Formel- og tabelsamling

Transkript

1 Formel- og tabelsamling Folkeskolens afsluttende prøver i matematik Uddannelsesstyrelsens håndbogsserie nr Folkeskolen

2 Formel- og tabelsamling Folkeskolens afsluttende prøver i matematik Uddannelsesstyrelsens håndbogsserie nr Folkeskolen

3 Publikationen indgår i Uddannelsesstyrelsens håndbogsserie som nr Copyright: Undervisningsministeriet Serieredaktion: Werner Hedegaard Grafisk tilrettelægger: Schwander Kommunikation Tegninger: Ole Schwander Omslag: Schwander Kommunikation 2. reviderede udgave, april 2005 ISBN (WWW) Uddannelsesstyrelsens håndbogsserie (Online) Internetadresse: pub.uvm.dk/2005/formelsamling Udgivet af Undervisningsministeriet, Uddannelsesstyrelsen, Kontor for eksamen og tilsyn, Sektionen for folkeskolens afsluttende prøver Published in Denmark 2005 Publikationen er udelukkende udgivet i elektronisk form

4 Forord Til eleven Denne formel- og tabelsamling kan du bruge i dit daglige arbejde med faget matematik i klasse. en må du medbringe til afgangsprøven og til 0.-klasseprøven i matematik. en må ikke benyttes til færdighedsdelen til afgangsprøven. Nogle af formlerne har du måske arbejdet med i en anden udformning, end de er vist her. Du må bruge dine egne optegnelser og anvende den form, du er mest fortrolig med. Til læreren Hensigten med at udarbejde en særlig formel- og tabelsamling til brug ved folkeskolens prøver i matematik er at afgrænse det fagsprog og de matematiske begreber, der uden yderligere forklaring kan indgå i de afsluttende prøver. Hæftet giver eksempler på fx diagramtyper og faglige udtryksformer, der kan forventes at indgå i de skriftlige opgaver. I færdighedsdelen til folkeskolens afgangsprøve vil mere specielle formler fra formel- og tabelsamlingen, som fx Herons formel, blive givet i forbindelse med den konkrete opgave. I problemdelen forventes det, at eleverne benytter formel- og tabelsamlingen. Formler, der ikke findes i formel- og tabelsamlingen, vil blive givet i forbindelse med den konkrete opgave i problemdelen til FSA og til FS0. en er ikke en matematisk opslagsbog eller et matematikleksikon i sædvanlig forstand. Fx er der i forbindelse med a ikke angivet nogen definitionsmængde for a. Det er således udeladt, at a skal være et ikke-negativt tal. Det internationale enhedssystem, SI-systemet (Système International d unités), som siden 976 har været standard for størrelser og enheder i fx undervisningsmaterialer og offentlige publikationer, angiver, at rumenheden liter kan benævnes som et l eller et L. Da l nemt kan forveksles med tallet kan man med fordel anvende L. I tabellen over enheder er liter angivet med begge skrivemåder. 4

5 Disse og tilsvarende overvejelser og forklaringer bør være en naturlig del af undervisningen i matematik. en må medbringes til problemdelen af den skriftlige afgangsprøve i matematik og den skriftlige prøve i matematik i 0. klasse. Ligeledes må den anvendes ved den mundtlige del af prøverne. Hæftet må ikke anvendes i færdighedsdelen. 5

6 Indhold 4 Forord 7 Tal og algebra 0 Økonomi 3 Geometri Begreber 5 Geometri Areal 7 Geometri Rumfang og overflade 9 Geometri Flytninger 2 Geometri Tegning 23 Funktioner 26 Statistik 28 Sandsynlighed 29 Masse og måleenheder 30 Måleenheder 33 Væksttabeller 6

7 Tal og algebra Tal Hele tal Brøker rationale tal Irrationale tal π Primtal 2, 3,5,7,,3,7,9, 23, 29, 3, 37, 4, 43, 47, 53, 59, 6, 67, 7, 73, 79, 83, 89, 97, 0, 03,... kaldes for primtal. Et primtal er et naturligt tal, som netop to tal går op i nemlig og tallet selv. Sammensatte tal Et naturligt tal, der ikke er et primtal, kan på netop én måde skrives som et gangestykke af primtal: 2 = er et sammensat tal 827 = er et sammensat tal 7

8 Uligheder intervaller Eksempler på intervaller [ 2;3] eller 2 x 3 [a;b] eller a x b lukket interval fra a til b ] 2;3[ eller 2 < x < 3 ]a;b[ eller a < x < b åbent interval fra a til b ] 2;3] eller 2 < x 3 ]a;b] eller a < x b halvåbent interval fra a til b Brøker a : b = a b 4 : 3 = 4 3 a + b = a + b c c c = a b = a b c c c = 2 a b = c a b c 3 4 = 3 4 = a b c = d a c b d 4 2 = 4 2 = a b : a c = b c = a : c b 6 : 2 = 6 = 6 : 2 =

9 Kvadratrødder a b = a b 9 0 = 9 0 = 3 0 a b = a b = = Tal skrevet som potens n faktorer a n = a a a... a 5, 0 6 = 5, mio. = a n = a n 2 4 = = 6 a 0 = 0 3 = 0 3 = 000 = 0, = a n a p = a n+p a n : a p = a n p (a n ) p = a n p = = = = 4 2 (2 5 ) 2 = = x 2 = 2 x x (2 x) 2 = (2x) (2x) = 4x 2 Parentesregler a + (b c + d) = a + b c + d a ( b + c d) = a + b c + d a (b c + d) = a b a c + a d (a + b) (c d) = a c a d + b c b d (a + b) 2 = (a + b) (a + b) = a 2 + b 2 + 2ab Kvadratet på en toleddet størrelse (a b) 2 = (a b) (a b) = a 2 + b 2 2ab (a + b) (a b) = a 2 b 2 To tals sum gange de samme to tals differens 9

