Vejleder: Michael Christensen. Antal tegn inkl. figurer og tabeller: Porteføljeteori

Transkript

1 HA alm. 6. Semester Bachelor afhandling Opgaveskriver: Claes Schouv Kjeldsen Vejleder: Michael Christensen Antal tegn inkl. figurer og tabeller: Porteføljeteori Aarhus universitet Business and Social Science Institut for økonomi Maj 2014

2 Abstract The developer of portfolio theory is Harry Markowitz. He published his theory in 1952 and it is still being used for analysing portfolios. His theory will be used in the thesis for setting up portfolios with different risk aversions. This thesis will consist of four parts. First a theoretical part which will describe the use of Markowitz s theory. The description of the theory is to show foundation of the empirical part. Second a part is a descriptive part which will describe the data that will be used in this thesis. The third part will be an empirical part in which the theory will be put to use. In the last part the results will be analysed. It is important to test if the data material for normal distribution, it is a condition that needs to be fulfilled, because the theory is based on condition that the data has to be normal distributed. This will be tested in Eviews and the data will be tested for skewness, kurtosis and Jarque- Bera, where Jarque- Bera is based on skewness and kurtosis. The data material is given for a monthly basis for ten years, which is a total for 120 observations and this data will be tested for normal distribution. When the test for normal distribution is done, then there will be an empirical analysis of the data. The asset, which consists of stock- and bondindexs, will be set together for an optimal portfolio. This will be done for both portfolios with and without reinvestments during the ten year period. Lastly will the results of the optimal portfolio will be performance evaluated against a benchmark. This will be done with a linear regression called Jensen s alpha. In the theoretical part it s showed, that in order to calculate the expected return and risk the expectations need to be quantified, before it is possible to calculate these values. It is also shown that in order to minimize risk the investor has to diversify the portfolio. There are two forms of risk, which is systematic risk and

3 unsystematic risk. It is not possible to get rid of the systematic risk because it is a risk there is in the market. Therefore it is a risk that will affect all the assets. Unsystematic risk is the risk connected by holding one asset. Therefore it is possible to reduce by spreading out the assets in the portfolio, thereby getting a more broad mix of assets in the portfolio. In the descriptive part it is shown that stocks are more volatile than bonds. This is visually showed and further calculated in the next part of the thesis. This part also contains the results of the test for normal distribution, which shows that there is at problem with this, because only a third of the total index s have a normal distribution. Therefore the validly of further results can be questioned. In the next part of this thesis it is shown that it is possible to enhance the return when reinvesting contrary to not reinvesting. When reinvesting it is possible to adjust the portfolio continuously throughout the ten year period, which makes the investor more agile toward factors that affects the international economy. Since it is not the same asset that has a high return every year it is possible to pursue a higher return with reinvesting. Furthermore it is possible to sell out of assets that are too risky. The Jensen s alpha showed that generally with a higher risk aversion the performance of the portfolio the better did the portfolio perform compared to the benchmark. This is not a certain conclusion because the result showed insignificant values. The final conclusion of the thesis is that there is no specific build- up of portfolio that is the best investment. It depends on the level of risk the investor is willing to take. It also depends on the goal of the investor s investment.

4 Indholdsfortegnelse 1. Indledning Problemformulering Afgrænsning Metodevalg Teori Forventede værdi og standardafvigelse Den efficiente rand Bestemmelse af den efficiente rand uden kortsalg Diversifikation Systematisk risiko Usystematisk risiko Kovarians og korrelation Home bias Performanceevaluering Normalfordeling Skewness Kurtosis Jarque- Bera Delkonklusion Beskrivelse af data Udvælgelse af data Udvikling i 10 års periode Test for normalfordeling Praktisk udregning af afkast, risiko og korrelation for indeksene Afkast og risiko Korrelation Portefølje uden kortsalg Delkonklusion Konstruktion af portefølje Portefølje uden geninvestering Portefølje med geninvestering Delkonklusion... 38

5 5. Performanceevaluering Kritik af Jensens alfa Resultat af Jensens alfa Kritik af Jensens alfa resultat Delkonklusion Konklusion Perspektivering Litteraturliste Bilag Bilag 1: Test for normalfordeling Bilag 2: Korrelationsmatrice Bilag 3: Portefølje med geninvestering Bilag 4: Jensens alfa... 80

6 1. Indledning Formålet med porteføljeteori er, at finde det størst mulige afkast ud fra en given risiko eller at finde givet afkast med mindst mulig risiko. Grundlæggeren for porteføljeteori er Harry M. Markowitz, som modtog en nobelpris i økonomi 1990 for sit banebrydende arbejde. Når der investeres er det vigtig, at der ikke kun ses på, hvor højt et afkast investor kan generere, men også hvor stor risiko der er forbundet med, at holde det/de bestemte aktiver, da der ofte ved et højt afkast vil være forbundet en høj risiko. Derfor er det ikke kun målsætningen, at maksimere sit afkast. En metode hvorpå en investor kan forsøge at minimere risikoen er, at sprede sine aktiver ved at diversificere. Dette kan gøres ved, at handle med aktier fra forskellige lande og brancher. En anden måde at gøre dette på er at investere i indeks, hvilket betyder at der ikke kun investerer i få virksomheder, men i flere børsnoterede virksomheder indenfor det givne land. Derved spreder investor sin risiko mere ud. Derudover er det også en mulighed at investere i obligationer. Denne mulighed vil blive udnyttet i denne afhandling, hvor der vil blive sammensat porteføljer med forskellige risikoprofiler af både aktie- og obligationsindeks. Afkast og risiko bliver udregnet på historiske data. Derfor fortæller udregningerne ikke noget om fremtiden, men de viser, hvordan den optimale portefølje skulle have været sammensat. Den optimale portefølje er den portefølje, der har det højest mulige afkast ud fra en given risiko. Da udregningerne er baseret på historiske data er der ikke nogen sikkerhed for, at den udregnede sammensætning af aktiver vil genere det sammen afkast til den samme risiko i fremtiden. Da der ikke er nogen sikkerhed for, at historien vil gentage sig. Derfor kan denne metode benyttes til, at se hvordan den optimale sammensætning af indeks har været i løbet af den 10 års periode. Ud fra dette kan der forsøges at estimere, hvordan fremtiden vil se ud. 1

