Vejleder: Michael Christensen. Performancemåling af danske investeringsforeninger

Transkript

1 Bachelor afhandling HA-Almen Forfatter: Casper Bjerregaard Vejleder: Michael Christensen Performancemåling af danske investeringsforeninger Økonomisk Institut Aarhus Universitet Maj, 2014

2 Abstract This thesis provides an analysis of 57 Danish mutual funds. These mutual funds consist of several following an active investment strategy and a little group of passive funds. The funds are solely equity funds. They are divided into 6 different categories according to their geographical investment area. The focus in the thesis analysis regards the performance of the mutual funds, and tries to find differences in the performance of the active funds relative to the passive funds. The performance measure used in this thesis is the Jensen s α. The purpose is to find statistical significant differences between the two groups risk adjusted returns. The preliminary part of the thesis presents the reasons, and motivation, for the research presented in the paper. The active mutual funds have higher cost associated to their investment activities relative to the passive funds. Therefor this thesis seeks to find evidence that the active funds are able to justify these higher costs. The analysis is conducted in the CAPM-model, with the single-index model developed by Michael C. Jensen as the main analytical tool. Furthermore an analysis for market timing is conducted on both the active and the mutual funds. There is a thorough introduction to the theory relevant for this thesis, and a discussion regarding the relevance of this included theory. Both the obvious reasons for the theory, but also different criticism regarding especially the CAPM-model are included. The analysis is conducted on the mutual funds NAV, with all their dividends presumed reinvested. At first all the mutual funds is held up against a common benchmark. There is a benchmark for each geographical region. Next the research for market timing is conducted. This part also uses the common benchmarks. Finally the passive funds are held up against their individual selected benchmarks. This thesis research differs a little from other research papers. This time period gives a higher share of funds with significant positive risk adjusted returns. The overall conclusion for the thesis is however, that the general fund isn t able to produce a significant risk adjusted return. This goes for both the negative and positive returns. The thesis concludes, based on the research conducted, that the active mutual funds isn t better at producing a significant positive risk adjusted return than the passive mutual funds. Therefore the active funds can t justify their higher operating cost paid by the consumer.

3 Indholdsfortegnelse 1 INDLEDNING PROBLEMSTILLING PROBLEMFORMULERING AFGRÆNSNING TEORI DEN EFFICIENTE MARKEDSHYPOTESE CAPITAL ASSET PRICING MODEL Joint Hypothesis Problem Moderne portefølje teori CAPM OG β CAPM KRITIK ENKELT-INDEKS MODELLEN MARKET TIMING DATA INVESTERINGSFORENINGER & BENCHMARK AFKAST BEREGNINGER FORUDSÆTNINGER FOR REGRESSIONER Forudsætninger data Forudsætninger fejlled Justerede fejlled SURVIVORSHIP BIAS ANALYSE OMKOSTNINGER VED INVESTERING I FORENING PERFORMANCEEVALUERING VED JENSEN S α EVALUERING AF MARKET TIMING EGENSKABER Sammenfatning PERFORMANCE EVALUERING AF PASSIVE FORENINGER ANALYSENS SAMLEDE RESULTATER AFSLUTNING KONKLUSION PERSPEKTIVERING BIBLIOGRAFI Bilag 1: Forudsætninger for regressionsmodeller Bilag 2: Forudsætninger for regressionsmodeller for market timing Bilag 3: Forudsætninger for regressionsmodeller med individuelle benchmarks

4 1 Indledning Når den almene forbruger vil investere sin formue, så står denne over for mange muligheder. Det er i dag muligt at investere sin formue i alt fra råvarer, aktier, obligationer til forskellige valutaer. Det er derfor en jungle for den almene forbruger at finde de rigtige produkter at investere i. Der er mange aspekter at tage hensyn til. Herunder kan der blandt andet nævnes det afkast der forventes af den enkelte investering. Samtidig er det også relevant for den enkelte investorer at definere hvor risikovillig denne er. Det er også nødvendigt for en investorer at sikre sig en veldiversificeret portefølje af investeringer, dette for at sprede risikoen. Der kræves en større arbejdsindsats hvis der skal sammensættes en acceptabel portefølje. Derfor har investeringsalternativer som investeringsforeninger vundet stort indpas i blandt andet Danmark. Der er her stor interesse for at investere i forening, og der er sket en stor vækst i den samlede formue, som er investeret i disse, de sidste 10 år. I 2003 var der 364 mia. kroner investeret og i 2013 var denne formue steget til mia. kroner (IFR.dk1). På det danske marked for investeringsforeninger er der en stor overvægt af foreninger med en aktiv investeringsstrategi. Der må derfor implicit ligge en forventning om, at man er i stand til at slå markedet ved aktivt at justere sin portefølje løbende. I de aktive foreninger er der omkostninger forbundet med denne løbende tilpasning af porteføljen. Det er derfor interessant for investorerne at undersøge, hvorvidt disse foreninger er i stand til at genere et risikojusteret afkast, der er højere end det markedet kan præstere. Samtidig er det også relevant, om dette højere afkast kan retfærdiggøre de ekstra omkostninger, der er forbundet med den aktive portefølje pleje. Det er derfor også relevant at vurdere, hvorvidt disse er i stand til at tilpasse sig de udsving, der kommer i markedet, og om de er i stand til at forudsige disse. Dette begreb kaldes også Market Timing Modsat disse foreninger findes der de passive foreninger. Disse arbejder ud fra teorien om den efficiente markedshypotese (EMH), der antager, at det ikke er muligt at slå markedet. Disse opererer derfor hovedsagligt med en køb og behold strategi. Det er derfor interessant at vurdere, hvorvidt de aktive er i stand til, med et signifikant niveau at slå markedet, og samtidig også betragte hvordan disse performer i forhold til de foreninger, der anvender en passiv strategi. 1