10 Økonomi Procent 5 5% = 5 ud af 00 = 00 = 0,05 0 kr. 06 kr. 325 kr. 0% 8% 00% 8% af 325 kr. er 0, kr. = 06 kr. 0 kr. 60 kr. 300 kr. 0% 20% 00% Hvor mange procent er 60 kr. af 300 kr.? 60 kr.: 300 kr. = 0,20 = 20 = 20% 00 0 kr. 200 kr. 250 kr. 0% 00% 25% Hvor mange procent er 250 kr. større end 200 kr.? (250 kr. 200 kr.) : 200 kr. = 0,25 = 25% 0 kr. 200 kr. 250 kr. 0% 80% 00% Hvor mange procent er 200 kr. mindre end 250 kr.? (250 kr. 200 kr.) : 250 kr. = 0,20 = 20% 0 kr. 640 kr. 800 kr. 0% 00% 25% 25% af et beløb er 800 kr. Beløbet er 800 kr.:,25 = 640 kr. 0

11 Rente Renten R af K kroner til p% p.a. i d dage er eller R = K p d 00 D R = K : 00 p : D d R: rente K: beløb, kapital p: procent pr. år d: antal rentedage D: antal dage i et renteår Vækst Startværdi Værdi efter n perioder K p% pr. periode K n K n = K( + x) n K: startværdi p: vækst i procent pr. periode x = p : 00, væksten i procent angivet som decimaltal n: antal vækstperioder K n : værdi efter n perioder Væksttabel enhed er efter 5 perioder på,50% pr. periode vokset til,0773 ( + x) n n er antallet af perioder x er vækst i procent 0,25% x 2,50% n\x 0,25% 0,50% 0,75%,00%,25%,50%,75% 2,00% 2,25% 2,50%,0025,0050,0075,000,025,050,075,0200,0225,0250 2,0050,000,05,020,0252,0302,0353,0404,0455,0506 3,0075,05,0227,0303,0380,0457,0534,062,0690,0769 4,000,0202,0303,0406,0509,064,079,0824,093,038 5,026,0253,038,050,064,0773,0906,04,77,34 6,05,0304,0459,065,0774,0934,097,262,428,597 7,076,0355,0537,072,0909,098,29,487,685,887 8,0202,0407,066,0829,045,265,489,77,948,284 9,0227,0459,0696,0937,83,434,690,95,227,2489 0,0253,05,0776,046,323,605,894,290,2492,280,0278,0564,0857,57,464,779,203,2434,2773,32 2,0304,067,0938,268,608,956,234,2682,3060,3449 3,0330,0670,020,38,753,236,2530,2936,3354,3785

12 Fremmed valuta 350 til kurs 744 koster 350 7,44 kr. = 3, kr. = 2 604,00 kr. Kurs: Prisen for 00 af den fremmede valuta i danske kroner. For 500 DKK kan man købe 500 : 0,74 46,55 til kurs 074. Kursen kan også angives som prisen for af den fremmede valuta i danske kroner. 2

13 Geometri Begreber m m er midtnormal til AB. A M B Linjen m er vinkelret på linjestykket AB, og linjen m går gennem midtpunktet M af AB. 30 o 30 o Den linje, der halverer en vinkel, kaldes vinkelhalveringslinjen. Midtnormalerne i en trekant skærer hinanden i centrum for den omskrevne cirkel. Vinkelhalveringslinjerne i en trekant skærer hinanden i centrum for den indskrevne cirkel. 3

14 k O: centrum for cirklen p: cirkelperiferien d O r t d: cirklens diameter r: cirklens radius (r = d) 2 t: vinkelret på radius er en tangent til cirklen p k: korde til cirklen den længste korde er d.. Cirkeludsnit Cirkelafsnit Trekant M h: højde v: vinkelhalveringslinje m: midtnormal x o x o v m h Vinkelsummen i en trekant er 80 O. Retvinklet trekant b C a Pythagoras sætning: a 2 + b 2 = c 2 A c B c 2 = a 2 + b 2 b 2 = c 2 a 2 a 2 = c 2 b 2 4

15 Geometri Areal Trekant C C b h a = g b a h A c B A c = g B h: højde g: grundlinje A: areal A = 2 h g s er den halve omkreds: s = Herons formel: A = a + b + c 2 s (s a) (s b) (s c) Rektangel b l : længde b : bredde A : areal O: omkreds A = l b O = 2 (l + b) l 5

16 Trapez h b a h: højde a og b: parallelle sider A: areal A = 2 h (a + b) Parallelogram h h: højde g: grundlinje A: areal g A = h g Cirkel O r: radius d: diameter A: areal O: omkreds d r A = π r 2 O = 2 π r eller O = π d 6

17 Kasse Geometri Rumfang og overflade flade / side h: højde l: længde l h b kant hjørne b: bredde V: rumfang O: overflade V = l b h O = 2 (l h + h b + b l) Prismer h: højde h h G: areal af grundfladen V: rumfang G G V = h G Cylinder h: højde r: radius h V: rumfang O: den krumme overflade r V = π r 2 h O = 2 π r h 7

18 Kegler h h h: højde G: areal af grundfladen V: rumfang r r V = 3 h G Pyramide h h h: højde G: areal af grundfladen V: rumfang G G V = 3 h G Kugle d r r: radius d: diameter V: rumfang O: overflade 4 V = π r 3 3 O = 4 π r 2 8

19 Geometri Flytninger Drejning, spejling og parallelforskydning kaldes for flytninger. En flytning danner en figur, der er kongruent med den flyttede figur. Spejling A C s er spejlingsakse ABC er spejlet om s i A B C A B s B C Parallelforskydning C C A B A B C 2 A 2 B 2 ABC parallelforskydes i A B C og parallelforskydes videre i A 2 B 2 C 2 9

20 Drejning B C C A = A B ABC drejes om A i A B C C B C A O A B ABC drejes om O i A B C 20

21 Geometri Tegning Målestoksforhold gade ej H jen ejen Traneholmen Tranehol Adelgade Ringvejen Vibeengen Vibee Sportsvej Ahornvej Rypevej N ddevej ÿstergade R rmosevej R Lang gade StorkevÊnget Stor Stadion Hanevej Hanekammen Hanesporet Falck Gr nnegade Cir kelvej Strandvejen B 409 Hyldevej B gevej A Egevej Allegade Fredens Alle Classensgade Baggersvej Enghavevej Målestoksforholdet: : Afstanden mellem A og B er på kortet 4 cm Afstanden er i virkeligheden: cm = cm = 2000 m b inken Isometrisk tegning 2