7 1.1 Problemformulering Formålet med denne afhandling er at analysere, hvilke indeks investor skal investere i for, at opnå højest muligt afkast ud fra en given risiko. Dette bliver gjort ved, at opstille en portefølje af forskellige indeks. Dette skal sammensættes af aktie- og obligationsindeks. Der vil det også fremgå, hvor det største afkast er at hente. Om det giver et større afkast at handle med obligationer frem for aktier. Afhandlingen vil bestå af fire dele som er teoretisk del, beskrivende del, en empirisk del og sidste en analyse del, hvor resultaterne vil blive analyseret. Til slut vil der være en konklusion på afhandlingen. Det første der vil blive gennemgået er en teoretisk del, hvor der vil blive set nærmere på, hvordan afkast, risiko og korrelation mellem indeksene beregnes. Derudover vil diversifikation herunder systematisk og usystematisk risiko blive behandlet. Home bias som også påvirker diversifikation vil der også blive redegjort for. Efter dette vil der være en teoretisk gennemgang af performanceevalueringen. Da det er en betingelse at datamaterialet er normalfordelt før teorien kan anvendes, vil teorien bag test for normalfordeling også blive gennemgået. Efter den teoretiske del er gennemgået vil datamaterialet blive beskrevet og der vil være en gennemgang af udregning af afkast, risiko og korrelation. Før den empiriske del af afhandlingen vil indeksene blive testet for, om de er normalt fordelt. Dernæst vil der være udregning af porteføljernes afkast og risiko. Herefter vil den tidligere udredte teori blive benyttet til at opstille porteføljerne. Der vil først blive benyttet en passiv investeringsstrategi, hvor der ikke vil blive geninvesteret, hvorefter denne vil blive sammenlignet med en aktiv investeringsstrategi, hvor der vil blive geninvesteret. Efter at data materialet er blevet behandlet vil der blive analyseret om, hvor der skal investere ud fra en given risikoprofil. Herefter vil de opstillede porteføljer vil blive performanceevalueret. Dette vil blive gjort ved brug af Jensens alfa, hvor 2

8 der vil blive opstillet en simpel regression til udregning af dette. Derefter vil der blive konkluderet på afhandlingen. 1.2 Afgrænsning Datamaterialet strækker sig fra primo 2004 til ultimo 2013 fra internationale indeks. Denne periode er valgt, da dette er det nyeste data, som er opgjort for hele år. Derfor er ikke muligt, at lave en opgave på nyere data der strækker sig over et helt år. Det benyttede datamateriale er opgivet på månedsbasis for 10 år. Dette giver 120 observationer. Der er valgt månedsbasis, da det forventes at dette vil give et retvisende billede af, hvordan tendenserne har været i de forskellige indeks. Der vil ikke blive taget højde for transaktionsomkostninger, valutarisiko eller skattemæssige forhold. Derudover vil der ikke komme bud på, hvor mange penge der skal investere, da dette ligger udenfor interesseområdet og har derved ikke relevans for opgaven. Derfor vil der blive opstillet en vægtning af investeringerne, da det giver et billede af, hvordan fordelingen af aktiver skulle sættes sammen for den 10 års periode. Derudover vil der ikke blive taget højde for kortsalg, dette også ligger udenfor afhandlings interesseområde. Der er i alt 68 indeks, hvor 51 af dem er aktie indeks og de resterende 17 er obligationsindeks. Dette er al den tilgængelige data, som er opgivet på en månedlig basis i den fastlagte ti års periode. For at sikre ensartede data er de hentet med programmet Datastream. Alle de benyttede indeks er Total return indeks, hvilket betyder at dividende er medregnet. Datamaterialet som bliver brugt i afhandlingen er opgjort af Morgan Stanley Capital International (MSCI 2014) og JP Morgen (JPM 2014), hvor MSCI er aktieindeks og JPM er obligationsindeks. 1.3 Metodevalg Sammensætning af optimale portefølje bliver gjort med Harry Markowitz teori om porteføljeteori som grundlag. 3

9 Når datamaterialet skal testes for normalfordeling vil der bliver benyttet Eviews. Eviews kan foretage test for skewness, kurtosis og Jarque- bera. Dette er et meget velegnet program til bestemmelse af om datamaterialet er normalfordelt. Beregninger af afkast og risiko vil blive foretaget i Excel, hvor sammensætning af de optimale porteføljer vil blive gjort med en solverfunktion i Excel. Solverfunktion opstiller en model der kan enten minimere eller maksimere en værdi under givne betingelser. Dette bliver gjort i afhandlingen ved at maksimere afkastet under en given risikoprofil. For at performance evaluere vil der blive benyttet en regression, som vil blive beregnet med et tilføjelsesprogram i Excel (StatPuls). StatPlus udregner regressionen ved, at tilføje de relevante værdier i programmet, hvorefter den giver et bredt output. 4

10 2. Teori I dette afsnit vil teorien, der ligger til grund for porteføljeteori blive gennemgået. Først vil teorien bag forventede afkast og risiko blive forklaret. Diversifikation herunder systematisk og usystematisk risiko har også relevans for opbygning af en god portefølje, hvorefter kovarians og korrelation vil blive gennemgået. Når diversifikation bliver gennemgået er home bias også relevant. Dernæst vil den efficiente rand blive uddybet. Sidst i den teoretiske del af afhandlingen vil performanceevaluering blive gennemgået. 2.1 Forventede værdi og standardafvigelse Forventede værdi skal benyttes til at give en investor en ide, hvad han kan forvente af en eventuel investering. Dette gøres ved at kvantificere forventningerne og derved komme frem til en matematisk forventning, som skal benyttes til at finde den efficiente rand. Den forventede værdi udregnes på følgende måde (Christensen 2014a) : N ( ) = q t r it E r i t=1 2.1 Hvor qt angiver sandsynligheden for observation t, rit angiver aktie afkastet for observation t og N angiver antal observationer. Formel 2.1 udregner det forventede afkast, men den viser ikke, hvor stor risikoen er ved dette aktiv og hvor store afvigelse fra gennemsnitlige afkast kan være. Der er risiko ved alle aktiver, derfor skal dette også kvantificeres. Risikoen fortæller, hvor store udsving der er i afkastet. Derfor er det relevant at udregne risikoen, fordi det viser, hvor stor usikkerhed er der ved det bestemte aktiv. Risikoen kan kvantificeres ved standardafvigelse på afkastet (Christensen 2014a): N ( ) = q t r it E ( r i ) σ r i t=1 ( )

11 Disse udregninger benyttes til at give en forventning til fremtiden. Derved kan investor opstille forskellige scenarier med forskellige sandsynligheder. Dette kan illustreres ved et simpelt eksempel, som er opstillet nedenfor. Tabel 2.1: Eksempler på forskellige forventet afkast Sandsynlighed Dansk aktieindeks Amerikansk aktieindeks Dansk Obligationsindeks 10% Scenarie 1 7% 10% 1% 30% Scenarie 2 3% 1% 3% 60% Scenarie 3 10% 14% 2% Kilde: Egen tilvirkning Hvis formel 2.1 benyttes til at udregne det forventet afkast vil dette give: Dansk aktieindeks: 0,1*7 + 0,3*3 + 0,6*10 = 7,60% Amerikansk aktieindeks: 0,1*10 + 0,3*1 + 0,6* 14 = 9,70% Dansk obligationsindeks: 0,1*1 + 0,3*3 + 0,6*2 = 2,20% Til en hver investering er der en risiko. Derved vil der også være en risiko ved de forventet afkast. Dette udregnes ved brug af formel 2.2. Dansk aktieindeks: (0,1*(7-7,6) 2 + 0,3*(3-7,6) 2 + 0,6*(10-7,6) 2 = 3,14% Amerikansk aktieindeks: (0,1*(10-9,7) 2 + 0,3*(1-9,7) 2 + 0,6*(14-9,7) 2 = 5,81% Dansk obligationsindeks: (0,1*(1-2,2) 2 + 0,3*(3-2,2) 2 + 0,6*(2-2,2) 2 = 0,60% Tabel 2.2: Oversigt over forventet afkast og risiko Dansk aktieindeks Amerikansk aktieindeks Dansk obligationsindeks Forventet afkast 7,60% 9,70% 2,20% Risiko 3,14% 5,81% 0,60% Kilde: Egen tilvirkning 6

