 % Spørgsmål: Hvad er 8 % af 1325 kg Svar: 8 % af 1325 kg er 0, kg = 106 kg % 8 % 100 % Spørgsmål: Hvor mange procent er 60 km af 300 km? Svar: 60 : 300 = 0,20 = 20 = 20 % % 0 % 20 % 100 % 8

9 Til mine notater 9

10 Procent Spørgsmål: Hvor mange procent er 500 kr. større end 400 kr.? Svar: ( ) : 400 = 100 : 400 = 0,25 = 25 % % 0 % 100 % Spørgsmål: Hvor mange procent er 200 kr. mindre end 250 kr.? Svar: ( ) : 250 = 50 : 250 = 0,20 = 20 % % 0 % 100 % Spørgsmål: 57 % af et tal er 684. Hvor stort er tallet? Svar: Tallet er = % 57 % 100 % Procentpoint Procentpoint beskriver, hvor stor en forskel der er på to procenttal. Går et politisk parti frem fra 5 % til 7 % ved et valg, er frem gangen på 2 procentpoint (7 5). Promille Promille betyder tusindedele. a = a Eksempel: = Man regner med promille på samme måde som procent. 10

11 Til mine notater 11

12 Moms Moms er i Danmark 25 %. (Moms er en indirekte skat.) Pris uden moms 1,25 = pris med moms Pris med moms : 1,25 = pris uden moms Pris uden moms 100 % Moms 25 % Kvadratrødder a b = a b 9 10 = 9 10 = 3 10 a = b a b 3 3 = = Potenser n faktorer a n = a a a a } a n = 1 a 0 a n a 0 = 1 a 0 a n a p = a n+p 2 4 = = = 1 = 1 = 0, = 1 a = = 3 6 a n a p = a n p = = 4 2 (a n ) p = a n p (2 5 ) 2 = =

13 Til mine notater 13

14 Parentesregler En plusparentes kan man hæve (fjerne) uden at skifte fortegn. a + (b c + d) = a + b c + d En minusparentes kan man hæve (fjerne), hvis man samtidig skifter fortegn på alle leddene i parentesen. a (b c + d) = a b + c d Man ganger en flerleddet størrelse med et tal ved at gange hvert led med tallet. a (b c + d) = ab ac + ad a c ac d ad Man ganger to parenteser ved at gange hvert led i den ene parentes med hvert led i den anden parentes. b bc bd (a + b) (c + d) = ac + ad + bc + bd (a + b) (c d) = ac ad + bc bd (a + b) (c + d) = ac + ad + bc + bd Løsning af ligninger Man må addere, subtrahere, multiplicere eller dividere med samme tal på begge sider af lighedstegnet. Man må dog ikke multiplicere eller dividere med 0. Eksempler: x 2 = 3 x = x = 5 3x = 12 3x : 3 = 12 : 3 x = 4 x + 3 = 5 x = 5 3 x = 2 x : 5 = 20 x : 5 5 = 20 5 x =

15 Til mine notater 15

16 Talfølger En talfølge er en følge - eller en liste - af tal, der ofte er skrevet i en systematik eller efter en formel. Eksempler: 3, 6, 9, 12, 15, 1, 4, 9, 16, 25,... Enheder og omsætning mellem enheder Længde km 1 hm 1 dam 1 m 1 dm 1 cm 1 mm 1000 m 100 m 10 m 1 m 0,1 m 0,01 m 0,001 m :10 :10 :10 :10 :10 : Areal km 2 1 hm 2 1 dam 2 1 m 2 1 dm 2 1 cm 2 1 mm m m m 2 1 m 2 0,01 m 2 0,0001 m 2 0, m 2 :100 :100 :100 :100 :100 :100 Rumfang m 3 1 dm 3 1 cm 3 1 m 3 0,001 m 3 0, m l 1 l 1 ml :1000 :1000 Vægt t 1 kg 1 g 1 mg 1000 kg g 1 g 0,001 g :1000 :1000 :1000 Tid 1 år 1 døgn 1 time 1 minut 1 sekund 365 døgn 24 timer 60 minutter 60 sekunder 1 sekund 16

17 Til mine notater 17

18 Geometri Beregning af areal og omkreds Trekant h g b c a h: højde g: grundlinje A: areal A = 1 2 h g Herons formel Herons formel: A = s (s a) (s b) (s c) s er den halve omkreds: s = a + b + c 2 Kvadrat a Rektangel a: sidelængde A: areal O: omkreds A = a 2 O = 4 a a: sidelængde b: sidelængde A: areal O: omkreds A = a b O = 2 (a + b) b a 18