22 Perspektivisk tegning Med forsvindingspunkt: horisontlinje forsvindingspunkt vandret frontlinje Med 2 forsvindingspunkter: forsvindingspunkt horisontlinje under figuren forsvindingspunkt forsvindingspunkt horisontlinje over figuren forsvindingspunkt A B midtpunkt af AB 22

23 Funktioner Graf: y Ligning: y = x 3 x 2 x Tabel: x y (,) (0,) (3,) (, ) -2 (2, 2) -3-4 ( 2, 4) x Lineær funktion Ligningen for en linje: Graf: y Ligning: y = x y = ax + b a er et udtryk for linjens hældning og kaldes stigningstallet eller hældningskoefficienten (0,2) } = a 2 Tabel: x 0 4 y (0,b): skæringspunkt med y-aksen b (,0): skæringspunkt med x-aksen a x Ligefrem proportionalitet Eksempel: y y = ax y = 2x x 23

24 Omvendt proportionalitet y = a : x Eksempel: eller a y = x x 0 y y = 2 x x Vækstfunktion Vækstkurve: K n = K( + x) n K: startværdi p: vækstprocent pr. periode p x: = = p : n: antal vækstperioder y x Eksempel K = K 5 = (+0,05) 5 p: 5 5 x: = = 5% = 0,05 00 n: antal vækstperioder 24

25 Grafisk ligningsløsning y 3 2 I y = x 2 I: II: y = x 2 y = x y = x x II Løsning: x = 3 y = y I: y = 2x II: y = 6 x 6 Løsninger: (x,y) = (,6) og (x,y) = (3,2) 4 y = 2x y = 6 x II 3 5 I x 25

26 Statistik Nogle forskellige diagramtyper Diagrammer til angivelse af hyppigheder, frekvenser og procent Pindediagram Søjlediagram hyppighed år 5 år 6 år Gennemsnit: (7 4 år år år) : 25 = 5,04 år Gennemsnit: Summen af alle observationer divideret med antallet af observationer Diagrammer for procent-fordeling Cirkeldiagram Procentdiagram Opsparing 8% 00% 65 o 97 o 98 o Privat forbrug 55% Fælles forbrug 27% 0% 27% af 360 O = 97,2 O 97 O 26

27 Ugrupperede observationer A: Måle længder og ordne Alle mål i millimeter 26, 55, 70, 7, 79, 88, 88, 90, 00, 02, 6, 25, 38, 38, 38, 47, 48, 89, 206, 207, 225, 24, 24, 250 B: Beskrive C: Tabellægge observationer Fordelingstabel Interval ]0; 50] ]50;00] ]00;50] ]50;200] ]200;250] hyppighed frekvens 4,2% 33,3% 33,3% 4,2% 25,0% Summeret hyppighed typetal: 38 største værdi: 250 mindste værdi: 26 variationsbredde: = 224 D: Tegne diagram Summeret frekvens 4,2% 37,5% 70,8% 75,0% 00,0% 00% E: Tegne diagram 80% længde 60% Typeintervaller 40% F: Beskrive 20%. kvartil : 25% af klodserne er ifølge modellen højst 88 mm lange 0, Median : 50% af klodserne er ifølge modellen højst 32 mm lange Kvartilsæt 88. kvartil 32 Median kvartil 3. kvartil : 75% af klodserne er ifølge modellen højst 93 mm lange. G: Udarbejde fordelingstabel Interval ]0;50] ]50;00] ]00;50] ]50;200] ]200;250] Midt mellem a og b hyppighed Samlet længde H: Beskrive Samlet længde er 25 mm mm mm + 75 mm mm = 350 mm som fordeles mellem 24 klodser: 350 mm : 24 = 3,25 mm Middeltallet er 3 mm. 27

28 Sandsynlighed Udfaldsrummet for de 250 kast er: Endeflade Strygeflade Bagsiden Billedsiden Strygeflade 2 Endeflade 2 Fordelingstabel for 250 kast med en tændstikæske Billedsiden Bagsiden Endeflade Strygeflade og 2 og 2 h(x) Hyppigheden f(x) Frekvensen ,392 0,42 0,036 0,60 39,2% 4,2% 3,6% 6,0% 98 Den statistiske sandsynlighed er 250 = 0,392 = 39,2% for at billedsiden kommer opad. Sandsynligheden for snurretoppens 8 mulige udfald 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 betragtes som lige store Sandsynlighederne er jævnt fordelt, så for udfaldet 2 bliver sandsynligheden P(2) = = 0,25 = 2,5% Sandsynligheden for hændelsen, at snurretoppen lander på et lige tal, er antal gunstige 4 P(lige tal) = = = 0,50 = 50% antal mulige 8 Antallet af tal 2, 4, 6 og 8 kaldes her for hændelsens gunstige udfald. Antallet af kanter på snurretoppen kaldes her for de mulige udfald. 28

29 Masse og måleenheder Vægt Masse = massefylde rumfang massefylde = masse rumfang Et lod vejer 05 g og har et rumfang på 5 cm 3. Massefylden er: 05 g : 5 cm 3 = 7,0 g / cm 3 7,0 g / cm 3 = 7,0 g cm 3 Et lod vejer 70 kg og har et rumfang på 7 dm 3. Massefylden er: 70 kg : 7dm 3 = 0 kg / dm 3 Et lod vejer 50 tons og har et rumfang på 0 m 3. Massefylden er: 50 tons : 0 m 3 = 5 tons / m 3 Et lod vejer 3,0 kg og har et rumfang på 0, m 3. Massefylden er: 3,0 kg : 0, m 3 = 30 kg / m 3 kg I SI-systemet benævnes massefylde som kg / m 3 =. Dvs. 3,0 g / cm 3 = 30 kg m 3 m 3 29

30 Måleenheder SI-systemet er det internationale system for, hvordan man angiver enheder. I skemaet over enheder er der med blåt tilføjet angivelser for enheden liter skrevet med et stort L, som det kan skrives i SI-systemet. Længde km hm dam m dm cm mm 000 m 00 m 0 m m 0, m 0,0 m 0,00 m 0 3 m 0 2 m 0 m 0 0 m 0 m 0 2 m 0 3 m Areal km 2 hm 2 dam 2 m 2 dm 2 cm 2 mm m m 2 00 m 2 m 2 0,0 m 2 0,000 m 2 0,00000m m m m m m m m 2 ha 30