12 I tabel 2.2 ses at der er en sammenhæng mellem det forventet afkast og den tilhørende risiko. Det fremgår, at der med højere afkast er en højere risiko. Det er en forudsætning for teorien, som anvendes i denne afhandling at datamaterialet er normalfordelt. Hvis der antages, at det Amerikanske aktieindeks er normalfordelt kan det forventede afkast og risiko sættes i forhold til hinanden. Dette betyder, at afkastfordelingen kan beskrives ud fra den forventede værdi og standardafvigelsen (Christensen 2014b). Dette er illustreret i figur 2.1 nedenfor. Hvis der skal opstilles til 90% konfidensinterval for, hvor det normalfordelte afkast vil ligge gøres det på følgende metode (Christensen 2014b) : [9,7-1,645*5,81 ; 9,7+1,645*5,81] = [0,13 ; 19,27] Faktoren 1,645 angiver den relevante normalfordelingsværdi. Figur 2.1: Normalfordeling af afkast Kilde: Egen tilvirkning Udregningen viser, at det Amerikanske aktieindeks med et afkast på 9,7 og en risiko på 5,81 vil med 90% sandsynlighed have et realiseret afkast mellem 0,13% og 19,27%. Der er 5% sandsynlighed for, at afkastet bliver enten højere eller lavere end det opstillet interval. Det vil sige at er 10% sandsynlighed for, at det ligger udenfor intervallet. 7

13 I dette afsnit er vist, at forventet værdier kan kvantificeres og derved er det mulig, at lave beregning fra af de givne forventninger. Disse forventninger kan være baseret på analyse af historisk data. Denne afhandling vil foretage analyse af historisk data. Derved kan denne analyse benyttes til, at estimere fremtidig forventet værdier. 2.2 Den efficiente rand I den foregående afsnit blev det vist, at forventninger kunne kvantificeres og derved kunne der beregners på forventninger om afkastet i aktiver. Der blev udregnet et bestemt afkast og en tilhørende risiko. Dog er der flere muligheder end at investerer al investors kapital i ét aktiv. Det er også en mulighed at fordele investors aktiver mellem de forskellige investerings mulighed. Derved behøver investor ikke at investerer 100% i et aktiv, men kan fordele investors kapital fx med 50% mellem to aktiver. Derved spredes investors risiko, hvilket også kaldes diversifikation, som gennemgås i afsnit 2.3. Formålet med den efficiente rand er, at finde den optimale kombination af aktiver i forhold til en givet risiko. Den efficiente rand anvendes til at sikre den korrekte opsætning af porteføljen. Begyndelsespunktet for den efficiente rand er minimum varians porteføljen (MVP). Dette er den portefølje kombination med den laveste risiko. I MVP kan porteføljen ikke blive bedre diversificeret og derved har MVP også den lavest mulige risiko Bestemmelse af den efficiente rand uden kortsalg Den optimale portefølje består ikke kun af et aktiv. Derfor skal det beregnes, hvordan den optimale portefølje sammensættes. Den optimale portefølje findes enten ved det højest mulige afkast ud fra en given risiko eller lavest risiko ud fra et givet afkast. Den optimale fordeling af de tilgængelige aktiver bestemmes ud fra formel 2.3, som er vist nedenfor, hvor risiko forsøges at minimeres. Inden dette vil kortsalg blive forklaret. Dette er vist for en portefølje uden kortsalg. Kortsalg er en mulighed når investor har en forventning om, at det bestemte aktiv vil falde i værdi i fremtiden. 8

14 Kortsalg betyder, at en investor låner et antal aktiver hos en anden investor for et lånegebyr. Investoren vil sælge de lånte aktiver videre til en tredje investor. Derved hvis der lånes 100 aktier til kurs 10. Disse aktiver sælges for (10*100), hvorefter disse aktiver falder til kurs 5, hvor investor køber de 100 aktiver tilbage for 500 (5*100). Derved kan investor giver aktiverne tilbage den oprindelige ejer med en fortjeneste på 500 fratrukket eventuelle lånegebyr. Dog hvis aktiverne stiger i værdi til kurs 15 kommer en investor til at få et tab. Da de 100 aktiver kommer til at koste (15*100). Derved har de en højere værdi end tidligere og investor kommer til at få et tab på 500. For at beregne den efficiente rand uden kortsalg skal der benyttes en Lagrange- optimering. Optimeringen sker ved minimering af porteføljens varians under en række betingelser, hvilket beregnes således (Christensen 2014a) : Min :σ 2 ( ) 2.3 M M ( r p ) = x i x j σ r i=1 j=1 ij Hvor xi og xj angiver vægtning af hhv. aktiv i og j. σ ( r ij ) angiver samvariationen mellem aktiv i og j. under følgende bibetingelser: M i=1 M x i=1 i x i =1 E ( r i ) = E ( r p ) Første betingelse sørger for, at porteføljevægtene summes til 1. Derved kan der ikke investeres for mere end 100%. Den anden betingelse sørger for, at porteføljens forventede afkast, som minimum skal udgøre E(rp). Det skal bemærkes, at det ikke lægger fast om xi er positiv eller negativ. Derfor hvis der benytter negative xi- værdier så muliggøres der kortsalg. Ved kortsalg forstår en situation, hvor investor kan sælge et aktiv han ikke ejer. 9