5 1.1 Problemstilling På det danske marked er der en stor overvægt af aktive foreninger. Der er i alt 448 aktive foreninger ud af 485 på det danske marked. Dette svarer til en andel på 92,37% (IFR.dk2 ). Der må derfor kunne konstateres en meget stor interesse i de aktive foreninger, siden de er overrepræsenteret på denne måde. Dette virker paradoksalt, når der ligger undersøgelser til grund for at kunne argumentere mod de aktive foreningers evne til at slå markedet (Christensen 2003a, Christensen 2012). Der kan dog lægges til grund for, at der ikke på samme måde er bevist, at de passive foreninger ikke har været i stand til at følge markedet. Omfanget for disse analyser er ikke ligeså stort. Det kan blandt andet være en årsag til den manglende interesse for de passive alternativer. 1.2 Problemformulering Ud fra ovenstående problem stilling kan der udledes følgende problemformulering. Formår aktive investeringsforeninger at præstere et overnormalt risikojusteret afkast? Er de passive investeringsforeninger i stand til at følge de udvalgte individuelle benchmarks, som de hver især har? Hvordan har de aktive, og de passive investeringsforeninger performet når disse sammenlignes med et fælles benchmark? 1.3 Afgrænsning Denne afhandlings fokus kommer til at ligge på aktiebaserede investeringsforeninger. De obligationsbaserede investeringsforeninger er helt valgt fra, og det samme er de investeringsforeninger, som er blandede af obligationer og aktier. Blandingsforeningerne er helt bevidst valgt fra, da komplikationerne ved at producere et anvendeligt benchmark var store. Ifølge Christensen (2012) var der ikke belæg for survivorship bias i hans undersøgelse. Da perioden, der arbejdes med i denne afhandling, ligger meget tæt på Christensen (2012), kan det tilnærmelsesvis antages, at survivorship bias heller ikke vil fremkomme i denne afhandling. Der vil derfor ikke blive foretaget test for Survivorship bias. Dette vil blot blive omtalt. 2

6 Afkastberegningerne for investeringsforeningerne er beregnet på baggrund af deres indre værdi, og der bliver ikke taget højde for de omkostninger, der er omfattet af at investere i forening. Dette er fravalgt, da dette vil komplicere de enkelte beregninger, og der fokuseres udelukkende på foreningernes performance. De omkostninger, der er forbundet med at investere i forening, afhænger også af horisonten for investeringen. Derudover vil det skattemæssige perspektiv af investeringerne ikke blive inddraget i denne afhandling. Det er blot det rene afkast, der er produceret af den enkelte forening, der vil blive fokuseret på. Derefter vil det være op til den enkelte investor, at skulle betragte sin egen situation, og ud fra denne selv identificere den optimale investering. 3

7 2 Teori I dette kapitel vil der blive gennemgået den teori, der er valgt som grundlag for udarbejdelsen af denne afhandlings performanceevaluering. Formålet er at redegøre for relevansen af den valgte teori, samt en diskussion af hvilke teorier, der kan have enkelte svagheder i forhold til den endelige konklusion. 2.1 Den efficiente markedshypotese Den efficiente markedshypotese har relevans for denne afhandling. Ikke fordi der prøves at finde evidens for denne igennem performanceevalueringen, men fordi de aktive foreningers eksistensgrundlag ikke ville være til stede, såfremt at denne hypotese fuldt ud var gældende. Fama (1970, 1991) italesætter denne efficiente markedshypotese. Han beskriver et efficient marked som værende den situation, hvor priserne altid fuldt ud reflekterer den information, der er tilgængelig. Denne hypotese udvider han efterfølgende. Han beskriver hvordan markedsefficiens kan indtage tre forskellige former - en svag form, en semi-stærk form samt en stærk form. Den svage form indebærer blot en estimering af aktivets pris bygget udelukkende på et historisk sæt af informationer (Fama 1970). Dette kan blandt andet være historiske priser eller handelsvolume. Jævnfør Christensen & Pedersen (2009) er det tvivlsomt, hvorvidt afkastene kan blive forudsagt på baggrund af historisk information. I den semi-stærke form af markedsefficiensen beskriver Fama (1970) det som værende nødvendigt for aktivet at afspejle al information, der bliver offentligt tilgængeligt. Der omtales her annonceringer, årlige indtjeninger eller opsplitninger af aktier. Fama (1991) justerer sin test af den semi-stærke form til at benævne disse event-studier. Her testes hvorvidt priserne på aktiverne tilpasser sig til ny tilgængelig offentlig information. Slutteligt findes den stærke form af den efficiente markedshypotese. I denne er der tale om, al information angående virksomheden er tilgængelig. Inside information, som normalt kun er kendt inden for en virksomheds mure, er også indeholdt i priserne under den stærke form. Der er her tale om en monopolistisk adgang til information (Fama 1970). 4

8 Der findes adskillige empiriske undersøgelser, der både be- samt afkræfter den efficiente markedshypotese. Dette gør sig gældende for både den svage samt den semi-stærke form. Der foreligger generel enighed om, at markedspriserne indeholder al historisk information. Det er derfor ikke muligt at opnå overnormale profitter ved at fastsætte priserne ud fra disse informationer. Derimod synes den stærke form ikke at kunne holde. Der vil være overnormale profitter at hente, hvis man har tilgængelig insider information. Man har derved information, der ikke er offentlig tilgængeligt samt indeholdt i prisen. Derved er markederne ikke efficiente i den stærke form (Christensen, Pedersen 2009). Ifølge Christen & Pedersen (2009) vil en eventuel overnormal profit kun være meget kortvarig, da de andre deltagere på markedet vil opdage denne mulighed og derved opkøbe det samme aktiv, indtil prisen stabiliserer sig igen, og den overnormale profit dermed bliver elimineret. Jensen (1978) omtaler den semi-stærke form for det accepterede paradigme i litteraturen. Han definerer også en lidt finere udgave af den efficiente markedshypotese. A market is efficient with respect to information set θ! if it is impossible to make economic profits by trading on the basis of information set θ!. (Jensen 1978) Her omtales den økonomiske profit som værende det risikojusterede afkast fratrukket alle omkostninger ved at have informations set θ!. Fama (1991) beskriver denne model med følgende: den marginale profit, der kan tjenes på at indhente ny information, må ikke overstiger den marginale omkostning ved at indhente denne information. Jævnfør Grossman & Stiglitz (1980) findes der en ligevægt i et marked, der ikke er efficient i, og med, at der er omkostninger forbundet ved at indhente information. Denne ligevægt findes ved, at de der er informerede kan tjene en overnormal profit. Denne profit er dog kun midlertidig, i og med at de øvrige investorer vil kunne se populariteten i et bestemt aktiv på dettes prisstigninger. Derved bliver den information til sidst indfattet i prisen på aktivet. På denne måde, så afspejler prisen på aktivet igen al tilgængelig information. Med denne betragtning in mente kan der argumenteres for, at priserne følger en random walk. Random walk hypotesen er en anden forudsætning for, at den efficiente markedshypotese kan gøres gældende. Dette gør sig gældende, da kurserne kun vil fluktuere tilfældigt, og dette kun vil ske når der opstår ny information (Christensen, Pedersen 2009). Christensen & Pedersen (2009) opstiller en regressionsmodel til beskrivelse af random walk hypotesen. 5