31 Rumfang km 3 0 hm 3 0 dam 3 m 3 0 dm 3 cm 3 mm m m 3 m 3 0,00 m 3 0,00000m 3 0, m 3 m m m m m m m m 3 kl = kl l = L ml = ml m 3 dm 3 cm 3 kl = kl hl = hl dal = dal l = L dl = dl cl = cl ml = ml 000 l = 000L 00 hl = 00hL 0 l = 0L l = L 0,l = 0,L 0,0 l = 0,0L 0,00 l = 0,00 L 0 dl = 0 dl 00 cl = 00cL 000 ml = 000mL Sjældent anvendte måleenheder Vægt t kg hg dag g dg cg mg g 000 kg 000 g 00 g 0 g g 0, g 0,0 g 0,00 g 000 mg 00 mg 0 mg Sjældent anvendte måleenheder 3

32 Præfiks Titalspotens T, tera 0 2 G, giga 0 9 M, mega 0 6 k, kilo 0 3 h, hekto 0 2 da, deka 0 d, deci 0 c, centi 0 2 m, milli 0 3 µ, mikro 0 6 n, nano 0 9 p, pico

33 ( + x) n n er antallet af perioder x er vækst i procent 0,25% x 2,50% n\x 0,25% 0,50% 0,75%,00%,25%,50%,75% 2,00% 2,25% 2,50%,0025,0050,0075,000,025,050,075,0200,0225,0250 2,0050,000,05,020,0252,0302,0353,0404,0455,0506 3,0075,05,0227,0303,0380,0457,0534,062,0690,0769 4,000,0202,0303,0406,0509,064,079,0824,093,038 5,026,0253,038,050,064,0773,0906,04,77,34 6,05,0304,0459,065,0774,0934,097,262,428,597 7,076,0355,0537,072,0909,098,29,487,685,887 8,0202,0407,066,0829,045,265,489,77,948,284 9,0227,0459,0696,0937,83,434,690,95,227,2489 0,0253,05,0776,046,323,605,894,290,2492,280,0278,0564,0857,57,464,779,203,2434,2773,32 2,0304,067,0938,268,608,956,234,2682,3060,3449 3,0330,0670,020,38,753,236,2530,2936,3354,3785 4,0356,0723,03,495,900,238,2749,395,3655,430 5,0382,0777,86,60,2048,2502,2972,3459,3962,4483 6,0408,083,270,726,299,2690,399,3728,4276,4845 7,0434,0885,354,843,235,2880,3430,4002,4597,526 8,0460,0939,440,96,2506,3073,3665,4282,4926,5597 9,0486,0994,525,208,2662,3270,3904,4568,5262, ,052,049,62,2202,2820,3469,448,4859,5605,6386 2,0538,04,699,2324,298,367,4395,557,5956, ,0565,60,787,2447,343,3876,4647,5460,635,726 23,059,26,875,2572,3307,4084,4904,5769,6682, ,068,272,964,2697,3474,4295,564,6084,7058, ,0644,328,2054,2824,3642,4509,5430,6406,744, ,067,385,244,2953,382,4727,5700,6734,7834, ,0697,442,2235,3082,3985,4948,5975,7069,8235, ,0724,499,2327,323,460,572,6254,740,8645, ,075,556,2420,3345,4337,5400,6539,7758,9065 2, ,0778,64,253,3478,456,563,6828,84,9494 2,0976 3,0805,672,2607,363,4698,5865,722,8476,9933 2,500 32,0832,730,270,3749,488,603,7422,8845 2,038 2, ,0859,789,2796,3887,5067,6345,7727,9222 2,0840 2, ,0886,848,2892,4026,5256,6590,8037,9607 2,308 2,353 35,093,907,2989,466,5446,6839,8353,9999 2,788 2, ,094,967,3086,4308,5639,709,8674 2,0399 2,2278 2, ,0968,2027,385,445,5835,7348,900 2,0807 2,2779 2, ,0995,2087,3283,4595,6033,7608,9333 2,223 2,3292 2, ,023,247,3383,474,6233,7872,9672 2,647 2,386 2,696 40,050,2208,3483,4889,6436,840 2,006 2,2080 2,4352 2,685 4,078,2269,3585,5038,6642,842 2,0366 2,2522 2,4900 2, ,06,2330,3686,588,6850,8688 2,0723 2,2972 2,5460 2,820 43,33,2392,3789,5340,7060,8969 2,085 2,3432 2,6033 2,895 44,6,2454,3893,5493,7274,9253 2,454 2,390 2,669 2, ,89,256,3997,5648,7489,9542 2,830 2,4379 2,728 3, ,27,2579,402,5805,7708,9835 2,222 2,4866 2,7830 3,39 47,245,2642,4207,5963,7929 2,033 2,2600 2,5363 2,8456 3,97 48,273,2705,434,622,854 2,0435 2,2996 2,587 2,9096 3,275 49,30,2768,442,6283,8380 2,074 2,3398 2,6388 2,975 3, ,330,2832,4530,6446,860 2,052 2,3808 2,696 3,0420 3,437 33