19 Til mine notater 19

20 Parallelogram Trapez h a h a b a: grundlinje h: højde A: areal A = a h a: sidelængde af den ene parallelle side b: sidelængde af den anden parallelle side h: højde A: areal A = 1 h (a +b) 2 Rombe Cirkel d 2 d 1 d r a d 1 : længden af den ene diagonal d 2 : længden af den anden diagonal a: sidelængden A: areal O: omkreds A = 1 d 1 d 2 2 O = 4 a r: radius d: diameter A: areal O: omkreds A: areal A = π r 2 O = 2 π r O = π d 20

21 Til mine notater 21

22 Beregning af rumfang og overfladeareal Kasse Kube (terning) h s l b s s l: længde b: bredde h: højde R: rumfang O: overfladeareal R = l b h O = 2 l b + 2 b h + 2 l h s: sidelængde R: rumfang O: overfladeareal R = s 3 O = 6 s 2 Prisme Cylinder r h h G G h: højde G: grundflade R: rumfang R = h G h: højde r: radius R: rumfang O: areal af krumme overflade R = π r 2 h O = 2 π r h 22

23 Til mine notater 23

24 Kegle Pyramide Kugle h h r r r: radius h: højde R: rumfang h: højde G: grundflade R: rumfang r: radius R: rumfang O: overfladeareal 1 R = h π r 3 2 R = 1 3 h G 4 R = π r 3 3 O = 4 π r 2 Keglestub r Pyramidestub g h h R G r: radius i den lille cirkel R: radius i den store cirkel h: højde R: rumfang R = 1 π h (r 2 + R 2 + r R) 3 g: lille grundflade G: store grundflade h: højde R: rumfang 1 R = 3 h (g + G + g G) 24

25 Til mine notater 25

26 Målestoksforhold Afstanden i virkeligheden På kortet er afstanden mellem A og B målt til 4 cm Afstanden mellem A og B i virkeligheden: cm = cm = 2000 m = 2 km Afstanden på kortet Afstanden mellem A og B er i virkeligheden 2 km Afstanden mellem A og B på kortet: Målestoksforhold 1: km = m = cm = 4 cm Målestoksforhold Afstanden mellem A og B er på kortet 4 cm og i virkeligheden 2 km 2 km = 2000 m = cm : 4 = Målestoksforholdet er: 1 :

27 Til mine notater 27

28 Ligedannethed To figurer er ligedannede, når den ene figur er en præcis forstørrelse af den anden. C C 1 Ensvinklede trekanter er ligedannede. A b c a B b 1 a 1 Når ABC er ensvinklet med A 1 B 1 C 1 gælder at a a 1 b = = b 1 c c 1 A 1 c 1 Eksempel: B Massefylde Massefylde = Eksempel: masse rumfang 2,4 kg olie har et rumfang på 3 dm 3 Massefylden er 2,4 kg kg = 0,8 3 dm 3 dm 3 28

29 Til mine notater 29

30 Pythagos læresætning I en retvinklet trekant er summen af kateternes kvadrater lig med kvadratet på hypetenusen. B Hvis C = 90 gælder at a 2 + b 2 = c 2 a c Omvendt Pythagoras: C b A Hvis a 2 + b 2 = c 2 i trekant ABC, så er trekanten retvinklet, og C er den rette vinkel. Vinkler Spids vinkel: En spids vinkel er en vinkel mellem 0 og 90 Ret vinkel: En ret vinkel er en vinkel på 90 Stump vinkel: En stump vinkel er en vinkel mellem 90 og

31 Til mine notater 31

32 Trigonemetri hypotenuse c B a katete Siden b er den hosliggende katete til A. Siden a er den modstående katete til A. A b katete C B Om sinus til en spids vinkel v i en retvinklet trekant gælder: c a sin v = den modstående katete hypotenusen A b C sin A = a c A = sin ( ) 1 a c B Om cosinus til en spids vinkel v i en retvinklet trekant gælder: c a cos v = den hosliggende katete hypotenusen A b C cos A = b c A = cos ( ) 1 b c B Om tangens til en spids vinkel v i en retvinklet rekant gælder: c a tan v = den modstående katete den hosliggende katete A b C tan A = a b A = tan ( ) 1 a b 32