9 (2.1) p! = α + βp!!! + e! Kurserne foretager en random walk hvis α = 0 & β = 1. Dermed er e! et udtryk for de tilfældige ændringer, der forekommer i kursen. Derfor opfylder aktiekurserne den efficiente markedshypotese, og aktiernes afkast kan derfor beregnes på følgende måde: (2.2) p! p!!! = p! = e! På denne måde vil det fremtidige aktieafkast ikke kunne forudsiges på baggrund af historisk information, da kursen blot vil fluktuere med den tilfældige nye information, der opstår. Af de tidligere nævnte empiriske undersøgelser, benævnes her enkelte resultater. Fama & Blume (1966) tester markedsefficiensen i sin svage form ved at anvende filterregler i stedet for at teste for seriekorrelation i fejlledende. De finder det ikke muligt at opnå ekstraordinære afkast her. De har derfor ikke belæg for at afvise markedets efficiens. Modsat findes der studier der viser, at aktier med lave P/E ratios har tendens til at give et højere afkast end virksomheder med en høj P/E (Basu 1977). Basu (1977) konkluderer, at der derfor er enkelte uregelmæssigheder i forhold til markedets efficiens, og at informationen der bliver tilgængelig, har et lag i forhold til, hvornår den bliver optaget i aktiernes pris. Banz (1981) påviser i sit studie, at størrelsen på virksomheden har en påvirkning. Små virksomheder har i den 40 årige periode han undersøger, leveret højere afkast end store virksomheder. Der tales her om en såkaldt small-firm effekt. Overvejende er der bevis for markedernes efficiens, også i den semi-stærke form. Det er kun midlertidige ubalancer, der opstår på markederne, hvor der kan hentes overnormale profitter. Derfor er det relevant at overveje hvorvidt ens strategi på markedet skal være. Derfor bliver det interessant at undersøge hvorvidt de foreninger, der arbejder aktivt med at slå markedet er i stand til dette konsekvent. 2.2 Capital Asset Pricing Model Capital Asset Pricing Modellen (CAPM) er den mest udbredte og kendte model til prisfastsættelse. Den blev udviklet af Sharpe (1964), Lintner (1965) & Mossin (1966) med udgangspunkt i Sharpes artikel fra CAPM blev nærmere specificeret af Black (1972). 6

10 Her beskriver modellen en situation, hvor der ikke er ubegrænsede låne muligheder. CAPMmodellen er den der bliver refereret til som Sharpe-Lintner-Black modellen(ackert, Deaves 2010). Det er denne model, som performanceevalueringen vil have sin baggrund i. CAPMmodellen bygger på en række forudsætninger, som er listet her under: 1. Investorerne ønsker at maksimere deres afkast for en given risiko, eller de ønsker at minimere deres risiko for et givet afkast. 2. Investorerne arbejder alle med en investerings horisont på en periode, samt homogene forventninger til markedet. Derfor er der ens sandsynlighedsfordelinger, og alle er enige om risiko og forventede afkast for aktiverne. Investorer er derfor kun forskellige ved deres risikoaversion, samt den formue de har ved starten for periode et. 3. Der er fuldkommen konkurrence på markedet, og ingen enkelt person kan påvirke prisen på et aktiv. Prisen bestemmes af markedet som en helhed. 4. Potentielle aktiver er alle aktiver, hvor det er muligt at foretage handler med disse. Det er samtidig også muligt at handle aktiver helt ned til den mindste regneenhed i økonomien. 5. Investorerne kan altid frit placere hele eller dele af sin formue i et risikofrit aktiv, samt det er muligt låne til denne rente ubegrænset. Det er også muligt at gå kort uden begrænsninger i alle aktiver. 6. Der er ingen omkostninger ved at handle på markedet, derfor opstår der ingen spreads mellem køb og salg. Investorerne bliver heller ikke beskattet er deres investeringer. Ud fra disse forudsætninger udledes CAPM-modellen (Christensen, Pedersen 2009). Denne tager udgangspunkt i den såkaldte efficiente rand, som er beskrevet i den moderne portefølje teori af Harry M. Markowitz (1952, 1959). Denne vil blive beskrevet senere i afhandlingen Joint Hypothesis Problem En af forudsætningerne for at kunne måle afkastet ud fra en model som CAPM er, at den efficiente markedshypotese holder. I denne forbindelse opstår der et problem, som er kendt som joint hypothesis problem. Hvis der måles et overnormalt afkast på en aktie, så vil der som udgangspunkt kunne konkluderes, at den efficiente markedshypotese ikke holder. Dog kan denne godt være sand. Det er nemlig også en mulighed, at den anvendte model til måling af det risikojusterede afkast ikke holder. Derfor kan det nogle gange være svært at definere hvilken forudsætning, der er brudt. Det kan både være den efficiente markedshypotese, ligeså 7

11 vel som det kan være CAPM. Det er med baggrund i blandt andet Banz (1981) small-firm effect, at Fama & French (1993) udvikler deres three-factor model til at give en bedre beskrivelse af det risikojusterede afkast(ackert, Deaves 2010) Moderne portefølje teori Den moderne porteføljeteori, der blev udviklet af Harry M. Markowitz (1952, 1959), lægger grundstenen til teorien bag CAPM-modellen, samt den performanceevaluering, der vil blive foretaget i denne afhandling. Markowitz (1952) omtaler investorerne som individer, der går efter at maksimere deres forventede afkast. Dette er dog ikke ensbetydende med, at dette er en sikker investering, da et højt afkast også medfører en stor risiko i investeringen. Dermed opstår der stor variation i afkastene. Markowitz (Markowitz 1952) beskriver derfor nødvendigheden for den enkelte investorer som værende villig til at opgive noget af deres høje afkast til fordel for en større sikkerhed i afkastet. Den større sikkerhed i afkastet kommer af den mindre risiko, her er der tale om variationen i afkastene. Omvendt hvis den enkelte investorer vil have et højere afkast på sin investering, så er denne også nødt til at påtage sig en større risiko. Der opstår dermed et trade-off for den enkelte investorer om hvorvidt, denne er villig til at afgive sikkerhed, i form af mindre risiko for udsving i afkastet, for at få et større afkast på deres investering. Derfor bliver den enkelte investors risiko-aversion også afgørende for at vælge den optimale portefølje her. Der vælges dermed den portefølje, hvor kombinationen af aktiver, giver det højeste risikojusterede afkast. Dette kaldes for den efficiente rand. På denne rand ligger den kombination af aktiver, der giver det største afkast til en given risiko. Alle de øvrige kombinationer af aktiver har også en rand, men disse ligger ikke på den efficiente, og betegnes som inefficiente i og med den efficiente er de øvrige overlegen (Christensen, Pedersen 2009). 8