34 ( + x) n n er antallet af perioder x er vækst i procent 2,75% x 5,00% n\x 2,75% 3,00% 3,25% 3,50% 3,75% 4,00% 4,25% 4,50% 4,75% 5,00%,0275,0300,0325,0350,0375,0400,0425,0450,0475,0500 2,0558,0609,066,072,0764,086,0868,0920,0973,025 3,0848,0927,007,087,68,249,330,42,494,576 4,46,255,365,475,587,699,8,925,2040,255 5,453,593,734,877,202,267,233,2462,262,2763 6,768,94,25,2293,2472,2653,2837,3023,32,340 7,209,2299,2509,2723,2939,359,3382,3609,3838,407 8,2424,2668,296,368,3425,3686,395,422,4495,4775 9,2765,3048,3336,3629,3928,4233,4544,486,584,553 0,37,3439,3769,406,4450,4802,562,5530,5905,6289,3477,3842,426,4600,4992,5395,5807,6229,666,703 2,3848,4258,4678,5,5555,600,6478,6959,7452,7959 3,4229,4685,556,5640,638,665,779,7722,828,8856 4,4620,526,5648,687,6743,737,7909,859,949,9799 5,5022,5580,657,6753,737,8009,8670,9353 2,0059 2,0789 6,5435,6047,6682,7340,8022,8730,9463 2,0224 2,02 2,829 7,5860,6528,7224,7947,8698,9479 2,029 2,34 2,200 2,2920 8,6296,7024,7784,8575,9399 2,0258 2,53 2,2085 2,3055 2,4066 9,6744,7535,8362,9225 2,027 2,068 2,2052 2,3079 2,45 2, ,7204,806,8958,9898 2,0882 2,9 2,2989 2,47 2,5298 2,6533 2,7677,8603,9575 2,0594 2,665 2,2788 2,3966 2,5202 2,6499 2, ,864,96 2,02 2,35 2,2477 2,3699 2,4985 2,6337 2,7758 2, ,8663,9736 2,0868 2,206 2,3320 2,4647 2,6047 2,7522 2,9077 3,075 24,976 2,0328 2,546 2,2833 2,494 2,5633 2,753 2,8760 3,0458 3,225 25,9704 2,0938 2,2246 2,3632 2,502 2,6658 2,8308 3,0054 3,904 3, ,0245 2,566 2,2969 2,4460 2,6043 2,7725 2,95 3,407 3,3420 3, ,0802 2,223 2,375 2,536 2,7020 2,8834 3,0765 3,2820 3,5007 3, ,374 2,2879 2,4486 2,6202 2,8033 2,9987 3,2072 3,4297 3,6670 3, ,962 2,3566 2,5282 2,79 2,9084 3,87 3,3435 3,5840 3,842 4,6 30 2,2566 2,4273 2,604 2,8068 3,075 3,2434 3,4856 3,7453 4,0237 4, ,387 2,500 2,6952 2,9050 3,306 3,373 3,6338 3,939 4,248 4, ,3824 2,575 2,7828 3,0067 3,2480 3,508 3,7882 4,0900 4,450 4, ,4479 2,6523 2,8732 3,9 3,3698 3,6484 3,9492 4,2740 4,6247 5, ,553 2,739 2,9666 3,2209 3,4962 3,7943 4,7 4,4664 4,8444 5, ,5844 2,839 3,0630 3,3336 3,6273 3,946 4,2920 4,6673 5,0745 5, ,6555 2,8983 3,626 3,4503 3,7633 4,039 4,4744 4,8774 5,355 5, ,7285 2,9852 3,2654 3,570 3,9045 4,268 4,6646 5,0969 5,5680 6, ,8036 3,0748 3,375 3,6960 4,0509 4,4388 4,8628 5,3262 5,8325 6, ,8807 3,670 3,48 3,8254 4,2028 4,664 5,0695 5,5659 6,095 6, ,9599 3,2620 3,5942 3,9593 4,3604 4,800 5,2850 5,864 6,3997 7, ,043 3,3599 3,70 4,0978 4,5239 4,993 5,5096 6,078 6,7037 7, ,249 3,4607 3,836 4,243 4,6935 5,928 5,7437 6,356 7,022 7, ,208 3,5645 3,956 4,3897 4,8695 5,4005 5,9878 6,6374 7,3557 8, ,299 3,675 4,0847 4,5433 5,0522 5,665 6,2423 6,936 7,705 8, ,3899 3,786 4,275 4,7024 5,246 5,842 6,5076 7,2482 8,07 8, ,483 3,8950 4,3545 4,8669 5,4382 6,0748 6,7842 7,5744 8,4545 9, ,5789 4,09 4,496 5,0373 5,642 6,378 7,0725 7,953 8,8560 9, ,6773 4,323 4,6422 5,236 5,8537 6,5705 7,373 8,275 9,2767 0, ,7784 4,2562 4,793 5,396 6,0732 6,8333 7,6865 8,6437 9,773 0, ,8823 4,3839 4,9488 5,5849 6,3009 7,067 8,03 9,0326 0,789,

35 ( + x) n n er antallet af perioder x er vækst i procent 5,25% x 7,50% n\x 5,25% 5,50% 5,75% 6,00% 6,25% 6,50% 6,75% 7,00% 7,25% 7,50%,0525,0550,0575,0600,0625,0650,0675,0700,0725,0750 2,078,30,83,236,289,342,396,449,503,556 3,659,742,826,90,995,2079,265,2250,2336,2423 4,227,2388,2506,2625,2744,2865,2986,308,323,3355 5,295,3070,3225,3382,354,370,3862,4026,490,4356 6,3594,3788,3986,485,4387,459,4798,5007,529,5433 7,4307,4547,4790,5036,5286,5540,5797,6058,6322,6590 8,5058,5347,5640,5938,6242,6550,6863,782,7506,7835 9,5849,69,6540,6895,7257,7626,8002,8385,8775,972 0,668,708,749,7908,8335,877,927,9672 2,036 2,060,7557,802,8496,8983,948,9992 2,054 2,049 2,596 2,256 2,8478,902,9560 2,022 2,0699 2,29 2,899 2,2522 2,362 2,388 3,9449 2,0058 2,0684 2,329 2,993 2,2675 2,3377 2,4098 2,484 2, ,0470 2,6 2,874 2,2609 2,3367 2,449 2,4955 2,5785 2,6642 2, ,544 2,2325 2,332 2,3966 2,4828 2,578 2,6639 2,7590 2,8573 2, ,2675 2,3553 2,4462 2,5404 2,6379 2,7390 2,8437 2,9522 3,0645 3, ,3866 2,4848 2,5868 2,6928 2,8028 2,970 3,0357 3,588 3,2867 3, ,59 2,625 2,7356 2,8543 2,9780 3,067 3,2406 3,3799 3,5249 3, ,6437 2,7656 2,8929 3,0256 3,64 3,3086 3,4593 3,665 3,7805 3, ,7825 2,978 3,0592 3,207 3,369 3,5236 3,6928 3,8697 4,0546 4, ,9286 3,0782 3,235 3,3996 3,5720 3,7527 3,942 4,406 4,3485 4, ,0824 3,2475 3,42 3,6035 3,7952 3,9966 4,2082 4,4304 4,6638 4, ,2442 3,4262 3,678 3,897 4,0324 4,2564 4,4922 4,7405 5,009 5, ,445 3,646 3,8259 4,0489 4,2844 4,533 4,7954 5,0724 5,3646 5, ,5938 3,834 4,0458 4,299 4,5522 4,8277 5,9 5,4274 5,7535 6, ,7825 4,023 4,2785 4,5494 4,8367 5,45 5,4647 5,8074 6,706 6, ,980 4,2444 4,5245 4,8223 5,390 5,4757 5,8335 6,239 6,680 7, ,900 4,4778 4,7847 5,7 5,4602 5,836 6,2273 6,6488 7,0978 7, ,400 4,724 5,0598 5,484 5,805 6,207 6,6477 7,43 7,624 8, ,646 4,9840 5,3507 5,7435 6,64 6,644 7,0964 7,623 8,643 8, ,8852 5,258 5,6584 6,088 6,5493 7,0443 7,5754 8,45 8,7562 9, ,47 5,5473 5,9837 6,4534 6,9587 7,5022 8,0867 8,753 9,390 0, ,46 5,8524 6,3278 6,8406 7,3936 7,9898 8,6326 9,3253 0,079 0, ,6958 6,742 6,696 7,250 7,8557 8,5092 9,253 9,978 0,802, ,9948 6,538 7,0764 7,686 8,3467 9,0623 9,8373 0,6766,5853 2, ,3095 6,872 7,4833 8,473 8,8683 9,653 0,503,4239 2,4252 3, ,6408 7,250 7,936 8,636 9,4226 0,2786,202 2,2236 3,3260 4, ,9894 7,6488 8,3686 9,543 0,05 0,9467,9668 3,0793 4,292 5, ,3563 8,0695 8,8498 9,7035 0,6372,6583 2,7746 3,9948 5,3283 6, ,7426 8,533 9,3587 0,2857,302 2,46 3,6369 4,9745 6,4396 8, ,490 8,985 9,8968 0,9029 2,0084 3,223 4,5574 6,0227 7,635 9, ,5769 9,4755 0,4659,5570 2,7590 4,0826 5,5400 7,443 8, , ,027 9,9967,0677 2,2505 3,5564 4,9980 6,5890 8, , , ,50 0,5465,704 2,9855 4,4037 5,9729 7,7087 9,6285 2,75 24, ,9999,266 2,3770 3,7646 5,3039 7,0 8,9040 2, ,328 25, ,5249,7385 3,0887 4,5905 6,2604 8,68 20,80 22, ,093 27, ,0774 2,384 3,843 5,4659 7,2767 9,2944 2, , , , ,6590 3,0653 4,6372 6,3939 8, , , , , , ,27 3,7838 5,4788 7,3775 9,5037 2, , , ,865 34, ,953 4,5420 6,3689 8, , , , , ,028 37,897 35