15 Formel 2.3 finder den sammensætning af aktiver der giver den mindste varians ud fra et givet afkast. Derved betyder samvariation meget for, hvor godt porteføljen er diversificeret. I næste afsnit vil diversifikation blive gennemgået. Derfor behøver aktivet med det højeste afkast ikke indgå i den optimale portefølje, da der ofte vil være forbundet høj risiko ved høje afkast, som også blev fremvist i afsnit Diversifikation Tidligere blev det fremvist, at risiko minimering sker ved at sprede investors kapital ud på flere aktiver. Den optimale sammensætning beregnes ud fra den efficiente rand, hvor risiko minimeres. Dette gøres ved hjælp af diversifikation. Ved at sprede investors aktiver ud på forskellige lande og brancher vil den samlede risiko blive reduceret i porteføljen, derved bliver der investeret i aktiver der ikke er kursafhængige af hinanden. Da investor herved bliver mindre følsom overfor begivenheder der kan påvirke et enkelt aktive. Under diversifikation hører der to former for risiko, hvilket er systematisk og usystematisk risiko Systematisk risiko Dette er kaldes også for markedsrisiko. Denne risiko er ikke mulig, at diversificere bort ved at købe mange aktiver fra et marked. Da den systematiske risiko er en usikkerhed i markedet, som rammer alle aktiver. Ved at investere internationalt kan investor dog reducere risikoen, da porteføljen derved bliver mere uafhængig af økonomiske begivenheder der påvirker et enkelt marked. Men den systemantiske risiko vil altid være til stede Usystematisk risiko Den usystematiske risiko er risikoen ved at investere et enkelt aktiv. Denne risiko kan godt diversificeres bort ved at investere i flere aktiver, således bliver porteføljen mindre påvirket overfor udsving i et bestemt aktiv. Det skal dog forudsættes, at der ikke er korrelation mellem aktiverne. Porteføljens risiko vil falde efterhånden om der tilkøbes flere aktiver. Risikoen vil falde mest i starten, hvorefter risikoen vil tilnærme sig den systematiske risiko (Moffett, Stonehill & Eiteman 2009). Denne effekt ses i figur

16 Figur: 2.3: Usystematisk og systematisk risiko Kilde: Egen tilvirkning Figur 2.3 viser, at den systematiske risiko vil være en konstant der altid vil være til stede, hvor den usystematiske risiko kan minimeres ved at diversificere. Derved kan investor ikke undgå risiko ved at investere i enten aktier eller obligationer. Dog kan risikoen minimeres ved at sprede investors aktiver ud og derved forsøge, at diversificere den usystematiske risiko bort. 2.4 Kovarians og korrelation Diversifikation er et vigtigt element risikovurdering ved at investere. Derfor er det vigtigt at investor tager stilling til dette og forsøge at minimere afhængigheden mellem investors aktiver. Investors kan minimere den usystematiske risiko ved at sprede investors aktiver. Dog skal investor sikre at der ikke er stor korrelation mellem aktier, da det påvirker, hvor godt investors samlet portefølje er diversificeret. Diversifikation afhænger også af kovarians og korrelation. Korrelation viser, hvor meget samvariation der er mellem de udvalgte aktiver. Derved betyder høj korrelation, at der er en høj grad af samvirke mellem aktiverne. Dette betyder at, hvis et aktiv bliver påvirket negativt har det samme effekt på et andet aktiv i 11

17 porteføljen. Korrelationskoefficienten udregnes på følgende måde (Christensen 2014a): ρ ( r ij ) = ( ) ( ) σ r ij σ ( r i ) σ r j 2.4 Hvis korrelationsefficienten er lige 0 betyder det, at der ingen samvariation er mellem aktiv i og j. Er korrelationsefficienten lig med 1 er der perfekt korrelation. Endelig hvis korrelationsefficienten er lig - 1 er der perfekt negative korrelation (Christensen 2014a). Figur 2.4: Korrelation mellem 2 aktiver. Kilde: Egen tilvirkning Figur 2.4 viser korrelationen mellem to aktiver. I figuren er vist korrelationen mellem aktiv i og j. 12

18 Korrelation er en faktor investor skal have for øje når investor forsøger, at diversificere sin portefølje. Korrelation påvirker risikoen, da hvis der er stor samvariation har investor ikke diversificeret den usystematiske risiko bort. Derfor for at få en portefølje med lavest mulig risiko spiller korrelation en vigtig rolle, da investor her kan se, hvilke aktiver der har stor samvariation og derved kan fjerne dem fra sin portefølje og derved minimere risikoen. 2.5 Home bias Det er ikke alle investorer der er perfekt rationelle og laver alle de rigtige valg. Der er nogle fænomener, som nogle investorer bliver berørt af uden, at de selv ved det. Dette kunne være home bias, som har en påvirkning på, hvor godt investor diversificerer sin portefølje og derved ikke får minimeret korrelationen mellem sine aktiver. For at diversificere en portefølje bedst mulig skal investor tage højde for home bias, hvilket forekommer, hvis investor har tildens til at handle hovedsagligt på det nationale/hjemmelige marked. Dette betyder, at investor går glip af mulig afkast fra det internationale marked og at investor er mere udsat for systematisk risiko. Det kan være comfort- seeking og familiarity, som ligger til grund for en investors home bias (Ackert, Deaves 2010). Det kan også være, at investor er mere optimistisk overfor det nationale marked og dermed forventer større afkast på det nationale marked fremfor internationalt. Dog kan der også være andre restriktioner til home bias så som skatteregler og institutionelle barrierer (Ackert, Deaves 2010). Derfor er det vigtigt, at investor er opmærksom på home bias inden der investeres, da det er et fænomen, som påvirker investors valg af aktiver uden der er en rationel begrundelse. Så investor skal sikre sig ikke at købe aktiver med forventning om urealistiske afkast til en risiko, som måske også er sat for lavt. 2.6 Performanceevaluering I foregående afsnit er der blevet set på, hvordan en portefølje skal sættes sammen og hvilke faktorer der skal tages højde for. Når der er sammensat en portefølje skal dette evalueres for at se, hvordan den opstillede portefølje har 13

19 performet i forhold til et valgt benchmark. Dette kan gøres ved udregning af performanceindeks, som vil blive gennemgået i dette afsnit. Når der skal evalueres, hvordan de optimerede porteføljer har klaret sig er der tre performanceindeks der kan anvendes. Disse tre hedder Sharp, Treynor og Jensens alfa. Sharp bestemmes ud fra hældning på kapitalmarkedslinjen (KML), hvor Treynor og Jensens alfa er bestemt ud fra security market line (SML). Det er vigtigt, at evaluere performance, da disse nøgletal ikke kun analysere, hvor stort afkastet for porteføljen er, men nøgletallene sammenholder det opnået afkast med den pågældende risiko. Forskellen mellem KML og SML er at kapitalmarkedslinjen viser afkastet ud fra den risikofrie rente og risikoen for en specifik portefølje. SML viser markedsrisikoen og afkastet på det givne tidspunkt. Risikoen i KML er målt i standardafvigelse, hvor risikoen i SML er bestemt af beta- værdien. Sharp indekset udregner merafkastet ud over risikofri rente pr. risikoenhed. I porteføljen. Dette opgøres således (Christensen 2014c): Sharp: r p r f ( ) σ r p 2.5 Hvor rp angiver afkastet i portefølje p og rf angiver afkastet i det risikofri afkast. Treynor indekset måler porteføljens merafkast ud over den risikofrie rente udtrykt pr. enhed systematisk risiko, hvor β angiver den systematiske risiko (Christensen 2014c): Treynor: r p r f β p