12 Figur 2.1 0,2 0,18 0,16 B 0,14 A 0,12 E(r) 0,1 M 0,08 0,06 R_f 0,04 MVP 0, kilde: egen tilvirkning σ(r) Figur 2.1 viser her den kombination af aktiver, der giver den efficiente markedsportefølje angivet af M. Den efficiente rand er indtegnet fra MVP og op til A gennem M. Linjestykket R_f-B angiver kapitalmarkedslinjen. Det er denne linje, der tangerer den efficiente rand i netop punktet M. Kapitalmarkedslinjen udtrykkes på følgende måde (Christensen, Pedersen 2009): (2.3) E r! = r! +!!!!!!!!! σ(r! ) E(r! ) angiver det forventede afkast for den efficiente portefølje k. Dette kan bestemmes ved hjælp af den risikofrie rente r! som en konstant, mens porteføljens risiko ganges med markedets risikopræmie over dets risiko. Denne ratio kaldes reward-to-variability og angiver samtidig hældningen på kapitalmarkedslinjen. 9

13 Sharpe (1966) anvender porteføljeteorien til at lave en performance evaluering af investeringsforeninger. Til denne evaluering beregner han en ratio, som sidenhen er blevet kendt som Sharpe s Ratio. Denne beregnes på følgende måde: (2.4) (E! p)/σ! E! angiver her det forventede afkast for aktiv i. P angiver renten på det risikofrie aktiv. σ! er standard afvigelsen for aktiv i. Her måles risikopræmie per risikoenhed, og den bedste performance måles derved hos den porteføjle, der antager den højeste værdi. Der gives her det største afkast per risiko enhed (Sharpe 1966). Sharpe s ratio angiver hældningen på den linje, der tangerer porteføljen. Sharpe s Ratio angiver dermed den enkelte porteføljes reward-tovariability ratio. Sharpe s ratio har været anvendt tidligere som det eneste mål for en porteføljes performance. Dette er dog en svær størrelse at begribe for den almindelige forbruger. Derfor er det relevant at studere nærmere, hvad der anvendes til performance evaluering. I den moderne portefølje teori anvendes der standard afvigelse, målt ved σ, som mål for et aktiv eller en porteføljes risiko. Et aktivs risiko kan opdeles i to kategorier, en systematisk, samt en usystematisk risiko. Den systematiske risiko angiver den generelle usikkerhed, der ligger i økonomien som f.eks. inflation eller økonomiske politiske tiltag. Den usystematiske risiko er aktiv specifik, og knytter sig mere til hvordan virksomheden udvikler sig. Kommer der nye produkter på markedet, og udvikler de et nyt banebrydende produkt f.eks. Den systematiske risiko er gældende for alle aktiver, der udbydes. Derfor bliver de alle påvirket af disse ændringer, som forekommer her. Den usystematiske risiko derimod er aktiv specifik som nævnt. Det er derfor muligt for den enkelte investorer at diversificere sin portefølje. Ved at foretage sådan en diversifikation, så mindsker han sin påvirkning over for hver enkelt aktivs usystematiske risiko(christensen, Pedersen 2009). Det kan også vises at den usystematiske risiko kan diversificeres næsten helt bort. Der anvendes her Christensen & Pedersens (2009) udgave af Markowitz (1959) formel, da denne er mere sigende i og med der ligger mange beregninger bag Markowitz udledning af denne. (2.5) σ! r! =!! σ! r! σ r!" + σ(r!" ) 10

14 Her angiver σ! r! porteføljens samlede varians. σ! r! angiver den gennemsnitlige varians for alle aktiver i porteføljen. σ r!" angiver den gennemsnitlige kovarians i porteføljen. M angiver det antal aktiver, der indeholdes i porteføljen. Den samlede varians for porteføljen p vil gå mod 0, hvis M går mod uendelig. Som Markowitz (1959) skriver, så er det udelukkende muligt at fjerne sin varians hvis der ingen kovarians er mellem alle de medtagne aktiver. Dette kan ses på det sidste led i ligningen - σ r!", der angiver at dette er den mindste værdi vores porteføljes varians kan antage, selvom M går mod uendelig. Ud fra Markowitz (1959) udledning kan vi hermed se, at jo flere aktiver vi indlemmer i vores portefølje, jo mere diversificerer vi os. På denne måde kan man næsten helt fjerne den usystematiske risiko således der kun er den systematiske risiko tilbage at forholde sig til i sin portefølje. Derfor argumenterer bl.a. Christensen (2003a) for at anvende Jensen s α (alpha). Denne måles nemlig ud fra CAPM ligningen, og denne tager kun højde for den systematiske risiko, der påtages af en investor målt ved β. Der er flere gode grunde for at denne måling er mere meningsfuld en blot at anvende Sharpe s ratio. Jævnfør Christensen (2003a) er dette i tråd med flere amerikanske undersøgelser, som netop også bliver foretaget på investerings foreninger. Hvis foreningerne betragtes i sig selv, så giver det også mere mening at anvende Jensen s α til denne måling. Dette skyldes de begrænsninger, der foreligger for hvordan foreningerne må placere deres investeringer. Af disse kan bl.a. nævnes; Jævnfør Lov om investeringsforeninger m.v. 147 så må der højest investeres 5% af den samlede formue i værdipapirer og pengemarkedsinstrumenter udstedt af samme emittent eller emittenter i samme koncern. Der er dog visse undtagelser til denne regel. Disse gør at der minimum skal investeres i 16 forskellige aktiver for foreningen. Med disse regler er der sikret en stor spredning, af de forskellige aktiver som foreningerne kan placere deres formue i. Derfor har de danske investeringsforeninger, ved lov, fået pålagt at diversificere sig. Ved diversifikation ved vi fra Markowitz (1959), at den usystematiske risiko udelukkende er lig med den gennemsnitlige kovarians for de aktiver, der er investeret i. Derfor er det kun relevant at vurdere det risikojusterede afkast, dette kun med henblik på den systematiske risiko. 11