36 ( + x) n n er antallet af perioder x er vækst i procent 7,75% x 0,00% n\x 7,75% 8,00% 8,25% 8,50% 8,75% 9,00% 9,25% 9,50% 9,75% 0,00%,0775,0800,0825,0850,0875,0900,0925,0950,0975,000 2,60,664,78,772,827,88,936,990,2045,200 3,250,2597,2685,2773,286,2950,3040,329,329,330 4,3479,3605,373,3859,3987,46,4246,4377,4508,464 5,4524,4693,4864,5037,52,5386,5563,5742,5923,605 6,5650,5869,6090,635,6542,677,7003,7238,7475,776 7,6862,738,748,770,7989,8280,8576,8876,979,9487 8,869,8509,8855,9206,9563,9926 2,0294 2,0669 2,049 2,436 9,9577,9990 2,040 2,0839 2,275 2,79 2,27 2,2632 2,302 2, ,095 2,589 2,2094 2,260 2,336 2,3674 2,4222 2,4782 2,5354 2,5937 2,2730 2,336 2,397 2,4532 2,56 2,5804 2,6463 2,737 2,7826 2, ,449 2,582 2,5890 2,667 2,7362 2,827 2,89 2,975 3,0539 3, ,6389 2,796 2,8026 2,8879 2,9756 3,0658 3,585 3,2537 3,357 3, ,8434 2,9372 3,0338 3,334 3,2360 3,347 3,4506 3,5629 3,6784 3, ,0638 3,722 3,284 3,3997 3,592 3,6425 3,7698 3,903 4,037 4, ,302 3,4259 3,555 3,6887 3,827 3,9703 4,85 4,279 4,4307 4, ,557 3,7000 3,8483 4,0023 4,620 4,3276 4,4995 4,6778 4,8627 5, ,8328 3,9960 4,658 4,3425 4,526 4,77 4,957 5,222 5,3368 5, ,298 4,357 4,5095 4,76 4,9222 5,47 5,3704 5,6088 5,857 6, ,4499 4,660 4,886 5,20 5,3529 5,6044 5,8672 6,46 6,4282 6, ,7947 5,0338 5,2843 5,5466 5,822 6,088 6,4099 6,725 7,0550 7, ,663 5,4365 5,7202 6,080 6,3306 6,6586 7,0028 7,3639 7,7428 8, ,5667 5,875 6,922 6,5296 6,8845 7,2579 7,6506 8,0635 8,4978 8, ,998 6,342 6,7030 7,0846 7,4869 7,9 8,3582 8,8296 9,3263 9, ,4630 6,8485 7,2560 7,6868 8,420 8,623 9,34 9,6684 0,2356 0, ,9638 7,3964 7,8546 8,340 8,8544 9,3992 9,9760 0,5869,2336, ,5035 7,988 8,5026 9,0490 9,6292 0,245 0,8988,5926 2,3288 3, ,085 8,627 9,204 9,882 0,478,67,9069 2,6939 3,5309 4, ,77 9,373 9,9634 0,6528,3880 2,722 3,0083 3,8998 4,8502 5, ,3868 0,0627 0,7854,5583 2,3845 3,2677 4,26 5,2203 6,298 7, ,43 0,8677,6752 2,5407 3,468 4,468 5,5262 6,6662 7,887 9, ,8982,737 2,6384 3,6067 4,6466 5,7633 6,9624 8,2495 9,63 2,38 33,7428 2,6760 3,68 4,7632 5,9282 7,820 8,534 9,9832 2,545 23, ,6528 3,690 4,8098 6,08 7,329 8, ,2455 2,886 23, , ,6334 4,7853 6,036 7,3796 8, ,440 22,82 23, ,953 28, ,6900 5,9682 7,3542 8, , ,252 24,642 26, ,485 30, ,8285 7,2456 8, , , , , ,729 3, , ,0552 8, , ,988 24, , ,843 3, , , , ,53 22,035 24, , ,860 3,509 34, ,650 4, ,802 2, , ,330 28,6530 3, , ,794 4, , , , , ,3543 3,602 34, ,6079 4, , , , , , , , ,375 4, , , , ,770 27, , , ,858 40,676 44, , , , , , ,72 36,267 40, , , , ,954 66, ,7592 3, , ,295 43, , , , , , ,988 34,474 38, , , , ,53 65, ,28 80, , ,2320 4,506 46,2592 5, ,476 63,9452 7,973 79, , , ,206 44, ,92 56, , ,860 77,96 86, , , , ,637 54, , ,279 76, , ,460 06, , ,906 52, , , , , , ,7675 7,