20 Hvor β p angiver den systematiske risiko for portefølje p. Jensens alfa måler porteføljens evne til at under/over performe det et forventet afkast (Christensen 2014c): Jensen: α p = r p E ( r p ) = r p r f β p ( r m r f ) 2.7 Sharp bliver benyttet, hvis en investors evne til at diversificere den usystematiske risiko bort skal undersøges. Treynor bliver brugt, hvis porteføljen er delt op i en række specialporteføljer, hvor den usystematiske risiko allerede er diversificeret bort. Derfor benyttes Treynor til at måle investors evne til at overperforme i forhold til den systematiske risiko. Jensens alfa bliver benyttet ved en veldiversificeret portefølje. Derfor vil Jensens alfa blive benyttet til, at evaluere porteføljens performance efter at porteføljen er blevet opstillet. Dette vil blive gjort ud fra en simpel lineær regressionsmodel. Denne regression er opgjort på følgende måde (Christensen 2012) : r it r ft = α i + β i ( r mt r ft ) + e it 2.8 Hvor rit er afkastet i portefølje i, rmt er afkastet i benchmark m og rft er den risikofrie rente. Til udregning af Jensens alfa vil der blive benyttet et tilføjningsprogram til Excel der hedder StatPlus. StatPlus er benyttet til, at udregne de relevante værdier, som er R^2, Adj R^2, alfa, beta og p- værdi, hvilket også er opgjort i tabel 5.1. R^2 er graden af variation i porteføljen i der er forklaret ud fra benchmarket. Ved lav R^2 betyder det, at der er stor spredning på observationerne. Dette forklares ud fra, at sum squared error (SSE) vil være høj. Det vil dog være bedre, at anvende Adj. R^2, da den er mere troværdig fordi, den tager højde for stikprøvestørrelse. Alfa angiver hvordan opstillet portefølje har performet i forhold til benchmarket. Hvor en negativværdi betyder, at benchmarket har performet bedre og en positiv 15

21 værdi viser, at den opstillede portefølje har performet bedre end benchmarket. Beta- værdien angiver, hvor følsom porteføljen er i forhold til benchmarket. Beta- værdien fortæller, hvor meget værdien i porteføljen vil ændre sig i forhold til benchmarket. Beta forholder sig til den systematiske risiko i benchmarket (Jensen 1968). I benchmarket er beta- værdien 1. Hvis der er en beta- værdi på 0,5 for porteføljen så betyder det at, hvis benchmarket stiger med 100% så vil porteføljen kun stige med 50%. Det samme er glædende for det omvendte eksempel. 2.7 Normalfordeling For at det ovenstående gennemgåede teori skal kunne benyttes på de indhentede indeks, skal de testes, om de er normalfordelt. Normalfordeling er en forudsætning for at teorien kan anvendes. Først vil det blive testet for skævhed (Skewness), derefter vil det blive lavet en kurtosis test og sidste vil det blive udført en Jarque- Bera test, der bygger på de to tidligere tests Skewness Skewness er en måling for asymmetri i fordelingen omkring gennemsnittet. Dette udregner således (Quantitative Micro Softeware 2010) : S = 1 N N i=1 # % $ y i y σ & ( ' Hvor σ er en estimator for standardafvigelse, som er baseret på en estimator for varians: σ = S ( N 1) / N. Skævheden for en systematisk fordeling, så som en normalfordeling er lig 0. Positiv skævhed betyder at fordelingen er højreskæv, hvor negativ betyder en venstreskæv fordeling Kurtosis Kurtosis måler fladheden/spidsheden af en fordeling. Dette udregnes således (Quantitative Micro Softeware 2010) : 16

22 K = 1 N N i=1 # % $ y i y σ & ( ' Her er σ også baseret på en estimator for varians. Hvis værdien er 3 betyder det at fordelingen er normalfordelt. Er værdien over 3 betyder det, at fordelingen er spids i forhold til en normalfordeling. Hvis værdien er under 3 er fordelingen flad Jarque- Bera Jarque- Bera er en statistisk test, som tester om fordelingen er normalfordelt. Testen udregnes således (Quantitative Micro Softeware 2010) : Jarque Bera = N " 6 S 2 + K 3 $ # 4 ( ) 2 % ' & 2.11 Jarque- Bera testen er målt ud fra en χ 2 fordeling med 2 frihedsgrader. Derfor opstilles en hypotese- test: H0: Testen viser en normalfordeling. H1: Testen viser ikke en normalfordeling. H0 hypotesen bliver forkastet, hvis Jarque- bera værdien er højere end 5,99 med et konfidensinterval på 5%. 2.8 Delkonklusion I dette afsnit er den grundlæggende teori for opbyggelse af en portefølje gennemgået. Der er blevet fremvist, hvordan det forventede afkast og risiko udregnes. Dette bliver gjort ved at kvantificere for de forventede værdier og derefter beregne dette ved brug af de opstillede formler. Her blev også fremvist, at der er en sammenhæng mellem afkast og risiko, da højere afkast havde en højere risiko. 17

23 Afkast og risiko er grundlæggende for resten af analysen, da disse to tal skal bruges til, at udregne det efficiente rand uden kortsalg. Det er vigtigt at investors portefølje bliver diversificeret, da det har stor indflydelse på, hvor meget risiko porteføljen bliver udsat for. Der er gennemgået to former for risiko nemlig systematisk og usystematisk risiko. Hvor systematisk risiko ikke kan diversificeres bort, da denne risiko er risikoen i marked. Usystematisk risiko kan godt diversificeres bort, da dette er risikoen i det enkelte aktiv og kan derfor diversificeres bort ved at investere i flere aktiver. Et andet element der påvirker diversifikationsevnen er home bias, som er når investor har tendens til at have aktiver hovedsagligt i det hjemmelige marked. Dette påvirker korrelationen mellem investors aktiver. Målet for investor er, at have en korrelation så tæt på nul som mulig, da dette vil være en vel diversificeret portefølje. Performanceevaluering er også blevet gennemgået, som består af tre indeks Sharp, Treynor og Jensens alfa, hvor det blev konkluderet, at der skal benyttes en simpel Jensens alfa regression. Sidst i afsnittet blev det fremvist, hvordan test for normalfordeling skal beregnes. Dette er vigtigt, da normalfordelt data er en betingelse for anvendelse af teorien. 18