15 2.3 CAPM og β CAPM-modellen måler udelukkende den systematiske risiko. Det er derfor at denne vil blive valgt til at udføre vores performanceevaluering i. Der evalueres som sagt på veldiversificerede foreninger, og derfor er det den rigtige model at anvende i det denne måler den systematiske risiko. Den klassiske CAPM relation opskrives af bl.a. Black (1972) på følgende måde: (2.6) E r! = r! + β! (E(r! ) r! ) Her angiver E r! det forventede afkast for aktiv i. r! angiver renten på det risikofrie aktiv. E(r! ) angiver markedsporteføljens forventede afkast. (E(r! ) r! ) er det udtryk, der angiver markedets risikopræmie. Vores β er her den faktor, der angiver den systematiske risiko for aktiv i. β måler følsomheden i E r! over for markedet E(r! ) (Black 1972). Det er denne linje, der bliver betegnet security market line (SML). β er også udledt matematisk: (2.7) β! = cov(r!, r! )/var(r! ) Det er også her kovariansen, der afgør hvor risikofyldt vores aktiv i er. I den moderne portefølje teori udviklet af Markowitz (1952, 1959) beviste han at det enkelte aktivs usystematiske risiko kunne diversificeres næsten helt væk. Det ville kun være den gennemsnitlige kovarians for porteføljen, der i sidste ende ville afgøre den samlede risiko for porteføljen. Som vist af Black(1972) så defineres β som forholdet mellem aktiv i s kovarians sammen med markedet over markedets varians. Ligning (2.6) er også den ligning, der kendes som security market linjen (SML) (se figur 2.2). Alle aktiver, både de efficiente samt de inefficiente vil ligge langs denne linje. Sharpe (1964) beskriver også β som den systematiske risiko, der ikke kan diversificeres bort. Denne afgør i hvor stor takt et aktiv svinger med påvirkninger i den generelle økonomi. Defensive aktiver har en lavere β, og derfor kræves der ikke så stort afkast fra disse investeringer. Dette da de ikke svinger så meget, og derfor er mere sikre. Den omvendte situation gør sig gældende for aktiver med højere β. Den generelle β for markedet kan beskrives ved E r! = E(r! ), i denne situation vil β! blive = 1. Derfor har markedet en β = 1. Der kan derfor konkluderes at aktiver der har en β < 1 er aktiver, der er mindre følsomme over for udsving i den 12

16 generelle økonomi, samtidig er aktiver med β > 1 mere følsomme over for udsving i økonomien. Figur 2.2 0,2 0,18 0,16 0,14 Security Market Line E(r) 0,12 0,1 R_m 0,08 0,06 R_f 0,04 0, ,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6 1,8 β_m β - systematisk risiko 2 kilde: egen tilvirkning 2.4 CAPM kritik Der er igennem tiden blevet udført adskillige test af CAPM modellen. Dette er gjort for at teste validiteten af modellen til prissætning af aktiver. Af disse kan bl.a. nævnes Fama & MacBeth (1973). Deres test påviste en lineær sammenhæng mellem et aktivs afkast og dettes risiko. Der er dog også rejst en del kritik mod CAPM modellen. Blandt disse kritikere kan blandt andet nævnes Richard Roll (1977). Han foretager ikke en specifik test, der falsificerer CAPM modellen. I stedet fremsætter han en række argumenter, der modsiger de test, der validerer CAPM modellen, bl.a. Fama & MacBeth (1973). En af de kraftigste kritikpunkter Roll (1977) fremsætter er omkring fastsættelsen af en markedsportefølje. For at kunne teste modellen fuldt ud er det nødvendigt at have den 13

17 fuldendte markedsportefølje at sammenligne med. Dermed er det en nødvendighed, at alle aktiver er indeholdt i denne portefølje for at kunne bruge den. Når denne er testet kan der konstateres om markedets portefølje er mean-variance efficient, og giver den lineære sammenhæng mellem afkast og risiko (Roll 1977). Roll (1977) sætter også spørgsmålstegn ved anvendelsen af en proxy for markedsporteføljen. Han omtaler to komplikationer ved anvendelsen af dette. Der er en risiko for, at den udvalgte proxy-portefølje for markedet viser sig at være mean-variance efficient mens den fulde og sande markedsportefølje måske ikke er. Dermed vil der kunne laves kombinationer af en proxy, der støtter teorien omkring linearitet. Samtidig kan den udvalgt proxy-portefølje vise sig ikke at være mean-variance efficient, Dette tilfælde vil dog ikke vise noget om den fulde og sande markedsportefølje. I forbindelse med valget af proxy for markedet er det også muligt at fejlvurdere et aktivs risiko. Roll (1977) argumenterer for at β som risikomål er relativt. Ved sammensættelse af to forskellige proxys for markedet kan to investorer ende op med to forskellige β-værdier, for det samme aktiv. Disse kan lægge sig både over og under 1. I sin kritik af bl.a. Fama & MacBeth (1973) stiller Roll (1977) spørgsmåls tegn ved de tre implikationer som bliver opstillet af Fama & MacBeth. Han mener disse er blot er et produkt af en portefølje, der er antaget mean-variance efficient. Med baggrund i bl.a. Roll s kritik af en proxy for markedet er det relevant at gøre sig visse overvejelser når der skal vælges et passende benchmark for de performanceevalueringer, der skal foretages senere. En signifikant β kan derfor ikke med garanti være udtryk for, at der er valgt den rigtige proxy for markedet, der undersøges på. Dog er der generel enighed omkring CAPM-modellens robusthed, og derfor vurderes denne at kunne anvendes på trods af den kritik som Roll udsætter denne for. 2.5 Enkelt-indeks modellen Enkelt-indeks modellen blev udviklet af William F. Sharpe (1963). Det er denne model der er udgangspunktet for vores performanceevaluering. Sharpe (1963) argumenterer for, at der kun er en faktor, der påvirker vores afkast, og har betydning for vores risiko. Han benævner, at denne faktor kan være alt fra et markedsindeks som BNP til et indeks over hele aktiemarkedet. Han kalder denne model, for the diagonal model. 14