37 ( + x) n n er antallet af perioder x er vækst i procent 0,5% x 5,0% n\x 0,50%,00%,50% 2,00% 2,50% 3,00% 3,50% 4,00% 4,50% 5,00%,050,00,50,200,250,300,350,400,450,500 2,220,232,2432,2544,2656,2769,2882,2996,30,3225 3,3492,3676,3862,4049,4238,4429,462,485,50,5209 4,4909,58,5456,5735,608,6305,6595,6890,788,7490 5,6474,685,7234,7623,8020,8424,8836,9254,9680 2,04 6,8204,8704,925,9738 2,0273 2,0820 2,378 2,950 2,2534 2,33 7 2,06 2,0762 2,425 2,207 2,2807 2,3526 2,4264 2,5023 2,580 2, ,2228 2,3045 2,3889 2,4760 2,5658 2,6584 2,7540 2,8526 2,9542 3, ,4562 2,5580 2,6636 2,773 2,8865 3,0040 3,258 3,259 3,3826 3, ,74 2,8394 2,9699 3,058 3,2473 3,3946 3,5478 3,7072 3,873 4,0456 2,999 3,58 3,35 3,4785 3,6532 3,8359 4,0267 4,2262 4,4347 4, ,340 3,4985 3,6923 3,8960 4,099 4,3345 4,5704 4,879 5,0777 5, ,669 3,8833 4,69 4,3635 4,6236 4,8980 5,874 5,4924 5,840 6, ,0464 4,304 4,5904 4,887 5,206 5,5348 5,8877 6,263 6,6570 7, ,473 4,7846 5,83 5,4736 5,858 6,2543 6,6825 7,379 7,6222 8,37 6 4,9408 5,309 5,7069 6,304 6,5833 7,0673 7,5846 8,372 8,7275 9, ,4596 5,895 6,3632 6,8660 7,4062 7,986 8,6085 9,2765 9,9929 0, ,0328 6,5436 7,0949 7,6900 8,339 9,0243 9,7707 0,5752,449 2, ,6663 7,2633 7,908 8,628 9,3734 0,974,0897 2,0557 3,00 4, ,3662 8,0623 8,8206 9,6463 0,545,523 2,5869 3,7435 5,0006 6, ,397 8,9492 9,8350 0,8038,8632 3,02 4,286 5,6676 7,757 8, ,9944 9,9336 0,9660 2,003 3,346 4,738 6,247 7,860 9,6662 2, ,9388,0263 2,227 3,5523 5,044 6,6266 8, ,366 22,578 24, ,9823 2,2392 3,6332 5,786 6,892 8,788 20, ,222 25, , ,355 3,5855 5,200 7,000 9,0026 2, ,708 26,469 29,524 32, ,4097 5,0799 6,949 9,040 2, , , ,666 33, , ,877 6,7386 8,8982 2, , ,093 30,544 34, , , ,3736 8,5799 2,075 23, , , , , ,353 50, , , , , , ,658 39,344 44,693 50,740 57, , , ,967 29, , ,59 44, , , , ,098 25,404 29, ,555 38, ,200 50,684 58, , , ,44 28, , ,587 43, ,947 57, ,248 76,685 87, ,9746 3, ,337 42,095 48, , , , ,230 00, , ,752 40, ,425 54,852 63, ,070 86, ,8588 5, , , ,46 52,7996 6, , ,5 98,002 4, , , ,88 50, ,356 69,420 8, ,4665, ,974 53, ,265 47,528 56,268 66,238 78, , , ,490 49, , , , ,584 74,797 87, , , ,3397 7, , ,054 58, , ,082 98,8436 7, , , , , ,264 65, , ,050,990 32,786 58, , ,09 267, , ,50 86, ,27 25, , ,868 25, , , , , ,7263 6,723 40, , , , , , ,23 88, , , ,3283 9,590 23, , , , , , , ,475 78,93 26, ,965 39, , , , , ,086 63, , , , , , , ,7790 2, , , , , , , ,059 69, ,508 34, , , ,63 32, , , , , ,67 49, , , , , , , , , , , , , , , ,289 64, , , , , , , , , , , , ,