33 Til mine notater 33

34 Funktioner Koordinatsystemet 2. kvadrant y-akse andenakse 1. kvadrant A (4,5) x B ( 6,2) x 1 1 x-akse førsteakse x D (6, 4) x C ( 3, 7) 3. kvadrant 4. kvadrant Funktioner En funktion er en sammenhæng mellem variable, der kan beskrives med tal. Det kan for eksempel være sammenhængen mellem et antal liter benzin og det antal kroner, du skal betale for benzinen. Man kan beskrive en funktion med: 1) en funktionsforskrift 2) en graf 3) en tabel 4) ord Funktion x Uafhængig variabel Fx antal liter benzin y Afhængig variabel Fx prisen på benzinen 34

35 Til mine notater 35

36 Lineære funktioner Forskrift for en lineær funktion: f(x) = ax + b Tallet a er et udtryk for linjens hældning, og a kaldes hældningstallet eller hældningskoefficienten y Skæringspunktet med y-aksen: (0,b). Eksempel: f(x) = 2x 1 f(3) = = 5 Tabel: x y (0, 1) 2 x Ligefrem proportionalitet Ligefrem proportionalitet er en speciel form for lineær funktion. 4 3 y Forskriften for ligefrem proportionalitet: f(x) = ax Eksempel: f(x) = 2x f(3) = 2 3 = 6 Tabel: x y x 4 36

37 Til mine notater 37

38 Omvendt proportionalitet Forskriften for omvendt proportionalitet. a f(x) = x må ikke være 0 x Grafen kalder man en hyperbel. 4 3 y Eksempel: Eksempel: 2 f(4) = = 4 f(x) = x x y 0, , x 5 y Potensfunktioner Forskriften for en potensfunktion: f(x) = b x a Eksempel: f(x) = 0,5 x 2 f(3) = 0,5 3 2 = 4,5 x y 4,5 2 0,5 0 0,5 2 4, x 38

39 Til mine notater 39

40 Eksponentialfunktioner Forskriften for en eksponentiel funktion. f(x) = b a x, hvor b og a er positive tal. Eksempel: f(x) = 8 1,05 x y x 20 Eksponentiel vækst Forskriften for eksponentiel vækst: S n = S 0 (1 + p ) n S n: slutværdi efter n perioder S 0: startværdi p: procentvis ændring som decimaltal n: antal perioder Eksempel: En kapital på kr. forrentes med 3 % pr. år. Efter 5 år er kapitalen vokset til: S 5 = (1 + 0,03) Kapitalen er vokset til kr. 40

41 Til mine notater 41

42 Grafisk løsning af to ligninger med to ubekendte Eksempel: I: y = x +1 II: y = -2x +4 5 y P = (1,2) 4 I: y = x +1 Løsning: x = 1 og y = P x II: y = -2x +4 42

43 Til mine notater 43

44 Statistik Enkeltobservationer Eksempel: Karakterfordeling i matematik for avu-kursister på et VUC I alt Observation x Hyppighed h(x) Summeret hyppighed H(x) Frekvens f(x) 0,04 = 4 % 0,24 = 24 % 0,30 = 30 % 0,30 = 30 % 0,12 = 12 % 1,00 = 100 % Summeret frekvens F(x) 0,04 = 4 % 0,28 = 28 % 0,58 = 58 % 0,88 = 88 % 1,00 = 100 % Statistiske deskriptorer: Observationssættets størrelse: 50 Typetal: 7 og 10 Middeltal: = 7,58 50 Størsteværdi: 12 Mindsteværdi: 02 Variationsbredde: 12-2 =10 44

45 Til mine notater 45

46 Grupperede observationer Observationer findes i intervaller. Eksempel: Højdefordelingen på nogle avu-hold Interval l = ]a;b] ]150;160] ]160;170] ]170;180] I alt Intervalmidtpunkt Intervalhyppighed Summeret intervalhyppighed Intervalfrekvens 0,05 = 5 % 0,20 = 20 % 0,75= 75 % 1,00 = 100 % Summeret intervalfrekvens 0,05 = 5 % 0,25 = 25 % 1,00 = 100 % Statistiske deskriptorer: Observationssættets størrelse: 80 Typeinterval: ]170;180] Middeltal: 155 0, , ,75 = 172 Søjlediagram Søjlediagrammet herunder beskriver fordelingen af svarene fra en spørgeskemaundersøgelse blandt 116 kursister på et VUC. Antal kursister På VUC trives jeg Altid For det meste Af og til Sjældent Aldrig 46