18 Denne model tager Michael C. Jensen og anvender i hans performance evaluering af amerikanske investeringsforeninger(jensen, Treynor 1968). Jensen(1968) tager udgangspunkt i SML, som er givet ved ligning (2.6). Denne omskriver Jensen (1968) til mere generelle termer, således at denne også kan bruges over tid. Dette gøres ved at tilføje et t, der angiver en given tidsperiode. Derfor kommer SML til at se således ud: (2.8) E r!" = r!" + β! (E(r!" ) r!" ) På denne måde kan afkastet for aktiv i fastsættes for enhver given tidsperiode. Hvis der er en lineær sammenhæng mellem aktivets afkast, dets systematiske risiko, den risikofrie rente samt de tilfældige afvigelser et aktiv har. De tilfældige afvigelser er givet ved ε!". Det er de samme tilfældige afvigelser, som er givet ved random walk hypotesen for en aktie. Dermed opstiller Jensen (1968) følgende model til, under antagelsen at CAPM er valid, at kunne forudsige et hvert aktivs realiserede afkast: (2.9) E r!" r!" = β! E r!" r!! + ε!" Her er leddet r! fratrukket på begge sider, på den måde måler funktion i stedet risikopræmien på aktiv i, det er ikke blot det forventede afkast der måles her. Der måles her den ekstra risiko investoren påtager sig afhængigt af hvor meget aktivet er påvirket af den systematiske risiko. Jensen (1968) argumenterer her med, at når denne regression foretages, så vil konstanten altid blive signifikant. Der er dog den mangel i modellen, at denne ikke er i stand til at måle hvis en portefølje manager er i stand til at vælge de aktiver, der realiserer ε!" > 0. Disse vil have et højere afkast givet deres grad af risiko. Derfor foreslår Jensen (1968) at inkorporere en konstant i ligning. Det er denne konstant, der skal kunne måle hvorledes en porteføljemanager er i stand til at præstere et overnormalt risikojusteret afkast. For at resultat af denne regression kan konkluderes som en overlegen performance, hvor porteføljemanageren er i stand til at vælge aktiver, der generer ε!" > 0. Denne konstant være signifikant positiv i undersøgelsen. Der kan dog også forekomme den situation at konstanten indtager negative værdier. Det er dog vigtigt at denne konstant er signifikant forskellig fra 0. Ligningen med denne konstant opskriver Jensen (1968) på følgende måde: (2.10) E r!" r!" = α + β! E r!" r!" + u!" 15

19 Der er her antaget et nyt fejlled u!", dette skal have en forventet værdi = 0, samt der ikke må forekomme seriekorrelation imellem disse over tid. Den vigtigste tilføjelse til denne model er dog konstanten. Der er her tilføjet den konstant, der skal måle den enkelte porteføljes ekstra performance i form af α. Det er denne der måler hvordan porteføljen har klaret sig i forhold til markedet og dets givne risiko. Hvis denne konstant er signifikant forskellig fra 0. Denne konstant er den, der er blevet kendt som Jensen s α. Figur 2.3 illustrere et eksempel på Jensen s α. Figur 2.3 0,2 0,18 0,16 0,14 Security Market Line E(r) 0,12 0,1 R_m i 0,08 0,06 R_f 0,04 0, ,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6 1,8 β_m β - systematisk risiko 2 Kilde: egen tilvirkning Jensen s α er her den lodrette afstand fra SML og op til punktet i, angivet ved den lille stiplede linje. Det er denne metode til at måle performance der vil blive anvendt i denne afhandling. Først fordi at det er et nemmere begreb at forstå for den enkelte læser. Et procentvis merafkast er lettere at begribe, end en hældning på en tangentlinje givet ved Sharpe s ratio. Det er også nemmere at estimere hvorvidt den performance porteføljen 16

20 foretager er signifikant anderledes end 0 ved anvendelse af Jensen s α. Da der tidligere er argumenteret for de minimumskrav, der foreligger for investeringsforeninger i Danmark. Så vides det, at disse er veldiversificerede, og det er derfor mest relevant at vurdere disse i CAPM-modellen. CAPM anvender udelukkende den systematiske risiko, fordi det antages, at den usystematiske risiko kan diversificeres bort. Sharpe s ratio måler på porteføljens samlede risiko, og derfor er denne ikke relevant i denne sammenhæng. 2.6 Market Timing Hidtil er der kun blevet fokuseret på den enkelte porteføljes systematiske risiko, der angiver hvor meget denne varierer i forhold til markedets risikopræmie. Dette var angivet ved konstanten β. Her måles den enkelte porteføljemanagers evne til at vælge de aktiver, der performer bedre end givet ud fra deres β. Dette kaldes for selektionsegenskaber (Fama 1972), eller blandt andre for micro-forecasting (Merton 1981). Metoden til at måle og beskrive den enkelte porteføljes performance tager udgangspunkt i CAPM teorien og bliver målt ved Jensen s α som beskrevet foroven i afsnit 2.3 (Christensen 2003b). Det er dog ikke kun enkelte aktier, der i perioder performer godt. Markedet har også perioder med opsving, samt nedture. Det er derfor foreslået af forskellige forfattere (Treynor, Mazuy 1966, Fama 1972, Merton 1981), at det også er relevant at teste hvorvidt de enkelte portefølje managers er i stand til at tilpasse sig til dette. Treynor & Mazuy (1966) omtaler det som den enkelte porteføljemanagers evne til at forudsige de store skift, der forekommer i markedet generelt. Dette bliver beskrevet som market timing (Fama 1972) samt macro-forecating (Merton 1981). Årsagen til at undersøge dette begrundes i, at porteføljemanageren har interesse i, at gøre sin portefølje mere påvirkelig overfor markedets generelle bevægelser i en højkonjunktur. Dette ved at øge sin β. Omvendt har denne interesse i at undgå for stor påvirkning af de generelle makroøkonomiske ændringer i markedet i en lavkonjunktur, her ved at mindske sin β. Det kan derfor ikke forventes at en porteføljes β er stationær over tid, men at denne i stedet vil variere med markedets volatilitet (Treynor, Mazuy 1966). Treynor & Mazuy (1966) arbejder ud fra den karakteristiske linje, som er den, der fremkommer når porteføljens afkast sættes overfor markedets afkast. Her vil punkter tæt på, eller på linjen, symbolisere en veldiversificeret portefølje. Hældningen på linjen vil svare til den enkelte porteføljes β. En ret linje vil derfor svare til, at porteføljen har en konstant risikoprofil overfor markedet som beskrevet tidligere, mens en portefølje som har en positiv 17