38 ( + x) n n er antallet af perioder x er vækst i procent 5,5% x 20,0% n\x 5,50% 6,00% 6,50% 7,00% 7,50% 8,00% 8,50% 9,00% 9,50% 20,00%,550,600,650,700,750,800,850,900,950,2000 2,3340,3456,3572,3689,3806,3924,4042,46,4280,4400 3,5408,5609,582,606,6222,6430,6640,6852,7065,7280 4,7796,806,842,8739,906,9388,978 2,0053 2,0393 2, ,0555 2,003 2,460 2,924 2,2397 2,2878 2,3366 2,3864 2,4369 2, ,374 2,4364 2,500 2,5652 2,636 2,6996 2,7689 2,8398 2,92 2, ,7420 2,8262 2,926 3,002 3,0922 3,855 3,282 3,3793 3,4800 3, ,67 3,2784 3,3932 3,55 3,6333 3,7589 3,8882 4,024 4,586 4, ,6580 3,8030 3,953 4,084 4,269 4,4355 4,6075 4,7854 4,9695 5, ,2249 4,44 4,6053 4,8068 5,062 5,2338 5,4599 5,6947 5,9385 6,97 4,8798 5,73 5,3652 5,6240 5,894 6,759 6,4700 6,7767 7,0965 7, ,6362 5,9360 6,2504 6,580 6,9256 7,2876 7,6669 8,0642 8,4804 8,96 3 6,5098 6,8858 7,288 7,6987 8,375 8,5994 9,0853 9,5964 0,340 0, ,588 7,9875 8,4833 9,0075 9,566 0,472 0,766,498 2,02 2, ,6842 9,2655 9,8830 0,5387,2349,9737 2,7578 3,5895 4,477 5, ,0302 0,7480,537 2,3303 3,200 4,290 5,80 6,75 7,2936 8,4884 7,5849 2,4677 3,435 4,4265 5,5 6,6722 7,948 9,244 20, ,86 8 3,3806 4,4625 5,6267 6,8790 8,2256 9,6733 2, , , , ,4546 6,7765 8,205 9,7484 2,45 23,244 25,564 27,256 29,54 3, ,850 9,4608 2, ,056 25,627 27, ,803 32, , , ,668 22, , , , , , ,590 42,43 46, ,824 26,864 28,7853 3, , ,42 4, , ,360 55, , , , , ,898 45, , , ,83 66, , , ,068 43, , ,090 58,785 65,0320 7,967 79, , , ,543 50, , , , ,388 85, , ,377 47,44 53, , ,293 73, , ,098 02,6988 4, , ,0004 6, , , , ,827 09, ,725 37, , ,8004 7,9658 8,342 9, ,9666 5,908 30,42 46, , , , ,840 94,927 07,4232 2, ,35 55,893 75, , ,453 85, ,6737, , , ,76 84, , , ,047 99,5859 3, , ,32 69,774 92,879 29, , , ,6059 5,596 32, , , , ,553 26, ,070 34, ,998 34, , , , , ,8355 3, , , ,208 55, , , , , , , , , ,035 80,34 209, , , , , , , , , , ,93 284, ,72 387, , , , , , , , , , , , , , , , ,455 33, , , , , , , , , , ,00 456, ,86 635, , , , , , , , , ,67 750, , , , , ,05 439, , , , , , , , , , , , , , , , , ,037 26, , ,443 7, ,05 027, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,748 24, , , , , , , , , , , , , , , , , , ,024 24, , , , , , , ,02 639, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,

39 ( + x) n n er antallet af perioder x er vækst i procent 2< = x < = 30 n\x 2% 22% 23% 24% 25% 26% 27% 28% 29% 30%,200,2200,2300,2400,2500,2600,2700,2800,2900,3000 2,464,4884,529,5376,5625,5876,629,6384,664,6900 3,776,858,8609,9066,953 2,0004 2,0484 2,0972 2,467 2, ,436 2,253 2,2889 2,3642 2,444 2,5205 2,604 2,6844 2,7692 2, ,5937 2,7027 2,853 2,936 3,058 3,758 3,3038 3,4360 3,5723 3, ,384 3,2973 3,4628 3,6352 3,847 4,005 4,959 4,3980 4,6083 4, ,7975 4,0227 4,2593 4,5077 4,7684 5,049 5,3288 5,6295 5,9447 6, ,5950 4,9077 5,2389 5,5895 5,9605 6,3528 6,7675 7,2058 7,6686 8, ,5599 5,9874 6,4439 6,930 7,4506 8,0045 8,5948 9,2234 9,8925 0, ,7275 7,3046 7,9259 8,5944 9,332 0,0857 0,953,8059 2,764 3,7858 8,403 8,97 9,7489 0,657,645 2,7080 3,8625 5,6 6,4622 7, ,8497 0,8722,992 3,248 4,559 6,020 7,6053 9,3428 2, ,298 3,982 3,264 4,749 6,3863 8,899 20,752 22, , , , ,420 6,822 8,44 20,39 22, , ,3957 3,693 35,339 39, ,4494 9, ,340 25,956 28,427 32,030 36, , ,5875 5, ,38 24, ,4462 3, ,527 40, ,7994 5, , , , , , , , ,850 58,652 66,464 75,862 86, ,927 35,8490 4, , ,52 64, , , ,8622 2, , ,7358 5, , , ,730 93,847 08, , , , , , ,864 86,7362 0,72 9,446 39, , , , , ,2694 9,595 08, ,685 5,337 78, , , ,264 79,475 95,043 3, ,5253 6, , , , , ,795 96,8894 6, ,832 69, , , , , , ,072 8, , ,6306 2, , , , , , , ,20 76, , , , , , , , , , , ,52 330, , ,957 62, , , ,879 24, , , , , , , ,044 92, ,965 26, ,5 42, , , , , , , , , ,8072 5, , , , ,5504 6, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,56 753, , , , , , , , , ,74 926, , , , , , , , , ,444 39, , , , ,90 447, , , , ,408 40, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,53 822, ,53 577, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,68 342, , , , , ,03 754, , , , , , , , , , , , , , , , , ,4 9032, , , , , , , , , ,722 0, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,223 39

40 ( + x) n n er antallet af perioder x er vækst i procent 3% x 50% n\x 3% 32% 33% 34% 35% 40% 45% 50%,300,3200,3300,3400,3500,4000,4500,5000 2,76,7424,7689,7956,8225,9600 2,025 2, ,248 2,3000 2,3526 2,406 2,4604 2,7440 3,0486 3, ,9450 3,0360 3,290 3,2242 3,325 3,846 4,4205 5, ,8579 4,0075 4,66 4,3204 4,4840 5,3782 6,4097 7, ,0539 5,2899 5,5349 5,7893 6,0534 7,5295 9,294, ,6206 6,9826 7,364 7,7577 8,722 0,544 3,4765 7, ,6730 9,270 9,7907 0,3953,0324 4,7579 9, ,6289 9,367 2,665 3,026 3,9297 4, ,660 28, , ,8838 6,0598 7,387 8, ,066 28,9255 4, ,6650 9,4977 2,989 23, ,023 27,439 40, , , , , ,635 33,564 36, , , , ,460 36, , ,920 49, ,375 25,258 94, , , ,905 60,82 66,784,20 8,65 29, , , , , ,585 55, , , ,223 84, , ,0629 2,739 27, , , ,5399 2,390 27, , , , , , , , , , , , , , ,043 95,39 225, , , , , , , , , , , , , , , , , , ,7693 7, , , ,68 449, , , , , , , , , , , , , , , , , ,50 23, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,52 442, , , , , , , , , , , , , , , , ,5 988, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,6 6324, , , , , , , , , , , , , , , , , , ,