24 3. Beskrivelse af data I tidligere afsnit er der blevet beskrevet den grundlæggende teori, som indgår i porteføljeteori. Denne teori er vigtig for, at sammensætte den optimale portefølje korrekt. Før teorien vil blive anvendt på datamaterialet vil der være en beskrivelse af datamaterialet. I dette afsnit vil det datamaterialet blive præsenteret og i næste afsnit efterprøvet om det stemmer overens med de statistiske test, som datamaterialet skal opfylde for, at den tidligere gennemgåede teori skal kunne anvendes på datamaterialet. 3.1 Udvælgelse af data Datamaterialet som bliver benyttet i afhandlingen er indsamlet gennem programmet Datastream, som er en database med store mængder økonomisk information. Der har været nogle indeks, som ikke kunne benyttes, da der ikke er opgivet opdaterede data for hver måned og nogle indeks har ikke værdier for hver måned i den periode, som analyseres. De data der bliver benyttet er al den tilgængelige data, som det har været mulig at finde, som opfylder kravene for benyttelse. Alle indeks er opgivet i total return indeks. Derved er det ikke kun prisændringer der er opgivet, men dividende er også indregnet i indeksene. Datamaterialet strækker sig fra primo 2004 til ultimo Det anvendte datamateriale er opgivet på månedsbasis, hvilket giver 120 observationer på 68 forskellige indeks. Nedenfor er der en tabel der viser, hvilke lander der vil blive behandlet. 19

25 Tabel 3.1: Oversigt over indeks. Kilde: Egen tilvirkning. 3.2 Udvikling i 10 års periode I figur 3.1 nedenfor kan der ses, at afkastene i MSCI World har oplevet både lav- og højkonjunktur. Dette har stor påvirkning på indekset. Der er mange faktorer der påvirker udviklingen i afkastene i indekset. MSCI World er et meget bredt indeks, som består af forskellige aktier (MSCI Inc. 2014). Derfor er dette indeks en god indikator på, hvordan udvikling i den internationale økonomi har påvirket afkastene på aktiemarked. 20

26 Figur 3.1: Udvikling i MSCI World (aktier) MSCI World /01/04 01/08/04 01/03/05 01/10/05 01/05/06 01/12/06 01/07/07 01/02/08 01/09/08 01/04/09 01/11/09 01/06/10 01/01/11 01/08/11 01/03/12 01/10/12 01/05/13 01/12/13 MSCI World Kilde: Egen tilvirkning. Her er det tydeligt at se, hvor stor en effekt finanskrisen har haft på indekset. Der er et fald primo 2008, hvorefter det begynder at stige igen primo 2009, hvor der igen er et fald i I 2011 havde Grækenland, Irland, Italien og USA stor økonomisk nedgang. USA fik nedgraderet deres kreditværdighed for første gang ( 2011). Nedenfor er viser figur 3.2 udviklingen i obligationer. Figur 3.2: Udvikling i JPM Global (obligationer) JPM Global /02/04 01/08/04 01/02/05 01/08/05 01/02/06 01/08/06 01/02/07 01/08/07 01/02/08 01/08/08 01/02/09 01/08/09 01/02/10 01/08/10 01/02/11 01/08/11 01/02/12 01/08/12 01/02/13 01/08/13 JPM Global Kilde: Egen tilvirkning 21

27 Generelt er der større udsving ved aktier end ved obligationer. Figurerne viser, at obligationer er mere stabile end aktier og der er en jævn stigning også under finanskrisen. Dette tyder på, at risikoen er lavere ved investering i obligationer end aktier. Aktier er mere ustabile og mere påvirkede af konjunkturen i økonomien. Der er mange makroøkonomiske faktorer, der påvirker afkastet på aktier. Disse faktorer kan bestå af renten, offentligt forbrug, investering, opsparinger, valutakurser, eksport, import, inflation/deflation, krig/terror. Alle disse faktorer spiller en rolle på efterspørgsel på en aktie. Alene forventningen om ændringer i disse faktorer kan også have en indflydelse, da ændringer i prisen på en aktie påvirkes af forventningen om, hvordan den pågældende virksomhed vil performe i fremtiden. Det ses i figur 3.1, at makroøkonomiske faktorer også spiller en rolle på udviklingen af afkast. Da der i 2011 ikke var en finanskrise som i I 2011 var der enkelte lande, som blev økonomiske negativt påvirket. Grækenland havde enorm statsgæld og der blev sat sanktioner ind og der blev givet store lån til landet for, at holde deres økonomi i gang ( 2011). USA havde også store økonomiske problemer i USA havde enorm gæld og var ved at løbe tør for penge inden USA besluttede at hævet deres gældsloft. Det fremgår, at forventning til fremtiden har stor påvirkning på, hvordan udviklingen i afkastet former sig. Både i 2008 og i 2011 var forventningerne til fremtiden meget usikre og dette påvirkede afkastene negativt. Derfor er det ikke kun den nuværende performance der påvirker, hvilken pris aktiverne bliver handlet til. Det kan dog være meget svært, at forudse makroøkonomiske hændelser der vil påvirke den internationale økonomi. 22

28 3.3 Test for normalfordeling Teorien som ligger til grunde for sammensætning af en portefølje er blevet fremlagt. Efter dette er det datamateriale, som skal anvendes blevet beskrevet. Før at den gennemgåede teori kan anvendes skal det testes om datamaterialet er normalfordelt. Dette er blevet gjort via programmet EViews. Teorien bag denne test er gennemgået i afsnit 2.7, hvor der er fremlagt tre forskellige tests, som skal vise om datamaterialet er normalfordelt. Værdier for de 3 tests kan ses nedenfor i tabel 3.2. Yderligere værdier er lagt ind som bilag. Tabel 3.2: Værdier for fordeling. Test for normalfordeling Skewness Kurosis Jarque- Bera Argentina Aktie indeks 0,29 2,36 3,72 Australia Aktie indeks - 0,27 2,61 2,27 Austria Aktie indeks 0,75 2,17 14,77 Belgium Aktie indeks 0,36 2,25 5,33 Brazil Aktie indeks - 0,67 2,06 13,41 Canada Aktie indeks - 0,59 2,23 9,98 Chile Aktie indeks - 0,03 1,69 8,59 Colombia Aktie indeks 0,13 1,72 8,58 Croatia Aktie indeks - 0,09 2,13 3,99 Czech Republic Aktie indeks - 0,82 3,41 13,69 Denmark Aktie indeks 0,07 2,21 3,22 Estonia Aktie indeks 0,03 2,36 2,08 Finland Aktie indeks 1,14 3,69 28,44 France Aktie indeks 0,14 2,24 3,25 Germany Aktie indeks 0,11 2,30 2,71 Greece Aktie indeks 0,29 1,90 7,72 Hong Kong Aktie indeks 0,03 1,84 6,78 Hungary Aktie indeks - 0,05 2,72 0,44 23