21 market timing vil have en konveks kurve. Dette er illustreret i figur 2.4, hvor A angiver situationen med en konstant β, mens B illustrerer en situation med market timing. Figur 2.4 A: B: 0,4 0,35 R_p 0,4 R_p 0,35 0,3 0,3 0,25 0,25 0,2 0,2 0,15 0,15 0,1 0,1 0,05 0,05-0,1 0,1 0,2 0,3-0,05 R_m -0,1 0,1 0,2 0,3-0,05 R_m -0,1-0,1-0,15-0,15 Kilde: Egen tilvirkning efter Treynor & Mazuy (1966) I denne afhandling vil der blive foretaget to forskellige analyse metoder for market timing. Den første er udviklet af Treynor & Mazuy (1966), den metode anden er udviklet af Merton samt Henriksson & Merton (1981, 1981). Den første udviklet af Treynor & Mazuy (1966) foreslår β som værende varierende over tid. Dette gøres ved at opstille følgende betingelse for β: (2.11) β!" = a! + b! (r!" r!" ) hvor b! > 0 Vi har dermed en værdi for β der varierer over tid. Denne indsættes i den traditionelle formel for SML, svarende til ligning (2.10). Dette giver os derfor: (2.12) r!" r!" = α! + a! r!" r!" + b! r!" r!"! + e!" Der er her blevet tilføjet et kvadratisk led af markedets risikopræmie til den kendte regressionsmodel udviklet af Jensen (1968). Porteføljens performance, også kaldet selektion, måles stadigvæk på samme måde som ved Jensen s α. Porteføljens market timing måles her 18

22 ved om det nye kvadratiske led b! r!" r!"! er signifikant positivt. Dvs. at forudsætningen i ligning (2.11), som var b! > 0, er opfyldt (Christensen 2003b). Den anden model for test på market timing, der vil blive brugt i denne afhandling, er den udviklet af Merton samt Henriksson & Merton (1981, 1981). Deres model bygger på en forudsætning af, at porteføljemanageren ud fra de signaler markedet giver, vælger en høj eller en lav β (Christensen 2003b). Ud fra dette bygger de deres egen udvidelse af den klassiske model for SML, ligesom Treynor & Mazuy (1966) også gjorde: (2.13) r!" r!" = α! + β! r!" r!" + γ! MAX r!" r!" ; 0 + e!" Det ekstra led, der er blevet tilføjet her af Henriksson & Merton (1981) bliver beskrevet som en nul-cost put option, der her bliver tegnet med markedsporteføljen som det underliggende aktiv (Christensen 2003b). Ligesom ved den første test for market timing af Treynor & Mazuy (1966), så angiver α! igen selektionsegenskaberne ved porteføljen mens det nye estimat γ! måler market timing egenskaberne ved porteføljen. Ligesom ved Treynor & Mazuy s (1966) model, så kræver det også et signifikant positivt γ! estimat, for at kunne konstatere at porteføljen indeholder market timing. 19

23 3 Data I dette afsnit vil det valgte data materiale for afhandlingen blive præsenteret. Der vil komme en begrundelse af hvilke kriterier, der ligger til grund for valgene, samt hvad der er blevet valgt. Der vil også i dette afsnit, blive redegjort for hvordan beregningerne på data er foretaget. Samt en beskrivelse af de forudsætninger, der foreligger for regressionsmodellerne i analysen. 3.1 Investeringsforeninger & Benchmark I denne afhandling er der valgt 57 aktiebaserede investeringsforeninger fordelt over 6 grupper. Tidsperioden disse strækker sig over går fra Der er valgt at medtage foreninger, der både har en aktiv samt en passiv investerings strategi. Data på investeringsforeningerne er leveret af Investeringsforeningsrådet (IFR), derfor vurderes data at være valide. Dette sammenholdt med at IFR også har leveret data til lignende undersøgelser tidligere (Christensen 2003b, Christensen 2012). Datasættet fra IFR indeholder alle aktiebaserede investeringsforeninger, der var aktive fra 1/ Der er derfor fravalgt alle foreninger, som ikke har været aktive under hele perioden. Datasættet indeholder indre værdier (Net Asset Value [NAV]), sammen med udbyttebetalinger og reinvesteringer. Der er tale om månedlige observationer. NAV for 1. Måned 2003 er opgjort ultimo måneden. Der er derfor sammenlagt 132 observationer af NAV, hvilket giver 131 beregnede afkast at foretage performance evalueringen på. De 6 grupper der er valgt at fokusere på i denne afhandling begrænser sig til, USA, Latinamerika, Europa, Fjernøsten ex. Japan, Danmark, samt Globale aktier. Der dækkes her de mest gængse finansielle markeder. Da disse grupper også anvendes i adskillige andre analyser af bl.a. Christensen (2003a, 2003b, 2012), kan resultaterne også perspektiveres til disse. Der er valgt individuelle benchmark til hver enkelt gruppe af investeringsforeninger. Dette er gjort for at afspejle det marked, der er valgt at fokusere på fra den enkelte forenings side. Derfor vil det også give et bedre estimat på den enkelte forenings performance. Dette er ekstra vigtigt når der arbejdes med en enkeltindeksmodel som den foreslået af Jensen (1968). De enkelte benchmarks er hentet ned via Datastream. Der er valgt at hente den serie, som hedder Total Return Index. Denne serie medtager alle udbetalte dividender, og forudsætter disse 20

24 reinvesterede. Nøjagtig som afkastene for foreningerne er blevet beregnet. Dette sikrer det bedst mulige sammenligningsgrundlag for regressionsmodellerne. Benchmark for det danske marked er hentet via NASDAQ s officielle hjemme side. Her er der hentet indekset for OMX Copenhagen Cap GI. Dette indeks indeholder også dividende korrigerede afkast. Der er valgt at hente indeks fra Morgan Stanley Capital Index (MSCI). Dette da disse vurderes værende troværdige samtidig med at disse også anvendes til tidligere undersøgelser (Christensen 2003a, Christensen 2003b, Christensen 2012). De forskellige benchmarks med dertilhørende gruppe er oplistet herunder i tabel 3.1 Tabel 3.1 Investeringsområde Global Europa USA Latinamerika Fjernøsten ex. Japan Danmark Kilde: Egen tilvirkning Benchmark MSCI AC World MSCI Europe MSCI USA MSCI EM Latin America MSCI AC Far East ex Japan OMX Copenhagen Cap 3.2 Afkast beregninger Afkast beregninger for investeringsforeninger er foretaget på baggrund af en performancerække. Denne er beregnet ud fra foreningernes NAV, samt deres udbetalte udbytte hvilket forudsættes reinvesteret, hvis disse har fundet sted. Performancerækken for en måned uden udbyttebetalinger beregnes på følgende måned: (3.1) P! =!!!!!! P!!! P! angiver her den aktuelle måneds performancerække, P!!! angiver forrige måneds performancerække. I! samt I!!! angiver den indre værdi for den aktuelle samt den forrige måned. 21