47 Til mine notater 47

48 Cirkeldiagram På VUC trives jeg 7 % 3 % 11 % 34 % Altid For det meste Af og til Sjældent Aldrig 45 % Kurvediagram Gennemsnitstemperaturen i C Gennemsnitstemperaturen i Danmark jan feb mar apr maj jun jul aug sep okt nov dec 48

49 Til mine notater 49

50 Boksplot Et boksplot beskriver et datasæts mindsteværdi, kvartilsæt og størsteværdi. Boksplottet herunder beskriver mindsteværdi, kvartilsæt og størsteværdi i et datasæt med nogle kursisters karakterer. Kvartilsæt(1. kvartil, median, 3. kvartil) - her ( 4, 6, 8) Mindsteværdi: Mindste observation - her 2 Størsteværdi: Største observation - her Mindsteværdi 1. kvartil Median 3. kvartil Størsteværdi Indekstal Indekstal er en omregning af de absolutte tal til procenttal. Med udgangspunkt i et basistal, der sættes lig med 100, udregnes alle de andre tal som procenter af basistallet. Årets værdi Indekstal = Værdi i basisåret Forskellen mellem 2 indekstal viser ændringen i procentpoint. Fx salget af cigarer er fra 2005 til 2010 faldet med = 36. Altså 36 procentpoint. Her er basisår Fx indekstal for salgaf cigaretter i 2005: = 113 Salg af cigaretter og cigarer Antal cigaretter i mio. stk Antal cigarer i mio. stk Indekstal over cigaretter Indekstal over cigarer

51 Til mine notater 51

52 Symbolliste tal og algebra Symbol Navn og læsemåde Eksempel 1 = Lighedstegn. Er lig med = 0,5 2 < > + - x * : / (brøkstreg) 3 n % [a ; b] ]a ; b[ [a ; b[ ]a ; b] Er cirka lig med π 3,14 Er forskellig fra 0,25 0,3 Ulighedstegn. Er mindre end 0,25 < 0,3 Ulighedstegn. Er mindre end eller lig med 2 4 eller 3 3 Ulighedstegn. Er større end 0,3 > 0,25 Ulighedstegn. Er større end eller lig med 4 2 eller 3 3 Plustegn. Plus = 7 Minustegn. Minus 7 4 = 3 Forskellige gangetegn. Gange 3 4 = 12 Forskellige divisionstegn. Divideret med. 12 : 3 = 4 Kvadratrodstegn. Kvadratroden af a 25 = 5 3 Kubikrodstegn. Kubikroden af a 8 = 2 n 4 Rodtegn. Den n te rod af a 81 = 3 = 4 Procenttegn. Hundrededele. Procent 5 % = 0,05 Promilletegn. Tusindedele. Promille 5 = 0,005 Uendelighedssymbol. Uendelig ]2 ; [ Alle tal større end 2 Det lukkede interval fra a til b Det åbne interval fra a til b Det halvåbne interval fra og med a til b Det halvåbne interval fra a til og med b [3 ; 5] Alle tal større end eller lig med 3 og mindre end eller lig med 5 ]3 ; 5[ Alle tal større end 3 og mindre end 5 [3 ; 5[ Alle tal større end eller lig med 3 og mindre end 5 ]3 ; 5] Alle tal større end 3 og mindre end eller lig med 5 52

53 Til mine notater 53

54 Symbolliste geometri Symbol Navn og læsemåde Eksempel Trekantsymbol. ABC Trekant ABC Vinkelsymbol. A Vinkel A AB Gradtegn. Grader 45 Linjestykket AB AB Længden af linjestykket AB AB = 5 cm Symbolliste funktioner Symbol Navn og læsemåde Eksempel f, g, h f(x) a, b, c x, y, z De mest brugte navne for funktioner. f(x)= f af x er lig med f(x) = 3x - 5 Funktionsværdien af tallet x Hvis f(x) = 3x -5 Er f(4) = 7 Ofte anvendte navne for konstante f(x) = ax + b Ofte anvendte navne for variable Brug af regneark De prøvespørgsmål der skal løses ved hjælp af regneark ved den skriftlige prøve efter D kan løses ved hjælp af: De 4 regningsarter, autosum, procentregning, potenser, rødder og diagramværktøjet. 54

55 Til mine notater 55

56 56