29 India Aktie indeks - 0,48 1,88 10,86 Indonesia Aktie indeks 0,15 1,72 8,64 Ireland Aktie indeks 0,52 1,79 12,75 Italy Aktie indeks 0,65 2,24 11,40 Japan Aktie indeks 0,60 2,00 12,09 Kenya Aktie indeks 1,46 5,03 62,98 Lebanon Aktie indeks - 0,28 3,08 1,58 Malaysia Aktie indeks 0,24 1,82 8,16 Maruritius Aktie indeks - 0,41 1,73 11,47 Mexico Aktie indeks - 0,11 1,96 5,61 Morocco Aktie indeks - 0,58 2,34 8,80 Netherlands Aktie indeks 0,07 2,31 2,45 New Zealand Aktie indeks 0,38 2,37 5,85 Nigeria Aktie indeks 0,65 2,13 12,29 Norway Aktie indeks - 0,34 2,17 5,84 Pakistan Aktie indeks 0,77 3,60 13,50 Peru Aktie indeks - 0,15 1,63 9,81 Philippines Aktie indeks 0,78 2,81 12,21 Poland Aktie indeks - 0,35 2,34 4,56 Portugal Aktie indeks 1,20 3,75 31,51 Russia Aktie indeks 0,34 2,65 2,96 Singapore Aktie indeks - 0,39 1,74 10,93 South Africa Aktie indeks 0,22 2,38 2,93 Korea Aktie indeks - 0,22 1,81 8,13 Spain Aktie indeks - 0,03 2,30 2,47 Sri Lanka Aktie indeks 0,40 1,81 10,21 Sweden Aktie indeks 0,00 2,21 3,09 Switzerland Aktie indeks 0,23 2,22 4,09 Taiwan Aktie indeks - 0,35 2,13 6,19 Thailand Aktie indeks 0,67 2,17 12,53 Turkey Aktie indeks 0,27 2,26 4,24 24

30 UK Aktie indeks 0,15 2,50 1,71 USA Aktie indeks 0,70 3,50 10,97 Australia Obl. indeks 0,58 2,02 11,48 Austria Obl. indeks 0,70 2,28 12,38 Belgium Obl. indeks 0,79 2,63 13,11 Canada Obl. indeks 0,39 2,00 8,03 Denmark Obl. indeks 0,71 2,09 14,08 France Obl. indeks 0,52 2,08 9,57 Germany Obl. indeks 0,59 2,04 11,55 Ireland Obl. indeks 1,32 4,58 47,40 Italy Obl. indeks 0,62 3,38 8,48 Netherlands Obl. indeks 0,61 2,10 11,41 Poland Obl. indeks - 0,43 2,78 3,96 Singapore Obl. indeks 0,31 2,00 6,90 South Africa Obl. indeks 0,45 2,22 7,04 Spain Obl. indeks 0,65 4,42 18,40 Sweden Obl. indeks 0,51 2,16 8,65 UK Obl. indeks 0,68 2,16 12,88 USA Obl. indeks 0,58 2,09 10,92 Kilde: Egen tilvirkning. I tabellen ovenfor kan ses, at der er problemer med normalfordeling for mange af indeksene. Derfor betyder det, at H0 hypotesen i Jarque- Bera testen bliver forkastet. Værdierne ligger relativt tæt på målet for normalfordeling og der vil blive arbejdet videre med indeksene. Aktiver som har en meget høj Jarque- Bera værdi er Finland, Kenya, Portugal, Irland og Spanien. De resterende indeks har en Jarque- Bera værdi under 14,78 og er relativt tæt på at være normalfordelt. Der er dog kun 22 af de 68 indeks, der opfylder kravene om at være normalfordelt. 25

31 Derfor skal der tages forbehold i den endelige vurdering af porteføljerne, da der er problemer med normalfordeling, som er et kriterium for, at teorien kan anvendes. 3.4 Praktisk udregning af afkast, risiko og korrelation for indeksene Der er nu foretaget en test for normalfordeling, som viste, at der var problemer med at opfylde kravet om normalfordeling. Der vil dog på trods af dette blive arbejdet videre med indeksene. Der vil i dette afsnit blive fremvist, hvordan udregning af afkast, risiko og korrelation bliver udregnet på historisk data, hvor det i det tidligere gennemgåede er fremvist på forventede værdier. Indeksene er fundet via programmet Datastream. Der skal beregnes afkast, risiko og korrelation for alle indeksene før de benyttes til sammensætning for en optimal portefølje. Uden disse udregninger kan investor ikke vide, hvordan de forskellige indeks performer. Den tidligere teori bygger på forventning om, hvordan fremtidige afkast vil være. Da denne afhandling bygger på historiske data vil der i dette afsnit blive gennemgået fremgangsmetoden til beregning af afkast, risiko og korrelation på historiske data. Disse formler er udregnet i Excel, derfor vil der også i næste afsnit fremgå udklip fra Excel, som viser fremgangsmetoden i Excel. Afkastet udregnes på følgende metode (Christensen 2014b): p it 1 = k it ( 1+ R i ) t + p it ( 1+ R i ) t Hvor pit angiver kursen for aktiv i på tidspunkt t, kit angiver dividenden for aktiverne og Ri angiver den interne rente. Risikoen er udregnet ud fra denne formel (Christensen 2014b): 26

32 σ ( r i ) = 1 N 2 2 N " " ln p % % it $ $ ' r i # # p ' Ω t=2 3.2 it 1 & & Hvor ri angiver det gennemsnitlige afkast for aktiv i og Ω angiver antallet af observationer. ri er bestemt ud fra (Christensen 2014b): r i = 1 N 1 N ln # p it & % ( i=2 $ p it 1' 3.3 Korrelationen mellem aktiverne skal også beregnes. Dette gøres ud fra denne formel (Christensen 2014b): N t=2 ( " * ln$ ) # p it p it 1 % + ( " ' r i - ln p jt * $ &, )* # p jt 1 % + ' r - j &,- ln p 2 ( " % + ( N N " it * $ ' r i - ln p jt * t=2 ) # p t=2 $ it 1 &, )* # p jt 1 2 % + ' r - j &,- 3.4 Disse formler skal som helhed benyttes til at sammensætte en portefølje. De vil blive benyttet i afsnit 4, hvor der vil blive konstrueret en portefølje Afkast og risiko Først udregnes afkastet for hvert indeks. Dette gøres med ved en ln funktion for hver måned, hvorefter dette summeres. For at få det pr. år skal det opløftes i en 1/10. Risiko udregnes, som en standardafvigelse af de summeret ln funktioner, hvorefter risikoen pr. år udregnes. Dette er vist i tabellen nedenfor. 27

33 Tabel 3.1: Oversigt over udregning. Kilde: Egen tilvirkning Korrelation Når der skal sammensættes en portefølje, er korrelation mellem aktiverne en vigtig del til, at fortælle om eventuelle samvarians mellem aktiverne, som kan være med til at øge risikoen. Standardafvigelse og kovarians hænger sammen, da de giver korrelationen. Målet med at diversificere er at få korrelationen så tæt på nul som mulig. Tabel 3.3: Udregning af korrelation. Kilde: Egen tilvirkning I tabellen ovenfor er vist udregning for korrelation i Excel. Dette er gjort for alle indeks og giver en 68X68 matrice, der lagt ind som bilag, da matricen ikke er til, at vise på en side er den delt i tre. Den sidste fjerdedel er ikke vedlagt, da den kun viser tomer celler. 28