25 I tilfælde af, at der har været udbytte betalinger i den pågældende måned, så ser beregningen en lille smule anderledes ud: (3.2) P! =!!!!!!!!! P!!!!!!! Her angiver U! udbyttebetalingen i den på gældende måned, imens at R! angiver den reinvesterede værdi den pågældende måned. De øvrige konstanter antager samme værdier som i ligning (3.1). De valgte benchmarks er som bekendt hentet ned fra Datastream som et Total Return Index. Her er udbyttebetalinger og reinvesteringer beregnet i indekset. Der kan derfor beregnes afkast direkte fra disse værdier. Værdierne er hentet ned angivet i danske kroner. På den måde er de direkte sammenlignelige med foreningernes afkast. Når de månedlige afkast skal beregnes, gøres dette ved at beregne logaritmiske afkast. Dette gør afkastene mere normalfordelte, samtidig med at disse også bliver additive. Beregningen er på følgende måde: (3.3) A! = LN(!!!!!! ) A! angiver det månedlige afkast i procent, P! samt P!!! antager samme værdier som i (3.1) og (3.2). Jævnfør den moderne porteføljeteori samt forudsætningerne for CAPM, så er det en forudsætning at kunne låne ubegrænset til en risikofri rente. Det er den forudsætning der er benævnt som nummer 5 i afsnit 2.2. Der skal her anvendes en proxy for den risikofri rente. Da der er forskellige alternativer til denne, i og med der ikke findes en entydig risikofri rente. Til denne afhandling er der valgt CIBOR 1 måneds rente. Dette er den gennemsnitlige interbankrente, der anvendes mellem de danske pengeinstitutter, uden at der skal stilles nogen sikkerhed for lånet. Denne anvendes da dette er i tråd med tidligere undersøgelser indenfor samme område jf. Christensen (2012). 22

26 Data for CIBOR 1 måned er rekvireret via Nationalbankens statistikbank. Disse er også hentet på månedsbasis, men rentesatsen er i stedet opgjort pro anno. Derfor har det været nødvendigt at omregne denne til månedsbasis for at kunne anvendes i analysen. Denne beregning er foregået på følgende måde: (3.4) R! = 1 + CIBOR!!" Forudsætninger for regressioner Performanceevalueringen tager udgangspunkt i den indeksmodel, som er udviklet af Jensen (1968). Denne model er en lineær regressions model. Når der foretages sådanne lineære regressioner så er der en række forudsætninger, der skal tages hensyn til. Disse forudsætninger er med til at sikre, at den model, der i sidste ende beskriver den enkelte forenings performance er retvisende. Således er vi stand til med en hvis sikkerhed at udtale os om hvorvidt foreningerne har performet. Til opbygning af forudsætningerne for modellerne, der udarbejdes i denne afhandling tages der udgangspunkt i Jeffrey M. Wooldridge (2009). Alle test vil blive foretage med en α på 5%. Alle forudsætninger for data kan læses i bilag 1 samt bilag Forudsætninger data Når der arbejdes med finansielle tidsserier, som der gøres i denne afhandling. Så er det vigtig at få konkluderet hvorvidt vores afkast er stationære. Dette er nødvendigt, da sandsynlighedsfordelingen for vores afkast, skal være ens over tid(wooldridge 2009). Når der undersøges for stationære afkast, så laves der en hypotese test for unit root. Den test, der anvendes i denne afhandling er Augmented Dickey Fuller. Her hedder vores nulhypotese, at vores tidsserie besidder en unit root. H! : Tidsserien besidder en unit root Hvis vi kan afvise vores nul-hypotese i dette tilfælde, så er vores afkast stationære over tid, og kan bruges til vores analyse. Der er i vores undersøgelse en kritisk grænse på -2,884. Ingen af vores afkast serier, hverken investeringsforeningerne eller vores benchmark, der besidder en unit root. Vi kan derfor gå videre med vores undersøgelser. 23

27 For at skulle kunne stole på vores t-statistikker, så er det også en forudsætning at vores afkast er normalt fordelte, med en kurtositet på 3 samt en skævhed på 0. Der foretages her en Jarque- Bera test. Denne vurderes i en Chi! -fordeling med 2 frihedsgrader. Dette giver en kritisk grænse på 5,99. Vores hypotese, der testes her hedder derfor: H! : Vores afkastserier er normal fordelte Af vores afkast er det kun 8%, der ikke er signifikant. Derfor skal vores t-statistikker fortolkes med varsomhed i den endelige performance evaluering Forudsætninger fejlled For selve regressionsligningen er der også en række forudsætninger, der skal være opfyldt for, at vi kan bruge vores resultater, samtidig med at de er til at stole på. Den første forudsætning, der vil blive testet for, svarer til den samme test, der blev foretaget for afkastserierne. Vores fejlled skal følge en normalfordeling med μ = 0 samt varians =σ!. Dermed stilles der også samme krav til kurtositet samt skævhed som for vores afkastserier. Der vil igen anvendes en Jarque-Bera test, der vil blive vurderet i en Chi! -fordeling med 2 frihedsgrader. Vores kritiske grænse hedder også her 5,99. Da denne test er identisk med testen for vores afkastserier, så hedder denne hypotese næsten det samme: H! : Vores fejlled er normal fordelte Der er her kun ca. 46% af vores fejlled, der opfylder kravene til normalitets betingelserne. Dette giver en usikkerhed omkring vores resultater, som der skal tages højde for. Wooldridge (2009) nævner også to yderligere betingelser for vores fejlled. Den ene er en test for seriekorrelation i mellem vores fejlled. Der er en generel tendens til, at fejlled i tidsserier korrelerer med hinanden. Hvis dette er en realitet, så er der usikkerhed omkring vores regression. Til at teste for dette anvendes en Breush-Godfrey test. Der vil i denne test blive anvendt 12 lags. Antallet af anvendte lags skyldes vores data. Der arbejdes her med månedsdata. Derfor vil der blive taget højde for de seneste 12 måneders fejlled, hvilket svarer til et år. Denne test vil også blive anvendt i en Chi! -fordeling. Der vil her være 12 frihedsgrader. Dette giver en kritisk grænse på 21,03. Vores nulhypotese hedder her: H! : Corr u!, u! = 0, for alle t s Der er her omkring 84% af vores regressioner, hvor vores fejlled ikke korrelerer med hinanden ved 12 lags. Da der er nogle, der ikke opfylder kravene skal der også her tages hensyn til dette. 24