34 3.4.3 Portefølje uden kortsalg For at udregne den optimale portefølje er der opstillet en optimerings model i Excel. Denne model bliver løst ved hjælp af Excel- værktøjet solver. Nedenfor er vist, hvordan solvermodellen er stillet op og hvilket betingelser der er opgivet. Tabel 3.3: Udregning af optimal portefølje uden kortsalg og geninvestering. Kilde: Egen tilvirkning Af tabellen fremgår det, at målet med solvermodellen er, at maksimere C82, som er afkastet. Dette gøres ved at ændre cellerne fra C5 til BR5, som er vægtene for de forskellige indeks. Derudover er der tre betingelser der skal opfyldes. Den første er at summen af alle vægtene skal give 1. Den anden er at vægtene skal være lig med eller større end 0. Derved kan vægtene ikke være negative. Dette er også betingelsen for kortsalg. Hvis det ønskes, at opsætte en portefølje med kortsalg skal denne betingelse derfor fjernes. Den sidste betingelse betyder, at porteføljens risiko skal være lig med den ønskede risiko. Nedenfor ses de formler der benyttes til at udregne porteføljens afkast og risiko. Tabel: 3.3: Formel for udregning. Kilde: Egen tilvirkning. Porteføljeafkastet er en sumprodukt funktion af afkastet og de tilsvarende vægte for hvert af indeksene. Portefølje risikoen er udregnet ved at tage kvadratroden af en summen af en matrice, hvor samvariationen mellem to aktiver er ganget 29

35 sammen med hvert af de to indeks risiko og vægte. Funktionen for udregning af portefølje risiko udregnes således (Christensen 2014b): M ( ) = x i x j σ r p M i=1 j=1 σ ( r ij ) 5.1 Formel 5.1 giver også en 68X68 matrice ligesom korrelationsmatricen. Dog vil denne matrice ændres for de forskellige porteføljer, da den er afhængig af vægtene af de aktiver som indgår i porteføljen. Da det ikke er de samme aktiver der indgår i alle porteføljer vil matricen ændre værdi. Dette stemmer også overens med, at der er forskellige risiko ved at investere i forskellige aktiver. 3.5 Delkonklusion Datamaterialet er blevet beskrevet og der kan konkluderes at aktieindeks er mere volatile i forhold til obligationsindeks. Der er flere faktorer der påvirker, hvor store svingninger der i afkastet. Derudover blev det også fremvist, at obligationsindeks har været stabilt stigende på trods af finanskrisen i 2008 og økonomiske nedgang i Derfor er obligationsindeks en mere sikker investering, dog er afkastet også lavere ved obligationsindeks i forhold til aktieindeks. Før den gennemgåede teori kan anvendes skal datamaterialet testes for normalfordeling. Dette er blevet gjort i afsnit 3.3, hvor det kunne konkluderes, at ikke alle indeks var normalfordelte og dermed vil validitet af resultaterne blive formindsket. Efter testen for normalfordeling er anvendelse af teorien blevet gennemgået. Udregninger bliver foretaget i Excel og i næste afsnit vil resultatet af beregningerne bliver fremlagt. 30

36 4. Konstruktion af portefølje Der er nu fremlagt den grundelæggende teori for, at sammensætte porteføljer og teorien vil blive benyttet til, at opstille den optimale portefølje. Datamaterialet er blevet testet og opfylder delvist kravene for, at benytte den gennemgåede teori, da nogle af indeksene ikke opfyldte betingelserne for at være normalfordelt. Derved vil der kunne stille spørgsmål ved validiteten af resultaterne af udregningerne. Datamaterialet vil nu blive behandlet og blive sat sammen i en solvermodel for, at opbygge den optimale portefølje. Dette gøres ud fra en given risiko, hvor der findes det højst mulige afkast ud fra denne risiko. 4.1 Portefølje uden geninvestering I tidligere afsnit er fremgangsmetoden for praktisk opstilling af den optimale portefølje blevet fremlagt. Først bliver afkast og risiko bestemt, hvorefter der bliver opstillet en korrelationsmatrice. Dette vil blive sammensat for, at udarbejde den optimale portefølje ud fra en given risiko. Dette bliver gjort for en portefølje uden kortsalg og uden geninvestering, hvorefter i dette afsnit vil blive gjort for en portefølje med geninvestering. Dette er blevet beregnet for hvert indeks, som er blevet opstillet nedenfor. 31

37 Tabel 4.1: Afkast og risiko Kilde: Egen tilvirkning Tabellen viser, at der er der generelt forbundet højere risiko med at investere i aktier og at risikoen er lavere for obligationer. Dette stemmer overens med figur 3.1 og 3.2, hvor det blev afbilledet at der har været større konjunktur svingninger ved aktier end ved obligationer. Det fremgår af tabellen, at det højeste afkast er i det colombianske aktieindeks med i afkast på 11,66, dog er der også forbundet et høj risikoniveau forbundet med dette indeks på 22,81%. Teorien som er fremlagt i dette afsnit er blevet benyttet til at udregne porteføljer med forskellige ønsket afkast. Resultaterne for udregningerne er vist i tabellen nedenfor. P1 står for portefølje 1, P2 står for portefølje 2 osv. 32

38 Tabel 4.2: Optimal portefølje uden kortsalg og uden geninvestering. Kilde: Egen tilvirkning Dette er et eksempel på, hvordan der kan opstille porteføljer. I det ovenstående eksempel er der ikke anvendt geninvestering, Dette eksempel er fremlagt for at vise, hvilken fremgangsmetode der er blevet benyttet til at opstille den optimale portefølje ud fra et givet ønsket risiko. I eksemplet er MVP og P1 det samme, da P1 er opstillet som en portefølje med en risikoprofil på 2%, men dette kan ikke lade sig gøre, da MVP har en risiko 3,49. Derfor er det ikke muligt, at opstille en portefølje med en lavere risiko end MVP. Risikoen strækker sig fra 3,49 til 20%. En risikoprofil på 20% er taget med for at fremvise et bredt perspektiv. Derfor er der ikke højere risikoprofil end 20%. Resultatet viser, hvorledes fordeling mellem aktier og obligationer ser ud for en optimal portefølje, hvis en investor investerede primo 2004 og holder de samme aktiver i 10 år frem til ultimo For porteføljer med en risikoprofil på 6 eller derunder er over 50% af investeringen lagt i det australske obligationsindeks. Dette indeks har gennem 10 års perioden været med en relativ lav risiko (7%) og et afkast på 5,1% jf. tabel 4.1. Når risikoprofilen overstiger 6, altså fra 8% og opefter, falder andelen af det australske obligationsindeks og aktieindeksene bliver mere attraktivt for investorer med en højere risikoprofil. 33